Universidade de Brasília
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Leis dos Grandes Números para Arranjos de
Variáveis Aleatórias Negativamente Dependentes
por
Renato Ferreira da Cruz
Brasília
2009
Universidade de Brasília
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Leis dos Grandes Números para Arranjos de
Variáveis Aleatórias Negativamente Dependentes
Por
Renato Ferreira da Cruz*
Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade de
Brasília, como parte dos requisitos para obtenção do grau de
MESTRE EM MATEMÁTICA
Brasília, 25 de setembro de 2009
Comissão Examinadora:
Prof. Ary Vasconcelos Medino - MAT/UnB (Orientador)
Profa . Chang Chung Yu Dorea - MAT/UnB (Membro)
Prof. Roberto Imbuzeiro Oliveira - MAT/IMPA (Membro)
*
Este trabalho contou com apoio financeiro do CNPq.
“Deus é uno. Ele não está jamais,
como pensam alguns, fora do mundo,
mas sim, totalmente no mundo inteiro. Deus está no universo e o Universo está em Deus. O mundo e Deus
não são mais que uma unidade”.
Pitágoras
Aos meus pais, minha vó, meu
irmão e minha cunhada.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus pela sua infinita sabedoria e por me dar saúde
e força para vencer todas as dificuldades da vida. À todos os meus familiares, especialmente meus pais, que souberam entender a minha ausência não só ao longo desses
dois anos, mais desde a época de graduação.
Ao meu orientador professor Ary Vasconcelos Medino, por sua disponibilidade,
paciência e ajuda.
Aos professores da banca examinadora: Chang Chung Yu Dorea e Roberto Imbuzeiro de Oliveira pelas correções e sugestões, que fizeram, enriquecendo este trabalho.
Aos colegas de graduação, que ainda temos um contato maravilhoso: Adma, Lucenildo, Wene, Gislaine, Rogério, Daniel, Lucimar e Marcos. Aos colegas do curso de
verão: Kaliana, Adriana, Ana Paula, Daniele, Tiago e Andrei, pelo companheirismo e
amizade apesar do pouco tempo de convivência durante a seleção para o mestrado.
Aos colegas do departamento de matemática da UnB: Kaliana, Thaynara, Sunamita, Ana Paula, Tarcísio, Marcelo, Weslley, Wembeson, Grace Kelly, Tiago, Daiane, Daniele, João Paulo, Paulo Ângelo, Eduardo, Mariana, Laura, Ana Paula, Jairo,
Mônica, João Marcelo, João Vítor, Luciana, Ricardo, Eunice, Kélem. Ao meu amigo,
Andrei Barbosa, pelo companheirismo durante este período da pós-graduação e pelos
assuntos variados de nossas conversas.
Aos professores da UFMT: Carlos Rodrigues, Adilson Berllato e Daniel Guimarães,
com quem troquei as primeiras palavras sobre o mestrado, pelo incentivo e presença
amiga em todos os momentos.
Aos meus amigos de Barra do Garças: Aline Maria, Izuleide, Kamilla, Adma, Lucimar, Rogério, Laura, Doraci, Leila, Raquel, Wene, Lucenildo, Aldeni, Cecy, Jairo,
Luzinalda, Cida e Dom Protógenes que fazem parte da minha vida e que de alguma
maneira me ajudaram e me incentivaram durante o períodos de graduação e mestrado.
Aos professores Cátia Regina, Carlos Carrion, Daniele Baratela, José Valdo e Noraí
Rocco, pelo conhecimento adquirido durante o curso.
Ao Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico (CNPq), pelo apoio
financeiro, sem o qual seria impossível manter-me em Brasília durante a elaboração
deste trabalho.
À todos que, com um pensamento positivo, uma palavra amiga, alimentaram meus
sonhos e contribuiram para esta grande conquista da minha vida.
Resumo
Neste trabalho, estudamos o conceito de Dependencia Negativa e algumas de suas
propriedades, e mostramos Leis dos Grandes Numeros (fraca e forte) para arranjos de
variaveis aleatorias Negativamente Dependentes.
Palavras-chave: Leis dos Grandes Números, Dependência Negativa, Convergência
Completa, Arranjos.
Abstract
In this work, we study the concept of Negative Dependece and its properties, and we
show Laws of Large Numbers (weak and strong) for arrays of Negatively Dependent
random variables.
Key-words: Laws of Large Numbers, Negative Dependence, Complete Convergence,
Arrays.
Sumário
Introdução
10
1 Dependência Negativa
14
1.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2
Conceito de Dependência Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3
Exemplos de Dependência Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4
Propriedades de Dependência Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2 Lei Fraca dos Grandes Números para v.a’s ND
31
2.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2
Lei Fraca dos Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND . . . . . . .
33
3 Lei Forte dos Grandes Números para v.a.’s ND
43
3.1
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.2
Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND . . . . . . .
46
Referências Bibliográficas
59
9
Introdução
Leis dos Grandes Números para sequências e arranjos de variáveis aleatórias desempenham um papel muito importante em Teoria da Probabilidade e Estatística.
Condições de independência e distribuições idênticas são básicas em resultados históricos devidos a Bernoulli, Borel e Kolmogorov. A primeira Lei dos Grandes Números
foi provada pelo matemático suíço James Bernoulli na quarta parte de sua obra Ars
Conjectandi, publicada em 1713. Depois, outros matemáticos também contribuíram
para o aperfeiçoamento da lei, incluindo Chebyshev, Markov, Khinchin, Borel e Kolmogorov. Estes resultados deram origem às duas formas conhecidas de Lei dos Grandes
Números, uma denominada lei fraca e a outra, lei forte. Com o passar do tempo, várias
generalizações foram surgindo. Por exemplo, Marcinkiewicz e Zygmund generalizaram
a lei de Kolmorogov para v.a.’s com p-ésimo momento 1 ≤ p < 2 e mostraram que
n
1 X
q.c
Xi → 0 se, e somente se, E|X1 |p < ∞ ([8] p.122 e [1] p.256). Em todas
1/p
n
i=1
elas temos a hipótese de momento finito. Mas surgiram novas leis envolvendo variáveis aleatórias com média infinita ou sem média. Uma dessas leis foi provada por
Kolmogorov e Feller ([9] p.116 e [29] p.205).
A história e literatura sobre leis dos grandes números para variáveis aleatórias
independentes é bastante rica. Já, para variáveis dependentes, os estudos são mais
10
Introdução
limitados, mas muito interessantes. Existem muitas noções de dependência bivariada
e multivariada. Várias destas noções e como elas se relacionam umas com as outras,
podem ser vistas em Block [6], Ebrahimi e Ghosh [13], Esary e Proschan [15], Hu e
Yang[19], Lehmann [23], Joag-dev e Proschan [22] e Matula [24]. Muitas delas foram
motivadas a partir de aplicações em teoria da confiabilidade. Normalmente o ponto
de partida na análise de sistemas é supor que o tempo de vida útil dos componentes
são variáveis aleatórias independentes. Mas em alguns casos é mais realista assumir
algum tipo de dependência entre as variáveis, pois a falha de um determinado componente pode afetar o desempenho dos outros. Neste caso, as ferramentas clássicas de
Teoria da Probabilidade (tais como, Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite
Central) válidas sob hipótese de independência não podem ser utilizadas como tal. Então é necessário determinar em que condições de dependência se pode obter resultados
análogos aos que se tem sob hipóteses de independência.
Neste trabalho estudamos Leis dos Grandes Números para variáveis aleatórias Negativamente Dependentes baseadas no artigos de Bozorgnia, Patterson e Taylor ([3] e
[5]) de 2000 e 2001. Os resultados principais são: Teorema 2.6 do Capítulo 2 e Teorema
3.9 do Capítulo 3. O primeiro é uma extensão da lei fraca provada por Kolmogorov e
Feller para variáveis aleatórias independentes e diz que se {Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} é um
arranjo de v.a.’s negativamente dependentes duas a duas em cada linha com funções
de distribuição (Fni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) e as condições
n
X
i=1
P (|Xni | > bn ) → 0, com n → ∞,
e
n Z
1 X
x2 dFni (x) → 0 com n → ∞.
b2n i=1 (|x|≤bn )
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11
Departamento de Matemática
Introdução
são satisfeitas, então
onde an =
n Z
X
i=1
(|x|≤bn )
Sn − an P
→ 0,
bn
n
X
xdFni (x), Sn =
Xni e (bn ; n ≥ 1) é uma sequência de números
i=1
reais positivos crescendo para +∞. O segundo é uma lei forte para arranjos de variáveis
aleatórias negativamente dependentes em cada linha com EXni = 0. Neste caso, se
as variáveis são uniformemente limitadas ou existe uma v.a. X tal que a cauda da
′
distribuição das Xni
s é limitada pela cauda da distribição de X com E|X|2p < ∞,
então
n
1 X
n1/p
i=1
Xni → 0 completamente, 0 < p < 2.
Para o estudo desses resultados, dividimos o trabalho em três capítulos.
No Capítulo 1, apresentamos o conceito de dependência negativa definido por
Lehmann [23] em 1966 para o caso bivariado e por Ebrahimi e Ghosh [13] em 1981
para o caso multivariado (Seção 1.2). Apresentamos também alguns exemplos (Seção
1.3) e propriedades para variáveis aleatórias negativamente dependentes (Seção 1.4)
necessárias nas demonstrações do Capítulo 2 e 3, onde as mais relevantes são o Corolário
1.14 e Lema 1.15.
No Capítulo 2, fazemos uma breve revisão das principais leis fracas para o caso
independente, relacionando-as com os resultados obtidos para variáveis aleatórias negativamente dependentes. O resultado principal deste capítulo é o Teorema 2.6, como
mencionamos acima. Deste, são obtidos como consequência, os Teoremas 2.8 e 2.9. O
primeiro afirma que se (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) é um arranjo de v.a.’s negativamente
dependentes com EXni = 0 e existe uma v.a. X tal que
P (|Xni | > t) ≤ P (|X| > t), ∀ t > 0
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12
(1)
Departamento de Matemática
Introdução
e
nP (|X|p > n) → 0 para algum 1 < p < 2,
então
n
1 X
n1/p
i=1
P
Xni → 0.
O segundo nos diz que se (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) é um arranjo de v.a.’s negativamente
dependentes e X uma v.a. satisfazendo (1) e nP (|X| > n) → 0 com n → ∞, então
n
1X
P
(Xni − cni ) → 0,
n i=1
onde cni = E Xni I(|Xni |≤n) .
Por fim, no Capítulo 3, abordamos um conceito de convergência (denominado con-
vergência completa) que implica em convergência quase-certa e a utilizamos na demonstração do principal resultado, o qual foi mencionado acima.
Para concluir, apresentamos uma lei fraca e uma lei forte para arranjos de v.a.’s em
que não são necessárias as hipóteses de dependência negativa e nem EXni = 0.
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13
Departamento de Matemática
Capı́tulo
1
Dependência Negativa
1.1
Introdução
Neste capítulo, estudamos o conceito de Dependência Negativa introduzido por Lehmann
[23] em 1996 e apresentamos alguns exemplos e propriedades básicas de variáveis
aleatórias Negativamente Dependentes necessárias para as demonstrações nos Capítulos 2 e 3.
A hipótese de independência entre variáveis aleatórias é frequentemente muito conveniente por várias razões. Primeiramente, ela torna a análise e os cálculos muito mais
simples. Em segundo lugar, existe uma série de conceitos e ferramentas matemáticas poderosas de teoria da probabilidade para tais estudos, como Leis dos Grandes
Números e Teorema do Limite Central. Estes resultados são geralmente obtidos sob a
hipótese de independência entre as variáveis envolvidas. Porém, muitos casos envolvem
variáveis aleatórias que não são independentes. Daí, a necessidade de se determinar em
que condições de dependência ainda se pode obter resultados análogos aos mencionados
anteriormente. A seguir, apresentamos algumas situações onde surgem alguns tipos de
dependência.
14
Capítulo 1
1.1 Introdução
Em teoria da confiabilidade, é normalmente assumido que os tempos de duração dos
componentes de um determinado equipamento são variáveis aleatórias independentes.
No entanto, os componentes de um sistema são utilizados num mesmo ambiente ou
compartilham da mesma carga, e daí, a falha de um componente pode afetar o desempenho dos outros. Neste caso, as ferramentas clássicas de teoria da probabilidade, que
são válidas sob hipótese de independência entre as v.a.’s envolvidas, não podem ser
utilizadas como tal. Em [10], os autores propõe um modelo para a confiabilidade de
um sistema que resulta em componentes com um tipo de dependência negativa.
Ocorrem também em Teoria da Ruína modelos em que as indenizações exibem
alguma estrutura de dependência. Por exemplo, em [7], os autores consideram um
