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Geometria Plana
Os conceitos primitivos da Geometria Euclidiana são:
1. Reta
2. Ponto
3. Plano
Reta é a figura geométrica constituída por uma linha que estabelece a menor distância entre duas
posições.
Características:


a reta só possui uma dimensão, comprimento.
a reta é ilimitada, não possui início e fim
Ponto é a figura geométrica formada pelo encontro de duas retas.
Característica:

o ponto não possui dimensões
Plano é a figura geométrica definida por duas retas concorrentes.
Características:


o plano possui duas dimensões.
o plano é ilimitado
Conceitos derivados dos primitivos:
1. Semi-reta
2. Segmento de reta
3. Semi-plano
Semi-reta é a parte da reta limitada por um ponto.
Segmento de reta é a parte da reta limitada por dois pontos.
Semi-plano é a parte do plano limitada por uma reta.
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano
Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Retas paralelas, concorrentes e coincidentes
Uma reta é uma linha direita, sem princípio nem fim, formada por um número infinito de pontos todos alinhados. Se
traçarmos duas retas (ou representações dessas retas), temos três hipóteses: ou nunca se tocam, ou cruzam-se uma
vez, ou coincidem em todos os pontos.
Retas paralelas
Duas retas paralelas são duas retas que nunca se cruzam.
Retas concorrentes
Duas retas dizem-se concorrentes quando se cruzam num ponto. Dessa forma podemos ter
retas oblíquas ou perpendiculares, consoante a amplitude dos graus formados. Se os ângulos formados forem retos
(90º), então essas retas dizem-se perpendiculares. Se os ângulos formados não forem retos, então essas retas dizemse oblíquas.
Retas coincidentes
Duas retas dizem-se coincidentes se coincidirem em todos os pontos.
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um
deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma
extremidade do outro.
AB e BC
são consecutivos
MN e NP
são consecutivos
EF e GH
não são consecutivos
Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
AB e CD
são colineares
MN e NP
são colineares
EF e FG
não são colineares
Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:
Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são
consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e
não são colineares
Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e
CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde
"~" é o símbolo de congruência.
Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem
em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são
adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos
pontos em comum.
Propriedades das retas transversais
Se duas retas paralelas (em cor preta) são cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os ângulos
correspondentes são congruentes, isto é, têm as mesmas medidas.
Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.
Na figura ao lado, o ângulo 3 também é congruente aos ângulos 1 e 2.
Quando duas retas r e s são paralelas e uma reta transversal t é perpendicular a uma das paralelas, então ela
também será perpendicular à outra.
Ângulos de lados paralelos: são ângulos cujos lados são paralelos, sendo que tais ângulos podem ser congruentes ou
suplementares.
Alguns exercícios resolvidos
Em todos os exercícios abaixo, você deve obter as medidas dos ângulos, levando em consideração cada figura
anexada.
1. Calcular a medida do ângulo x.
Solução: x/2=40graus, pois são ângulos agudos de lados perpendiculares x=80º.
2. Calcular a medida do ângulo x.
Solução: 2x+40º=180º (ângulos de lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), logo x=70º.
3. Calcular as medidas dos ângulos x e y.
Solução: Como x+2x/3=180º (ângulos colaterais externos), então 3x+2x=540º, logo x=108º. Mas, y=2x/3
(ângulos opostos pelos vértices) e temos que y=72º
4. Calcular as medidas dos ângulo a, b e c.
Solução: Como b+120º=180º (ângulos com lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), então
b=60º, mas a=c (ângulos agudos com lados perpendiculares) e a+b+90º=180º(soma dos ângulos de um
triângulo). Assim: a=30º e c=30º.
5. Calcular as medidas dos ângulos a e b, se as retas r, s e t são paralelas.
Solução: Como a=35º (r||s e os ângulos correspondentes), segue que b-a=70º (s||t e os ângulos
correspondentes). Assim b=105º.
6. Se as retas r e t são paralelas, determinar as medidas dos ângulos a e b.
Solução: a+125º=180º (ângulos com lados paralelos um agudo e outro obtuso) e b+60º=125º (ângulos
agudos com lados paralelos). Logo a=55º e b=65º.
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Ângulos
O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma
convexa e outra não-convexa.
Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:
Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semiretas.
O ângulo convexo, de vértice O e lados
, é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.
Ângulos
Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

As semi-retas
coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

As semi-retas
não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.
Podemos, então, estabelecer que:
Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.
MEDIDA DE UM ÂNGULO
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada
um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).
Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º.
Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.
O grau compreende os submúltiplos:

O minuto corresponde a
do grau. Indica-se um minuto por 1'.
1º=60'

O segundo corresponde a
do minuto. Indica-se um segundo por 1''.
1'=60''
Logo, podemos concluir que:
1º = 60'.60 = 3.600''
Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.
Ângulos
Como medir um ângulo, utilizando o transferidor
Observe a seqüência

O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.

