Generalizações do Teorema: “A soma dos ângulos internos de um triângulo é π” Ryuichi Fukuoka Universidade Estadual de Maringá Departamento de Matemática São José do Rio Preto 26 de fevereiro de 2007 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 1 / 33 A soma dos ângulos externos de um polı́gono simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 2 / 33 A soma dos ângulos externos de um polı́gono simples Como é de conhecimento de todos, sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 2 / 33 A soma dos ângulos externos de um polı́gono simples Como é de conhecimento de todos, sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é π. Antes de mais nada, mostraremos que o enunciado mais natural desse teorema diz que a soma dos ângulos externos de um triângulo é 2π. Mais que isso, mostraremos que a soma dos ângulos externos de um polı́gono simples é 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 2 / 33 Polı́gonos simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 3 / 33 Polı́gonos simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 3 / 33 Ângulos externos de um polı́gono simples no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 4 / 33 Ângulos externos de um polı́gono simples no plano Cem e c..e QyV( Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 4 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 5 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Uma curva diferenciável (classe C ∞ ) α : [a, b] → R2 é dita regular se α0 (t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b]. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 5 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Uma curva diferenciável (classe C ∞ ) α : [a, b] → R2 é dita regular se α0 (t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b]. Seja α : [0, 1] → R2 uma curva regular, simples e fechada no plano tal que α(n) (a) = α(n) (b) para todo n ∈ N. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 5 / 33 Exemplo de uma curva regular, simples e fechada Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 6 / 33 Exemplo de uma curva regular, simples e fechada Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 6 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 7 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Estamos interessados em calcular a variação angular do vetor tangente ao longo de α. Em outras palavras, queremos saber qual é a variação angular de α0 (t) a medida que t varia de 0 à 1. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 7 / 33 Variação angular do vetor tangente ao longo de uma curva regular, simples e fechada Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 8 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 9 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Pode se ver claramente que a variação angular do vetor tangente é um múltiplo de 2π ao percorrermos a curva no sentido anti-horário. Mostraremos que a variação angular é exatamente 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 9 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 10 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Teorema Seja α : [0, 1] → R2 uma curva regular simples e fechada. Seja γ : [0, 1] → R2 a parametrização da circunferência unitária dada por γ(t) = (cos 2πt, sen 2πt). Então podemos deformar α à curva γ através de curvas simples, fechadas e regulares. Mas precisamente, existe uma aplicação H : [0, 1] × [0, 1] → R2 de classe C ∞ tal que α = H(·, 0), γ = H(·, 1) e H(·, s) são curvas simples, regulares e fechadas. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 10 / 33 “Demonstração” do teorema: Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 11 / 33 “Demonstração” do teorema: Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 11 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 12 / 33 Percorrendo uma curva regular, simples e fechada no plano Corolário Seja α : [0, 1] → R2 uma curva simples, fechada e regular. Então a variação angular de α0 ao longo do intervalo [0, 1] é 2π. Teorema A soma dos ângulos externos de um polı́gono simples é 2π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 12 / 33 “Demonstração” Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 13 / 33 “Demonstração” Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 13 / 33 A soma dos ângulos internos de um polı́gono simples Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 14 / 33 A soma dos ângulos internos de um polı́gono simples Teorema A soma dos ângulos internos de um polı́gono simples de n vértices é (n − 2)π. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 14 / 33 A soma dos ângulos internos de um polı́gono simples Teorema A soma dos ângulos internos de um polı́gono simples de n vértices é (n − 2)π. Demonstração. Note que dado um vértice, a soma do ângulo externo e do ângulo interno relativo a esse vértice é π ( Figura ). Portanto temos que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos de um polı́gono simples é nπ. Levando em conta que a soma dos ângulos externos é 2π, segue-se o resultado. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 14 / 33 A soma dos ângulos internos de um polı́gono simples Teorema A soma dos ângulos internos de um polı́gono simples de n vértices é (n − 2)π. Demonstração. Note que dado um vértice, a soma do ângulo externo e do ângulo interno relativo a esse vértice é π ( Figura ). Portanto temos que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos de um polı́gono simples é nπ. Levando em conta que a soma dos ângulos externos é 2π, segue-se o resultado. Observação Observe que o enunciado do teorema em termos de ângulos externos é bem mais natural do que o enunciado em termos de ângulos internos. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 14 / 33 Generalizações para curvas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 15 / 33 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] → R2 : - Curva regular, simples e fechada; - α(n) (0) = α(n) (1) para todo n ∈ N. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 15 / 33 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] → R2 : - Curva regular, simples e fechada; - α(n) (0) = α(n) (1) para todo n ∈ N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono fechado para o caso C ∞ . Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 15 / 33 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] → R2 : - Curva regular, simples e fechada; - α(n) (0) = α(n) (1) para todo n ∈ N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono fechado para o caso C ∞ . Considere α̃ : [0, `] → R2 uma parametrização por comprimento de arco de α. Por simplicidade, a chamaremos de α também. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 15 / 33 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] → R2 : - Curva regular, simples e fechada; - α(n) (0) = α(n) (1) para todo n ∈ N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono fechado para o caso C ∞ . Considere α̃ : [0, `] → R2 uma parametrização por comprimento de arco de α. Por simplicidade, a chamaremos de α também. N : [0, `] → R2 : Campo normal interior de α. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 15 / 33 Generalizações para curvas suaves α : [0, 1] → R2 : - Curva regular, simples e fechada; - α(n) (0) = α(n) (1) para todo n ∈ N. Queremos generalizar o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono fechado para o caso C ∞ . Considere α̃ : [0, `] → R2 uma parametrização por comprimento de arco de α. Por simplicidade, a chamaremos de α também. N : [0, `] → R2 : Campo normal interior de α. Defina θ : [0, `] → R como o “ângulo que o vetor tangente faz com o vetor (1, 0)”. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 15 / 33 Generalizações para curvas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 16 / 33 Generalizações para curvas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 16 / 33 Generalizações para curvas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 17 / 33 Generalizações para curvas suaves Pode se mostrar que θ0 (t) = α00 (t) · N(t). Note que a função k := θ0 é a função curvatura de α. Levando se em conta que θ(`) − θ(0) = 2π e R` θ(`) − θ(0) = 0 k(t)dt, temos a seguinte generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono simples para curvas suaves. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 17 / 33 Generalizações para curvas suaves Pode se mostrar que θ0 (t) = α00 (t) · N(t). Note que a função k := θ0 é a função curvatura de α. Levando se em conta que θ(`) − θ(0) = 2π e R` θ(`) − θ(0) = 0 k(t)dt, temos a seguinte generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono simples para curvas suaves. Teorema Seja α : [0, `] → R2 uma curva fechada, regular e suave parametrizada por comprimento de arco. Suponha que α0 (`) = α0 (0). Então Z ` k(t)dt = 2π. 0 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 17 / 33 Generalizações para curvas suaves Pode se mostrar que θ0 (t) = α00 (t) · N(t). Note que a função k := θ0 é a função curvatura de α. Levando se em conta que θ(`) − θ(0) = 2π e R` θ(`) − θ(0) = 0 k(t)dt, temos a seguinte generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono simples para curvas suaves. Teorema Seja α : [0, `] → R2 uma curva fechada, regular e suave parametrizada por comprimento de arco. Suponha que α0 (`) = α0 (0). Então Z ` k(t)dt = 2π. 0 Portanto a curvatura pode ser visto como o ângulo externo infinitesimal. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 17 / 33 Generalizações para o caso bidimensional: Poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 18 / 33 Generalizações para o caso bidimensional: Poliedros Poliedros são objetos compostos por faces, arestas e vértices. Consideraremos somente poliedros fechados, ou seja, aqueles tal que toda aresta pertence a exatamente duas faces. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 18 / 33 Generalizações para o caso bidimensional: Poliedros Poliedros são objetos compostos por faces, arestas e vértices. Consideraremos somente poliedros fechados, ou seja, aqueles tal que toda aresta pertence a exatamente duas faces. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 18 / 33 A caracterı́stica de Euler de um poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 19 / 33 A caracterı́stica de Euler de um poliedro Definição A caracterı́stica de Euler χ(P) de um poliedro P com V vértices, A arestas e F faces, é definido por χ(P) = V − A + F . Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 19 / 33 A caracterı́stica de Euler de um poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 20 / 33 A caracterı́stica de Euler de um poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 20 / 33 Triangulações de poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 21 / 33 Triangulações de poliedros Dado um poliedro, podemos transformar suas faces em triângulos. Essa operação geométrica é denominada triangulação. Veja abaixo como se dá a triângulação de uma face qualquer. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 21 / 33 Triangulações de poliedros Dado um poliedro, podemos transformar suas faces em triângulos. Essa operação geométrica é denominada triangulação. Veja abaixo como se dá a triângulação de uma face qualquer. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 21 / 33 Triangulações de poliedros Dado um poliedro, podemos transformar suas faces em triângulos. Essa operação geométrica é denominada triangulação. Veja abaixo como se dá a triângulação de uma face qualquer. Observe que as triangulações não mudam a caracterı́stica de Euler de P. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 21 / 33 A curvatura de um vértice de poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 22 / 33 A curvatura de um vértice de poliedro Definição Seja v um vértice de um poliedro P. Sejam F1 , F2 , . . . , Fk as faces que contém v . Denote o ângulo interno de v em relação a face Fi por θi . A curvatura k(v ) do vértice v é definido por k(v ) = 2π − k X θi . i=1 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 22 / 33 A curvatura de um vértice de poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 23 / 33 A curvatura de um vértice de poliedro Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 23 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 24 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para poliedros Definição Seja P um poliedro e com vértices v1 , . . . , vm (m=V). A curvatura total K do poliedro é definido por K := m X k(vi ). i=1 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 24 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para poliedros Definição Seja P um poliedro e com vértices v1 , . . . , vm (m=V). A curvatura total K do poliedro é definido por K := m X k(vi ). i=1 Teorema Seja P um poliedro com curvatura total K . Então K = 2πχ(M). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 24 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 25 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para poliedros Demonstração Antes de mais nada, tome uma triangulação P̃ de P. Observe que χ(P) = χ(P̃). É claro também que a curvatura dos vértices de P coincidem com a curvatura dos vértices de P̃. Trabalhemos com P̃. Por definição χ(P̃) = V − A + F . Note que cada aresta pertence a duas faces. Por outro lado, cada face tem três vértices. Então 3F é o número de arestas, “contando se as multiplicidades” e 3F = 2A. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 25 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para poliedros Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 26 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para poliedros Além disso, sabemos que a soma dos ângulos internos de todos os triângulos resulta em πF . A curvatura total é dada por K= V X 2π − k(vi ) = 2πV − πF . i=1 Somando 3F e subtraindo 2A da equação acima temos K = 2πV − πF + 3πF − 2πA = 2πχ(P) como querı́amos demonstrar. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 26 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 27 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Superfı́cies compactas suaves (C ∞ ). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 27 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Superfı́cies compactas suaves (C ∞ ). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 27 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 28 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Podemos triangular superfı́cies compactas e suaves, conforme indica a figura abaixo. Deste modo, podemos calcular a caracterı́stica de Euler da superfı́cie. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 28 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Podemos triangular superfı́cies compactas e suaves, conforme indica a figura abaixo. Deste modo, podemos calcular a caracterı́stica de Euler da superfı́cie. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 28 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 29 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Podemos mostrar que a caracterı́stica de Euler não depende da triangulação escolhida. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 29 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Podemos mostrar que a caracterı́stica de Euler não depende da triangulação escolhida. Existe uma versão infinitesimal da curvatura de um vértice de um poliedro para superfı́cies suaves. Ela é chamada de curvatura Gaussiana. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 29 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 30 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 30 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 31 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Teorema Teorema de Gauss-Bonnet Seja M ⊂ R3 uma superfı́cie compacta e suave. Então Z K .dA = 2πχ(M). M Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 31 / 33 Generalização do teorema sobre a soma dos ângulos externos de um polı́gono para superfı́cies compactas suaves Teorema Teorema de Gauss-Bonnet Seja M ⊂ R3 uma superfı́cie compacta e suave. Então Z K .dA = 2πχ(M). M Observação Pode-se generalizar o Teorema de Gauss-Bonnet em diversos sentidos. Mas isso fica para uma outra ocasião. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 31 / 33 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 32 / 33 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Podemos usar curvas suaves para estudar curvas não suaves (Por exemplo, o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poliedro simples)..... Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 32 / 33 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Podemos usar curvas suaves para estudar curvas não suaves (Por exemplo, o teorema sobre a soma dos ângulos externos de um poliedro simples)..... e vice-e-versa (Por exemplo, a generalização deste teorema para o caso de curvas simples, fechadas e regulares). Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 32 / 33 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 33 / 33 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Variedades riemannianas: Generalização de superfı́ces suaves no R3 . Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 33 / 33 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Variedades riemannianas: Generalização de superfı́ces suaves no R3 . Variedades riemannianas não regulares: Generalização de superfı́cies suaves e poliedros. Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 33 / 33 Considerações finais (E um pouco de propaganda) Variedades riemannianas: Generalização de superfı́ces suaves no R3 . Variedades riemannianas não regulares: Generalização de superfı́cies suaves e poliedros. Estamos estudando propriedades de variedades riemannianas não regulares através de aproximações suaves. Ver R. Fukuoka, Mollifier smoothing of tensor fields on differentiable manifolds and applications to Riemannian geometry, 2006 http://arxiv.org/abs/math.DG/0608230 Ryuichi Fukuoka (UEM-DMA) Generalizações do Teorema: “... IBILCE - UNESP 33 / 33
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