modelo em que as indenizações são variáveis aleatórias negativamente dependentes e
com cauda pesada.
Em [11], os autores tentam chamar a atenção para o uso da noção de dependência
negativa como um paradigma simples e unificante na análise de estruturas aleatórias e
algoritmos.
Em Mecânica Estatística, muitos modelos exibem variáveis aleatórias que satisfazem a chamada desigualdade FKG (Fortuin-Kasteleyn-Ginibre). Variáveis desse tipo
são também chamadas de positivamente associadas e são, em outras palavras, variáveis
positivamente dependentes. Em [27], o autor obtém um teorema limite para tal categoria de variáveis e o aplica ao estudo de flutuações de densidade de aglomerados infinitos
em modelos de percolação e a flutuações de magnetização em modelos de Ising.
Mencionemos ainda que modelos envolvendo variáveis com dependência negativa
têm sido apresentados em áreas onde estatísticas espaciais desempenham um papel
importante. Algumas de tais estatísticas envolvem análise de experimentos agrícolas,
aplicações à oceanografia, processamento de sinais de radares e sonares, e estereologia.
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15
Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.2 Conceito de Dependência Negativa
Uma breve introdução a essas aplicações pode ser encontrada em Panel on Spatial
Statistics and Image Processing [25].
O conceito de dependência está relacionado com a função de distribuição conjunta
das variáveis. É importante o estudo dos diversos modos de dependência, pois um dado
modelo pode ser mais adequado para um determinado tipo de dependência do que para
outro. Várias formas de dependência negativa são introduzidas na literatura. Entre
elas estão: Negativamente Associadas (Joag-dev e Proschan [22]), Negativamente Dependentes na Cauda à Direita, Negativamente Dependentes na Cauda à Esquerda (Hu e
Yang [19]), Negativamente Dependentes Através de Ordenação Estocástica, Totalmente
Negativas de Ordem 2 (Block et al. [6]), etc. Para outras formas de dependência
(positiva e negativa) ver [6], [13], [15] e [23]. Neste trabalho vamos considerar apenas
dependência negativa.
A partir de agora, assumiremos que as variáveis aleatórias envolvidas estão definidas
em um mesmo espaço de probabilidade (Ω, F, P ).
1.2
Conceito de Dependência Negativa
Nesta seção definimos uma das formas mais populares de dependência negativa, introduzida por Lehmann [23] em 1966 e apresentamos alguns exemplos e propriedades de
v.a.’s negativamente dependentes.
Dizemos que X e Y são negativamente dependentes se:
P (X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P (X ≤ x)P (Y ≤ y), ∀ x, y ∈ R.
(1.1)
As variáveis aleatórias X1 , X2 , . . . são ditas negativamente dependente duas a duas, se
cada par (Xi , Xj ) com i 6= j satisfaz (1.1). Por meio de um cálculo simples, podemos
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16
Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.2 Conceito de Dependência Negativa
verificar que (1.1) é equivalente a
P (X > x, Y > y) ≤ P (X > x)P (Y > y), ∀ x, y ∈ R.
(1.2)
No entanto, os dois próximos exemplos mostram que para uma coleção de 3 ou mais
variáveis aleatórias, isso pode não ocorrer.
Exemplo 1.1. Sejam X1 , X2 e X3 variáveis aleatórias tais que (X1 , X2 , X3 ) assume os
1
valores (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) e (0, 0, 0) cada um com probabilidade . Então:
4
1
= P (X1 > 0)P (X2 > 0)P (X3 > 0)
8
(1.3)
1
1
> = P (X1 ≤ 0)P (X2 ≤ 0)P (X3 ≤ 0),
4
8
(1.4)
P (X1 > 0, X2 > 0, X3 > 0) = 0 <
mas
P (X1 ≤ 0, X2 ≤ 0, X3 ≤ 0) =
ou seja, X1 , X2 , X3 satisfazem a condição 1.2, mas não a condição 1.1.
Exemplo 1.2. Considere agora (X1 , X2 , X3 ) assumindo os valores (1, 0, 0), (0, 1, 0),
1
(0, 0, 1) e (1, 1, 1) cada um com probabilidade . Então:
4
1
= P (X1 ≤ 0)P (X2 ≤ 0)P (X3 ≤ 0)
8
(1.5)
1
1
> = P (X1 > 0)P (X2 > 0)P (X3 > 0).
4
8
(1.6)
P (X1 ≤ 0, X2 ≤ 0, X3 ≤ 0) = 0 <
mas
P (X1 > 0, X2 > 0, X3 > 0) =
Neste caso temos X1 , X2 , X3 satisfazendo a condição 1.1, mas não a condição 1.2.
Entretanto, existem variáveis aleatórias X1 , . . . , Xn em que ambas as condições 1.1
e 1.2 são satisfeitas para n ≥ 3. Por isso, somos motivados a considerar a seguinte
definição, introduzida em 1981 por Ebrahimi and Ghosh [13].
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Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.3 Exemplos de Dependência Negativa
Definição 1.3. As variáveis aleatórias X1 , X2 , . . . , Xn são ditas:
(a) Negativamente Dependentes Inferiormente (NDI) se para cada n ≥ 2
"n
#
n
\
Y
P
(Xi ≤ xi ) ≤
P (Xi ≤ xi ), ∀ x1 , . . . , xn ∈ R
i=1
i=1
(b) Negativamente Dependentes Superiormente (NDS) se para cada n ≥ 2
#
"n
n
\
Y
(Xi > xi ) ≤
P (Xi > xi ), ∀ x1 , . . . , xn ∈ R
P
i=1
(1.7)
(1.8)
i=1
(c) Negativamente Dependentes (ND) se (1.7) e (1.8) são válidas.
Observações:
(a) Qualquer um dos sinais ≤ ou > pode ser substituído por < ou ≥ (Ver [23]).
(b) Os Exemplos 1.1 e 1.2 mostram que 1.7 pode ser válido e 1.8 não e que 1.8 pode
ser válido e 1.7 não.
(c) Se X1 , X2 , . . . são v.a’s independentes então X1 , X2 , . . . são N D, mas a recíproca
não vale em geral. Logo independência é um conceito mais restritivo que dependência negativa.
1.3
Exemplos de Dependência Negativa
Vejamos agora, alguns exemplos de variáveis aleatórias negativamente dependentes.
Exemplo 1.4. [4] Seja Y = −X. Então:
Se −y > x,
P (X ≤ x, −X ≤ y) = P (X ≤ x, X ≥ −y) = P (X ≤ x, X > x) =
= P (φ) = 0 ≤ P (X ≤ x)P (−X ≤ y).
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18
Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.3 Exemplos de Dependência Negativa
Se −y ≤ x,
P (X ≤ x, −X ≤ y) = P [(X ≤ x) − (X < −y)] =
= P (X ≤ x) − P (X < −y) ≤
≤ P (X ≤ x) − P (X ≤ x)P (X < −y) =
= P (X ≤ x)[1 − P (X < −y)] =
= P (X ≤ x)P (X ≥ −y) =
= P (X ≤ x)P (−X ≤ y).
Logo P (X ≤ x, −X ≤ y) ≤ P (X ≤ x)P (−X ≤ y), ∀ x, y ∈ R e portanto X e −X são
negativamente dependentes.
Exemplo 1.5. (Distribuição exponencial bivariada de Gumbel) [28]
Considere X e Y variáveis aleatórias com distribuição conjunta dada por
F (x, y) = 1 − e−x − e−y + e−(x+y+θxy) , x, y ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 1.
Então as marginais de X e Y são:
FX (x) = F (x, ∞) = lim (1 − e−x − e−y + e−(x+y+θxy) ) = 1 − e−x
y→∞
FY (y) = F (∞, y) = lim (1 − e−x − e−y + e−(x+y+θxy) ) = 1 − e−y
x→∞
Assim,
F (x, y) − FX (x)FY (y) = e−(x+y+θxy) − e−(x+y) ≤ 0, x, y ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 1,
e portanto, X e Y são ND.
Exemplo 1.6. Sejam X e Y v.a.’s com distribuição normal bivariada, cuja função
densidade é dada por
1
2
2
f (x, y) = p
(x − 2ρxy + y ) , −1 < ρ < 1.
· exp −
2(1 − ρ2 )
2π 1 − ρ2
1
Podemos verificar que X e Y são N D para −1 < ρ ≤ 0. (Ver [28])
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Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.3 Exemplos de Dependência Negativa
Definição 1.7. Uma sequência infinita (Xn ; n ≥ 1) de variáveis aleatórias é dita N D
se qualquer subconjunto {X1 , . . . , Xn } é N D.
Sabemos que se X1 , . . . , Xn são variáveis aleatórias independentes e f1 , . . . , fn são
funções mensuráveis a Borel então f1 (X1 ), . . . , fn (Xn ) são variáveis aleatórias independentes. O próximo exemplo mostra que para variáveis aleatórias N D esta propriedade
pode não ser válida.
Exemplo 1.8. [2] Sejam X e Y variáveis aleatórias assumindo os valores −1, 0, 1 com
função de probabilidade conjunta dada por
p(−1, −1) = p(1, 0) = 0,
1
p(−1, 0) = p(0, 0) = p(0, −1) = p(0, 1) = p(1, 1) = ,
9
2
p(−1, 1) = p(1, −1) = ,
9
Então:
a) X e Y são variáveis aleatórias N D, uma vez que, para x, y ∈ R temos
P (X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P (X ≤ x)P (Y ≤ y).
Para verificar isso, considere as distribuções conjunta e marginais de X e Y dadas pelas
Tabelas 1.1, 1.2 e 1.3 abaixo.
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Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
X \Y
y < −1 −1 ≤ y < 0 0 ≤ y < 1 y ≥ 1
x < −1
0
0
0
0
−1 ≤ x < 0
0
0
1/9
3/9
0≤x<1
0
1/9
3/9
6/9
x≥1
0
3/9
5/9
1
Tabela 1.1: Distribuição conjunta de X e Y
X
x < −1 −1 ≤ x < 0 0 ≤ x < 1 x ≥ 1
P (X ≤ x)
0
3/9
6/9
1
Tabela 1.2: Distribuição Marginal de X
Y
y < −1 −1 ≤ y < 0 0 ≤ y < 1 y ≥ 1
P (Y ≤ y)
0
3/9
5/9
1
Tabela 1.3: Distribuição Marginal de Y
b) As variáveis aleatórias X e Z = Y 2 não são N D, pois para −1 ≤ x < 0 e
0 ≤ z < 1 temos
P (X ≤ x, Z ≤ z) =
6
1
>
= P (X ≤ x)P (Z ≤ z).
9
81
c) As variáveis aleatórias U = X 2 e V = Y 2 não são N D, visto que para 0 ≤ u <
1, 0 ≤ v < 1 temos
P (U ≤ u, V ≤ v) =
1.4
1
6
>
= P (U ≤ u)P (V ≤ v).
9
81
Propriedades de Dependência Negativa
Nesta seção veremos algumas propriedades de dependência negativa e resultados que
nos dirão em que condições, funções de variáveis aleatórias N D são também v.a.’s N D.
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Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
Os resultados mais importantes são o Corolário 1.14 e o Lema 1.15, que serão bastante
úteis nas demonstrações dos Capítulos 2 e 3.
Às vezes trabalhamos com funções que apresentam saltos ou são em forma de escada.
Nesses casos, a inversa não existirá. Com a finalidade de cotornar situções como essas,
vamos considerar o seguinte resultado:
Lema 1.9. Seja f : R → R uma função contínua à direita. Então:
(a) Se f é não-decrescente:
f (x) < y ⇔ x < inf{t ∈ R; f (t) > y} e f (x) ≥ y ⇔ x ≥ inf{t ∈ R; f (t) ≥ y}.
(b) Se f é não-crescente:
f (x) ≤ y ⇔ x ≥ inf{t ∈ R; f (t) ≤ y} e f (x) > y ⇔ x > inf{t ∈ R; f (t) > y}.
Lema 1.10. a) Se (Xn ; n ≥ 1) é uma sequência de variáveis aleatórias NDI(NDS)
e (fn ; n ≥ 1) é uma sequência de funções fn : R → R não-decrescentes, então
(fn (Xn ); n ≥ 1) são NDI(NDS).
b) Se (Xn ; n ≥ 1) é uma sequência de variáveis aleatórias NDS(NDI) e (fn ; n ≥ 1)
é uma sequência de funções fn : R → R não-crescentes, então (fn (Xn ); n ≥ 1) são
NDI(NDS).
Demonstração:
(a) Sejam fn : R → R funções não-decrescentes e zi = inf{t ∈ R; fi (t) ≥ xi }, ∀ i =
1, . . . , n e xi ∈ R. Sendo X1 , . . . , Xn v.a.’s N DS, pelo Lema 1.9(a) e Observação(a)
pág.18 temos:
"n
#
"n
#
n
n
\
\
Y
Y
P
(fi (Xi ) > xi ) = P
(Xi > zi ) ≤
P (Xi > zi ) =
P (fi (Xi ) > xi ).
i=1
i=1
i=1
i=1
Portanto f1 (X1 ), . . . , fn (Xn ) são v.a.’s N DS.
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Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
Agora, se X1 , . . . , Xn são v.a.’s N DI, temos:
#
#
"n
"n
n
n
\
Y
\
Y
(Xi ≤ zi ) ≤
P (Xi ≤ zi ) =
(fi (Xi ) ≤ xi ) = P
P (fi (Xi ) ≤ xi ).
P
i=1
i=1
i=1
i=1
onde usamos o Lema 1.9(a) e Observação(a) pág.18 com zi = inf{t ∈ R; fi (t) ≥ xi }.
Logo f1 (X1 ), . . . , fn (Xn ) são v.a.’s N DI.
(b) Se f : R → R são funções não-crescentes, zi = inf{t ∈ R; fi (t) ≤ xi } e X1 , . . . , Xn
v.a.’s N DS, pelo Lema 1.9(b) e Observação(a) pág.18,
#
#
"n
"n
n
n
\
Y
Y
\
(Xi < zi ) ≤
P (Xi < zi ) =
P (fi (Xi ) > xi ).
(fi (Xi ) > xi ) = P
P
i=1
i=1
i=1
i=1
Portanto f1 (X1 ), . . . , fn (Xn ) são v.a.’s N DI.
Por outro lado, sendo X1 , . . . , Xn v.a.’s N DI e fn : R → R funções não-crescentes,
pondo zi = inf{t ∈ R; fi (t) ≤ xi }, a partir do Lema 1.9(b) e Observação(a) pág.18,
tem-se
"n
#
"n
#
n
n
\
\
Y
Y
P
(fi (Xi ) ≤ xi ) = P
(Xi ≥ zi ) ≤
P (Xi ≥ zi ) =
P (fi (Xi ) ≤ xi ).
i=1
i=1
i=1
i=1
Logo f1 (X1 ), . . . , fn (Xn ) são v.a.’s N DI.
Corolário 1.11. Se (Xn ; n ≥ 1) é uma sequência de variáveis aleatórias ND e (fn ; n ≥
1) é uma sequência de funções todas não-decrescentes (ou todas não-crescentes), então
(fn (Xn ); n ≥ 1) é uma sequência de variáveis aleatórias ND.
Demonstração:
Como (Xn ; n ≥ 1) é uma sequência da variáveis aleatórias N D, temos que (Xn ; n ≥ 1)
é N DI e N DS. Assim
i) Se (fn ; n ≥ 1) é uma sequência de funções monótonas não-decrescentes, pelo Lema
1.10(a), (fn (Xn ); n ≥ 1) é uma sequência de variáveis aleatórias N DI e N DS e portanto N D.
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23
Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
ii) A prova é análoga, considerando (fn ; n ≥ 1) uma sequência de funções monótonas
não-crescentes e utilizando o Lema 1.10(b).
Nos dois próximos exemplos mostraremos a relação entre as partes positivas e negativas de variáveis aleatórias N D.
Exemplo 1.12. Sejam X e Y variáveis aleatórias N D. Então X + e Y + , X − e Y − são
variáveis aleatórias N D. De fato, considere f, g : R → R funções definidas por