A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo

Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta
.
.
Leitura de um ângulo
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:
15º
(lê-se "15 graus'')
45º50'
(lê-se ''45 graus e 50 minutos'')
30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')
Observações
Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado
na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação.
A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúsculaou de um número.
Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.
O ângulo de uma volta mede 360º.
Questões envolvendo medidas de ângulos
Observe a resolução das questões abaixo:

Determine a medida do ângulo AÔB na figura:
Solução
Medida de AÔB = x
Medida de BÔC = 105º
Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:
m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
x + 105º = 180º
x = 180º - 105º
x = 75º
Logo, a medida de AÔB é 75º.

Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:
Solução
Verificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos, um ângulo de uma volta, que mede 360º.
Assim:
x + 50º = 360º
x = 360º - 50º
x = 310º
Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.
Ângulos
Como construir um ângulo utilizando o transferidor
Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

Traçamos uma semi-reta


Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A).
Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.
.
 Traçamos a semi-reta
, obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.
Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.
Eles podem ser desenhados com esquadro.
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.
Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:
 Transforme 30º em minutos.
Solução
Sendo 1º = 60', temos:
30º = 30 . 60'= 1.800
'Logo, 30º = 1.800
 Transforme 5º35' em minutos.
Solução
5º = 5 . 60' = 300'
300' + 35'= 335'
Logo, 5º35'= 335'.
 transforme 8º em segundos.
Solução
Sendo 1º = 60', temos:
8º = 8 . 60'= 480
'Sendo 1'= 60'', temos:
480'= 480 . 60'' = 28.800''
Logo, 8º = 28.800''.
 Transforme 3º35' em segundos.
Solução
3º = 3 . 60'= 180'
180' + 35' = 215'
215' . 60'' = 12.900''
Logo, 3º35'= 12.900''
 Transforme 2º20'40'' em segundos.
Solução
2º = 2 . 60' = 120'
120' + 20' = 140'
140'. 60''= 8.400''
8.400'' + 40'' = 8.440''
Logo, 2º20'40'' = 8.440''
Ângulos
ÂNGULOS CONGRUENTES
Observe os ângulos abaixo:
Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação:
Assim:
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
Ângulos
ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Observe a figura:
Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.
Verifique em cada uma das figuras abaixo que:
Os ângulos AÔC e CÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:
Os ângulos AÔC e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:
Os ângulos CÔB e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:
Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulos consecutivos.
Assim:
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.
Ângulos
ÂNGULOS ADJACENTES
Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:
Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns
Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns
Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns
Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos
adjacentes.
Assim:
Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Observação:
Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:
V
Ângulos
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
Observe a figura abaixo:
m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º
Verifique que a semi-reta
divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes.
Nesse caso, a semi-reta
é denominada bissetriz do ângulo AÔB.
Assim:
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo
Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.

Centramos o compasso em O e com uma abertura
determinamos os pontos C e D sobre as semiretas
, respectivamente.

Centramos o compasso em C e D e com uma abertura
superior à metade da distância de C a D traçamos arcos que
se cruzam em E.

Traçamos
, determinando assim a bissetriz de AÔB.
Ângulos
ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO
Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.
 Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:

Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:

Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:
RETAS PERPENDICULARES
As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.
Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:
Observação
Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos. Exemplo:
Ângulos
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:
Verifique que:
m (AÔB) + m (BÔC) = 90º
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares.
Assim:
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.
Exemplo:
Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.
Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.
Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.
Medida do ângulo
Complemento
x
Exemplo:
 Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?
Solução
Medida do complemento = 90º - medida do ângulo
Medida do complemento = 90º - 75º
Medida do complemento = 15º
Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.
90º - x
Observação:
Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes
complementares.
Ângulos
ÂNGULOS SUPLEMENTARES
Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:
As semi-retas
Verifique que:
formam um ângulo raso.
m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.
Exemplo:
Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.
Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.
Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.
Medida do ângulo
Suplemento
X
180º - X
Exemplo:

Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?
Solução
Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo
Medida do suplemento = 180º - 55º
Medida do suplemento = 125º
Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.
Observação:
Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de
suplementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos
são adjacentes suplementares.
Ângulos
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:
Verifique que:
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.
Na figura abaixo, vamos indicar:
Sabemos que:
X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
Então:
Logo:
Assim:
y=k
m (AÔB) = m (CÔD)
m (AÔD) = m (CÔB)
Daí a propriedade:
AÔB
AÔD
CÔD
CÔB
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 40º. Qual é o valor de x?
Solução:
x + 60º = 3x - 40º
ângulos o.p.v
x - 3x = - 40º - 60º
-2x
= - 100º
x
= 50º
Logo, o valor de x é 50º.
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Semelhança de Polígonos
Introdução
Observe as figuras:
Figura A
Figura B
Figura C
Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos tem a mesma forma, mas de tamanhos diferentes.
Dizemos que esse mapas são figuras semelhantes.
Nessas figuras podemos identificar:
AB
- distância entre A e B (comprimento do retângulo)
CD
- distância entre C e D (largura do retângulo)
- ângulos agudos formados pelos segmentos
Medindo os segmentos de reta
e
e os ângulos (
) das figuras, podemos organizar a seguinte tabela:
m( m(
ângulo
)
)
Fig. C
3,9
cm
1,3
cm
=
90º
Fig. B
4,5
cm
1,5
cm
=
90º
Fig. A
6,0
cm
2,0
cm
=
90º
Observe que:


Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais;
As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria quando:
 os ângulos correspondentes têm medidas iguais ;
 as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
 os elementos das figuras são comuns.
Outro exemplos de figuras semelhantes:
Têm formas iguais e tamanhos diferentes.
Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo
ponto, formando três lados e três ângulos.
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos
ângulos internos é sempre 180º.
Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos:
♦ A, B e C são os vértices.
♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros):
,
,
segmentos de retas.
♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos:
 , , ? ou A C, B?A, BÂC.
?Tipos de triângulos
♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.
Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.
Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais.
Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°.
♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.
Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.
Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.
Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°.
?Condição de existência de um triângulo
Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:
Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas
dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.
|b-c|<a<b+c
|a-c|<b<a+c
|a-b|<c<a+b
Exemplo:
14 – 8 < 10 < 14 + 10
14 – 10 < 8 < 14 + 10
10 – 8 < 14 < 10 + 8
Os triângulos classificam-se...
Quanto aos lados
3 lados iguais
éo
Triângulo
Equilátero
2 lados
iguais
e1
diferente é
o
Triângulo
Isósceles
3 lados
diferentes
éo
Triângulo
Escaleno
Do latim - triangulu, é um polígono de três lados e três ângulos. Os três ângulos de um triângulo são designados por três letras
maiúsculas A, B e C e os lados opostos a eles, pelas mesmas três letras, minúsculas a, b e c.
ELEMENTOS
1. A mediana (do latim - mediana) de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
2. A ceviana de um triângulo é o segmento de reta com um extremo num vértice e o outro extremo na reta que contém o lado oposto.
3. O incentro de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes do triângulo. É também o centro da circunferência inscrita no
triângulo.
4. O baricentro (do grego - baros "peso", do latim - centrum "centro de gravidade") de um triângulo é também chamado de centro de
gravidade ou centróide. É o ponto de encontro das três medianas de um triângulo. É também o ponto que divide cada mediana do
triângulo em duas partes: um terço a contar do lado e dois terços a contar do vértice.
5. O circuncentro de um triângulo (de circun + centro) é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. O circuncentro
pode ser interno ou externo ao triângulo. É também o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
6. O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das três alturas do triângulo. O ortocentro pode ser interno ou externo ao
triângulo.
CLASSIFICAÇÃO PELOS ÂNGULOS
1. Acutângulo é o triângulo que tem todos os ângulos agudos.
2. Eqüiângulo é o triângulo que possui os seus três ângulos congruentes. Um triângulo eqüiângulo também é um triângulo eqüilátero.
3. Obtusângulo é o triângulo que possui um ângulo obtuso.
4. Retângulo é o triângulo que possui um ângulo reto. Veja a demonstração do teorema de Pitágoras.
CLASSIFICAÇÃO PELOS LADOS
1. Eqüilátero é o triângulo que possui seus três lados congruentes, ou seja, iguais. Um triângulo eqüilátero também é um triângulo
eqüiângulo
2. Escaleno é o triângulo que não possui os seus tres lados congruentes.
3. Isósceles é o triângulo que possui dois lados e os dois ângulos adjacentes à base congruentes.
TRIÂNGULO INSCRITO EM TRIÃNGULO
Ortico é um triângulo cujos vértices A'B'C' são os pontos resultantes da interseção das alturas de um outro triângulo ABC com
suas respectivas bases (pés das alturas). Portanto ele se encontra inscrito dentro de um outro triângulo.
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Quadrilátero
Definição:
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são
chamados opostos.
Quadrilátero ABCD
Elementos
Na figura abaixo, temos:
Vértices: A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:
Ângulos internos ou ângulos do
quadrilátero ABCD:
.
Quadrilátero ABCD
Observações
1.
Todo quadrilátero tem duas diagonais.
2.
O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.
Côncavos e Convexos
Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.
Quadrilátero convexo
Quadrilátero côncavo
Quadrilátero
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.
Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.
Do triângulo ABD, temos :
a + b1 + d1 = 180º. 1
Do triângulo BCD, temos:
c + b2 + d2 = 180º.
2
Adicionando 1 com 2 , obtemos:
a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º
a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º
a + b + c + d = 360º
Observações
1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:
Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.
2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.
Se = 360º
Quadriláteros Notáveis
Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Exemplo:
h é a altura do paralelogramo.
O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria.
Destacamos alguns paralelogramos:
Observações
1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:
Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.
2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.
Retângulo
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).
Exemplo:
Losango
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.
Exemplo:
Quadrado
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.
Exemplo:
É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.
Trapézio
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.
Exemplo:
Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.
Destacamos alguns trapézios:
Trapézio retângulo
É aquele que apresenta dois ângulos retos.
Exemplo:
Trapézio isósceles
É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.
Exemplo:
Trapézio escaleno
É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.
Exemplo:
Propriedades dos Paralelogramos
1ª Propriedade
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
H: ABCD é paralelogramo.
T:
Demonstração
Afirmativa
Justificativa
1.
Segmentos de paralelas entre paralelas.
2.
Segmentos de paralelas entre paralelas.
2ª Propriedade
Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.
H: ABCD é paralelogramo.
T:
Demonstração
Afirmativa
Justificativa
1.
Hipótese.
2.
Hipótese.
3.
Lado comum.
4.
Caso L.L.L.
3ª Propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.
H: ABCD é paralelogramo
T:
Demonstração
Afirmativa
Justificativa
1.
é diagonal (2ª propriedade)
Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
2.
3.
Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
4.
5.
Classificação dos polígonos
Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los. Se usarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguinte nomenclatura:
NÚMERO DE LADOS
(OU ÂNGULOS)
NOME DO POLÍGONO
EM FUNÇÃO DO
NÚMERO DE ÂNGULOS
EM FUNÇÃO DO
NÚMERO DE LADOS
3
triângulo
trilátero
4
quadrângulo
quadrilátero
5
pentágono
pentalátero
6
hexágono
hexalátero
7
heptágono
heptalátero
8
octógono
octolátero
9
eneágono
enealátero
10
decágono
decalátero
11
undecágono
undecalátero
12
dodecágono
dodecalátero
15
pentadecágono
pentadecalátero
20
icoságono
icosalátero
Área das figuras planas
Quadrado
Retângulo
Triângulo
Paralelogramo
Losango
Trapézio
Triângulo equilátero
Medidas de superfície
Introdução
As medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:
Qual a área desta sala?
Qual a área desse apartamento?
Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina?
Qual a área dessa quadra de futebol de salão?
Qual a área pintada dessa parede?





Superfície e área
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2 ) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos
quilômetros quadrado
hectômetro quadrado
2
Unidade Fundamental
decâmetro quadrado
2
km
hm
1.000.000m2
10.000m2
metro quadrado
2
Submúltiplos
decímetro quadrado
2
centímetro quadrado
2
milímetro quadrado
2
dam
m
dm
cm
mm2
100m2
1m2
0,01m2
0,0001m2
0,000001m2
O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.
Exemplos:
1) Leia a seguinte medida: 12,56m2
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
12,
56
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2
km2
hm2
dam2
m2
dm2
1
78,
30
dam2
m2
dm2
0,
91
70
cm2
mm2
cm2
mm2
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km2
hm2
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária
Equivalência
de valor
hectare (ha)
are (a)
centiare (ca)
100a
1a
0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
Transformação de unidades
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície
é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:
Observe as seguintes transformações:
 transformar 2,36 m2 em mm2.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

