Sistemas - ALGA - 2004/05
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Sistemas de equações lineares
Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x1 ; x2 ; :::; xn é uma expressão da forma:
a1 x1 + a2 x2 + ::: + an xn = b
onde a1 ; a2 ; :::; an ; b são constantes reais.
Uma solução de uma equação linear a1 x1 + a2 x2 + ::: + an xn = b é uma sequência
(s1 ; s2 ; :::; sn ) de números reais tal que a1 s1 + a2 s2 + ::: + an sn = b.
Um sistema de equações lineares nas incógnitas x1 ; x2 ; :::; xn é um conjunto …nito de
equações lineares nas incógnitas x1 ; x2 ; :::; xn .
Uma solução de um sistema de equações lineares
8
>
a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
>
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
..
>
.
>
>
>
:
am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = bm
é uma sequência (s1 ; s2 ; :::; sn ) de números reais que é solução de cada uma das equações
lineares, ou seja tal que
8
>
a11 s1 + a12 s2 + ::: + a1n sn = b1
>
>
>
< a21 s1 + a22 s2 + ::: + a2n sn = b2
..
>
.
>
>
>
:
am1 s1 + am2 s2 + ::: + amn sn = bm
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se têm o mesmo conjunto de soluções.
Um sistema de equações lineares pode-se classi…car em:
- sistema impossível - não tem qualquer solução.
- sistema possível e determinado - tem uma única solução.
- sistema possível e indeterminado - tem mais do que uma solução.
Chama-se solução geral ou conjunto solução de um sistema de equações lineares ao
conjunto de todas as suas soluções e tem-se, para um sistema de equações em R:
- Se o sistema é impossível - o conjunto solução é vazio.
- Se o sistema é possível e determinado - o conjunto solução tem um elemento.
- Se o sistema é possível e indeterminado - o conjunto solução é in…nito.
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Forma matricial de um sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares
8
>
a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
>
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
..
>
.
>
>
>
:
am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = bm
pode ser representado na forma
2
a11 a12
6
6 a21 a22
6 .
..
6 .
.
4 .
|
a1n
..
.
am1 am2
{z
a2n
..
.
amn
A
3
7
7
7
7
5
}
2
6
6
6
6
4
x1
3
2
b1
3
7
6
7
7
6 b 7
7 = 6 .2 7
7
6 . 7
5
4 . 5
xn
bm
| {z }
| {z }
x2
..
.
X
B
A matriz A denomina-se a matriz dos coe…cientes ou matriz simples, a matriz X
denomina-se matriz das incógnitas e a matriz B denomina-se matriz do termos independentes.
2
a11
a12
6
6 a21 a22
A matriz 6
..
6 ..
.
4 .
am1 am2
abrevia por [AjB] :
..
.
a1n
b1
a2n
..
.
b2
..
.
amn
bm
3
7
7
7 denomina-se matriz ampliada do sistema, que se
7
5
Se (s1; : : : ; sn ) é solução de um sistema com a forma matricial AX = B, então S = [s1; : : : ; sn ]>
satisfaz AS = B:
As seguintes operações, quando efectuadas sobre um sistema de equações lineares, transformam-no num sistema equivalente, ou seja, não alteram o seu conjunto solução:
(Op1) Trocar a ordem de duas equações;
(Op2) Multiplicar ambos os lados da equação por uma constante não nula;
(Op3) Adicionar a uma equação, outra multiplicada por uma constante.
Importante: Efectuar cada uma destas operações sobre um sistema de equações
lineares é equivalente a efectuar a correspondente operação elementar sobre
as linhas da matriz ampliada do sistema.
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Resolução de um sistema
Método de eliminação de Gauss-Jordan:
Utilizando o método de eliminação de Gauss descrito para matrizes chega-se, a partir da
matriz ampliada do sistema, a uma matriz em forma condensada. A solução geral do
sistema obtem-se imediatamente, como se pode ver de seguida:
Seja AX = B um sistema (possível) de m equações lineares a n incógnitas. Suponhamos
que a seguinte matriz condensada
2
1 c12
6
6 0 0
6
6 0 0
6
6
6 0 0
6
6 .. ..
4 . .
0
0
0 c14 0
c1n
1 c24 0
c2n
0
0
1
c3n
0
..
.
0
..
.
0
.. . .
.
.
0
..
.
0
0
0
0
d1
3
7
d2 7
7
d3 7
7
7
0 7
7
.. 7
. 5
0
foi obtida, através de operações elementares, da matriz ampliada [AjB].
Então o sistema AX = B é equivalente ao sistema:
8
>
x1 + c12 x2 + 0x3 + c14 x4 + 0x5 +
>
>
>
>
>
x3 + c24 x4 + 0x5 +
>
>
>
<
x5 +
>
0x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 +
>
>
>
..
>
>
.
>
>
>
:
0x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 +
ou seja é equivalente ao sistema:
8
>
< x1 = c12 x2 c14 x4
x3 =
c24 x4
>
:
x5 =
+ c1n xn = d1
+ c2n xn = d2
+ c3n xn = d3
+ 0 xn = 0
+ 0 xn = 0
c1n xn + d1
c2n xn + d2
c3n xn + d3
Este último sistema fornece a solução geral do sistema inicial Observe-se que no primeiro
membro das equações …guram as variáveis dependentes, que correspondem aos pivots na
matriz condensada e no segundo membro as variáveis livres ou independentes.