 y, se y ≥ 0
 x, se x ≥ 0
.
e g(y) =
f (x) =


 0, se y < 0
 0, se x < 0
Agora,
X+ =


 X, se X ≥ 0
e Y+ =
.

 0, se Y < 0

 0, se X < 0
Assim,


 Y, se Y ≥ 0
X + = f (X) e Y + = g(Y ).
Como f e g são não-decrescentes e X, Y são N D, pelo Corolário 1.11 segue que f (X)
e g(Y ) são v.a.’s N D e portanto X + e Y + também são N D. Para X − e Y − a prova é
análoga. Basta tomar f, g : R → R definidas por




 −y, se y < 0
 −x, se x < 0
.
e g(y) =
f (x) =


 0, se y ≥ 0
 0, se x ≥ 0
Exemplo 1.13. Se X e Y são variáveis aleatórias N D então X + e −Y − , Y + e −X −
também são N D. De fato, sejam f, g : R → R funções definidas por




 y, se y < 0
 x, se x ≥ 0
.
e g(y) =
f (x) =


 0, se y ≥ 0
 0, se x < 0
Mas,
X+ =


 X, se X ≥ 0

 0, se X < 0
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e
24
−Y− =


 Y, se Y < 0

 0, se Y ≥ 0
.
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Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
Daí,
X + = f (X) e − Y − = g(Y ).
Sendo f e g não-decrescentes e X, Y v.a.’s N D, do Corolário 1.11 segue que f (X) e
g(Y ) são N D e portanto Y + e −Y − também são N D. De modo análogo mostra-se
que Y + e −X − são N D.
Mostraremos agora uma técnica de truncamento que preserva dependência negativa
e será de grande utilidade na obtenção da Lei dos Grandes Números nos próximos
capítulos.
Corolário 1.14. Se X1 , X2 , . . . , Xn são variáveis aleatórias NDI(NDS), então para
quaisquer números reais a1 , . . . , an e b1 , . . . , bn tais que ai < bi , 1 ≤ i ≤ n, tem-se que:
(a) {I(−∞<Xi <bi ) , 1 ≤ i ≤ n} são NDS(NDI);
(b) {Yi , 1 ≤ i ≤ n} são NDI(NDS),
onde Yi = Xi I(ai ≤Xi ≤bi ) + bi I(Xi >bi ) + ai I(Xi <ai ) .
Demonstração:
a) Como {I(−∞<Xi <bi ) , 1 ≤ i ≤ n} são funções não-crescentes e X1 , . . . , Xn v.a.’s
N DI(N DS), pelo Lema 1.10(b), segue que {I(−∞<Xi <bi ) , 1 ≤ i ≤ n} são N DS(N DI).
b) Temos que {Yi , 1 ≤ i ≤ n} = {Xi I(ai ≤Xi ≤bi ) + bi I(Xi >bi ) + ai I(Xi <ai ) , 1 ≤ i ≤ n}
são v.a.’s não-decrescentes. Como ai I(Xi <ai ) , Xi I(ai ≤Xi ≤bi ) , bi I(Xi >bi ) são mensuráveis,
então {Yi ; 1 ≤ i ≤ n} também são mensuráveis. Pelo Lema 1.10(a), tem-se que
{Yi ; 1 ≤ i ≤ n} são N DI(N DS), visto que X1 , X2 , . . . são v.a.’s N DI(N DS).
O próximo lema nos diz, que variáveis aleatórias Negativamente Dependentes possuem coeficiente de correlação não-positivo, ou seja, valores maiores de uma variável
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25
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Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
implicam em valores menores da outra. Isto justifica o nome dependência negativa
para qualquer um dos conceitos definidos anteriormente.
Lema 1.15. Sejam X e Y variáveis aleatórias ND com EX, EY e EXY finitas. Então
EXY ≤ EXEY e Cov(X, Y ) ≤ 0.
Demonstração:
i) Suponhamos primeiro que as variáveis aleatórias X e Y são simples não-negativas.
Daí,
EX =
n
X
ai P (X = ai ) e EY =
i=1
m
X
bj P (Y = bj ).
j=1
Considerando Ai = {ω ∈ Ω : X(ω) = ai } e Bj = {ω ∈ Ω : Y (ω) = bj }, temos que
{Ai ; 1 ≤ i ≤ n} e {Bj ; 1 ≤ j ≤ m} formam partições de Ω.
Agora,
Ω=
n
[
i=1
e
Ai
!
\
m
[
j=1
Bj
!
=
[
Ai Bj
i,j
X(ω)Y (ω) = ai bj se ω ∈ Ai Bj .
Logo XY é simples e {Ai Bj ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n} forma uma partição de Ω. Assim,
pela dependência negativa
P (Ai Bj ) = P (X(ω) = ai ; Y (ω) = bj ) ≤ P (X(ω) = ai )P (Y (ω) = bj ) = P (Ai )P (Bj ).
Deste modo,
EXY
=
n X
m
X
i=1 j=1
=
"
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n
X
i=1
ai bj P (Ai Bj ) ≤
#"
ai P (Ai )
m
X
n X
m
X
ai bj P (Ai )P (Bj ) =
i=1 j=1
#
bj P (Bj ) = EXEY.
j=1
26
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Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
ii) Sejam agora X e Y variáveis aleatórias não-negativas. Então as sequências de
variáveis aleatórias simples não-negativas
Xn (ω) = nI(Xn (ω)≥n) +
n −1
n2
X
k=1
n
n2
−1 ′
X
k
k
IAnk (ω) e Yn (ω) = nI(Yn (ω)≥n) +
IB (ω)
n
2
2n nk′
k′ =1
são tais que 0 ≤ Xn ↑ X e 0 ≤ Yn ↑ Y , onde
k
k′
k+1
k′ + 1
Ank = ω : n ≤ X(ω) <
e Bnk′ = ω : n ≤ Y (ω) <
.
2
2n
2
2n
Pelo Teorema da Convergência Monótona,
EXn ↑ EX e EYn ↑ EY.
Além disso, 0 ≤ Xn Yn ↑ XY . Novamente, pelo Teorema da Convergência Monótona,
(1.9)
E[Xn Yn ] ↑ EXY.
Temos ainda que para cada n, Xn e Yn são N D. Basta observar que Xn =
J2n XK
2n
J2n Y K
, onde JxK denota a função maior inteiro em x. Como X e Y são N D, o
2n
resultado segue do Corolário 1.11, pois a função maior inteiro é não-decrescente.
e Yn =
Assim,
EXY = lim E[Xn Yn ] ≤ lim (EXn EYn ) = lim EXn lim EYn = EXEY.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
iii) Para o caso geral com X = X + − X − e Y = Y + − Y − , temos
EXY = E(X + Y + ) − E(X + Y − ) − E(X − Y + ) + E(X − Y − ).
(1.10)
Como X + , Y + , X − e Y − são não-negativas e N D (Ver Exemplo 1.12), de ii) tem-se
E(X + Y + ) ≤ EX + EX − e EX − Y − ≤ EX − EY − .
(1.11)
Afirmação: As variáveis aleatórias X e −Y são ND se, e somente se,
P (X ≤ x, Y ≤ y) ≥ P (X ≤ x)P (Y ≤ y).
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27
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Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
Prova:
Se X e −Y são ND, temos
P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x, −Y ≥ −y) ≥
≥ P (X ≤ x)P (−Y ≥ −y) =
= P (X ≤ x)P (Y ≤ y).
Reciprocamente, se X e Y são tais que P (X ≤ x, Y ≤ y) ≥ P (X ≤ x)P (Y ≤ y),
então
P (X ≤ x, −Y ≤ y) = P (X ≤ x) − P (X ≤ x, −Y > −y) ≤
≤ P (X ≤ x) − P (X ≤ x)P (Y < −y) =
= P (X ≤ x)[1 − P (Y < −y)] =
= P (X ≤ x)P (−Y ≤ y).
Portanto X e −Y são N D.
No Exemplo 1.13 verificamos que se X e Y são v.a’s N D, então, X + e −Y − , Y + e
−X − também são N D. Daí, pela Afirmação,
P (X + ≤ x, Y − ≤ y) ≥ P (X + ≤ x)P (Y − ≤ y);
(1.12)
P (X − ≤ x, Y + ≤ y) ≥ P (X − ≤ x)P (Y + ≤ y).
(1.13)
De modo inteiramente análogo à demonstração dos itens i) e ii) mostra-se a partir de
(1.12) e (1.13) que
EX + Y − ≥ EX + EY − e EX − Y + ≥ EX − EY + .
(1.14)
Logo, o resultado segue de (1.10), (1.11) e (1.14).
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28
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Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
Finalmente, como Cov(X, Y ) = EXY − EXEY , temos
Cov(X, Y ) ≤ EXEY − EXEY = 0.
Uma técnica chave em teoria da probabilidade para se provar teoremas limites é
fazer truncamentos. Dois métodos alternativos de truncagem de uma variável aleatória
X são:
Y = XI(a≤X≤b)
(1.15)
Y ′ = XI(a≤X≤b) + aI(X<a) + bI(X>b)
(1.16)
onde a e b são constantes reais tais que −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Um ou ambos os sinais
de igualdade no conjunto da função indicadora de (1.15) pode ser suprimido.
Para variáveis aleatórias negativamente dependentes ocorre um sério problema ao
aplicar os métodos usuais de prova (i.e., os métodos para variáveis aleatórias independentes) na obtenção das Leis dos Grandes Números, uma vez que, ao truncar variáveis
aleatórias ND, as novas variáveis encontradas podem não ser ND, mesmo quando estas
são identicamente distribuídas.
Por exemplo, sejam Ω = {a, b, c, d}, F uma σ−álgebra de subconjuntos de Ω e P
assumindo 1/4 para cada resultado. Então as variáveis aleatórias X e Y definidas sobre
o espaço de probabilidade (Ω, F, P) dado por:
ω
a
b
c
d
X(ω)
2
1
0
−2
Y (ω)
−2
1
0
2
são ND, mas |X(ω)| ≡ |Y (ω)| para todo ω ∈ Ω and XI(|X|≤1) (ω) ≡ Y I(|Y |≤1) (ω) para
todo ω ∈ Ω. Com isso, U = XI(|X|≤1) e V = Y I(|Y |≤1) não são N D.
No entanto, o Corolário 1.14(b) mostra que o método de truncamento (1.16) preserva
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29
Departamento de Matemática
Capítulo 1
1.4 Propriedades de Dependência Negativa
variáveis aleatórias ND e será útil na obtenção das Leis dos Grandes Números nos próximos capítulos.
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30
Departamento de Matemática
Capı́tulo
2
Lei Fraca dos Grandes Números para v.a’s
ND
2.1
Introdução
No fim do século XVII e início do século XVIII, James Bernoulli provou um teorema que só foi publicado após a sua morte no ano de 1713 em Ars Conjectandi (A