transformar 580,2 dam2 em km2.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).
580,2 : 10.000 = 0,05802 km2
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2)
2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2)
3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2)
4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)
Transformação de unidades
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície
é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:
Observe as seguintes transformações:
 transformar 2,36 m2 em mm2.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

transformar 580,2 dam2 em km2.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).
580,2 : 10.000 = 0,05802 km2
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2)
2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2)
3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2)
4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar quecada unidade de volume é 1.000
vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
 transformar 2,45 m3 para dm3.
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
2,45 x 1.000 = 2.450 dm3
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3)
2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3)
3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3)
4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3
(R: 3,88 m3)
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar quecada unidade de volume é 1.000
vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
 transformar 2,45 m3 para dm3.
km3
hm3
3
dam3
3
m3
dm3
Para transformar m em dm (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
2,45 x 1.000 = 2.450 dm3
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3)
cm3
mm3
2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3)
3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3)
4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3
(R: 3,88 m3)
Medidas de capacidade
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.
A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
1l = 1dm3
Múltiplos e submúltiplos do litro
Múltiplos
Unidade Fundamental
Submúltiplos
quilolitro
hectolitro
decalitro
litro
decilitro
centilitro
mililitro
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
1000l
100l
10l
1l
0,1l
0,01l
0,001l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Relações
1l = 1dm3
1ml = 1cm3
1kl = 1m3
Leitura das medidas de capacidade

Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal
kl
hl
dal
l
dl
cl
2,
4
7
8
ml
Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é
10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
 transformar 3,19 l para ml.
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10).
3,19 x 1.000 = 3.190 ml
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl)
2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l)
3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l)
4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l)
Medidas de massa
Introdução
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em
que o corpo se encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino.
Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".
Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática ograma como unidade principal de massa.
Múltiplos e Submúltiplos do grama
Unidade
Submúltiplos
principal
quilograma
hectograma
decagrama
grama
decigrama
centigrama
kg
hg
dag
g
dg
cg
1.000g
100g
10g
1g
0,1g
0,01g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
Múltiplos
Medidas de massa
Relações Importantes
Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.
Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:
1 kg <=> 1dm3 <=> 1L
São válidas também as relações:
1m3 <=> 1 Kl <=> 1t
1cm3 <=> 1ml <=> 1g
Observação:
Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais:
1 arroba = 15 kg
1 tonelada (t) = 1.000 kg
1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg
Leitura das Medidas de Massa
A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:
 Leia a seguinte medida: 83,732 hg
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
8
3,
7
3
1
Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".
 Leia a medida: 0,043g
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
0,
0
4
3
Lê-se " 43 miligramas".
Medidas de massa
Transformação de Unidades
Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe as Seguintes transformações:
 Transforme 4,627 kg em dag.
kg
hg
dag
g
dg
cg
Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100
4,627 x 100 = 462,7
Ou seja:
4,627 kg = 462,7 dag
mg
(10 x 10).
miligrama
mg
0,001g
Observação:
Peso bruto: peso do produto com a embalagem.
Peso líquido: peso somente do produto.
Medidas de tempo
Introdução
É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol?
Qual o tempo dessa viagem?
Qual a duração desse curso?
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um
dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
do dia solar médio.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
minutos
min
60 s
São submúltiplos do segundo:
hora
h
60 min = 3.600 s
dia
d
24 h = 1.440 min = 86.400s
 décimo de segundo
 centésimo de segundo
 milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
Medidas de tempo
Outras importantes unidades de medida:
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
semana = 7 dias
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
Medidas de Comprimento
Sistema Métrico Decimal
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão.
Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas
diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a
adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
Metro
A palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a
décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi
adotado oficialmente em 1928.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são
formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
Unidade
Múltiplos
Submúltiplos
Fundamental
quilômetro
hectômetro
decâmetro
metro
decímetro
centímetro
milímetro
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1.000m
100m
10m
1m
0,1m
0,01m
0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para
medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m
angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de
língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
Pé
= 30,48 cm
Polegada
= 2,54 cm
Jarda
= 91,44 cm
Milha terrestre
= 1.609 m
Milha marítima
= 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
Medidas de Comprimento
Leitura das Medidas de Comprimento
A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte
medida: 15,048 m.
Seqüência prática
1º) Escrever o quadro de unidades:
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
2º)
Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1
5,
0
4
8
3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da
unidade de medida do último algarismo da mesma.
15 metros e 48 milímetros
Outros exemplos:
6,07 km
lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"
82,107 dam
lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".
0,003 m
lê-se "três milímetros".
Transformação de Unidades
Observe as seguintes transformações:

Transforme 16,584hm em m.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
16,584 x 100 = 1.658,4
Ou seja:
16,584hm = 1.658,4m
Medidas de Comprimento
Perímetro de um Polígono
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.
Perímetro do retângulo
b - base ou comprimento
h - altura ou largura
Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)
Perímetro dos polígonos regulares
Triângulo equilátero
P = l+ l + l
P=3·l
Quadrado
P = l + l + l+ l
P=4·l
Pentágono
P=l+l+l+l+l
P=5·
l - medida do lado do polígono regular
P - perímetro do polígono regular
Para um polígono de n lados, temos:
Hexágono
P=l+l+l+l+l+l
P=6·l
P=n·l
Comprimento da Circunferência
Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se:
Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?
Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante.
Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.
Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu
diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental.
Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:
Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos
sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.
Assim:
O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega
perímetro. Costuma-se considera
= 3,14.
(lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega
Logo:
Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência.
Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda obtido
experimentalmente.
C=2 r
C = 2 3,14 · 20 ·
C = 125,6 cm
Exercícios de Quadriláteros
Determine a medida dos ângulos indicados:
a)
b)
c)
d) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: x + 17° ; x + 37° ; x + 45° e x + 13°.
Determine as medidas desses ângulos.
e) No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.
f) A figura abaixo é um losango. Determine o valor de x e y, a medida da diagonal
diagonal
e o perímetro do triângulo BMC.
g) No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:
, da
h) Determine as medidas dos quatro ângulos do trapézio da figura abaixo:
i) A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos
desse trapézio. Determine a medida de a, b, c.
j) Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da base
média de um trapézio e que x - y = 5 cm, determine as medidas dex e y.
Quadrilátero
Definição:
Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são
chamados opostos.
Quadrilátero ABCD
Elementos
Na figura abaixo, temos:
Vértices: A, B, C, e D.
Lados:
Diagonais:
Ângulos internos ou ângulos do
quadrilátero ABCD:
.
Quadrilátero ABCD
Observações
1. Todo quadrilátero tem duas diagonais.
2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.
Côncavos e Convexos
Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois
outros vértices.
Quadrilátero convexo
Quadrilátero côncavo
Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo
A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.
Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.
Do triângulo ABD, temos :
a + b1 + d1 = 180º.
1
Do triângulo BCD, temos:
c + b2 + d2 = 180º.
2
Adicionando 1 com 2 , obtemos:
a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º
a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º
a + b + c + d = 360º
Observações
1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:
Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.
2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.
Se = 360º
Quadriláteros Notáveis
Paralelogramo
Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Exemplo:
h é a altura do paralelogramo.
O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado centro de simetria.
Retângulo
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).
Exemplo:
Losango
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.
Exemplo:
Quadrado
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são
congruentes.
Exemplo:
É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.
Trapézio
É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.
Exemplo:
Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.
Destacamos alguns trapézios:
Trapézio retângulo
É aquele que apresenta dois ângulos retos.
Exemplo:
Trapézio isósceles
É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.
Exemplo:
Trapézio escaleno
É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.
Exemplo:
Propriedades dos Paralelogramos
1ª Propriedade
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
H: ABCD é paralelogramo.
T:
Demonstração
Afirmativa
Justificativa
1.
Segmentos de paralelas entre paralelas.
2.
Segmentos de paralelas entre paralelas.
2ª Propriedade
Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.
H: ABCD é paralelogramo.
T:
Demonstração
Afirmativa
Justificativa
1.
Hipótese.
2.
Hipótese.
3.
Lado comum.
4.
Caso L.L.L.
3ª Propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.
H: ABCD é paralelogramo
T:
Demonstração
Afirmativa
Justificativa
1.
é diagonal (2ª propriedade)
2.
Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
3.
Ângulos correspondentes em triângulos congruentes.
4.
5.
4ª Propriedade
As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.
H: ABCD é paralelogramo.
T:
Demonstração
Afirmativa
Justificativa
1.
Ângulos alternos internos.
2.
Lados opostos (1ª propriedade).
3.
Ângulos alternos internos.
4.
Caso A.L.A..
5.
Lados correspondentes em triângulos congruentes.
Resumindo:
Num paralelogramo:




os lados opostos são congruentes;
cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
os ângulos opostos são congruentes;
as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.
Propriedade característica do retângulo.
As diagonais de um retângulo são congruentes.
T: ABCD é retângulo.
H:
.