Método de eliminação de Gauss:
Utilizando também o método de eliminação de Gauss chega–se, a partir da matriz ampliada
do sistema, a uma matriz em forma de escada. O sistema correspondente a essa matriz
resolve-se então por substituição, até obter a solução geral.
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Grau de indeterminação de um sistema
Considere-se um sistema AX = B; com A do tipo m
n (m equações e n incógnitas).
O número de variáveis livres na solução geral do sistema chama-se grau de indeterminação
do sistema. Um sistema possível e determinado tem grau de indeterminação 0.
Como o número de variáveis livres é igual ao número de incógnitas menos o número de
pivots da matriz em forma de escada obtida a partir da matriz ampliada do sistema e o
número de pivots é exactamente a característica da matriz, podemos concluir que o grau de
indeterminação é n
car [AjB] :
Pode-se concluir ainda que um sistema possível é determinado se car [AjB] = n:
Solução geral de um sistema indeterminado
Seja AX = B (Am
n)
um sistema possível e indeterminado, tal que car [AjB] = r. A solução
geral do sistema pode-se apresentar na forma matricial S = S0 +xi1 C1 +xi2 C2 +: : :+xin r Cn r ;
em que S0 ; C1 ; : : : C;n
r
são matrizes coluna de tipo n
1 e xi1 ; xi2 ; xin
r
correspondem
às variáveis livres da solução. Fazendo todas as possíveis concretizações para as variáveis
xi1 ; xi2 ; xin
r
obtêm-se todas as possíveis soluções do sistema. Em particular S0 é solução
(basta fazer xi1 = xi2 = xin
r
= 0):
Sistemas homogéneos
Um sistema de equações lineares AX = B diz-se homogéneo se B = 0: Qualquer sistema de
equações homogéneo é possível dado admitir sempre a solução nula, que se chama solução
trivial. Caso o sistema seja indeterminado as outras soluções dizem-se não triviais.
A qualquer sistema de equações AX = B corresponde um sistema homogéneo, o sistema
AX = 0; que se chama sistema homogéneo associado ao sistema AX = B.
Se S = S0 + xi1 C1 + xi2 C2 + : : : + xin r Cn
S = xi1 C1 + xi2 C + : : : + xin r Cn
r
r
é a solução geral do sistema AX = B então
é a solução geral do sistema homogéneo associado.
Discussão e classi…cação de um sistema
Considere-se o sistema AX = B de m equações a n incógnitas. Utilizando o método de
eliminação de Gauss-Jordan, através da análise da matriz condensada obtida a partir da
matriz ampliada
8
>
>
>
>
<
O sistema é:
>
>
>
>
:
[AjB] pode-se concluir que:
impossível
possível e determinado
se e só se carA 6= car [AjB]
se e só se carA = car [AjB] e carA = n
possível e indeterminado se e só se carA = car [AjB] e carA < n
(o grau de indeterminação é n
Nota: Para classi…car um sistema basta, portanto, determinar a característica de [AjB] ;
para o que não é necessário condensar a matriz, sendo su…ciente obter uma forma de
escada da matriz inicial.
carA)
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Cálculo da inversa de uma matriz pelo método de Gauss-Jordan
Seja A uma matriz invertível. Pretende-se encontrar uma matriz de ordem n tal que AB = In :
h
i
Seja B = B1 B2 B3
; Bn . Tem-se:
Bn uma matriz com colunas B1 ; B2 ; B3 ;
h
AB = In , A B1 B2 B3
h
, AB1 AB2 AB3
2 3
2
1
6 7
6
6 0 7
6
6 7
6
6 0 7
6
, AB1 = 6 7 ; AB2 = 6
6 . 7
6
6 .. 7
6
4 5
4
0
Bn
i
i
= In ,
ABn = In ,
3
2
0
0
7
6
6 0
1 7
7
6
7
0 7 ; AB3 = 6
6 1
6 .
.. 7
6 ..
. 7
5
4
0
0
3
2
7
7
7
7
7;
7
7
5
6
6
6
6
; ABn = 6
6
6
4
0
3
7
0 7
7
0 7
7
.. 7
. 7
5
1
A determinação da inversa da matriz A pode então fazer-se pela resolução de n sistemas
de equações lineares, todos com a mesma matriz simples. Como a inversa de uma matriz é
única, cada um dos sistemas anteriores é possível e determinado, pelo que car (A) = n e a
forma condensada da matriz A é In:
Usando o método de Gauss-Jordan é possível resolver os n sistemas em simultâneo, condensando a matriz aumentada:
2
6
6
6
6
6 A
6
6
4
1 0 0
0
3
7
0 7
7
0 0 1
0 7
7
.. .. .. . . .. 7
. . 7
. . .
5
0 0 0
1
0 1 0
Quando se chega, no lado esquerdo à forma condensada de A, que é In , do lado direito temos
em cada coluna a solução do sistema correspondente, ou seja, temos a matriz A 1 :
Resumindo: Para calcular a inversa de uma matriz A :
[AjIn ] | !
!
{z
!} In jA
1
Método de eliminação de Gauss-Jordan
Pode-se ainda concluir o seguinte resultado que fornece um modo de determinar quais são
as matrizes invertíveis:
Teorema Uma matriz quadrada A; de ordem n; é invertível se e só se carA = n: