6. EXPERIMENTOS FATORIAIS
6.1 Algumas definições
São experimentos que envolvem dois ou mais fatores. Exemplo: temos a níveis do
fator A e b níveis do fator B, então cada repetição terá ab tratamentos.
Efeito principal de um fator: é o quanto mudou a variável resposta devido a mudança
no nível do fator. Exemplo:
+
30
52
Efeito principal de A:
A
Fator B
-
20
40
-
+
Fator A
Figura 6.1
40  52 20  30

 21
2
2
Média nível Média nível
baixo
alto
Interpretação: passando do nível
baixo para o alto de A causa um
aumento médio de 21 unidades na
resposta.
1
B
Efeito principal de B:
30  52 20  40

 11
2
2
Interação: quando a diferença na variável resposta entre os níveis de um fator não é
a mesma nos níveis dos outros fatores. Exemplo:
+
40
12
Para B- o efeito de A é: 50-20=30
Para B+ o efeito de A é: 12-40=-28
Fator B
-
20
50
-
+
Efeito da interação: AB=(-28-30)/2=-29
=(ab-b-a+1)/2
40
B- =(12-40-50+20) /2
50
20
Efeito
significativo da
interação
Fator A
Figura 6.2
12
B+
-
+
Fator A
Figura 6.4
2
B+
B-
-
+
Fator A
Figura 6.4
Não tem efeito da interação
3
Modelo de regressão: quando os fatores em estudo são quantitativos (temperaturas,
doses de nitrogênio, tempo, etc.), indica-se fazer uma análise de regressão. O modelo
de regressão para um experimento com 2 fatores, com dois níveis, fica:
y  β 0 β 1x1 β 2 x 2 β 12 x1x 2 ε
Onde: y é a variável resposta, os ’s são os parâmetros a serem estimados, x1 e x2 são as
variáveis que representam os fatores A e B respectivamente,  é o termo do erro
aleatório. As variáveis x1 e x2 são codificadas como -1 e +1, e x1x2 representa a
interação entre elas.
Efeitode A 21
Estimativas dos parâmetros:
ˆ1 

