PUCRS
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
(MECÂNICA DOS SÓLIDOS)
EXERCÍCIOS
Prof. Almir Schäffer
PORTO ALEGRE
JULHO DE 2007
1
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 1 – Mar/2006
1) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte.
P1=4 kN
P2=6
P3=8
A
C
D
2,0
5,0 m
B
3,0
2) Calcular as reações vinculares da viga engastada da figura seguinte.
P1=10 kN
P2=5
60
A
C
2,0
B
3,0 m
2
3) Calcular as reações vinculares do pórtico da figura seguinte.
P1=10 kN
A
2
B
P2=8
1
P3=8
3
3m
3
C
4) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte.
P
A
a
C
b
B
5) Calcular as reações vinculares da viga do exercício 1, usando o PSE (Princípio da
Superposição dos Efeitos) e os resultados do exercício 4.
3
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 2 – Mai/2006
1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das áreas das figuras
seguintes e localizar os mesmos nas figuras.
Cotas em cm.
Y
a)
Y
b)
2
2
8
10
2
4
2
4
X
Y
c)
2
2
2
2
X
2
Y
d)
3
5
3
1
1
3
X
3
X
4
Y
e)
Y
f)
2
4
4
2
2
3
X
1
1,5
1,5
X
3
1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das linhas das figuras
seguintes e localizar os mesmos nas figuras.
Cotas em cm.
Y
a)
10
11
5
X
X
5
Y
c)
Y
b)
2
3
2
Y
d)
60
3
60
40
X
40
X
5
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 3 – Mar/2006
1) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga bi-apoiada da
figura seguinte.
P1=4 kN
S1
A
P2=6
S2
S3
C
1
1
P3=8
D
1
4
2
B
1
5m
2
3
2) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga engastada da
figura seguinte.
P1=10 kN
P2=5
S1
60
S2
A
S3
C
1
1
2
B
1
1
3
1
6
3) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 do pórtico da figura
seguinte.
P1=10 kN
S1
2
1
A
S2
1
B
0,5
0,5
1
P2=8
S3
3
3m
3
C
P3=8
7
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 4 – Mar/2006
1) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga
engastada da figura seguinte.
P
A
B
2) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga biapoiada da figura seguinte.
P
A
C
B
a
b
3) Traçar o diagrama de forças normais para a barra da figura seguinte
P1=5 kN
A
B
4m
C
4m
8m
P2=10 kN
8
4) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga biapoiada da figura seguinte.
q = 2 kN/m
A
B
12 m
5) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga biapoiada da figura seguinte.
A
3
P=8 kN
P=8 kN
C
D
4
B
3
10 m
6) Traçar o diagrama de forças normais para o cabo de guerra da figura sabendo
que o mesmo encontra-se em equilíbrio.
A
0,3 kN
B
0,6
C
D
0,4
E
X
0,2
9
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 5 – Mar/2006
1) Uma barra prismática de 50 m de comprimento tem seção transversal retangular
de 3 cm por 1 cm e está submetida a um esforço de tração de 4 000 kgf. A barra é
de aço com tensão máxima admissível de 1 400 kgf/cm2 e módulo de elasticidade
longitudinal de 2 100 000 kgf/cm2.
P
P
1 cm
50 m
3
Quesitos.
a) Verificar se a barra se encontra (ou não) em boas condições de segurança.
b) Calcular o alongamento da barra.
c) Calcular o alongamento específico da barra.
d) Se a barra apresentar uma certa reserva de segurança, calcular o valor máximo
admissível de P para a mesma.
2) Calcular o esforço de tração
máximo admissível num cabo de aço
de 12 mm de diâmetro, formado por
sete fios de 4 mm de diâmetro cada
um e o alongamento do cabo para
12 mm
este esforço. A tensão de segurança
do aço do cabo é de 5 000 kgf/cm2 e
o
módulo
de
elasticidade
é
de
2 000 000 kgf/cm2. O comprimento
do cabo é de 100 m.
4 mm
10
3) Calcular o diâmetro dos montantes
de uma prensa (de aço) para um
esforço máximo de 200 tf e o
Montante
alongamento por eles sofrido com
C. Prova
este esforço.
A tensão de segurança do aço da
prensa é de 1 000 kgf/cm2 e o
100
cm
Êmbolo
Macaco
módulo de elasticidade do aço é de
2 100 000 kgf/cm2.
4) Uma viga AB é suspensa, por suas
extremidades, por tirantes de aço.
A'
A viga, cujo peso G é de 2 000 kgf,
B'
Tirante
Tirante
G
deve suportar uma carga P de 10 000
P
kgf, como se mostra na figura.
Calcular a área mínima necessária a
seção do tirante mais solicitado sendo
a tensão de segurança do aço dos
tirantes de 1 400 kgf/cm2.
A
B
C
2,50
D
2,50
3,50
5,00 m
1,50
11
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 6 – Mar/2006
1) Uma barra, formada por três trechos prismáticos de seção retangular, está
submetida a um esforço de tração de 10 000 kgf.
A barra é de alumínio com tensão máxima admissível de 750 kgf/cm2 e módulo de
elasticidade longitudinal de 800 000 kgf/cm2.
Verificar se a barra se encontra em boas condições de segurança e, em caso
afirmativo, calcular o alongamento da mesma.
Cotas em cm.
P
A
B
m
C
D
Corte m-n
P
2
6
2
n
300
400
300
2,5
2) Uma barra prismática tem seção transversal quadrada de 8 cm de lado e é
carregada com cargas P como se mostra na figura.
A barra é de pinho com tensão de ruptura (à tração) de 240 kgf/cm2 e módulo de
elasticidade longitudinal de 100 000 kgf/cm2.
Calcular o valor máximo admissível de P para a barra, usando um coeficiente de
segurança 4, e o alongamento da mesma para este valor de P.
Cotas em cm.
A
P
B
C
P
250
P
500
Seção
D
250
P
8
8
12
3) Duas barras de aço (AC e BC),
articuladas
suportam
nas
uma
extremidades,
carga
de
45
tf
A
conforme a figura. Calcular a área
B
4
mínima necessária para a seção da
devendo-se
usar
β
C
de escoamento do aço igual a 2 400
e
4
α
barra mais solicitada, sendo a tensão
kgf/cm2
3
3
P
um
coeficiente de segurança 2.
4) A comporta AB da figura, que pode
se considerada articulada em A, tem
NA máx.
largura de 3 m e está submetida à
B
pressão hidrostática. Em C ela é
1,50
C
presa por um tirante de aço, fixado
Tirante
numa parede, em D.
Calcular a área mínima necessária
para a seção do tirante, com um
3,00
A
coeficiente de segurança 2, sendo a
tensão de escoamento do aço igual a
5 000 kgf/cm2.
5) Um elevador, de 1 000 kgf de peso
Polia
e 500 kgf de capacidade de carga, é
suspenso por 4 cabos de aço de 0,6
Cabos
cm2 de área útil cada um. Qual o
coeficiente de segurança dos cabos
se a tensão de escoamento do aço
dos cabos é de 18 000 kgf/cm2 e a
Elevador
aceleração máxima do elevador de 2
m/s2.
P
D
13
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 7 – Abr/2006
1) Um tubo de ferro fundido, para água, de 20 cm de diâmetro interno, deve ser
submetido à uma pressão interna de 14 kgf/cm2. Qual deve ser a espessura mínima
da parede do tubo, para que não seja ultrapassada a tensão admissível à tração, do
ferro fundido, de 245 kgf/cm2?
p
t
di
t
de
2) Qual a máxima pressão com a qual se pode armazenar um gás num reservatório
esférico de aço de 20 m de diâmetro interno e 1 cm de espessura de parede? A
tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2.
p
14
3) O tanque de um compressor de ar é formado por um cilindro fechado nas
extremidades por calotas semi esféricas. O diâmetro interno do cilindro é de 60 cm e
a pressão interna, do ar, é de 35 kgf/cm2. O material, de que é feito o cilindro, é aço
com limite de escoamento de 2 400 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança à utilizar é
4. Pede-se determinar a espessura da parede do cilindro.
p
4) Um cilindro de ar comprimido, para laboratório, está, normalmente, com a pressão
de 160 kgf/cm2 por ocasião da entrega. A espessura da parede do cilindro deve ser
de 16 mm. O aço de que é feito o cilindro tem limite de escoamento de 2 500
kgf/cm2. Adotando um coeficiente de segurança 2,5, qual o máximo diâmetro
externo para o cilindro?
5) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o êmbolo de um macaco hidráulico
para uma força P de 5 000 kgf. O macaco é alimentado por um tubo de cobre de 9,5
mm de diâmetro externo e de 1,5 mm de espessura de parede. A tensão de
segurança do cobre é de 600 kgf/cm2.
P
D
Êmbolo
Macaco
p
Óleo
Tubo
15
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 8 – Abr/2006
1) Um fio é suspenso de dois pontos num mesmo nível, afastados de 100 m, com
uma flecha de 5 m. O fio pesa 0,613 kgf/m. Calcular a força de tração (H) no fio.
V
H
g
A
V
B
f
H
C
l/2
l/2
2) Qual a mínima flecha com a qual se pode lançar um cabo pesando 4 kgf/m, entre
dois apoios em nível, afastados de 200 m, se a força horizontal nos apoios não deve
ultrapassar 2 000 kgf.
