Mecânica Técnica
Aula 4 – Adição e Subtração de
Vetores Cartesianos
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Tópicos Abordados Nesta Aula
Operações com Vetores Cartesianos.
Vetor Unitário.
Ângulos Diretores Coordenados.
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Componentes retangulares de um vetor
Um vetor A pode ter um, dois ou três
componentes ao longo dos eixos de
coordenadas x, y e z.
A quantidade de componentes
depende de como o vetor está
orientado em relação a esses eixos.
Sistema de coordenadas utilizando a
regra da mão direita.
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Vetor Unitário
A direção de A é especificada usando-se
um vetor unitário, que possui esse nome
por ter intensidade igual a 1.
Em três dimensões,
r r r o conjunto de
vetores unitários i , j , k é usado para
designar as direções dos eixos x, y e z
respectivamente.
Para um vetor A:
r
r
A
uA =
A
Para um vetor Força:
r
r
F
uF =
F
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Representação de um Vetor Cartesiano
Um vetor cartesiano é escrito
sob
a
forma
de
suas
componentes retangulares.
As componentes representam a
projeção do vetor em relação
aos eixos de referência.
Quando se escreve um vetor na
forma
cartesiana
suas
componentes ficam separadas
em cada um dos eixos e facilita
a solução da álgebra vetorial.
Vetor cartesiano:
r
r
r
r
A = Ax i + Ay j + Az k
Módulo do vetor cartesiano:
2
2
A = Ax + Ay + Az
2
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Ângulos Diretores Coordenados
A orientação de um vetor no espaço é definida pelos ângulos
diretores coordenados α, β, e γ medidos entre a origem do vetor e os
eixos positivos x, y e z.
r
A
cos α = x
A
cos β =
r
Ay
A
r
A
cos γ = z
A
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Determinação dos Ângulos
Diretores Coordenados
r
r
A Ax r Ay r Az r
i+
uA = =
j+ k
A A
A
A
r
r
r
r
u A = cos α i + cos β j + cos γ k
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
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Sistemas de Forças Concorrentes
Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de várias
forças concorrentes, a força resultante será a soma de todas as
forças do sistema e pode ser escrita da seguinte forma:
r
r
r
r
r
FR = ∑ F = ∑ Fx i + ∑ Fy j + ∑ Fz k
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Exercício 1
1) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da
força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura.
N
N
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Solução do Exercício 1
Vetor força resultante:
r
r r r
FR = ∑ F = F1 + F2
N
r
r
r
r
r
r
FR = (50i − 100 j + 100k ) + (60 j + 80k )
r
r
r
r
FR = (50i − 40 j + 180k ) N
Módulo da força resultante:
FR = 50 2 + 40 2 + 180 2
FR = 191N
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Solução do Exercício 1
Vetor unitário da força resultante:
r
u FR
r
FR FRx r FRy r FRz r
=
=
i+
j+
k
FR FR
FR
FR
r
50 r 40 r 180 r
u FR =
i−
j+
k
191 191
191
cos β =
r
FRy
FR
cos β = −0,209
β = 102°
β = arccos(−0,209)
r
r
r
r
u FR = 0,261i − 0,209 j + 0,942k
Ângulos diretores:
r
F
cos α = 0,261
cos α = Rx
FR
α = arccos(0,261)
r
F
cos γ = Rz
FR
cos γ = 0,942
α = 74,8°
γ = arccos(0,942)
γ = 19,6°
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Exercício 2
2) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique
os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força
resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de
800N.
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Solução do Exercício 2
Força Resultante:
r
r
FR = 800 j N
Determinação de F1:
Determinação de F2:
r
r r
FR = F1 + F2
r r
r
r
r
800 j = 212,2i + 150 j − 150k + F2
r
r
r
r
r
F2 = 800 j − 212,2i − 150 j + 150 k
r
r
r
r
F2 = −212,2i + 650 j + 150k N
r
r
r
r
F1 = F1 ⋅ cos α 1i + F1 ⋅ cos β1 j + F1 ⋅ cos γ 1k
r
r
r
r
F1 = 300 ⋅ cos 45°i + 300 ⋅ cos 60° j + 300 ⋅ cos 120°k
r
r
r
r
F1 = 212,2i + 150 j − 150k N
Módulo de F2:
F2 = 212,2 2 + 650 2 + 150 2
F2 = 700 N
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Solução do Exercício 2
Ângulos Diretores de F2:
 F2 x
 F2
α 2 = arccos



 − 212,2 

 700 
α 2 = arccos
 F2 z
 F2
γ 2 = arccos



 150 

700


γ 2 = arccos
γ 2 = 77,6°
α 2 = 108°
 F2 y
 F2
β 2 = arccos



 650 

 700 
β 2 = arccos
β 2 = 21,8°
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Exercícios Propostos
1) Expresse a força F como um vetor cartesiano.
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Exercícios Propostos
2) A peça montada no torno está sujeita a uma força de 60N.
Determine o ângulo de direção β e expresse a força como um vetor
cartesiano.
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Exercícios Propostos
3) O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os
ângulos diretores α1, β1, e γ1 de F1, de modo que a força resultante
r
r
que atua sobre o mastro seja FR = (350i ) N
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Exercícios Propostos
4) Os cabos presos ao olhal estão submetidos as três forças
mostradas. Expresse cada força na forma vetorial cartesiana e
determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força
resultante.
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Exercícios Propostos
5) O suporte está sujeito as duas forças mostradas. Expresse cada
força como um vetor cartesiano e depois determine a força resultante,
a intensidade e os ângulos coordenados diretores dessa força.
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Vetores Posição.
Vetor Força Orientado ao Longo de uma
Reta.
Produto Escalar Aplicado na Mecânica.
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