 10,5
2
2
(Método dos mínimos quadrados)
Efeitode B 11
βˆ2 
  5,5
(ab-b-a+1) /2
2
2
(52-30-40+20)/2=1
Efeitode AB 1
ˆ
β 12 
  0,5
2
2
βˆ0  20  40  30  52 4  35,5
Modelo ajustado: yˆ  35,5  10,5x1  5,5x2  0,5x1 x2
Pequeno efeito,
retirar do modelo
4
Representação gráfica do modelo (sem a interação).
Interpretação:
existe um efeito
linear de x1 e x2;
a resposta
aumenta com os
valores maiores
de x1 e x2.
5
Modelo com interação:
yˆ  35,5  10,5x1  5,5x2  8x1 x2
Para o experimento da figura 6.2 o efeito de A vale 1
pode-se pensar que não existe o efeito de A
Interpretação: o
fator A passa de -1
para 1 e vai
aumentando. O
fator B não é
estável-->
passando de -1
para 1 não
aumenta a
produção nos
níveis baixo de A,
entretanto
aumenta a
produção para os
pequeno níveis altos de A.
porém, para os diferentes
níveis de B, o efeito de A é significativo.
Na presença de interação significativa, o pesquisador deve estudar o efeito
de um fator dentro dos níveis do outro fator:por exemplo, A(B=-1) .
6
6.2 A vantagem dos esquemas fatoriais
Quando deseja-se estudar os efeitos das interações entre os fatores. Permite estimar os
efeitos de um fator dentro dos níveis do outro fatorresultados mais abrangentes.
6.3 Experimentos fatoriais com dois fatores
a níveis do fator A
b níveis do fator B
cada repetição contém ab tratamentos
n repetições
Exemplo: uma pesquisadora deseja produzir um novo tipo de vinagre a base de
kiwi. Os fatores em estudo foram:
Fator A: quantidade de açúcar (a=2 níveis: 8% e 20%)
Fator B: adição de nutrientes (b=2 níveis: com e sem)
n = 7 repetições
4 x 7 = 28 unidades experimentais
variável resposta: concentração de etanol
7
6-3.1 Exemplo
Projeto de uma bateria. Fatores em estudo: Material (tipos 1, 2 e 3) e temperatura
(15oF, 70oF e 125oF). 4 baterias são testadas para cada combinação de material e
temperatura, num total de 36 baterias, testadas em ordem aleatória. Delineamento
experimental: Inteiramente Casualizado. Material como fator A e Temperatura como
fator B.
Questões: 1. Qual o efeito do tipo de material e temperatura na vida das baterias?
2. Existe um material que produz uma bateria com vida mais longa
independente da temperatura?
Dados de vida (em Horas) para o experimento de um projeto de bateria
Tipo do
Temperatura (oF)
Material
15
70
1
130
155
34
74
180
80
2
150
188
136
159
126
106
3
138
110
174
168
160
150
40
75
122
115
120
139
125
20
82
25
58
96
82
70
58
70
45
104
60
8
De modo geral, a matriz dos dados é dada da seguinte forma:
Fator B
Fator A
1
2
.
a
1
y111, y112, ..., y11n
y211, y212, ..., y21n
2
y121, ..., y12n
y221, ..., y22n
ya11, ya12, ..., ya1n
ya21, ..., ya2n
...
b
y1b1, ..., y1bn
y2b1, ..., y2bn
yab1, ..., yabn
O modelo estatístico:
i=1,2,...,a
y ijk     i   j  ( )ij   ijk
j=1,2,...,b
k=1,2,...,n
yijk é o efeito do i-ésimo nível do fator A, j-ésimo nível do fator B e k-ésima
repetição;  é uma constante (média geral); i é o efeito do i-ésimo nível do fator
A; j é o efeito do j-ésimo nível do fator B; ()ij é o efeito da interação entre i e
j e ijk é o componente do erro aleatório.
9
O modelo de médias:
yijk  μij  εijk
μij  μ  τ i  β j  τ βij
O modelo de regressão:
yi  β0  β1 x1i  β2 x2i  β12 x1i x2i  εi
10
Hipóteses de interesse
1. Interação
H 0 : ( )ij  0 para todo i, j
H 1 : pelo m enosum (  )ij  0
2. Efeito do fator A
H 0 : 1   2  ...   a  0
H1 : pelo menosum i  0
3. Efeito do fator B
H 0 : 1   2  ...   b  0
H1 : pelo m enosum  j  0
11
6-3.2 Análise estatística do modelo de efeitos fixos
Tabela da ANOVA para um experimento fatorial com dois fatores de efeitos fixos
Causas de variação Soma de
Graus de
Quadrados médios
E(QM)
quadrados
liberdade
a
Fator A
SQA
a-1
QMA = SQA/a-1
2 
Fator B
SQB
b-1
SQAB
(a-1)(b-1)
a
QMAB= SQAB/(a-1)(b-1)
 
2
Erro
SQE
ab(n-1)
Total
SQT
abn-1
SQE/ ab(n-1)
i 1
an   2j
j 1
i 1 j 1
QM A
QM E
F0 
QM B
QM E
b 1
b
n ( )
F0 
a 1
b
QMB = SQB/b-1
2 
Interação A x B
bn   i2
F0
F0 
2
ij
(a  1)( b  1)
QM AB
QM E
2
12
2
y
2
SQT   yijk
 ...
abn
i 1 j 1 k 1
Suposições :
1 a 2 y...2
SQA 
yi.. 

bn i 1
abn
 Os erros ijk são normalmente e
independentemente distribuídos com
variância constante 2;
y...2
1 b 2
SQB 
y. j . 

an j 1
abn
 Os F0 são distribuídos como F com a-1,
b-1, e (a-1)(b-1) g no numerador e ab(n-1)
gl no denominador, e a região crítica é a
cauda superior da distribuição F.
a
SQsubtotais
b
n
y...2
1 a b 2
  yij. 
n i 1 j 1
abn
 Assume-se que o modelo está ajustado;
SQAB  SQsubtotais  SQA  SQB
SQE  SQT  SQsubtotais
13
14
Análise estatística do experimento de baterias
Software utilizado: SAS (arquivo: battery.sas)
Exemplo de um experimento fatorial com dois fatores
Pagina 240 do livro do Montgomery
4
15:33 Sunday, April 27, 1997
General Linear Models Procedure
Dependent Variable: VIDA
Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
Model
8
59416.22222222
7427.02777778
11.00
0.0001
Error
27
18230.75000000
675.21296296
Corrected Total
35
77646.97222222
R-Square
C.V.
Root MSE
VIDA Mean
0.765210
24.62372
25.98486026
105.52777778
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
Pr > F
2
2
4
10683.72222222
39118.72222222
9613.77777778
5341.86111111
19559.36111111
2403.44444444
7.91
28.97
3.56
0.0020
0.0001
0.0186
DF
Type III SS
Mean Square
F Value
Pr > F
2
2
4
10683.72222222
39118.72222222
9613.77777778
5341.86111111
19559.36111111
2403.44444444
7.91
28.97
3.56
0.0020
0.0001
0.0186
Source
MATERIAL
TEMPERAT
MATERIAL*TEMPERAT
Source
MATERIAL
TEMPERAT
MATERIAL*TEMPERAT
15
Conclusões:
1) O modelo está ajustado. Cerca de 77% da variabilidade na vida das baterias é
explicada pelo modelo adotado.
2) Como a P(F>3,56)=0,0186 existe efeito significativo da interação entre o tipo de
material e temperatura;
16
Verificação das suposições do modelo (Análise de resíduos)
Resíduos:
eijk  yijk  yˆ ijk
onde yˆ ijk  yij.
 eijk  yijk  yij.
17
O gráfico não revela qualquer problema, embora o maior resíduo (negativo) (-60,75, para
o material 1 e temperatura 15oF) está fugindo um pouco da distribuição dos resíduos. O
valor padronizado desse resíduo é  60,75/ 675,21  2,34 é o único resíduo superior a
2 (valor suspeito).
18
Esse gráfico indica uma
tendência moderada da
variância dos resíduos
aumentar com a vida das
baterias. 700F e material 1
contém os dois resíduos
mais extremos: -60,75 e
45,25
O material 1 apresenta
maior variância dos
resíduos
19
Indica que para
150F existe maior
variância dos
resíduos.
Ambos os gráficos indicam
moderada desigualdade de
variâncias com a combinação de
15oF e material tipo 1, porém não
invalidam os resultados.
Variâncias dos materiais e temperaturas:
Materiais
1
2
3
2360,88
2447,52
1279,17
Temperaturas
15
70
125
1004,52
1838,99
659,06
20
Comparações múltiplas
Quando a interação é significativa deve-se fazer o desdobramento da interação. Pode
ocorrer dois casos:
1)
Os dois efeitos principais são significativos ou não. Estuda-se o comportamento de
um fator dentro dos níveis do outro;
2)
Apenas um dos efeitos principais foi significativo. Estuda-se o comportamento do
fator não significativo dentro dos níveis do outro fator.
Outra consideração: verificar o fator influenciado, por exemplo, os materiais são
influenciados pelas temperaturas, assim, deve-se estudar o efeito dos materiais dentro
de cada temperatura, ou seja,
influenciado(influencia).
21
Estudo da interação:
Fixar o fator B (temperatura) num específico nível e aplicar o teste de Tukey para as
médias do fator A (tipo de material (qualitativo)).
Exemplo: dados de vida de baterias. Vamos comparar as médias dos tipos de
materiais dentro de cada uma das temperaturas, pelo teste de Tukey, ao nível de
significância de 5%. Vamos utilizar o sistema SAS.
General Linear Models Procedure
Least Squares Means
MATERIAL*TEMPERAT Effect Sliced by TEMPERAT for VIDA
TEMPERAT
15
70
125
DF
2
2
2
Sum of
Squares
886.166667
16553
2858.666667
Mean
Square
443.083333
8276.333333
1429.333333
F Value
Pr > F
0.6562
12.2574
2.1169
0.5269
0.0002 * *
0.1400
22
Médias observadas no experimento:
MATERIAL
TEMPERAT
1
1
1
2
2
2
3
3
3
15
70
125
15
70
125
15
70
125
VIDA
LSMEAN
134.750000
57.250000
57.500000
155.750000
119.750000
49.500000
144.000000
145.750000
85.500000
Diferenças entre os pares de médias de materiais para temperatura 70oF:
Mat 3 vs Mat 2: 145,75-119,75=26,00
Mat 3 vs Mat 1: 145,75-57,25=88,50
Mat 2 vs Mat 1: 119,75-57,25=62,50
23
Teste de Tukey
Como a interação foi significativa, suponha que desejamos comparar as médias dos
três tipos de materiais para temperatura fixada em 70oF.
O erro padrão das médias é dado por: S y  QM E  675 ,21  12,99
n
4
Da tabela VII (Apêndice) obtemos:
q0 ,05 ( 3;27 )  3,50
A Diferença Mínima Significativa (DMS) é dada por:
T0 ,05  q0 ,05 ( 3,27 )S y  3,50(12,99 )  45 ,47
Para temperatura de 70oF
Material 3
145,75 a
Material 2
119 ,75 a
Material 1
57 ,25
b
24
Contraste na presença de interação
Contraste: Material 1 e a média dos materiais 2 e 3 para temperatura = 70oF
Passos:
1. Escreva a hipótese de interesse em termos de médias de caselas
2. Reescreva a hipótese em termos dos parâmetros do modelo
3. Calcule os coeficientes para o contraste
25
Tabela de médias de caselas para os 9 tratamentos
Temperaturas
15
70
125
Materiais
1
2
3
11
 21
12
 22
 31
15
 32
 70
13
 23
 33
 125
1
2
3