3) Um fio deve ser estendido entre dois pontos com uma flecha de 8% do
afastamento entre os mesmos. O fio pesa 0,900 kgf/m e a força de tração no fio não
deve ultrapassar 395 kgf. Estando os dois pontos num mesmo nível, qual o máximo
afastamento que pode ser usado entre os mesmos.
16
4) Um fio de cobre, de 5 mm de diâmetro, pesando 0,167 kgf/m, é suspenso de dois
pontos num mesmo nível, afastados de 400 m, com uma flecha de 25 m.
Quesitos:
a) calcular as forças, vertical e horizontal, exercidas pelo fio sobre os apoios;
b) calcular os valores, exato e aproximado, da força de tração máxima no fio; e
c) verificar se o fio se encontra (ou não) em boas condições de segurança,
considerando uma tensão máxima admissível para o cobre de 600 kgf/cm2.
5) Um cabo de uma rede de transmissão de energia elétrica é lançado entre duas
torres, A e B, afastadas de 400 m, com uma flecha de 40 m.
Qual deve ser a flecha do cabo entre as torres B e C, afastadas de 300 m, se for
desejado que não surja nenhuma força horizontal produzida pelo peso próprio do
cabo no topo da torre B?
f'
f
g
A
B
l
C
l'
6) Com uma flecha de 100 cm e uma tensão de segurança de 600 kgf/cm2, qual o
maior vão que se pode admitir entre dois postes de uma linha de transmissão de
cobre. O peso específico do cobre é de 8 500 kgf/m3.
17
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 9 – Abr/2006
1) Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço como se indica na figura. Se
o rebite tem diâmetro de 3/4" e a carga P é de 3 tf, qual a tensão de cisalhamento no
rebite?
rebite
P
A
B
P
2) O dispositivo da figura é empregado para determinar a resistência ao
cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura é de 1 100
kgf, qual a tensão de ruptura, por cisalhamento, da junta?
P
A
1,5
4,0 cm
B
C
18
3) Considere-se o pino de 1,27 cm de diâmetro da junta da figura. A força P é de
3 400 kgf. Calcular a tensão de cisalhamento nas seções do pino.
pino
P
P
B
A
4) Em estruturas de aço é comum
empregar o dispositivo da figura com a
finalidade de transmitir as cargas das
vigas para os pilares. Se a reação da
pilar
P
viga é de 10 000 kgf, se são usados
cantoneira
quatro rebites na ligação e se a tensão
de segurança do aço dos rebites ao
cisalhamento é de 1 100 kgf/cm2, qual o
rebite
diâmetro mínimo necessário para a
seção dos rebites.
5) O aço de baixo teor de carbono
P
usado em estruturas tem um limite de
resistência ao cisalhamento da ordem
de 3 160 kgf/cm2. Calcular a força P
necessária para fazer um furo circular
punção
d=2,5
chapa
de 2,5 cm de diâmetro numa chapa
desse aço de 1 cm de espessura.
Calcular
também
a
compressão no punção.
tensão
de
t=1 cm
19
6) As polias são, em geral, ligadas aos
eixos através de chavetas como se
chaveta
mostra na figura. Seja M = 11 500
1
A
kgf.cm o momento de torção aplicado à
1
polia, sejam 1 x 1 x 8 cm as dimensões
B O
da chaveta que liga a polia ao eixo e
polia
M
seja 5 cm o diâmetro do eixo. Calcular a
M
tensão de cisalhamento na chaveta.
eixo
7) Calcular o número de rebites necessários para fixar a viga nos pilares. A força P
aplicada na viga é de 11,5 tf e o peso próprio da viga, neste caso, pode ser
desprezado. Os rebites devem ter 1,27 cm de diâmetro e a tensão de segurança ao
cisalhamento do aço dos rebites é de 800 kgf/cm2.
P
pilar
A
Corte C-C
viga
cant.
reb.
C
3
2
5m
B
C
reb.
cant.
20
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 10 – Mai/2006
1) Calcular a máxima tensão de flexão no poste da figura e verificar se o mesmo se
encontra (ou não) em boas condições de segurança. A tensão máxima admissível no
aço do poste é de 1 400 kgf/cm2, tanto na tração como na compressão.
A
H2 = 200 kgf
H1 = 300 kgf
Corte CC
Fio
8,00 m
C
C
de = 20 cm
B
di = 18 cm
2) Calcular o lado “a” mínimo necessário para a prancha de madeira de pinho da
figura. A tensão de segurança do pinho, na flexão, é de 80 kgf/cm2.
P = 160 kgf
P
Corte CC
C
A
C
C
2,50
2,50
5,00 m
B
a
30 cm
21
3) Calcular o valor máximo admissível de P para o feixe de molas da figura. As
lâminas do feixe, num total de 5, têm seção retangular de 10 cm x 1 cm. A tensão de
escoamento do aço é de 6 000 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança a utilizar é 3.
