Simulado OBM – Nível 2
Gabarito Comentado
Questão 1. Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação
a)
b)
c)
d)
e)
?
13
26
38
39
40
Resolução
Entre 9 e 49 temos 39 números inteiros.
Gabarito: d
Questão 2. Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias?
a)
b)
c)
d)
e)
segunda-feira
sábado
domingo
sexta-feira
quinta feira
Resolução
Uma semana tem 7 dias. Assim, se dividirmos 99 por 7 temos a quantidade de semanas. O resto nos
dará a quantidade de dias que se passam depois de sábado.
semanas, sobra 1 dia. Como
estamos contando uma semana que termina no sábado, mais um dia temos DOMINGO.
Gabarito: c
Questão 3. Um pai tem 33 anos e seu filho, 7 anos. Depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho?
a) 3
b) 7
c) 6
d) 9
e) 13
Consideremos a quantidade de anos passados.
Hoje o pai tem 33 anos, daqui a ele terá
anos. E, o filho que hoje tem 7 anos, daqui a anos
terá
anos.
A questão quer saber depois de quantos anos a idade do pai será o triplo da idade do filho . Logo,
Teste 1ª Unidade 8º ano
Resolução
MATEMÁTICA
2
anos
Gabarito: c
Questão 4. 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais 6 bananas; além disso, meia dúzia de
bananas custa a metade de uma melancia. Portanto, o preço pago por uma dúzia de laranjas e uma dúzia
de bananas é igual ao preço de:
a) 3 melancias
b) 4 melancias
c) 6 melancias
d) 5 melancias
e) 2 melancias
Resolução
Tomemos melancias por
, laranjas por e bananas por . Pelos dados da questão sabemos que:
Gabarito: a
Questão 5. Paulo e Cezar têm algum dinheiro. Paulo dá a Cezar
Paulo do que possui. Assim, ambos ficam com
tinha inicialmente é:
e, em seguida, Cezar dá a
. A diferença entre as quantias que cada um
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Paulo tem x reais e Cezar tem y reais.
A quantia que Paulo possui é:
.
Teste 1ª Unidade 8º ano
A quantia que Cezar possui é:
MATEMÁTICA
3
Logo, x = 14 e y = 22.
A diferença entre suas quantias é: y – x = 8.
Gabarito: b
Questão 6. O retângulo da figura a seguir está dividido em 7 quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a 1, a área do retângulo é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
42
44
45
48
49
Resolução
Completando a figura com quadradinhos de lado 1, vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado de área
9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25. Logo a área do retângulo é 3 + 9 + 2  4 + 25 = 45.
Gabarito: c
Questão 7. Você possui muitos palitos com
e
de comprimento. Para fazer uma fila de palitos com comprimento total de 2 metros, o número mínimo de palitos que você precisa utilizar é:
a) 29
b) 30
c) 31
d) 32
e) 33
Resolução
A quantidade utilizada de palitos é mínima quando o número de palitos de 7 cm é máximo. Como 200 =
28  7 + 4 = 26  7 + 3  6, o número mínimo de palitos é 29.
Teste 1ª Unidade 8º ano
Gabarito: a
MATEMÁTICA
4
Questão 8. A maior raiz da equação
a)
b)
c)
d)
e)
é:
39
43
47
50
53
Resolução
Pensemos. Qual o número que ao quadrado resulta em 169? 13 ou -13.
Logo,
Assim,
A maior raiz é
.
Gabarito: d
Questão 9. Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro , e duas teclas A e B.
Quando se aperta a tecla A o número do visor é substituído por
. Quando se aperta a tecla B o
número do visor é substituído por
– .
Se no visor está o número 5, apertando alguma seqüência das teclas A e B, o maior número de dois algarismos que se pode obter é:
a) 85
b) 87
c) 92
d) 95
e) 96
Resolução
O diagrama de árvore a seguir mostra os resultados que podem ser obtidos.
47
23
11
32
95
68
65
95
5
59
29
14
41
86
83
Nele vemos que o maior é 95.
Teste 1ª Unidade 8º ano
Gabarito: d
MATEMÁTICA
5
Questão 10. Em um hotel há 100 pessoas. 30 comem porco, 60 comem galinha e 80 comem alface.
Qual é o maior número possível de pessoas que não comem nenhum desses dois tipos de carne?
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
Resolução
Supondo que todos os que comem galinha também comem porco, então 40 pessoas, no máximo, não
comem nenhum desses dois tipos de carne.
Gabarito: d
Questão 11. Um retângulo ABCD está dividido em quatro retângulos menores. As áreas de três deles
estão na figura abaixo. Qual é a área do retângulo ABCD?