ij     i   j  ( )ij
A hipótese escrita em termos de médias de caselas é dada por:
H 0 : 12 
1
 22  32 
2
Em termos dos parâmetros do modelo a hipótese fica:
   1   2  ( )12 
1
(    2   2  ( ) 22 )  (    3   2  ( )32 ) 
2
26
11  12  2  12  3  ( )12  12 ( )22  12 ( )32  0
O comando CONTRAST no SAS fica:
contrast 'M1 vs (M2+m3)/2 T=70' material 1 -0.5 -0.5
material*temperat 0 1 0 0 -0.5 0 0 -0.5 0;
Resultado do comando CONTRAST:
Contrast
DF
Contrast SS
Mean Square
M1 vs (M2+m3)/2 T=70
1
15200.66666667
15200.66666667
F Value
22.51
Pr > F
0.0001
Exercício: testar o contraste ‘ Material 2 vs material 3 para temperatura=70’;
27
6-3.4 Estimação dos parâmetros do modelo
y ijk     i   j  ( )ij   ijk
Os parâmetros do modelo de efeitos são estimados pelo método dos mínimos
quadrados.

  y...
ˆi  yi..  y... i  1,2,...,a
ˆ j  y. j .  y... j  1,2,...,b
  
   yij  yi..  y. j .  y... i  1,2,...,a e j  1,2,...,b
 ij
28
Parameter Estimates
Term
DF
Estimate
INTERCEPT
1
85.50
(TEMPERAT='15')
1
58.50
(TEMPERAT='70')
1
60.25
(TEMPERAT='125')
0
0
(MATERIAL='1')
1
-28.00
(MATERIAL='2')
1
-36.00
(MATERIAL='3')
0
0
(MATERIAL='1' & TEMPERAT='15')
1
18.75
(MATERIAL='1' & TEMPERAT='70')
1
-60.50
(MATERIAL='1' & TEMPERAT='125')
0
0
(MATERIAL='2' & TEMPERAT='15')
1
47.75
(MATERIAL='2' & TEMPERAT='70')
1
10.00
(MATERIAL='2' & TEMPERAT='125')
0
0
(MATERIAL='3' & TEMPERAT='15')
0
0
(MATERIAL='3' & TEMPERAT='70')
0
0
(MATERIAL='3' & TEMPERAT='125')
0
0
Std. Err.
12.99
18.37
18.37
.
18.37
18.37
.
T
6.581
3.184
3.279
.
-1.524
-1.959
.
Pr > |T|
0.0000
0.0036
0.0029
.
0.1392
0.0605
.
25.98
0.722
0.4768
25.98
-2.328
0.0276
.
.
25.98
1.838
0.0771
25.98
0.385
0.7034
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1  2  3  0
3   1  2
3  58,50  60,25  118,75
Efeito negativona resposta
.
Parameter Estimates
The predicted model is VIDA = 85.50 + 58.50*(TEMPERAT='15') + 60.25*(TEMPERAT='70') 28.00*(MATERIAL='1') -36.00*(MATERIAL='2') +18.75*(MATERIAL='1' & TEMPERAT='15') 60.50*(MATERIAL='1' & TEMPERAT='70') + 47.75*(MATERIAL='2' & TEMPERAT='15') +
29
10.00*(MATERIAL='2' & TEMPERAT='70') .
6-3.5 Determinação do número de repetições
As curvas características de operação, Apêndice V, podem ser usadas para
determinar o n (número de repetições).
Cálculos:
1) graus de liberdade: apresentados na tabela da ANOVA
2) cálculo de 2, onde D é a diferença entre duas médias (do fator A, B ou interação
AB) , a qual o pesquisador deseja que o experimento detecte como significativa:
2 
nbD 2
2 a 2
(para o fator A)
2 
naD 2
2 b 2
(para o fator B)
2 
nD 2
2 2 [( a 1)( b 1) 1]
(para efeito da interação)
Exemplo: A hipótese de nulidade deve ser rejeitada com alta probabilidade se a
diferença na vida média entre duas temperaturas é de 40 horas. Então D=40.
Assume-se =25 e =0,05.
2
2
2 
naD
2 b 2

n ( 3)( 40 )
2 ( 3)( 25 ) 2
 1,28n
30
v1
n
2
3
4
2

2,56
3,84
5,12
1,60
1,96
2,26
(GL numerador)
v2
(GL denominador) 
2
2
2
9
18
27
0,45
0,18
0,06
Para n=4 tem-se 94% de probabilidade de rejeitar a hipótese quando a diferença entre
duas médias de temperatura for da ordem de 40.
6. Ajustando curvas e superfícies de resposta.
Utilizar uma equação de regressão que vai relacionar os níveis dos fatores com a
resposta. Pode ser usada para predição de y. Com 1 fator quantitativocurva de
resposta. Com dois ou mais fatores quantitativossuperfície de resposta. Em geral
são usados métodos de regressão linear para ajustar estes modelos aos dados
experimentais.
Exemplo: experimento de vida de baterias. O fator temperatura é quantitativo com
3 níveis (15, 70 e 1250F) igualmente espaçados. Esse fator tem dois graus de
liberdade e portanto podemos calcular o efeito linear (1 g.l.) e quadrático (1 g.l.).
31
Cálculo dos efeitos linear e quadrático para o fator temperatura
Níveis de
temperatura
15
70
125
Totais de
tratamentos
1738
1291
770
3
Efeitos: (  c j y. j . )
Coeficientes do contraste ortogonal (cj)
Linear
Quadrático
-1
1
0
-2
1
1
TL=-968
TQ=-74
j 1
2
 3
 
   c j y. j .  
 
  j 1

Soma de quadrados: 

3
2
 an c j 


j 1


SQTL=
 968   39042 ,67
342
2
SQTQ=
 74 2  76,05
34 6 
S.Q.Temperatura = SQTL + SQTQ = 39.042,70*+76,05NS
32
Partição da interação do seguinte modo:
- Material*efeito linear de temperatura (M x TL) [2 graus de liberdade]
- Material*efeito quadrático de temperatura (M x TQ) [2 graus de liberdade]
33
Cálculo dos componentes da interação: serão calculados os efeitos lineares e
quadráticos de temperatura dentro de cada tipo de material.
T(M=1)=2 g.l.
TL (1 g.l.)
TQ (1 g.l.)
T(M=2)=2 g.l.
TL (1 g.l.)
TQ (1 g.l.)
T(M=3)=2 g.l.
TL (1 g.l.)
TQ (1 g.l.)
6 g. l. =4 + 2 (MxT + T)
34
Níveis de
temperatura
Totais por tipo de material
1(y1j.)
15
539
70
229
125
230
Efeitos: M1 x TL=-309;
M1 x TQ=311;
Soma de quadrados:
2(y2j.)
3(y3j.)
623
576
479
583
198
342
M2 x TL=-425;
M2 x TQ=-137;
Coeficientes do contraste
ortogonal (cj)
Linear
Quadrático
-1
+1
0
-2
+1
+1
M3 x TL=-234
M3 x TQ=-248
 309 2   425 2   234 2  (968 ) 2  2315 ,08
SQM x TL=
432 
42 
3112   137 2   248 2   74 2  7298 ,70
SQM x TQ=
**
4 36
46 
Interpretação próximo slide
S.Q.MxT=S.Q.M x TL+S.Q.M x TQ
Cálculo da soma de quadrados do efeito linear de temperatura dentro do material 1.
SQM1 xTL 
 309 2
4 2
 11935,125**
Hierarquia do
modelo
35
Interpretação da interação Materiais*efeito quadrático de temperatura
Cada material apresenta um comportamento curvilíneo (quadrático)
para temperatura, porém, duas são convexas e uma côncava.
36
Output do SAS
Source
DF
Type I SS
Mean Square
MATERIAL
TEMPERAT
MATERIAL*TEMPERAT
2
2
4
10683.72222222
39118.72222222
9613.77777778
5341.86111111
19559.36111111
2403.44444444
Contrast SS
Mean Square
39042.66666667
76.05555556
39042.66666667
76.05555556
57.82
0.11
Contrast
DF
ef.linear tempera
1
ef.quadratico temper 1
F Value
7.91
28.97
3.56
F Value
Pr > F
0.0020
0.0001
0.0186
Pr > F
0.0001
0.7398
A*ef.linear de B
A*ef.quadra de B
2
2
2315.08333333
7298.69444444
1157.54166667
3649.34722222
1.71
5.40
0.1991
0.0106**
ef.linear
ef.quadra
ef.linear
ef.quadra
ef.linear
ef.quadra
1
1
1
1
1
1
11935.12500000
4030.04166667
22578.12500000
782.04166667
6844.50000000
2562.66666667
11935.12500000
4030.04166667
22578.12500000
782.04166667
6844.50000000
2562.66666667
17.68
5.97
33.44
1.16
10.14
3.80
0.0003
0.0214**
0.0001**
0.2914
0.0036
0.0619*
T
T
T
T
T
T
d.
d.
d.
d.
d.
d.
mat1
mat1
mat2
mat2
mat3
mat3
SQM x T+SQT=48732,50
37
Como encontrar os contrastes para os efeitos ? Para isso vamos usar a tabela de
médias de caselas.
Materiais
1
2
3
Tabela de médias de caselas para os 9 tratamentos
Temperaturas
15
70
125
11
 21
12
 22
 31
15
 32
 70
13
 23
 33
 125
1
2
3

