Laboratório de Estrutura da Matéria I
Dualidade onda-partícula: difração de elétrons e medida da relação e/m
PRINCÍPIO E OBJETIVOS
A dualidade onda-partícula para o elétron é explorada em duas experiências distintas. Na primeira, feixes de
elétrons são acelerados por um campo elétrico e penetram em uma região onde existe um campo magnético
uniforme perpendicular à direção do seu movimento; a partir do raio de curvatura da trajetória descrita pelos
elétrons é então possível a determinação da relação e/m ou carga específica do elétron. Na segunda
experiência, feixes eletrônicos de alta energia são difratados por um alvo de grafite policristalino, dando
origem a anéis de interferência visualizados em um bulbo recoberto com material fluorescente; os
espaçamentos interplanares característicos da estrutura cristalina do grafite são então obtidos a partir da
aplicação da lei de Bragg, tomando-se as medidas dos diâmetros dos anéis de interferência e da tensão de
aceleração dos feixes eletrônicos
TÓPICOS RELACIONADOS
Dualidade onda-partícula, ondas de matéria, raios catódicos, força de Lorentz, carga e massa do elétron,
trajetória de uma partícula carregada submetida a campos elétricos e magnéticos, bobinas de Helmholtz,
relação de de Broglie, lei de Bragg, método de difração de Debye-Scherrer, planos atômicos, estrutura
cristalina do grafite,.
EQUIPAMENTO
Tubo de feixes eletrônicos colimados, bobinas de Helmholtz, fonte de tensão de 600 V (para o tubo), fontes
de tensão de 18 e 30 V (para bobinas) multímetros e cabos de conexão. Tubo de difração de elétrons, fonte
de alta tensão (10 kV), resistor de 10 MΩ, fonte DC de 600 V, cabos de conexão, paquímetro, kit para
simulação da estrutura cristalina do grafite.
TAREFAS EXPERIMENTAIS
Medida da relação e/m
1. Observar a trajetória de um feixe eletrônico submetido a campos elétricos e magnéticos.
2. Variar a tensão de aceleração do feixe eletrônico (e portanto o campo elétrico) e a corrente através
das bobinas de Helmholtz (e portanto o campo magnético), medindo os diferentes raios de curvatura
das trajetórias registradas.
3. Obter a relação e/m para o elétron.
1
Difração de elétrons
4. Medir os diâmetros dos dois anéis de interferência mais internos para diferentes tensões de
aceleração.
5. Calcular os comprimentos de onda dos elétrons a partir das tensões de aceleração.
6. Determinar algumas das distâncias interplanares do grafite.
PROCEDIMENTOS EM LABORATÓRIO
AULA 01:
Medida da relação e/m
1. O arranjo experimental e as conexões elétricas encontram-se esquematizados nas Figs. 1 e 2,
respectivamente. Verifique atentamente esses esquemas e procure entender a montagem em detalhe.
2. No arranjo de Helmholtz, as duas bobinas idênticas são posicionadas paralelamente de forma que a
distância entre seus planos seja igual ao seu raio comum. Para garantir que as correntes elétricas
atravessando as duas bobinas sejam exatamente as mesmas é conveniente conectá-las em série.
3. Antes de aplicar qualquer tensão ao filamento, verifique se os potenciômetros na fonte de tensão de
600V que regulam as saídas 0....-50 V e 0....+300 V estão ajustados no mínimo. Isso evita a presença
de qualquer tensão de aceleração (VA) entre o catodo e o anodo quando o filamento for acionado.
Fig. 1: Ilustração da montagem experimental.
4. Acione a tensão de 6,3 V (AC) que alimenta o filamento. Para permitir o aquecimento prévio do
filamento, aguarde um período de no mínimo um minuto antes de acionar os potenciômetros
0...-50 V e 0...+300 V, que regulam as tensões de focalização e de aceleração, respectivamente.
5. Nesse momento, um feixe azul-violeta deverá ser visível, especialmente com a sala escurecida,
graças à ionização de átomos de Ar presentes no gás em baixa pressão dentro do tubo. Ajuste as
tensões de focalização e aceleração de maneira a obter um feixe estreito e bem definido. A
2
intensidade do feixe não é em geral otimizada até que o aquecimento do filamento tenha se
completado por 2-3 minutos.
Fig. 2: Conexões elétricas para alimentação (a) do tubo de difração de elétrons e (b) das bobinas de Helmholtz.
6.
Acione a tensão de alimentação das bobinas de Helmholtz, sempre observando que a corrente
através destas não deve ultrapassar o valor máximo de 5 A.