A
D
16
12
27
B
a)
b)
c)
d)
e)
C
80
84
86
88
91
Resolução
Se dois retângulos possuem mesma altura então a razão entre suas áreas é igual a razão entre suas
bases. Se dois retângulos possuem mesma base, então a razão entre suas áreas é igual a razão entre
suas alturas. Isto permite concluir que o retângulo grande tem base 4 + 9 = 13, e altura 3 + 4 = 7. Sua
área é, portanto, 13  7 = 91.
Gabarito: e
são amarelos e
são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada verificou-se que no aquário,
os peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente,
que porcentagem dos peixes amarelos morreram?
a) 15%
b) 37%
c) 50%
d) 67%
e) 84%
Teste 1ª Unidade 8º ano
Questão 12. Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos:
MATEMÁTICA
6
Resolução
Imagine um aquário com 100 peixes sendo 90 amarelos e 10 vermelhos. Se peixes amarelos morreram e depois ainda havia 75% de peixes amarelos no aquário, temos que
,
o que dá
.
Se morreram 60 dos 90 peixes amarelos, a mortandade foi de
, ou seja, aproximadamente 67%.
Gabarito: d
Questão 13. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagou
ainda tinha
, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?
de estacionamento. Se no final
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Faça as contas de trás para frente:
.
Gabarito: d
Questão 14. Hoje, 12/6/2010, Pedro e Maria fazem aniversário. No mesmo dia em 2007, a idade de
Pedro era da idade de Maria. No mesmo dia em 2013, a idade de Pedro será igual à de Maria quando
ele tinha 20 anos. Quantos anos Maria está fazendo hoje?
a) 30
b) 31
c) 32
d) 33
e) 34
Resolução
Sejam: a idade de Pedro e
a de Maria.
Primeiro temos que
.
Pela segunda sentença, temos que
Resolvendo o sistema
.
, obtemos
d = 7, p = 24 e p + d = 31.
Teste 1ª Unidade 8º ano
Gabarito: b
MATEMÁTICA
7
Questão 15. No desenho temos AE = BE = CE = CD.
Além disso,  e  são medidas de ângulos. Qual é o valor
da razão ?
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução
Como
é isósceles,
.
Como
é isósceles,
.
Usando ângulo externo,
. Como
também é isósceles,
Finalmente, usando mais uma vez ângulo externo podemos concluir que
.
Gabarito: d
Questão 16. Quantos dos números abaixo são maiores que 10?
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
4
5
Resolução
Os quadrados dos números são respectivamente: 99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e o
último são menores que o quadrado de 10 que é 100. Assim, os três números do meio são maiores que
10.
Gabarito: c
menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso,
dos que falam Português também
falam Inglês e
dos que falam Inglês também falam Português. Quantos funcionários falam as duas
línguas?
a) 12
b) 14
c) 15
d) 16
e) 18
Teste 1ª Unidade 8º ano
Questão 17. Uma grande empresa possui 84 funcionários e sabe-se que cada funcionário fala pelo
MATEMÁTICA
8
Resolução
Seja P o número de funcionários que falam Português e I o número de funcionários que falam Inglês. É
fácil ver que,
Além disso,
.
Com isso, o número de funcionários que falam as duas línguas é
Gabarito: d
Questão 18. Cinco inteiros positivos
Quanto vale a soma
a) 9
b) 16
c) 25
d) 36
e) 49
maiores que um satisfazem as seguintes condições:
?
Resolução
Se
são cinco inteiros maiores que um, então
quatro deles é pelo menos 8.
Observando a equação
, onde
.
Da mesma maneira,
, então
sabemos que
logo,
Assim,
, e com isso, a soma quaisquer
e
são primos, temos que
e
e
. Mas, já
.
Gabarito: d
Questão 19. Seja
. Qual o valor de
a)
b)
c)
d)
e)
a soma dos algarismos pares do número . Por exemplo,
?
200
360
400
900
2250
Entre os números 1 e 100 o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como
dígito das unidades. O mesmo ocorre com os algarismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é
Teste 1ª Unidade 8º ano
Resolução
MATEMÁTICA
9
Gabarito: c
Questão 20. De quantas maneiras podemos dividir
em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
Resolução
Sendo
a quantidade de moedas de 10 centavos e
a quantidade de moedas de 25 centavos, temos que
.
Para que x seja um valor inteiro positivo basta que y seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo,
temos 19 maneiras diferentes.
Gabarito: e
Questão 21. Observe que:
Qual o menor valor possível da soma
a)
b)
c)
d)
e)
com
inteiros positivos tais que
289
250
425
795
103
Resolução
Temos que
Temos, então, quatro possibilidades
y  x  1
y  x  5
 y  x  17



2
2
2
2
 y  x  5 .17 ,  y  x  5.17 ,  y  x  5 .17,
Resolvendo os sistemas temos:
3612
3613
720
725
O menor valor da soma x  y é 289.
Gabarito: a
204
221
132
157
Teste 1ª Unidade 8º ano
x
y
2

y  x  5

2

 y  x  17 .