ij     i   j  ( )ij
Exemplo: encontrar o contraste para efeito linear de temperatura dentro de material 1.
(1) 11  (0) 12  (1) 13  11  13
   1  1  11     1   3  13
1   3  11  13
Exercício: encontrar o efeito quadrático da temperatura dentro do material 3.
38
Equações de regressão de 20 grau para cada material - Modelo de Regressão
Modelo com coeficiente linear e quadrático para os três materiais
y  01  11Temp  21Temp2  02  12Temp  22Temp2  03  13Temp  23Temp2  
onde 01 é o coeficiente linear do material 1, 02 é o coeficiente do termo linear de
temperatura, 03 é o coeficiente do termo quadrático de temperatura e  é o erro
aleatório.
Modelo na forma matricial:
y  X  
39
150

155
74

180

34
40

80

75
20

70

82
58

150

188
159

126

136

y  122
106

115

25
70

58

45
138

110

168
160

174

120
150
139

96

104
82

60



























































1

1
1

1

1
1

1

1
1

1

1
1

0

0
0

0

0

X  0
0

0

0
0

0

0
0

0

0
0

0

0
0
0

0

0
0


0
15
15
225
225
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
15
15
225
225
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
70
70
70
70
4900
4900
4900
4900
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
125
125
125
125
0
15625
15625
15625
15625
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
15
0
0
0
0
225
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
15
15
15
70
70
70
225
225
225
4900
4900
4900
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
70
125
125
125
4900
15625
15625
15625
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
125
0
15625
0
0
1
0
15
0
225
0
0
0
0
0
1
15
225
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
15
15
70
225
225
4900
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
70
70
4900
4900
0
0
0
0
0
1
70
4900
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
125
125
125
15625
15625
15625
0
0
0
0
0
1
125
15625




























































40
 β 01 
 
 11 
  21 
 
  02 
β    12 
 
  22 
 
 03 
  13 
 
 23 
   
 
 2 
  3 


    4 
 . 


 . 
 
 334 
41
XtX=
12
840
83000
840
83000 9198000
83000 9198000 1.07281E9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
XtY=
998
52865
4837125
1300
67625
5581025
1501
92200
8330050
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
840
83000
0
0
0
840
83000 9198000
0
0
0
83000 9198000 1.07281E9
0
0
0
0
0
0
12
840
83000
0
0
0
840
83000 9198000
0
0
0 83000 9198000 1.07281E9
169.3800
-2.5000
0.0130
159.6240
(XtX)-1XtY=
-0.1730
-0.0057
132.7624
0.9030
-0.0100
42
Equações de regressão:
Material 1:
atura  0,0129Temp
eratura2
ˆy  169,38 2,50Temper
Material 2:
ratura  0,00566Tem
peratura2
ˆy  159,624 0,173Tempe
Material 3:
eratura  0,0102Temp
eratura2
ˆy  132,76 0,9029Temp
43
Equação de regressão de 20 grau para temperatura dentro de material 1
*Aplicação de Polinômios Ortogonais*
y  0P0 ( x)  1P1 ( x)  2P2 ( x)  
Os polinômios são dados por:
P0 ( x)  1
 x  x 
P1 ( x)  1 
 d 
 x  x  2  a 2  1 