Cotas em cm.
P
P
Seção do
feixe em B
B
A
A'
eixo
5
10
roda
2.P
20 20 20 20 20
100
200
4) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o eixo do vagão de trem da figura. A
tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2.
P = 10 000 kgf.
Cotas em cm.
P
P
Seção
do eixo
Mancal
Eixo
Roda
Trilho
20
80
R
20
R
d
22
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 11 – Mai/2006
1) Um eixo de aço, de 5 cm de diâmetro, está submetido à um momento de torção
de 19 000 kgf.cm. A tensão de segurança do aço do eixo, ao cisalhamento, é de 800
kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e verificar se o mesmo
se encontra (ou não) em boas condições de segurança.
Mt
d
2) Um eixo de aço, de seção circular oca de 8 cm de diâmetro externo e 6 cm de
diâmetro interno, está submetido a um momento de torção de 54 000 kgf.cm. O aço
do eixo tem tensão de segurança ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de
elasticidade transversal de 800 000 kgf/cm2. Verificar se o eixo se encontra em boas
condições de segurança e calcular o ângulo de torção unitário do mesmo.
di
de
23
3) Num eixo de aço, de seção circular cheia, atua um momento torsor de 250 m.kgf.
A tensão limite de proporcionalidade ao cisalhamento do aço do eixo é de 1 600
kgf/cm2, em relação à qual deve-se usar um coeficiente de segurança 2. Calcular o
diâmetro mínimo necessário para a seção do eixo.
d
4) Um eixo de aço, com 2 m de comprimento e 4,5 cm de diâmetro, está submetido à
um momento de torção de 10 000 kgf.cm. O aço do eixo tem tensão de segurança
ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de elasticidade transversal de 800 000
kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e o ângulo de torção do
mesmo. Verificar se o eixo se encontra (ou não) em boas condições de segurança.
(Nash, p. 86, ex. 5).
d
24
5) Um eixo de aço tem 3 m de comprimento e transmite um momento de torção de
250 tf.cm. O módulo de elasticidade transversal do aço é de 840 000 kgf/cm2 e a
tensão máxima admissível ao cisalhamento é de 840 kgf/cm2. Qual o diâmetro
mínimo que se pode dar ao eixo se o ângulo de torção unitário do mesmo deve ser
limitado a 0,5o/m. (Nash, p. 88, ex. 8).
d
6) Dois eixos, A e B, de mesmo comprimento, são feitos com um mesmo aço
(mesmo G e mesmo τ ). O eixo A tem seção circular cheia com diâmetro de 6 cm e o
eixo B tem seção circular oca com diâmetros externo e interno de 10 e 8 cm,
respectivamente.
Comparar:
a) os volumes de aço gastos na fabricação dos dois eixos;
b) as resistências dos dois eixos; e
c) os ângulos de torção unitários para um mesmo Mt.
A
B
d
di
de
25
PUCRS - FENG
Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 12 – Jun/2007
1) Um veículo, com potência de 60 HP, alcança, no plano, uma velocidade máxima
de 120 km/h. Calcular a resistência oferecida pelo ar ao deslocamento do veículo
nessa velocidade.
v
R = a.v + b.v
2
F
F'
2) Qual a potência máxima, em HP, que um eixo de aço de 6 cm de diâmetro, pode
transmitir com a velocidade angular de 250 rpm. A tensão de segurança do aço, ao
cisalhamento, é de 800 kgf/cm2. (Nash, p. 98, ex. 22).
d
26
3) Um eixo de seção variável, como se indica na figura, é de aço com G = 0,84E06
kgf/cm2. Determinar a tensão máxima de cisalhamento em cada um dos trechos de
seção constante e os giros das seções B e A. (~ Nash, p. 93, ex. 13).
A
B
0,6 tf
C
0,9 tf
d = 10
d = 7,5
100 cm
0,6 tf
0,9 tf
80
120 cm
4) O eixo da figura compõem-se de um trecho de latão e outro de alumínio, com 60
cm de comprimento cada. O diâmetro do eixo é constante e igual à 6 cm. O limite de
proporcionalidade ao cisalhamento do latão é de 1 000 kgf/cm2 e o do alumínio
1 550 kgf/cm2. Adota-se um coeficiente de segurança 2 em relação à essas tensões.
Se o deslocamento angular (giro) da extremidade direita do eixo è limitado à 1o, qual
o máximo momento que pode ser aplicado ao eixo? Os valores de G, para o latão e
para o alumínio, são 350 000 e 280 000 kgf/cm2, respectivamente. (~ Nash, p. 94,
ex. 14).
A
B
C
F
Latão
Alumínio
b
d = 6 cm
F
60 cm
60