MATEMÁTICA
10
Questão 22. Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar
cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes
do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma
forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter
o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?
a)
b)
c)
d)
e)
16
25
30
60
120
Resolução
Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes
para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso
4  3  2 1
pode ser feito de
 6 maneiras de modo que não haja dois cartões pintados da mesma for4
ma.
Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois ao serem giradas, obtém-se a
mesma.
Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conseguirá produzir
5  6  30 cartões diferentes.
Se considerarmos que a diagonal com quadradinhos pretos é distinta da outra, então só precisamos
dividir por 2. Logo Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.
Gabarito: c ou d ambas devem ser consideradas como resposta correta.
Questão 23. Tenho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado
em 333 = 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face vermelha e
outra azul?
a) 6
b) 12
c) 14
d) 16
e) depende de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis.
Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacentes são todas azuis, então estas faces conterão um
total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto
destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, exatamente 19 – 7 = 12 cubinhos têm pelo menos
uma face de cada cor.
Teste 1ª Unidade 8º ano
Resolução
MATEMÁTICA
11
Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas faces
opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Neste caso, supondo
que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3
cubos dos centros das faces azuis e os 2 cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mesmo ocorre para as faces vermelhas e há 26 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou
azul), neste caso há 26  5  5 = 16 cubos com pelo menos uma face de cada cor.
Gabarito: e
Questão 24. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio "Compre um e leve outro
pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual é
a) "Leve dois e pague um”
b) "Leve três e pague um”
c) "Leve três e pague dois”
d) "Leve quatro e pague três”
e) "Leve cinco e pague quatro”
Resolução
Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo preço de 1,5 unidade, logo quem levar 4 unidades
paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro e paga três.
Gabarito: d
Questão 25.
Seis retângulos idênticos são reunidos para formar um
retângulo maior conforme indicado na figura. Qual é a área deste retângulo
maior?
a) 210 cm2
b) 280 cm2
c) 430 cm2
d) 504 cm2
e) 588 cm2
21 cm
A partir da figura, vemos que o comprimento a dos retângulos menores é o dobro da sua largura b.
Temos então que a  b  b  2b  3b  21 , ou seja, b  7 cm e a  14 cm .
Portanto, o comprimento do retângulo maior é 4b  28 e a sua área é 21 28  588 cm2 .
Teste 1ª Unidade 8º ano
Resolução
MATEMÁTICA
12
Gabarito: e
Questão 26. Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são
necessários para que a última balança fique em equilíbrio?
?
a)
b)
c)
d)
e)
7
8
9
10
12
Resolução
Na primeira balança temos 3 triângulos + 1 círculo = 6 quadrados.
Na segunda, vemos 2 triângulos + 4 círculos = 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo + 2 círculos = 4 quadrados.
Logo, 4 triângulos + 3 círculos = (3 triângulos + 1 círculo) + (1 triângulo + 2 círculos) = 6 quadrados
+ 4 quadrados = 10 quadrados.
Gabarito: d
Questão 27. Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação
x  12 y  x  12 y  1
.
Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Resolução
e x é inteiro positivo,
Teste 1ª Unidade 8º ano
Como
MATEMÁTICA
13
A única alternativa que contém um número da forma 4x – 1 é a alternativa C.
Gabarito: c
Questão 28. O desenho ao lado mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado nas bordas
para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos. Qual será o volume
da caixa em cm3?
a)
b)
c)
d)
e)
20 cm
40 cm
15 cm
1 500
3 000
4 500
6 000
12 000
Resolução
A caixa terá dimensões 20 cm  15 cm  10 cm. Logo, seu volume será igual a 20  15  10 = 3000 cm2.
20 cm
40 cm
10 cm
15 cm
Gabarito: b
Questão 29. Sendo
e
adição, é verdade que
multiplicação
se,
ou
a=b=c
A igualdade nunca ocorre
a + b + c = 1 ou a = 0
a=b=c=0
Teste 1ª Unidade 8º ano
a)
b)
c)
d)
e)
números reais, pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à
A distributiva da adição em relação à
não é sempre verdadeira, mas ocorre se, e somente
MATEMÁTICA
14
Resolução
Temos
Tomando a = 1 e b = c = 0 vemos que as demais alternativas estão incorretas.
Gabarito: d
Questão 30. Dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, escolha alguns e coloque-os nos círculos
brancos de tal forma que a soma dos números em dois círculos vizinhos seja sempre um quadrado perfeito. Atenção: o 2 já foi colocado em um dos círculos e não é permitido colocar números repetidos;
além disso, círculos separados pelo retângulo preto não são vizinhos.
2
A soma dos números colocados em todos os círculos brancos é:
a) 36
b) 46
c) 47
d) 49
e) 55
Resolução
Nas condições dadas, a distribuição dos números pelos círculos é a representada a seguir. A soma dos
números escritos é 46.
Teste 1ª Unidade 8º ano
Gabarito: b