7. Observe atentamente como a trajetória do feixe eletrônico dentro do tubo é modificada pela atuação
do campo magnético. Gire cuidadosamente o tubo no seu suporte e observe o que acontece. Faça o
mesmo invertendo agora a direção do campo magnético.
8. Posicione o tubo de forma que o campo magnético gerado pelas bobinas seja exatamente
perpendicular à direção de emissão do feixe dentro do tubo. Nessas condições a trajetória descrita
pelo feixe deverá ser circular, formando uma circunferência fechada quando a intensidade do campo
magnético for suficientemente alta.
9. Ajuste a corrente elétrica i através das bobinas de forma que o feixe passe exatamente por um dos
marcos luminosos posicionados dentro do tubo. Em tal situação apenas metade do traço circular fica
visível e então o raio da circunferência descrita (r) assumirá um valor igual a 2, 3, 4 ou 5 cm (valores
previamente determinados com acurácia da ordem de 1 %).
10. Para cada um dos quatro valores de r acima, varie a tensão de aceleração VA entre 100 e 300 V,
medindo a corrente i necessária para manter o feixe sobre o marco considerado. Registre em torno de
10 pontos para cada marco (em alguns casos será necessário trocar a fonte de alimentação das
bobinas para obtenção de uma corrente suficientemente alta, mas ainda inferior a 5 A).
11. Utilize um gaussímetro para avaliar o campo magnético gerado pelas bobinas de Helmholtz na
região entre as bobinas, sem a presença do tubo. Com as dimensões das bobinas utilizadas deve-se
obter um campo em torno de 3,5 mT no ponto médio entre as bobinas para uma corrente de 5 A.
Faça essa medida. Verifique a seguir a homogeneidade do campo, movimentando e girando a ponta
de prova do gaussímetro ao longo das três direções perpendiculares na região de interesse.
3
AULA 02:
Difração de elétrons
12. A montagem do experimento encontra-se indicada na Fig. 3 e a correta conexão dos fios de ligação
está esquematizada na Fig. 4. Verifique atentamente esses esquemas e procure entender a montagem
em detalhe. Observe que a alta tensão (1 – 10 kV) deve ser conectada ao anodo G3 através de um
resistor de proteção de 10 MΩ.
13. Elétrons provenientes do catodo aquecido C são acelerados pelo campo elétrico gerado no sistema
de eletrodos G1...G4. O eletrodo G1 (denominado cilindro de Wehnelt), com potencial negativo em
relação ao catodo, permite a passagem de um fino feixe eletrônico o qual é submetido a uma
pequena tensão de aceleração preliminar através da grade G2. Os elétrons são então fortemente
acelerados pela alta tensão positiva em G3. O feixe eletrônico é finalmente focalizado por meio do
ajuste dos potenciais em G3 e G4 e incide sobre um alvo de grafite policristalino, sendo difratado em
determinadas direções. A partir daí os feixes difratados penetram no bulbo esférico de vidro (veja a
Fig. 4), dando origem a uma série de anéis (conhecidos como anéis de Debye-Scherrer) na parte do
bulbo coberta internamente com um material fluorescente.
14. Ajuste as tensões nos eletrodos G1, G3 e G4 de forma que os anéis de interferência possam se
observados com nitidez (com a sala escurecida). Inicie com os seguintes valores de referência:
tensão em G1 ≈ -25 V; tensão em G2 = 300 V (fixa); tensão em G4 ≈ 250 V; tensão de aceleração
em G3 (VA) ≈ 4 kV (lido diretamente na fonte de alta tensão).
Fig. 3: Ilustração da montagem experimental.
15. Determine os diâmetros dos dois anéis de interferência mais internos com o paquímetro, tomando a
média dos diâmetros interno e externo de cada anel.
16. Varie a tensão VA de aproximadamente 0,5 em 0,5 kV, tomando sempre as medidas dos diâmetros
dos dois anéis de interferência mais internos. Faça ao todo de 7 a 10 medições.
4
17. Efetue o conjunto de medidas acima três vezes, alternando a pessoa que lê os diâmetros com o
paquímetro, de modo a minimizar erros acidentais.
Fig. 4: Conexões elétricas para alimentação do tubo de difração de elétrons.
CUIDADOS QUE DEVEM SER TOMADOS EM LABORATÓRIO
Aula 01:
1. Procure compreender as conexões elétricas no sistema e verificar (e prevenir) a ocorrência de
qualquer erro de montagem, conferindo sempre com os esquemas apresentados neste roteiro.
2. Mantenha os potenciômetros 0....-50 V e 0....+300 V sempre no mínimo exceto quando as medidas
estiverem sendo coletadas, o que prolonga consideravelmente a vida útil do tubo.
3. Observe atentamente o período de aquecimento do filamento antes de acionar os potenciômetros
0....-50 V e 0....+300 V, como descrito na seção de “Procedimentos”.
4. Não permita jamais que a corrente através das bobinas de Helmholtz ultrapasse o valor máximo de
5 A.
Aula 02:
5. Procure compreender as conexões elétricas no sistema e verificar (e prevenir) a ocorrência de
qualquer erro de montagem, conferindo sempre com os esquemas apresentados neste roteiro.
6. Durante todo o processo de medida, observe se há ocorrência de “efeito cascata”, quando o sistema
entra em curto-circuito e um clarão é subitamente observado na ampola. Se isso acontecer reduza
imediatamente a tensão aplicada na fonte de alta tensão e aguarde em torno de 20 minutos para
reiniciar o experimento.
7. No caso de ocorrer faiscamento em qualquer das conexões elétricas reduza a tensão aplicada na
fonte de alta tensão e chame o professor e/ou monitor.
5
8. O ponto fortemente luminoso no centro da do tubo pode danificar o material fluorescente nele
depositado. Para evitar isso, reduza a intensidade do feixe luminoso após a tomada das medidas.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Medida da relação e/m:
1. Um elétron com massa m e carga elétrica e, acelerado por uma diferença de potencial igual a VA,
adquire uma energia cinética dada pela expressão abaixo:
eV A =
1
mv 2 ,
2
(1)
donde se obtém a magnitude da velocidade v do feixe eletrônico ao ser ejetado do anodo.
G
2. A aplicação de uma campo magnético B leva ao surgimento da força de Lorentz:
G
G
G
F = −ev × B
G
(2)
G
G
3. Se B for uniforme e se v for perpendicular a B , o feixe descreverá uma trajetória circular cujo raio
r será dado por:
r=
mv
eB
(3)
4. A partir das Eqs. 1 e 3 obtém-se a relação e/m:
2V
e
= 2 A2
m B r
(4)
5. O campo magnético gerado pelas bobinas de Helmholtz no ponto médio sobre o eixo comum das
bobinas pode ser obtido pela expressão abaixo:
4
B= 
5
3/ 2
µ 0 Ni
,
R
(5)
onde N é o número de espiras em cada bobina (igual), i é a corrente que flui em cada bobina (suposta
igual), µ0 é a permeabilidade magnética do vácuo e R é o raio médio comum das bobinas.
6. No arranjo de Helmholtz, as duas bobinas idênticas são posicionadas paralelamente de forma que a
distância entre seus planos seja igual ao seu raio comum. Para a montagem empregada nessa
experiência temos R = 20 cm (confira!!).
7. A montagem em suspensão das bobinas permite a contagem do número de espiras, tendo-se em
conta que as camadas paralelas de fios de cobre estão ligeiramente deslocadas lateralmente entre si
(ver Fig. 5). Cada bobina é constituída de 14 camadas de fios de cobre, com cada camada contendo
11 espiras, o que dá um total de N = 154 espiras (confira!!).
6
Fig. 5: Bobinas de Helmholtz com sua seção transversal em destaque.
Difração de elétrons:
8. O comprimento de onda λ dos elétrons acelerados pela tensão VA pode ser obtido a partir da relação
de de Broglie, levando a:
λ=
h
2meV A
=
150
Å,
VA
(6)
sendo VA dado em Volts, m e e a massa de repouso e a carga elétrica do elétron e h a constante de
Planck.
9. A lei de Bragg é expressa como:
2d sen θ = nλ ,
(7)
onde d é a distância interplanar, θ é o ângulo de difração de Bragg (ângulo entre o feixe incidente e
os planos atômicos cristalinos) e n é um número natural que indica a ordem de difração (n = 1, 2, 3,
...).
10. A partir da Fig. 4, são encontradas as seguintes relações:
α = 2θ
sen 2α =
(8)
r
,
R
(9)
sendo r o raio do anel de interferência e R o raio do bulbo do tubo de difração. Na montagem
empregada, o valor fornecido pelo fabricante para o diâmetro do bulbo é de 127 mm ± 2,5%.
11. A partir dessas expressões encontra-se, para pequenos ângulos, uma relação linear entre r e λ:
r=
2R
nλ ,
d
(10)
7
12. A estrutura cristalina do grafite pode ser entendida a partir do arranjo esquemático mostrado na Fig.
6a. Cada átomo de carbono encontra-se ligado covalentemente a três outros átomos (hibridização
sp2), numa estrutura hexagonal. A distância entre cada par de átomos de carbono é de 1,42 Å. As
duas distâncias interplanares responsáveis pelos dois anéis mais internos de difração correspondem
às famílias de planos indicadas na Fig. 6b, sendo dadas por d1 = 2,13 e d2 =1,23 Å.
Fig. 6: (a) Estrutura cristalina do grafite hexagonal. (b) Distâncias interplanares responsáveis pelos dois anéis mais internos.
QUESTÕES E CONCEITOS A SEREM PREVIAMENTE COMPREENDIDOS
1. Explique como se dá o processo de emissão de elétrons no catodo e como é possível a visualização
do feixe eletrônico dentro do tubo utilizado na experiência de medida da relação e/m.
2. Qual a vantagem de serem usadas as duas bobinas no arranjo de Helmholtz? Por que não usar uma
só bobina? Explique com base em um desenho esquemático como deve ser a orientação das
correntes elétricas em cada bobina
3. Obtenha as Eqs. 3 e 4.
4. Demonstre a Eq. 5, partindo da lei de Biot-Savart.
5. Discuta em detalhe o movimento geral de uma partícula carregada penetrando numa região onde
existe um campo magnético uniforme. Escreva as equações de movimento da partícula (ou equações
paramétricas da curva por ela descrita) e esquematize a forma de sua trajetória. Quais as condições
para que essa trajetória seja circular?
6. Deduza a Eq. 6, utilizando a relação de de Broglie.
7. Justifique geometricamente a Eq. 8 e deduza a Eq. 10.
8. Esquematize os gráficos de r em função de λ e de λ em função de VA que você espera encontrar na
experiência de difração de elétrons e explique o que pode ser obtido a partir da análise desses
gráficos.
8
PROCEDIMENTOS E CÁLCULOS A SEREM EFETUADOS NO RELATÓRIO
Medida da relação e/m:
1. Monte uma tabela com os valores de VA, i, r e B.
2. Para cada valor de r encontrado faça um gráfico de VA em função de i2 (ou de B2) e obtenha, a partir
do coeficiente angular obtido por ajuste linear em cada gráfico e usando as Eqs. 4 e 5, o valor de
e/m.
3. A partir dos valores de e/m obtidos para cada gráfico, calcule a média e o desvio da média dessa
grandeza. Compare com o valor esperado, calculado a partir dos valores conhecidos de e e m.
4. Apresente o resultado das medidas diretas de campo magnético efetuadas no item 11 dos
Procedimentos em Laboratório. Discuta a homogeneidade do campo magnético produzido pelas
bobinas de Helmholtz, com base em tais valores. Compare o valor medido para o campo no ponto
médio entre as bobinas com o valor previsto na Eq. 5.
5. Faça um gráfico teórico do campo magnético gerado pelas bobinas de Helmholtz ao longo do seu
eixo comum na região entre as bobinas. Tomando este como o eixo z, assuma z = 0 no ponto médio
entre as bobinas e faça o gráfico desde z = –R até z = +R. Tome os valores numéricos de R e N reais
usados nessa experiência e um valor típico de 3,0 A para a corrente elétrica. Discuta o gráfico
obtido, especialmente no que diz respeito à uniformidade do campo magnético em torno do ponto
médio entre as bobinas.
Difração de elétrons:
6. Utilize a Eq. 6 para determinar os comprimentos de onda dos feixes eletrônicos para cada tensão VA
aplicada. Organize esses dados numa tabela.
7. Apresente os resultados das medidas dos diâmetros dos anéis de Debye-Scherrer, fornecendo todos
os valores dos diâmetros interno e externo medidos para cada anel. Obtenha as médias dos valores
obtidos nos três conjuntos de medidas e determine as incertezas nos valores de r.
8. Monte um gráfico de r em função de λ para os dois anéis de interferência mais internos e determine
por regressão linear os valores experimentais (com incertezas) das distâncias interplanares d1 e d2.
Compare com os valores esperados.
9. Tomando agora os valores esperados para d1 e d2 (fornecidos na Fig. 6b), determine os
comprimentos de onda a partir dos valores de r, de acordo com a Eq. 10.
10. Verifique graficamente a relação (descrita pela Eq. 6) entre esses valores de λ (obtidos no item
anterior) e os valores de VA (faça um gráfico de λ em função de VA-1/2, por exemplo).