arte da construção de conjecturas) [16]. Ele considerou uma sequência de ensaios do
tipo “sucesso-fracasso” independentes, onde cada ensaio tem mesma probabilidade p de
“sucesso” e mostrou que se Sn é o número de sucessos nos primeiros n ensaios, então
Sn
converge para p, quando n → ∞ [21].
n
Teorema 2.1 (Lei Fraca de Bernoulli). Sejam X1 , X2 , . . . variáveis aleatórias indepenSn P
dentes com distribuição Bernoulli(p). Então
→ p, onde Sn = X1 + . . . + Xn .
n
Em 1866, o matemático Russo P.L. Chebyshev através de um método que usa
a chamada Desigualdade de Chebyshev, provou que se X1 , X2 , . . . são v.a.’s duas a
Sn − ESn
duas independentes com variâncias finitas e uniformemente limitadas, então
n
31
Capítulo 2
1.1 Introdução
converge para 0, quando n → ∞. Na realidade, Chebyshev provou o seguinte resultado,
que pode ser visto em [12].
Teorema 2.2 (Lei Fraca L2 ). Considere X1 , X2 , . . . variáveis aleatórias não correlacionadas tais que EXi = µ e var(Xi ) ≤ C < ∞. Se Sn = X1 + · · · + Xn então
Sn /n → µ em L2 e consequentemente, também em probabilidade.
Mais tarde em 1928, A.Ya. Khinchin conseguiu mostrar utilizando o método de
truncamento, que se as v.a.’s Xn são independentes e também identicamentes distribuídas, então a existência de EX é uma condição suficiente para se deduzir a Lei
Fraca dos Grandes Números, sem a hipótese de variância finita. Mais precisamente,
ele provou o
Teorema 2.3 (Lei Fraca de Khinchin). Se X1 , X2 , . . . são v.a.’s i.i.d. com E|X1 | < ∞
Sn P
→ µ.
e EXn = µ, então
n
Até aqui, foram consideradas leis fracas para variáveis aletórias independentes com
média finita. Mas podemos encontrar leis fracas que também são aplicadas a v.a.’s com
média infinita ou sem média. Kolmogorov e Feller obtiveram condições necessárias e
suficientes para uma sequência de v.a.’s independentes X1 , X2 , . . . obedecer a Lei dos
Grandes Números (Ver [9] p.116 e [29] p.205).
O próximo teorema é uma extensão do resultado provado por Kolmogorov e Feller,
para arranjos triangulares.
Teorema 2.4 (LfGN’s para arranjos triangulares). Considere (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n)
um arranjo de variáveis aleatórias independentes com funções de distribuição (Fni ; n ≥
n
X
1) e Sn =
Xni . Seja (bn ; n ≥ 1) uma sequência de números reais positivos com
i=1
bn ↑ +∞. Supondo que
(i)
n
X
i=1
P (|Xni | > bn ) → 0 com n → ∞,
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32
Departamento de Matemática
Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
n Z
1 X
(ii) 2
x2 dFni (x) → 0 com n → ∞,
bn i=1 (|x|≤bn )
e tomando an =
n Z
X
i=1
xdFni (x), temos
(|x|≤bn )
Sn − an P
→ 0.
bn
Para a demonstração ver [12].
Feller mostrou que para uma sequência de v.a.’s. vale o seguinte:
Teorema 2.5. Suponha que (Xn ; n ≥ 1) v.a.’s são i.i.d. e Sn =
n
X
Xi . Então
i=1
Sn
− cn → 0 em probabilidade se, e somente se, nP (|X1 | > n) → 0 com n → ∞, onde
n
cn = E X1 I(|X1 |≤n) .
Demonstração: Ver [8], [12] ou [29], .
Observe que neste resultado não se faz nenhuma suposição sobre um primeiro momento finito. Além disso é possível mostrar que a lei fraca de Khinchin segue como
corolário desse teorema (Ver [12]).
2.2
Lei Fraca dos Grandes Números para arranjo de
v.a.’s ND
Nesta seção apresentaremos algumas leis fracas para variáveis aleatórias negativamente
dependentes. O primeiro resultado é uma extensão do Teorema 2.4 para arranjos de
variáveis aleatórias negativamente dependentes. As hipóteses são similares e a idéia
da demonstração é basicamente a mesma, mudando apenas o método de truncamento
das variáveis. Vimos na Seção 1.4 do Capítulo 1, que o método de truncagem utilizado
para demonstrar teoremas limites com a hipótese de idependência entre as variáveis
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33
Departamento de Matemática
Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
aleatórias não vale em geral quando as variáveis em questão são N D. A diferença nas
truncagens está no fato de que a primeira é uma função não monótona e a segunda
é monótona não-decrescente. Como foi mostrado no Corolário 1.14, o método 1.16
preserva v.a.’s N D e será utilizado a partir de agora. Uma das vantagens do próximo
resultado é que não precisamos de nenhuma hipótese sobre os momentos, podendo
considerar assim, variáveis aleatórias com primeiro momento infinito ou sem primeiro
momento.
Teorema 2.6. Sejam (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) um arranjo de variáveis aleatórias ND
duas a duas em cada linha com funções de distribuição (Fni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) e
n
X
Sn =
Xni . Seja (bn ; n ≥ 1) uma sequência de números reais positivos crescendo
i=1
para ∞ e suponha que
n
X
i=1
e
(2.1)
P (|Xni | > bn ) → 0, com n → ∞,
n Z
1 X
x2 dFni (x) → 0 com n → ∞.
b2n i=1 (|x|≤bn )
Então,
(2.2)
Sn − an P
→ 0,
bn
onde an =
n Z
X
i=1
xdFni (x).
(|x|≤bn )
Demonstração:
Para n ≥ 1 e 1 ≤ i ≤ n, defina
Yni = Xni I(|Xni |≤bn ) + bn I(Xni >bn ) − bn I(Xni <−bn ) e Tn =
Com isto, P (Tn 6= Sn ) ≤
n
X
i=1
P (Yni 6= Xni ) =
P (Tn 6= Sn ) → 0, com n → ∞.
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34
n
X
i=1
n
X
Yni .
i=1
P (|Xni | > bn ), donde por (2.1),
Departamento de Matemática
Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
Do Corolário 1.14, (Yni ; n ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n) são ND. Assim, pelo Lema 1.15 temos
V ar
Tn
bn
=
n
X
V ar
i=1
Yni
bn
+2
X
Cov
i<j
Yni Ynj
,
bn bn
≤
( X
2 )
n
2
Yni
Yni
Yni
≤
V ar
E
≤
=
− E
b
b
b
n
n
n
i=1
i=1
n
n
2
X
1 X
Yni
= 2
E(Yni )2 =
≤
E
bn
bn i=1
i=1
n
X
n
2
1 X E Xni I(|Xni |≤bn ) + bn I(Xni >bn ) − bn I(Xni <−bn ) =
= 2
bn i=1
n
1 X 2
E Xni I(|Xni |≤bn ) + b2n I(Xni >bn ) + b2n I(Xni <−bn ) −
b2n i=1
− 2bn Xni I(|Xni |≤bn ) I(Xni <−bn ) − 2b2n I(Xni >bn ) I(Xni <−bn ) =
)
( n
n
X
1 X
2
= 2
=
E I(Xni >bn ) + I(Xni <−bn )
E[Xni
I(|Xni |≤bn ) ] + b2n
bn i=1
i=1
=
n
n
X
1 X
2
E[Xni I(|Xni |≤bn ) ] +
= 2
E I(Xni >bn )∪(Xni <−bn ) =
bn i=1
i=1
n
n
X
1 X
2
E[Xni I(|Xni |≤bn ) ] +
P [(Xni > bn ) ∪ (Xni < −bn )] =
= 2
bn i=1
i=1
Z
n
n
X
1 X
2
x Fni (x) +
P (|Xni | > bn )
= 2
bn i=1 (|x|≤bn )
i=1
Tn
Daí, de (2.1) e (2.2), V ar
→ 0, com n → ∞.
bn
Agora, dado ε > 0 arbitrário, temos
Sn − ETn Sn − ETn P = P >ε
> ε, Sn 6= Tn +
bn
bn
Tn − ETn + P > ε, Sn = Tn ≤
bn
Tn − ETn ≤ P (Sn 6= Tn ) + P >ε .
bn
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35
(2.3)
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Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
Da desigualdade de Tchebyshev,
V ar
Tn
Tn − ETn T
n
>ε ≤
>ε =P −E
P bn
bn
bn ε2
com n → ∞. Logo de (2.3),
Tn
bn
→ 0,
Sn − ETn P
→ 0.
bn
Por outro lado,
ETn =
n
X
E Xni I(|Xni |≤bn ) + bn I(Xni >bn ) − bn I(Xni <−bn ) =
i=1
i=1
i=1
=
=
n
X
n
n
X
X
EI(Xni <−bn ) =
EI(Xni >bn ) − bn
E Xni I(|Xni |≤bn + bn
n Z
X
i=1
xdFni (x) + bn
(|x|≤bn )
= an + b n
donde,
"
i=1
n Z
X
i=1
(x>bn )
n
dFni (x) −
ETn − an X
=
bn
i=1
Por (2.1),
n Z
X
i=1
Z
dFni (x) +
(x>bn )
i=1
n Z
X
(x>bn )
(x>bn )
n Z
X
i=1
(x<−bn )
i=1
dFni (x) =
(x<−bn )
#
dFni (x)
(x<−bn )
dFni (x) −
n Z
X
i=1
dFni (x) − bn
n Z
X
n Z
X
i=1
dFni (x)
(2.4)
(x<−bn )
dFni (x) → 0 com n → ∞.
Logo cada parcela de (2.4) converge para 0 e com isto,
ETn − an
→ 0, com n → ∞.
bn
Portanto,
S n − an
Sn − ETn ETn − an P
→ 0.
=
+
bn
bn
bn
No próximo teorema, vamos utilizar um p-ésimo momento 1 < p < 2. Este teorema
é uma consequência do Teorema 2.6 com bn = n1/p e an = 0. A vantagem é que não
precisamos verificar se as variáveis satisfazem as condições (2.1) e (2.2), que provavelmente seria um pouco mais trabalhoso. Observe que se E|X|2p < ∞, então a condição
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36
Departamento de Matemática
Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
2.6 é satisfeita (Ver Lema 3.8 p.47). A desigualdade 2.5 significa que para cada n e
′
i a cauda da distribuição das Xni
s são limitadas pela cauda da distribuição de X. O