P2 ( x)  2 
  
 d   12 
Onde d=(distância entre os níveis de x)=55; a=(número de níveis)=3. i obtidas
na tabela (Apêndice X). Níveis de x= 15, 70 e 125. No exemplo, temos:
P1 ( x  15)  1
P1 ( x  70)  0 P1 ( x  125)  1
P2 ( x  15)  1 P2 ( x  70)  2 P2 ( x  125)  1
44
Estimativas dos parâmetros do modelo:
ˆ 0 
 yP0 ( x )
[ P0 ( x )]2
y

 12 
998
4 3 
 83,1667
yP1 ( x )

309
ˆ1 

2
4 ( 2 )  38,6250
[
P
(
x
)]
 1
yP2 ( x )

311
ˆ 2 
2  4 ( 6 )  12,9583
[ P2 ( x )]
2

 32  1  
x

70


x  70

yˆ  83,1667 38,625(1) 55   12,8583(3) 
  
 55   12 
yˆ  169,38  2,50x  0,013x 2
(Através do Mapple)
45
Equação de regressão de 20 grau para temperatura dentro de material 2 e 3
Output do SAS
------------------------------MATERIAL=2 -----------------------Dependent Variable: VIDA
Parameter
INTERCEPT
TEMPERAT
TEMPERA2
Estimate
159.6239669
-0.1733471
-0.0056612
T for H0:
Parameter=0
10.14
-0.30
-1.41
Pr > |T|
0.0001
0.7711
0.1934
Std Error of
Estimate
15.74782536
0.57818640
0.00402760
------------------------------MATERIAL=3 ------------------------
Parameter
Estimate
INTERCEPT
TEMPERAT
TEMPERA2
132.7623967
0.9028926
-0.0102479
T for H0:
Parameter=0
7.37
1.36
-2.22
Pr > |T|
Std Error of
Estimate
0.0001
0.2055
0.0532
18.01817433
0.66154298
0.00460826
46
Experimentos com 2 fatores quantitativos: superfície de resposta
(arquivo: toollife)
Exemplo: período de tempo útil de um instrumento cortante. Fatores que afetam
o tempo de vida útil: ângulo do instrumento e a taxa de movimento.
Ângulo
15
20
25
y.j.
125
-2
-1
0
2
-1
0
-2
Taxa de movimento
150
-3
0
1
3
5
6
12
yi..
175
2
3
4
6
0
-1
14
-1
16
9
y... = 24
Usou níveis eqüidistantes.
Delineamento experimental: inteiramente casualizado.
Fatorial 32=9 tratamentos.
Duas repetições.
47
Tabela da Análise de Variância (efeitos fixos) - saída do SAS
Dependent Variable: LIFE
Source
DF
Model
Error
Corrected Total
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
8
111.00000000
13.87500000
9.61
0.0013
9
13.00000000
1.44444444
17
124.00000000
Modelo
Ajustado
R-Square
C.V.
Root MSE
LIFE Mean
0.895161
90.13878
1.20185043
1.33333333
Source
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
Pr > F
ANGLE (A)
CUTTING (C)
2
2
24.33333333
25.33333333
12.16666667
12.66666667
8.42
8.77
0.0087
0.0077
ANGLE*CUTTING (A*C)
4
61.33333333
15.33333333
10.62
0.0018**
48
Partição da interação: os quatro graus de liberdade da interação podem ser
desdobrados da seguinte forma:
ACLxL
ACLxQ ACQxL ACQxQ
onde L=efeito linear e Q=efeito quadrático. Para os cálculos necessita-se dos totais
das caselas e dos coeficientes dos contrastes ortogonais. Significado de ACLxL : efeito
da interação entre o efeito linear de ângulo e efeito linear de cutting.
49
Cálculo de ACLxL:
AC
AL
CL
ACLxL
11
-1
-1
1
3
12
-1
0
0
13
-1
1
-1
21
0
-1
0
22
0
0
0
23
0
1
0
31
1
-1
-1
32
1
0
0
33
1
1
1
3
ACLxL   cij yij.  1(3)  0(3)  1(5)  0(2)  0(4)  0(10)  1(1)  0(11)  1(1)
i 1 j 1
ACLxL  8
A soma de quadrados para o contraste ACLxL é dada por:
 ACLxL 2
SQACLxL  n

cij2

( 8) 2
2( 4)
 8,00
50
Cálculo de ACLxQ:
AC
AL
CQ
ACLxL
11
-1
1
-1
12
-1
-2
2
13
-1
1
-1
21
0
1
0
22
0
-2
0
23
0
1
0
31
1
1
1
32
1
-2
-2
33
1
1
1
ACLxQ  32
SQACLxQ 
( 32 ) 2
2 (12 )
 42,67
Output do SAS:
Contrast
DF
AC_ll
AC_lq
AC_ql
AC_qq
1
1
1
1
Contrast SS
8.00000000
42.66666667
2.66666667
8.00000000
Mean Square
8.00000000
42.66666667
2.66666667
8.00000000
F Value
Pr > F
5.54
29.54
1.85
5.54
0.0431*
0.0004**
0.2073 NS
0.0431**
Temos que: 8+42,67+2,67+8=61,34
51
Efeito linear e quadrático dos fatores:
Contrast
ef. linear de
ef. linear de
ef.quadratico
ef.quadratico
angle
cuttin
de ang
de cut
DF
Contrast SS
1
1
1
1
8.33333333
21.33333333
16.00000000
4.00000000
Mean Square F Value
8.33333333
21.33333333
16.00000000
4.00000000
5.77
14.77
11.08
2.77
Pr > F
0.0398*
0.0039*
0.0088**
0.1305
Exercício: encontrar os coeficientes do contraste: efeito quadrático de ângulo.
52
Modelo de regressão:
y  0  1 A  2C  3 A2  4C 2  5 AC  6 AC2  7 A2C  8 A2C 2  
Em termos matriciais:
y  X  
y=
-2
-1
-3
0
2
3
0
2
1
3
4
6
-1
0
5
6
0
-1
X=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
15
15
15
15
15
15
20
20
20
20
20
20
25
25
25
25
25
25
125
125
150
150
175
175
125
125
150
150
175
175
125
125
150
150
175
175
225
225
225
225
225
225
400
400
400
400
400
400
625
625
625
625
625
625
15625
15625
22500
22500
30625
30625
15625
15625
22500
22500
30625
30625
15625
15625
22500
22500
30625
30625
1875 234375
1875 234375
2250 337500
2250 337500
2625 459375
2625 459375
2500 312500
2500 312500
3000 450000
3000 450000
3500 612500
3500 612500
3125 390625
3125 390625
3750 562500
3750 562500
4375 765625
4375 765625
28125 3515625
28125 3515625
33750 5062500
33750 5062500
39375 6890625
39375 6890625
50000 6250000
50000 6250000
60000 9000000
60000 9000000
70000 12250000
70000 12250000
78125 9765625
78125 9765625
93750 14062500
93750 14062500
109375 19140625
109375 19140625
 0 
 
 1
2 
 
3 
β  4 
 
5 
 
 6
 7 
 
 8
53
-1068.00
136.30
14.48
-4.08
1
t
t
βˆ  X X X y 
-0.0496
-1.864
0.0064
0.056
-0.000192


y  1068 ,0  136 ,3 A  14 ,5 C  4 ,1 A2  0 ,0496C 2  1,864 AC  0 ,0064 AC 2  0 ,056 A2 C  0 ,000192 A2 C 2
54
Podemos usar esta superfície de resposta para predizer o tempo útil para
vários valores de ângulo (x1) e movimento (x2) ou ajudar nos processos de
otimização. Por exemplo A=25 C=150  y(chapéu)= 5,50
55
Examinando o gráfico de contornos podemos verificar que o máximo de tempo de vida
ocorre em torno de taxa de 150 e ângulo de 25. Ou, então, com taxa de 180 e ângulo de
19.
56
Vimos experimentos fatoriais, com dois fatores, no delineamento inteiramente
casualizado. Podemos, sem nenhum problema, utilizar outros delineamentos
experimentais como blocos casualizados e quadrado latino (Montgomery,
páginas 271-276).
57