11. Obtenha a partir desse gráfico um valor para a constante de Planck.
9
DISCUSSÕES ADICIONAIS
1. Discuta detalhadamente como os resultados dessas duas experiências servem para ilustrar a
dualidade onda-partícula.
2. Dê exemplos de outras experiências históricas onde a dualidade onda-partícula é evidenciada, tanto
para a radiação quanto para a matéria.
3. Para evitar pequenos efeitos devidos ao campo magnético da Terra, é muitas vezes recomendável
posicionar as bobinas de Helmholtz num plano paralelo ao plano vertical que contém o campo
terrestre (localizado com uma bússola). Explique detalhadamente a justificativa para esse
procedimento. Faça uma estimativa da contribuição máxima do campo magnético terrestre na sua
experiência, comparando as magnitudes deste e do campo produzido pelas bobinas de Helmholtz na
posição do feixe eletrônico.
4. Analise as principais fontes de erro na experiência de medida da relação e/m, levando em conta as
aproximações feitas, os parâmetros medidos direta (VA, i e r), ou indiretamente (B) e a forma como
eles contribuem para o cálculo de e/m (Eq.4). Para um dado conjunto de valores medidos para esses
parâmetros, propague as incertezas na Eq. 4 e calcule a incerteza em e/m, discutindo o resultado
encontrado.
5. A Eq. 1 é claramente não-relativística. É correto usar tal aproximação na experiência de medida da
relação e/m? Utilize as Eqs. 1 ou 3 para determinar alguns valores de velocidade do feixe eletrônico
e justifique com base nesses valores a utilização da aproximação não-relativística.
6. Descreva a experiência de Thomson e discuta sua importância histórica.
7. Descreva a experiência de Davisson-Germer e discuta sua importância histórica.
8. Explique por que são observados anéis circulares na experiência de difração de elétrons. Por que são
observados dois anéis na experiência realizada?
9. Verifique e justifique geometricamente a relação numérica entre a distância interatômica na estrutura
do grafite e os valores esperados de d1 e d2, utilizando o arranjo da Fig. 6.
10. Na dedução da Eq. 6 são usadas expressões não-relativísticas para a massa e o momentum do
elétron. Isso é correto? Justifique com argumentos numéricos, levando em conta os valores de tensão
empregados no experimento de difração de elétrons.
11. Seria possível a observação de difração utilizando-se feixes de nêutrons ou de prótons (ao invés de
elétrons)? O que seria alterado em termos de valores numéricos em comparação com a experiência
realizada?
BIBLIOGRAFIA
1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Vols. 3 e 4, LTC, 4a ed., Rio de Janeiro,
1993.
10
2.
J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christy, Fundamentos da Teoria Eletromagnética, Ed. Campus, Rio
de Janeiro, 1982.
3. R. Eisberg, R. Resnick, Física Quântica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979.
4. Laboratory Experiments in Physics, 5.1.02 e 5.1.13, Phywe Systeme GmbH, Göttingen, 1999.
5. P. A. Tipler, Física, Vol. 2, LTC, 4a ed., Rio de Janeiro, 1999.
6. M. Ference Jr., H. B. Lemon, R. J. Stephenson, Curso de Física – Eletrônica e Física Moderna,
Edgrad Blücher Ltda.
7. P. H. Beeforth, H. J. Goldsmid, Physics of solid state devices, Pion Limited, London, 1970.
Redação: Prof. Jair C. C. Freitas
11
Grupo ___: ___________________; ___________________;__________________
Data: ____________
FOLHA DE DADOS
AULA 01:
Medida da relação e/m
r = 2 cm
i (A)
r = 3 cm
VA (V)
i (A)
r = 4 cm
VA (V)
i (A)
r = 5 cm
VA (V)
i (A)
VA (V)
Medidas com gaussímetro:
Corrente elétrica:____________
Magnitude do campo magnético no ponto médio entre as bobinas:_________
Outras medidas:
Situação (posição, orientação da sonda Hall, etc)
B (mT)
12
Grupo ___: ___________________; ___________________;__________________
Data: ____________
AULA 02:
Difração de elétrons
Série 1:
VA (kV)
φ(1)int (mm) φ(1)ext (mm) φ(2)int (mm) φ(2)ext (mm)
VA (kV)
φ(1)int (mm) φ(1)ext (mm) φ(2)int (mm) φ(2)ext (mm)
Série 2:
13
Grupo ___: ___________________; ___________________;__________________
Data: ____________
Série 3:
VA (kV)
φ(1)int (mm) φ(1)ext (mm) φ(2)int (mm) φ(2)ext (mm)
14