método utilizado na demonstração do Teorema 2.8 exige a condição 1 < p < 2. Mas
antes, precisamos do seguinte:
Lema 2.7. Para qualquer variável aleatória X, r ≥ 1 e p > 0, tem-se
Z n1/p
r
tr−1 P (|X| > t)dt;
(a) E |X| I(|X|≤n1/p ) ≤ r
0
(b) E |X|I(|X|>n1/p ) = n
Demonstração:
1/p
1/p
P (|X| > n
)+
0
=
≤
Z
∞
P (Y > y, |X| ≤ n1/p )dy =
0
∞
P (Y > y, |X| ≤ n
0
1/p
)dy =
nr/p
Z
P (|X|r > y, |X| ≤ n1/p )dy ≤
0
nr/p
n1/p
Z
P (|X|r > y)dy = r
tr−1 P (|X| > t)dt.
0
0
(b) Pondo Y = |X|I(|X|>n1/p ) , temos
Z ∞
EY =
P (Y > y)dy =
0
Z ∞
Z
1/p
=
P (Y > y, |X| > n )dy +
0
=
P (|X| > t)dt.
n1/p
(a) Fazendo Y = |X|r I(|X|≤n1/p ) , temos
Z ∞
EY =
P (Y > y)dy =
0
Z ∞
Z
1/p
=
P (Y > y, |X| > n )dy +
Z
∞
Z
Z
P (Y > y, |X| ≤ n1/p )dy =
0
n1/p
1/p
P (Y > y, |X| > n
0
Z
∞
n1/p
)dy +
∞
n1/p
Z
1/p
Z
∞
P (Y > y, |X| > n1/p )dy =
P (|X| > y)dy =
)dy +
n1/p
0
Z ∞
1/p
1/p
P (|X| > t)dt.
= n P (|X| > n ) +
=
P (|X| > n
n1/p
Universidade de Brasília
37
Departamento de Matemática
Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
Teorema 2.8. Sejam (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) um arranjo de variáveis aleatórias ND
duas a duas em cada linha com EXni = 0 e X uma variável aleatória tal que
P (|Xni | > t) ≤ P (|X| > t), ∀ t > 0.
(2.5)
nP (|X|p > n) → 0 para algum 1 < p < 2,
(2.6)
Se
então:
n
1 X
n1/p
Demonstração:
De (2.5), tem-se
por (2.6),
n
X
i=0
n
X
i=0
i=1
P (|Xni | > n1/p ) ≤
P
Xni → 0
n
X
P (|X| > n1/p ) = nP (|X| > n1/p ), donde
i=0
P (|Xni | > n1/p ) → 0, com n → ∞ e 1 < p < 2. De (2.6), dado ε > 0
arbitrário, podemos encontrar A = A(ε) tal que para para todo t ≥ A,
P (|X| > t) ≤
ε(p − 1)
.
tp
(2.7)
Assim, do Lema 2.7(a), para todo n ≥ Ap , temos
n
n Z 1/p
2 X n
1 X 2
tP (|Xni | > t)dt ≤ (por 2.5)
E Xni I(|Xni |≤n1/p ) ≤
n2/p i=1
n2/p i=1 0
Z n1/p
2n
≤
tP (|X| > t)dt =
n2/p 0
#
"Z
Z n1/p
A
2n
tP (|X| > t)dt ≤ (por 2.7)
=
tP (|X| > t)dt +
n2/p 0
A
"Z
#
Z n1/p
A
ε(p − 1)
2n
dt ≤
t
tP (|X| > t)dt +
≤
n2/p 0
tp
A
nA2
2ε(p − 1)n p1 (2−p)
≤
− A2−p ] =
+
[n
2/p
2/p
n
(2 − p)n
2ε(p − 1) 2ε(p − 1) 1− p2 2−p
≤
−
n A
2−p
2−p
2
2ε(p − 1)
≤ n1− p A2 +
2−p
2
= n1− p A2 +
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38
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Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
n
1 X
2ε(p − 1)
2
≤
E
X
I
e sendo ε > 0 arbi1/p
(|X
|≤n
)
ni
ni
n→∞ n2/p
2−p
i=1
n
1 X 2
trário segue que 2/p
E Xni I(|Xni |≤n1/p ) → 0 com n → ∞. Do Teorema 2.6 temos
n
i=1
n
X
Sn − an P
→
0,
onde
a
=
E
X
I
que
1/p ) . Daí, a prova estará completa se
n
ni
(|X
|≤n
ni
n1/p
i=1
mostrarmos que
Como 2/p > 1 então lim
n
1 X
n1/p
i=1
E Xni I(|Xni |≤n1/p ) → 0 com n → ∞.
(2.8)
Dado que EXni = 0 temos,
E Xni I(|X
1/p )
ni |≤n
= EXni − E Xni I(|X |>n1/p ) ≤
ni
≤ E |Xni |I(|Xni |>n1/p ) .
Do Lema 2.7(b) tem-se
n
n
1 X
1 X E Xni I(|Xni |≤n1/p ≤ 1/p
E |Xni |I(|Xni |>n1/p ) =
1/p
n
n
i=1
i=1
!
n
n
X
XZ ∞
1
P (|Xni | > t)dt ≤ (por 2.5)
n1/p P (|Xni | > n1/p ) +
=
n1/p i=1
1/p
i=1 n
Z ∞
n
1/p
≤ nP (|X| > n ) + 1/p
P (|X| > t)dt.
(2.9)
n
n1/p
Como nP (|X| > n1/p ) = nP (|X|p > n) → 0, de (2.6), o primeiro termo de (2.9) tende
para 0 com n → ∞. Por outro lado, para ε > 0 arbitrário e para todo n ≥ Ap , segue-se
a partir de (2.7) que
n
n1/p
∞
n
P (|X| > t)dt ≤
n1/p
n1/p
Z
=
∞
ε
(p − 1) p dt =
t
n1/p
Z
(n1/p )1−p
n
ε(p
−
1)
=ε
n1/p
p−1
(2.10)
implicando que o segundo termo de (2.9) vai para 0 com n → ∞, donde segue o resultado.
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39
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Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
O próximo resultado é uma lei fraca obtida como consequência do Teorema 2.6.
Veremos que a condição (2.11) implica em (2.1) com bn = n e a dificuldade maior na
prova do Teorema 2.9 está na verificação da condição (2.2). Uma outra observação, é
que a condição (2.11) pode ocorrer sem a existência de um primeiro momento finito
(Ver Exemplo 1 em [29] p.208). Por outro lado, se E|X| < ∞, é possível mostrar que
nP (|X| > n) → 0 com n → ∞. A demonstração desse fato pode ser vista em [30] p.46.
Teorema 2.9. Sejam (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) um arranjo de variáveis aleatórias ND
duas a duas em cada linha e X uma variável aleatória satisfazendo (2.5) e
nP (|X| > n) → 0 com n → ∞.
(2.11)
Então
n
1X
P
(Xni − cni ) → 0,
n i=1
onde cni = E Xni I(|Xni |≤n) .
Demonstração:
Por (2.5) e (2.11) temos
n
X
i=1
P (|Xni | > n) ≤
n
X
i=1
P (|X| > n) = nP (|X| > n) → 0, com n → ∞.
Por outro lado,
n
X
i=1
n
h
i
X
2
2
E Xni
I∪nj=1 (j−1<|Xni |≤j) =
E Xni I(|Xni |≤n) =
i=1
=
n
X
i=1
=
E
"
n X
n
X
i=1 j=1
=
n
X
#
I(j−1<|Xni |≤j) =
j=1
2
E Xni
I(j−1<|Xni |≤j) =
n X
n Z
X
i=1 j=1
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2
Xni
(j−1<|x|≤j)
40
x2 dFni (x) ≤
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Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
≤
=
n X
n Z
X
i=1 j=1
n X
n
X
i=1 j=1
=
n X
n
X
i=1 j=1
=
n
X
i=1
j 2 dFni (x) =
(j−1<|x|≤j)
j 2 P (j − 1 < |Xni | ≤ j) =
j 2 [P (|Xni | > j − 1) − P (|Xni | > j)] =
{P (|Xni | > 0) − P (|Xni | > 1) +
+ 22 [P (|Xni | > 1) − P (|Xni | > 2)] +
+ 32 [P (|Xni | > 2) − P (|Xni | > 3)] + · · · +
+ n2 [P (|Xni | > n − 1) − P (|Xni | > n)] =
n
X
=
P (|Xni | > 0 + (22 − 1)P (|Xni | > 1) + (32 − 22 )P (|Xni | > 2) +
i=1
+ · · · + (n2 − (n − 1)2 )P (|Xni | > n − 1) − n2 P (|Xni | > n) =
"
#
n−1
n
X
X
P (|Xni | > 0) − n2 P (|Xni | > n) +
(2j + 1)P (|Xni | > j) ≤
=
j=1
i=1
≤
n
X
i=1
"
1+
= n+2
n−1
X
j=1
(2j + 1)P (|Xni | > j) =
n X
n−1
X
i=1 j=1
= n+2
n−1 X
n
X
j=1 i=1
≤ n + 2n
n−1
X
#
jP (|Xni | > j) +
jP (|Xni | > j) +
jP (|X| > j) + n
j=1
n X
n−1
X
i=1 j=1
n−1 X
n
X
j=1 i=1
n−1
X
P (|Xni | > j) =
P (|Xni | > j) ≤ (por 2.5)
P (|X| > j)
j=1
De (2.11) segue-se que
n−1
n−1
n
1
1X
2X
1 X 2
jP (|X| > j) +
P (|X| > j) → 0
E Xni I(|Xni |≤n) ≤ +
n2 i=1
n n j=1
n j=1
Universidade de Brasília
41
Departamento de Matemática
Capítulo 2
1.2 Lei Fraca do Grandes Números para arranjo de v.a.’s ND
com n → ∞, uma vez que lim nP (|X| > n) = 0 implica que
n→∞
n
1X
lim
jP (|X| > j) = 0.
n→∞ n
j=1
#
" n
n
n
n
X
X
1
1X
1 X
Agora,
Xni −
cni = (Sn − an ), onde Sn =
Xni
(Xni − cni ) =
n i=1
n i=1
n
i=1
i=1
n
X
e an =
cni . Portanto, o resultado segue do Teorema 2.6, com bn = n.
i=1
Corolário 2.10. Seja (Xn ; n ≥ 1) uma sequência de variáveis aleatórias ND duas a
duas identicamente distribuídas. Se
nP (|X1 | > n) → 0 com n → ∞,
(2.12)
então
n
1X
P
(Xi − cn ) → 0
n i=1
(2.13)
onde cn = E X1 I(|X1 |≤n) + o(1), n ≥ 1.
Demonstração:
Sendo X1 , X2 , . . . identicamente distribuídas, temos P (|Xn | > t) = P (|X1 | >
t), ∀ t > 0, ou seja, (Xn ; n ≥ 1) satisfaz (2.5). Logo o resultado segue do teorema
anterior.
Observação: No caso em que as v.a.’s são independentes e identicamente distribuídas,
as condições (2.12) e (2.13) são equivalentes (Teorema 2.5).
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42
Departamento de Matemática
Capı́tulo
3
Lei Forte dos Grandes Números para v.a.’s
ND
3.1
Introdução
Neste capítulo introduzimos um conceito de convergência que implica em convergência
quase certa. A partir desse conceito, mostramos na Seção 3.2 (Teorema 3.9) uma lei
forte dos grandes números para variáveis aleatórias negativamente dependentes, onde o
item (iii) é a extensão de um resultado válido para variáveis aleatórias independentes e
que foi provado por Marcinkiewicz e Zygmund (Teorema 3.3). Apresentamos também
duas leis dos grandes números em que não é necessária a hipótese de dependência
negativa (Teorema 3.10).
Definição 3.1. Seja (Xn ; n ≥ 1) uma sequência de variáveis aleatórias. Dizemos que
(Xn ; n ≥ 1) converge para 0 completamente se para todo ε > 0, temos
∞
X
n=1
P (|Xn | > ε) < ∞.
C
Notação: Xn → 0.
43
Capítulo 3
1.1 Introdução
Esta definição foi introduzida em 1947 por Hsu e Robbins [18]. Utilizando o lema de
Borel-Cantelli é possível mostrar que convergência completa implica em convergência
quase-certa. Para a demonstração ver [1] p.224 ou [31] p.11. A recíproca vale para
variáveis aleatórias independentes, mas é falsa em geral. (Ver [1]).
Para convergência completa é válida a seguinte propriedade:
Propriedade 3.2.
C
C
C
a) Se Xn → 0 e Yn → 0 então Xn + Yn → 0.
C
b) Se Xn → 0 e (an ; n ≥ 1) é uma sequência de números reais tal que an → 0 com
C
n → ∞, então Xn + an → 0.
Demonstração:
C
C
a) Como Xn → 0 e Yn → 0, então
todo ε > 0. Assim
∞
X
∞
X
n=1
P (|Xn | > ε) < ∞ e
∞
X
n=1
P (|Yn | > ε) < ∞, para
∞
X
∞
ε X ε
P (|Xn + Yn | > ε) ≤
P |Xn | >
+
< ∞, ∀ ε > 0.
P |Yn | >
2
2
n=1
n=1
n=1
C
Portanto Xn + Yn → 0.
ε
b) Se an → 0 com n → ∞, então dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |an | < .
2
Daí
n0
n0
∞
X
ε
ε
ε X
ε X
P |an | >
P |an | >
=
+
=
< ∞.
P |an | >
P |an | >
2
2
2
2
n=1
n=1
n=n +1
n=1
∞
X
0
C
Por outro lado, como Xn → 0 temos que
∞
X
ε
< ∞, ∀ ε > 0.
P |Xn | >
2
n=1
Assim,
∞
X
∞
X
∞
ε X ε
P (|Xn + an | > ε) ≤
P |Xn | >
+
< ∞.
P |an | >
2
2
n=1
n=1
n=1
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44
Departamento de Matemática
Capítulo 3
1.1 Introdução
C
Portanto Xn + an → 0.
Para sequências (Xn ; n ≥ 1) de variáveis aleatórias independentes e identicamente
distribuídas, Borel mostrou que (Xn ; n ≥ 1) obedece a Lei Forte dos Grandes Números
se, E|X1 |4 < ∞. Em 1956, Kolmogorov melhorou significamente este resultado e
reduziu a condição de momento para E|X1 | < ∞. Depois em 1981, Etemadi conseguiu
mostrar que a mesma lei continua válida, assumindo apenas que as v.a.’s sejam duas
a duas i.i.d. com E|X1 | < ∞. Marcinkiewicz e Zygmund generalizaram o resultado
de Kolmogorov e provaram uma lei forte para (Xn ; n ≥ 1) quando E|X|p < ∞ para
algum 1 ≤ p < 2. Mas precisamente eles mostraram o seguinte
Teorema 3.3. Se X1 , X2 , . . . são variáveis aleatórias independentes, identicamente
distribuídas com EX1 = 0 e se 1 ≤ p < 2, então
n
1 X
n1/p
i=1
Xi → 0, q.c.
se, e somente se E|X1 |p < ∞.
(3.1)
Para a demonstração ver [8] p.122 e [1] p.256.
A equivalência em (3.1) é uma generalização da Lei Forte dos Grandes Números de
Kolmogorov com p = 1.
Os dois próximos teoremas são válidos para arranjos de v.a.’s independentes, cujas
provas serão omitidas e podem ser encontradas em [14] e [20].
Teorema 3.4. Seja (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) um arranjo de v.a.’s i.i.d. tal que
EX11 = 0. Então para 1 ≤ p < 2,
n
1 X
n1/p
i=1
Xni → 0 completamente se, e somente se, E|X11 |2p < ∞.
Teorema 3.5. Se (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) um arranjo de v.a.’s independentes em cada
linha com EXni = 0 e se existe uma v.a. X tal que P (|Xni | > t) ≤ P (|X| > t), ∀ t > 0
Universidade de Brasília
45
Departamento de Matemática
Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
e E|X|2p < ∞ para algum 1 ≤ p < 2, então
n
1 X
n1/p
3.2
i=1
Xni → 0 completamente.
Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de
v.a.’s ND
Nesta seção veremos uma lei forte para arranjos de variáveis aleatórias N D (Teorema
3.9) e duas leis (fraca e forte) em que não são necessárias as hipóteses de dependência
negativa e nem EXni = 0 (Teorema 3.10). A condição (i) do Teorema 3.9 para variáveis
independentes é uma consequência da Primeira Lei Forte de Kolmogorov (ver [21]
p.210) e a condição (iii) é uma extensão dos Teoremas 3.3, 3.4 e 3.5 para arranjos de
v.a.’s N D. Para a demonstração do Teorema 3.9, precisaremos dos seguintes lemas:
Lema 3.6. ([3]) Sejam X1 , . . . , Xn v.a.’s NDS e não negativas. Então
!
n
n
Y
Y
EXi .
E
Xi ≤
i=1
i=1
Demonstração:
Como X1 , . . . , Xn são não-negativas e N DS, temos
!
Z ∞
Z ∞
n
Y
=
···
P (X1 > x1 , . . . , Xn > xn )dx1 · · · dxn ≤
E
Xi
0
i=1
≤
Z
0
0
∞
···
Z
0
n
∞Y
i=1
P (Xi > xi )dx1 · · · dxn =
n
Y
EXi
i=1
Lema 3.7. ([3]) Se X é uma v.a. tal que |X| ≤ M q.c. e EX = 0, então
2 EX 2
1 ≤ E(etX ) ≤ et
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2M 2
≤ et
46
, para todo |t| ≤
1
.
M
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Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
Demonstração:
Lembrando que 1 + x ≤ ex , para todo x real, temos
t2 X 2 t3 X 3
t2 X 2 |tX|3
1 + tX ≤ etX = 1 + tX +
+
+ · · · ≤ 1 + tX +
+
+ ··· =
2!
3!
2!
3!
|tX| |tX|2
1
2 2
+
+
+ ··· ≤
= 1 + tX + t X
2!
3!
4!
1
1
1
2 2
+ + · · · ≤ 1 + tX + t2 X 2 .
≤ 1 + tX + t X
2! 3! 4!
Daí,
2 EX 2
1 + tEX ≤ EetX ≤ 1 + tEX + t2 EX 2 ≤ etEX+t
2 EX 2
Como EX = 0, segue que 1 ≤ EetX ≤ et
.
.
Lema 3.8. Para qualquer variável aleatória X e p > 0, se E|X|2p < ∞ então
∞
X
n=1
Demonstração:
2p
E|X|
=
Z
nP (|X|p > n) < ∞.
∞
P (|X|2p > t)dt = (fazendo t = s2 )
0
= 2
Z
∞
p
P (|X| > s)sds = 2
0
∞ Z
X
n=1
an
P (|X|p > s)sds,
(3.2)
an−1
onde a2n−1 − a2n = n, n ≥ 1 e a0 = 0. Daí an ≤ n para todo n ≥ 1.
De fato, se n = 1 tem-se a1 ≤ 1, pois a1 = 1. Suponhamos que an ≤ n, para n ≥ 1.
Então
a2n+1 − a2n = n + 1 ⇒ a2n+1 ≤ n2 + n + 1 ⇒ an+1 ≤
√
n2 + n + 1 ≤ n + 1.
Portanto, pelo Princípio de Indução, an ≤ n, ∀ n ≥ 1.
Agora, se an−1 ≤ s ≤ an , temos s ≤ n e assim (|X|p > n) ⊂ (|X|p > s). Logo de
(3.2),
2p
E|X|
= 2
∞ Z
X
n=1
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an
an−1
p
P (|X| > s)sds ≥ 2
47
∞ Z
X
n=1
an
P (|X|p > n)sds =
an−1
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Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
∞
X
=
p
P (|X| >
n)(a2n
n=1
Como E|X|
2p
< ∞ segue que
∞
X
n=1
− an−1 )ds =
∞
X
nP (|X|p > n).
n=1
nP (|X|p > n) < ∞.
Teorema 3.9. Seja (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) um arranjo de variáveis aleatórias N D
em cada linha tal que EXni = 0 para cada n e i. Então
(i) |Xni | ≤ M, 0 < p < 2 ou
(ii) P (|Xni | > t) ≤ P (|X| > t) para todo t > 0 e E|X|2p < ∞, 0 < p < 2
implica que
n
1 X
n1/p
i=1
Xni → 0 completamente.
Demonstração:
(a) Suponha que |Xni | ≤ M, 0 < p < 2 e ε > 0. Então
#
"
#
#
"
"
∞
n
n
n
∞
∞
1 X
X
X
X
X
X
1
1
P
Xni > ε ≤
Xni > ε +
(−Xni ) > ε =
P
P 1/p
1/p
1/p
n
n
n
n=1
n=1
n=1
i=1
i=1
i=1
#
#
"
"
1
1
1
∞
n
n
∞
−2
− 21
X
X
X
X
p
p
1
εn
εn
1
√
√
+
=
P
Xni >
(−Xni ) >
=
P
M
M
M n i=1
M n i=1
n=1
n=1
∞
∞
1−1 1−1 Pn
Pn
X
X
1
1
εn p 2
εn p 2
√
√
i=1 Xni
i=1 (−Xni )
M
n
M
n
M
=
P e
+
≤ (Des. de Markov)
P e
>e
>e M
n=1
≤
≤
≤
∞
X
n=1
e−
1−1
εn p 2
M
n=1
n=1
∞
X
∞
1−1
i X
i
h 1 Pn
h 1 Pn
εn p 2
√
√
X
(−X )
e− M E e M n i=1 ni ≤ (Lema 3.6)
E e M n i=1 ni +
n
Y
1 1
2 p−2
− ε nM
e
n=1
∞
X
1 1
p−2
e
n=1
= 2
E e
i=1
− εn M
∞
X
n=1
n
Y
h
e
M
1
√ Xni
n
1
M2
M2n
+
e
n
Y
+
∞
X
e
n=1
∞
X
1
e n = 2e
i=1
Universidade de Brasília
∞
X
n=1
1 1
p−2
− εn M
1 1
p−2
− εn M
e
n
Y
h
E e
i=1
n=1
i=1
1 1
p−2
− εn M
i
n
Y
1
M
1
√ (−Xni )
n
i
≤ (Lema 3.7)
2
e M2n M =
i=1
1 1
p−2
− εn M
e
< ∞, pelo teste da integral
48
Departamento de Matemática
Capítulo 3
pois
Z
0
∞
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
b
e−ax dx < ∞, ∀ a > 0, b > 0 e
n
1 X
n1/p
i=1
1 1
− > 0 para 0 < p < 2. Logo
p 2
Xni → 0 completamente.
p
m
≥
e α =
(b) Sejam m um inteiro positivo (m ≥ 4) tal que
m+1
2
Observe que
#
"
#
"
n
n
1 X
ε
1 X
Xni > ε ⊂
Xni I(|Xni |≤nα ) >
∪
n1/p i=1
n1/p i=1
2
1
ε
∪
para algum i, 1 ≤ i ≤ n ∪
Xni >
n1/p
2
m
m+1
1
.
p
∪ [Xni > nα para pelo menos dois valores de i, 1 ≤ i ≤ n] .
Daí,
∞
X
n=1
P
"
n
1 X
n1/p
∞
X
Xni > ε
i=1
#
≤
∞
X
P
n=1
"
n
1 X
n1/p
Xni I(|Xni |≤nα )
i=1
#
ε
>
+
2
ε
X >
para algum i, 1 ≤ i ≤ n +
+
P
1/p ni
n
2
n=1
+
∞
X
n=1
1
P [Xni > nα para pelo menos dois valores de i, 1 ≤ i ≤ n] .
(3.3)
Vamos mostrar que cada termo do lado direito da desigualdade acima é finito.
No segundo termo de (3.3), temos
∞
X
ε
P
para algum i, 1 ≤ i ≤ n =
Xni >
n1/p
2
n=1
"n #
∞
X
[
ε
1
X >
≤
=
P
1/p ni
n
2
n=1
i=1
"n #
∞
[
X
1
ε
≤
P
|Xni | >
≤
1/p
n
2
n=1
i=1
≤
Universidade de Brasília
1
∞ X
n
X
n=1 i=1
ε 1/p ≤ (por (ii))
P |Xni | > n
2
49
Departamento de Matemática
Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
∞ X
n
X
ε 1/p ≤
P |X| > n
=
2
n=1 i=1
∞
X
2 p
=
nP X > n < ∞.
ε
n=1
(3.4)
2
2
2
2p
Fazendo Y = X, temos E|Y | =
E|X|2p < ∞. Daí, pelo Lema 3.8, de (3.4)
ε
ε
segue que
∞
X
1
ε
P
X >
para algum i, 1 ≤ i ≤ n < ∞
1/p ni
n
2
n=1
O terceiro termo de (3.3) pode ser escrito da seguinte forma
∞
X
P [Xni > nα para pelo menos dois valores de i, 1 ≤ i ≤ n] =
n=1


∞
n
X [

=
P
(Xni > nα , Xnk > nα ) ≤
n=1
i,k=1
k6=i
≤
∞ X
n
X
P (Xni > nα , Xnk > nα ) ≤ (Dependência Negativa)
≤
∞ X
n
X
P (Xni > nα )P (Xnk > nα ) ≤ (Por (ii))
≤
∞ X
n
X
n=1
i,k=1
k6=i
≤
∞
X
n(n − 1)(E|X|2p )2 (n−2αp )2 =
=
n=1
n=1
n=1
∞
X
n=1
≤ C
i,k=1
k6=i
i,k=1
k6=i
α
P (|X| > n )P (|X| > n ) =
Cn(n − 1)n−4αp ≤ C
∞
X
n=1
α
∞
X
n=1
∞
X
n=1
n(n − 1)[P (|X| > nα )]2 ≤
n2−4αp ≤ (pois 2 − 4αp ≤ −6/5)
n−6/5 < ∞.
Agora, para o primeiro termo de (3.3), defina
Yni = Xni I(|Xni |≤nα ) + nα I(Xni >nα ) − nα I(Xni <−nα )
Universidade de Brasília
50
(3.5)
Departamento de Matemática
Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
de modo que pelo Corolário 1.14, (Yni ; n ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n) são N D.
Daí
n
1 X
n1/p
Xni I(|Xni |≤nα ) =
i=1
−
=
n
1 X
n1/p
1
n1/p
Yni +
i=1
n
X
n
1 X
n1/p
α
n I(Xni
i=1
>nα )
i=1
+
nα I(Xni <−nα ) −
n1/p
n
1 X
n1/p
n
1 X
i=1
EYni −
n
1 X
n1/p
EYni =
i=1
n
1 X
EXni I(|Xni |≤nα ) +
(Yni − EYni ) + 1/p
n
i=1
i=1
+ nα P (Xni > nα ) − nα P (Xni < −nα )] +
+
=
+
−
n
1 X
n1/p
1
n1/p
i=1
n
1 X
n1/p
nα I(Xni >nα ) =
i=1
n
1 X
EXni I(|Xni |≤nα ) +
(Yni − EYni ) + 1/p
n
i=1
i=1
i=1
n
1 X
n1/p
n I(Xni <−nα ) −
n
X
n
1 X
n1/p
α
i=1
nα I(Xni <−nα ) − P (Xni < −nα ) −
nα I(Xni >nα ) − P (Xni > nα )
(3.6)
Mostraremos que o primeiro, o terceiro e o quarto termos de (3.6) convergem completamente para 0 e o segundo tende a 0 com n → ∞. Para isto, dividiremos a
demonstração em 3 passos.
n
C
1 X α
n I(Xni <−nα ) − P (Xni < −nα ) → 0.
Passo 1: Mostrar que 1/p
n
i=1
α
Seja Zni = n I(Xni >nα ) − P (Xni > nα ) , donde
α
|Zni | ≤ n e
2
EZni
≤n
2α
E|Xni |2p
.
n2pα
(3.7)
1
1
1
> 0, temos
Para δ = − α =
p
p m+1
#
#
"
"
#
"
n
n
∞
∞
n
∞
X
X
X
X
1 X
1 X
1
Zni > ε =
Zni > εnδ =
P
P
Zni > εnδ =
P
1
1/p
α
−δ
n
n
n p i=1
n=1
n=1
n=1
i=1
i=1
Universidade de Brasília
51
Departamento de Matemática
Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
∞
X
=
h
P e
n=1
∞
X
≤
1
nα
Pn
i=1
δ
1
e−εn Ee nα
n=1
∞
X
≤
−εnδ
e
n=1
∞
X
≤
i=1
−εnδ
e
n=1
∞
X
=
≤
=
i=1
>e
Zni
1
E|X|2p n1−2pα
uma vez que an = e
integral,
∞
X
n=1
≤ (Des. de Markov)
≤ (Lemas 3.6 e 3.7)
2
1
2p
2α E|Xni |
n2pα
e n2α n
Pn
E|Xni |2p
n2pα
δ
Pn
E|X|2p
n2pα
i=1
e−εn e
i=1
δ
=
∞
X
n=1
≤ (por (ii))
=
2p n1−2pα
e−εn eE|X|
n=1
≤ K
i
e n2α EZni ≤ (por (3.7))
δ
e−εn e
n=1
∞
X
n
Y
Pn
εnδ
i=1
n=1
∞
X
n
Y
Zni
≤
δ
e−εn < ∞,
(3.8)
é limitada, pois 2pα = 2
m
m+1
≥ 1 e, pelo teste da
δ
e−εn < ∞. Da mesma forma, verifica-se que
∞
X
P
n=1
"
n
1 X
n1/p
i=1
#
Wni > ε < ∞,
(3.9)
onde Wni = nα I(Xni <−nα ) − P (Xni < −nα ) .
n
n
1 X α
1 X α
α
Logo 1/p
n I(Xni <−nα ) − P (Xni < −n ) e 1/p
n I(Xni >nα ) − P (Xni > nα )
n
n
i=1
i=1
convergem completamente para 0.
Passo 2: Mostrar que
n
1 X
n1/p
De (3.5) temos
i=1
C
(Yni − EYni ) → 0.
2
EYni2 = E Xni
I(|Xni |≤nα ) + n2α I(Xni >nα ) + n2α I(Xni <−nα ) −
Universidade de Brasília
52
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Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
i
<
− 2nα Xni I(|Xni |≤nα ) I(Xni <−nα ) − 2n2α I(Xni >nα ) − 2n2α I(Xni >nα ) I(Xni
α
−n ) =
2
= E Xni
I(|Xni |≤nα ) + n2α I(Xni >nα ) + I(Xni <−nα ) =
2
= EXni
I(|Xni |≤nα ) + n2α EI(|Xni |>nα ) =
2
= EXni
I(|Xni |≤nα ) + n2α P (|Xni | > nα ) ≤ (Lema 2.7(a))
Z nα
2α
α
≤ n P (|Xni | > n ) + 2
tP (|Xni | > t)dt =
(3.10)
0
2α
Z
α
= n P (|Xni | > n ) + 2
2α
α
≤ n P (|X| > n ) + 2
≤
E|X|2p
n2α 2αp
n
+1+2
tP (|Xni | > t)dt + 2
0
Z
Z
1
1
tdt + 2
0
nα
t
1
≤ n2α−2αp E|X|2p + 1 +
Z
nα
Z
nα
1
tP (|Xni | > t)dt ≤ (por (ii))
tP (|X| > t)dt ≤ (Des. de Markov)
1
E|X|2p
dt ≤
t2p
E|X|2p 2α−2αp
n
,
|1 − p|
desde que p 6= 1. Assim,
n
X
i=1
E|X|2p 1+2α−2αp
n
=
|1 − p|
E|X|2p
2p
1+2α−2αp
E|X| +
= n
+n=
|1 − p|
EYni2 ≤ n1+2α−2αp E|X|2p + n +
= Cn1+2α−2αp + n, para todo 0 < p < 2 e p 6= 1.
(3.11)
Daí,
∞
X
n=1
P
"
n
1 X
n1/p
i=1
(Yni − EYni ) > ε
#
#
n
δ
X
n
1
=
(Yni − EYni ) > ε =
P
α
2n i=1
2
n=1
∞
X
=
∞
X
n=1
≤
≤
Universidade de Brasília
∞
X
"
i
h
Pn
nδ ε
α −1
i=1 (Yni −EYni ) > e 2
≤ (Markov)
P e(2n )
e−
nδ ε
2
n=1
∞
X
δ
− n2 ε
e
n=1
53
h
i
Pn
α −1
i=1 (Yni −EYni )
E e(2n )
≤ (Lema 3.6)
n
Y
i=1
h
(2nα )−1 (Yni −EYni )
E e
i
≤ (Lema 3.7)
Departamento de Matemática
Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
≤
≤
≤
=
∞
X
n
Y
δ
− n2 ε
e
n=1
∞
X
α )−2 E(Y −EY )2
ni
ni
e(2n
i=1
e−
nδ ε
2
α )−2
e(2n
n=1
∞
X
e−
nδ ε
2
Pn
i=1
2
EYni
≤ (por(3.11))
α )−2 (Cn1+2α−2αp +n)
e(2n
∞
X
≤ K
pois, 1 − 2αp = 1 − 2
m
m+1
(3.12)
=
n=1
e−
εnδ
2
1
1−2αp +n1−2α )
e 4 (Cn
n=1
≤
∞
X
e−
nδ ε
2
n=1
≤
(3.13)
< ∞,
1−m
1
p=
≤ 0, 2α ≥ 1 e δ > 0.
p
m+1
Quando p = 1, de (3.10) temos
EYni2
2α
α
≤ n P (|X| > n ) + 2
2α
α
= n P (|X| > n ) + 2
Z
Z
nα
tP (|X| > t)dt = (fazendo s = t2 )
0
n2α
tP (|X|2 > s)ds ≤ 2EX 2 .
0
Desta forma, de (3.12) segue que
"
#
∞
n
∞
X
X
δ
1 X
− n2 ε (2nα )−2 2nEX 2
P
(Y
−
EY
)
>
ε
≤
e
e
=
ni
ni
1/p
n
n=1
n=1
i=1
=
∞
X
e−
εnδ
2
1
e 2 EX
2 n1−2α
n=1
≤ K
∞
X
n=1
e−
nδ ε
2
< ∞,
≤
(3.14)
n
1 X
1−m
< 0 e δ > 0. Logo 1/p
(Yni − EYni ) converge completavisto que 1 − 2α =
m+1
n
i=1
mente para 0.
Passo 3: Mostar que
n
1 X
n1/p
Universidade de Brasília
i=1
E Xni I(|Xni |≤nα ) → 0 com n → ∞.
54
Departamento de Matemática
Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
Como Xni I(|Xni |≤nα ) = Xni −Xni I(|Xni >nα ) , segue que EXni I(|Xni |≤nα ) = −EXni I(|Xni |>nα ) .
ε
1
Se p > , para n suficientemente grande tal que P (|X| > t) < 2p para t ≥ nα , temos
2
t
n
n
n
1 X
1 X 1 X α) =
α) =
EXni I(|Xni |≤nα ) ≤
E
|X
|I
E
|X
|I
1/p
ni
ni
(|X
|≤n
(|X
|>n
ni
ni
n
n1/p i=1
n1/p i=1
i=1
Z ∞
n 1 X α
α
=
P (|Xni | > t)dt ≤
n P (|Xni | > n ) +
n1/p i=1
nα
Z ∞
n 1 X α
α
≤
P (|X| > t)dt =
n P (|X| > n ) +
n1/p i=1
nα
Z ∞
n
n
α
α
=
n P (|X| > n ) + 1/p
P (|X| > t)dt ≤
n1/p
n
nα
Z ∞
n
ε
1− p1 +α ε
+ 1/p
dt =
≤ n
2αp
2p
n
n
nα t
1
1
= ε(n−2αp− p +α+1 ) + cε(n−2αp− p +α+1 ) =
1
uma vez que −2αp −
Logo
1
p
= (c + 1) n−2αp− p +α+1 → 0, com n → ∞
p(1 − m) − 1
2m
1
1
+1=
+α+1=−
−
< 0.
m+1 p m+1
p(m + 1)
n
1 X
n1/p
i=1
EXni I(|Xni |≤nα ) → 0 com n → ∞.
1
Se p = , então E|X| = E|X|2p < ∞ e daí,
2
Z
n
1 X
1 α
1 ∞
α
P (|X| > t)dt ≤
EXni I(|Xni |≤nα ) ≤
n P (|X| > n ) +
2
n
n
n
α
n
i=1
2
E|X| → 0, com n → ∞.
(3.15)
n
1
1
Para p < , E|X|2p < ∞ implica que P (|X| > t) ≤ 2p onde t ≥ A (para alguma
2
t
1/α
constante A). Assim, para n ≥ A
n
n
1 X
1 X
α
EXni I(|Xni |≤n ) ≤
E|Xni |I(|Xni |≤nα ) ≤ (Lema 2.7(a))
1/p
1/p
n
n
i=1
i=1
≤
Universidade de Brasília
55
Departamento de Matemática
Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
n Z
1 X
≤
n1/p
n1/p
n
=
n1/p
n
=
n1/p
n
≤
n1/p
Logo,
n1/p
i=1
P (|Xni | > t)dt ≤ (por (iii))
0
i=1
n Z
1 X
≤
n
1 X
nα
nα
P (|X| > t)dt =
0
i=1
nα
Z
P (|X| > t)dt =
0
A
Z
P (|X| > t)dt +
Z
P (|X| > t)dt +
Z
A
0
Z
nα
A
−2p
t
A
1−2p
0
n
≤
A+
n1/p
n
≤
A+
n1/p
nα
P (|X| > t)dt ≤
dt ≤
(nα )1−2p
A
≤
−
1 − 2p
1 − 2p
1
1
1
(nα )1−2p
= n1− p A +
n−2αp+α+1− p .
1 − 2p
1 − 2p
1
1
E Xni I(|Xni |≤nα ) → 0 com n → ∞, pois 1− < 0 e −2αp+α+1− =
p
p
p(1 − m) − 1
< 0.
p(m + 1)
Assim, dos passos 1, 2 e 3 temos pela Propriedade
"
n
∞
X
1 X
Xni I(|Xni |≤nα ) >
P
1/p
n
n=1
i=1
3.2 que
#
ε
< ∞.
2
Logo,
∞
X
P
n=1
De forma similar, mostra-se que
∞
X
n=1
uma vez que
′
(Xni
P
n
1 X
n1/p
i=1
n
1 X
n1/p
Xni > ε
!
(−Xni ) > ε
i=1
< ∞.
!
< ∞,
= −Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) também é um arranjo de variáveis
aleatórias N D com as mesmas condições de momento. Portanto
!
!
n
n
∞
∞
1 X
X
X
1 X
Xni > ε
Xni > ε +
P 1/p
≤
P
n
n1/p i=1
n=1
n=1
i=1
!
n
∞
X
X
1
(−Xni ) > ε < ∞, ∀ ε > 0
+
P
1/p
n
n=1
i=1
Universidade de Brasília
56
Departamento de Matemática
Capítulo 3
ou seja,
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
n
1 X
n1/p
i=1
Xni → 0 completamente.
O próximo teorema mostra que nem dependência negativa e nem EXni = 0 são
necessárias para a obtenção de uma lei forte (onde 0 < p < 1/2) ou uma lei fraca (onde
1/2 < p < 1) para arranjos de variáveis aleatórias.
Teorema 3.10. Seja (Xni ; n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) um arranjo de variáveis aleatórias.
Suponha que exista uma v.a. X tal que P (|Xni | > t) ≤ P (|X| > t), ∀ t > 0 e E|X|2p <
∞ para 0 < p < 1. Então
n
1 X
(i) 1/p
Xni → 0 completamente, se 0 < p < 1/2;
n
i=1
n
1 X
Xni → 0 em probabilidade, se 1/2 ≤ p < 1.
(ii) 1/p
n
i=1
Demonstração:
(i)
#
"
"
n
n
∞
1 X
1 X
X
Xni > ε ≤
Xni I(|Xni |≤n1/p ) >
P 1/p
P 1/p
n
n
n=1
n=1
i=1
i=1
"
∞
n
1 X
X
+
P 1/p
Xni I(|Xni |>n1/p ) >
n
n=1
i=1
∞
X
∞
n
2X 1 X
E|Xni I(|Xni |≤n1/p ) | +
≤
ε n=1 n1/p i=1
"n
#
∞
X
[
+
P
(|Xni | > n1/p )
n=1
#
ε
+
2
#
ε
≤
2
(3.16)
i=1
Para o segundo termo de (3.16),
#
"n
∞ X
n
∞
[
X
X
1/p
(|Xni | > n ) ≤
P |Xni | > n1/p ≤
P
n=1
n=1 i=1
i=1
≤
=
∞ X
n
X
n=1 i=1
∞
X
n=1
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P |X| > n1/p =
nP |X| > n1/p < ∞,
(3.17)
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Capítulo 3
1.2 Lei Forte dos Grandes Números para arranjos de v.a.’s ND
pelo Lema 3.8, pois E|X|2p < ∞.
Agora, para o primeiro termo de (3.16),
n
n Z 1/p
∞
∞
X
X
1 X n
1 X
P (|Xni | > t)dt ≤
E|Xni I(|Xni |≤n1/p ) | ≤
1/p
1/p
n
n
0
n=1
n=1
i=1
i=1
Z n1/p
∞
X
1
≤
n
P (|X| > t)dt =
n1/p 0
n=1
Z 1
∞
X
1
n
P (|X| > n1/p s)n1/p ds =
=
1/p
n
0
n=1
Z
∞
1
X
=
n
P (|s−1 X|p > n)ds =
0
n=1
=
Z
≤
Z
0
∞
1X
n=1
nP (|s−1 X|p > n)ds ≤ (Lema 3.8)
1
E|s−1 X|2p ds =
0
= E|X|2p
1
< ∞,
1 − 2p
(3.18)
pois E|X|2p < ∞. Portanto de (3.16), (3.17) e (3.18) segue o resultado.
(ii) Da desigualdade de Markov, dado ε > 0 temos
!
n
n
n
1 1 X
1 X
X
1 1
Xni > ε ≤ E 1/p
Xni ≤
E|Xni |.
P 1/p
ε n1/p
n
ε n
i=1
i=1
i=1
Basta mostrar que
n
1 X
E|Xni | → 0 com n → ∞.
n1/p i=1
Por hipótese, P (|Xni | > t) ≤ P (|X| > t), ∀ t > 0 e p ≥ 1/2 implicam E|Xni | ≤
n
n
1 X
1 X
E|X| < ∞. Assim, 1/p
E|Xni | ≤ 1/p
E|X| = n1−1/p E|X| → 0, quando
n
n
i=1
i=1
n → ∞, dado que p < 1.
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