UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA – UESB
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
RELATÓRIO DO ESTÁGIO
SUPERVISIONADO III
Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas
VITÓRIA DA CONQUISTA – BAHIA
OUTUBRO 2011
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RELATÓRIO DO ESTÁGIO
SUPERVISIONADO III
Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas
Relatório de estágio apresentado ao
Curso de Licenciatura em Matemática
como parte da exigência da disciplina
Estágio
Supervisionado
III,
sob
a
orientação da Prof.ª Roberta D’Ângela
Menduni Bortoloti.
[email protected].
VITÓRIA DA CONQUISTA – BAHIA
OUTUBRO 2011
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CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
PROFESSORA ORIENTADORA: DÉBORA VALIM SINAY NEVES
FICHA DE CADASTRO
01. NOME:
Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas
02. ENDEREÇO:
Rua Vieira de Melo, 95
03. TELEFONE:
(77) 34312765 / (77) 99643829
04. INSTITUIÇÃO ONDE REALIZOU O ESTÁGIO:
Centro Integrado de Educação Navarro de Brito
05. ENDEREÇO DA INSTITUIÇÃO:
Av. Frei Benjamim, S/nº, Bairro Brasil.
06. NOME DA DIRETORA:
Nayara Oliveira Vasconcelos
07. NOME DO PROFESSOR REGENTE:
Enoque Alves de Matos
08. INÍCIO DA OBSERVAÇÃO:
22/03/2011
09. INÍCIO DA COPARTICIPAÇÃO:
31/03/2011
10. INÍCIO DA REGÊNCIA:
28/04/2011
11. TÉRMINO DO ESTÁGIO:
15/07/2011
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CALENDÁRIO
ATIVIDADES REALIZADAS NO
HORAS
HORAS
ESTÁGIO
PREVISTAS
REALIZADAS
8
8
32
48
8
8
32
OBSERVAÇÃO
CO-PARTICIPAÇÃO
REGÊNCIA
TOTAL DE HORAS
MARÇO
D S T Q Q
1 2 3
6 7 8 9 10
13 14 15 16 17
20 21 22 23 24
27 28 29 30 31
D
S
MAIO
T Q Q
1
8
15
22
29
2
9
16
23
30
3
10
17
24
31
D
S
4
11
18
25
5
12
19
26
JULHO
T Q Q
S
4
11
18
25
S
5
12
19
26
S
S
6
13
20
27
7
14
21
28
S
1
3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15
17 18 19 20 21 22
24 25 26 27 28 29
31
S
2
9
16
23
30
D
S
48
T
ABRIL
Q Q
S
1
3 4 5 6 7 8
10 11 12 13 14 15
17 18 18 20 21 22
24 25 26 27 28 29
JUNHO
D S T Q Q
1 2
5 6 7 8 9
12 13 14 15 16
19 20 21 22 23
26 27 28 29 30
S
3
10
17
24
S
2
9
16
23
30
S
4
11
18
25
LEGENDA:
Período de observação
Período de Coparticipação
Período de Regência
Professora é para ficar mais organizado
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AGRADECIMENTOS
Agradeço ao Senhor meu Deus, por se fazer presente em todos os momentos, por me
ter dotado de saúde, sabedoria e disposição para alcançar mais uma vitória.
Agradeço aos meus Pais em especial a minha mãe que me dá força e acorda todas as
manhãs para fazer meu café sem reclamar de nada, você é minha vida, te amo muito.
Agradeço aos professores/as, queridos mestres e orientadores que fizeram do seu trabalho um
ato de amizade e dedicação.
Agradeço a todos meus amigos, colegas e familiares, por serem compreensivos, às
vezes críticos, mas sempre presentes do meu lado me dando a força que tanto necessitei.
Agradeço aos meus alunos do estágio, pela dedicação, compreensão e pela presença
constante durante toda essa fase.
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William Shakespeare
Depois de algum tempo você aprende a diferença, a sutil diferença entre
dar a mão e acorrentar a alma. E você aprende que amar não significa apoiar-se,
e que companhia nem sempre significa segurança. E começa a aprender que
beijos não são contratos e presentes não são promessas. E começa a aceitar suas
derrotas com a cabeça erguida e olhos adiante, com a graça de um adulto e não
com a tristeza de uma criança. E aprende a construir todas as suas estradas no
hoje, por que o terreno do amanhã é incerto demais para os planos, e o futuro
tem o costume de cair em meio ao vão.
(...) E aprende que não importa o quanto você se importe, algumas
pessoas não se importam. E aceita que não importa quão boa seja uma pessoa;
ela vai feri-lo de vez em quando e você precisa perdoá-la por isso. Aprende que
falar pode aliviar dores emocionais. Descobre que se leva anos para se construir
confiança e apenas segundos para destruí-la, e que você pode fazer coisas em
um instante, das quais se arrependerá pelo resto da vida. Aprende que
verdadeiras amizades continuam a crescer mesmo apesar de longas distancias. E
que o que importa não é o que você tem na vida, mas quem você tem na vida. E
que bons amigos são a família que nos permitem escolher. Aprende que não
temos que mudar de amigos se compreendemos que os amigos mudam; percebe
que seu melhor amigo e você podem fazer alguma coisa, ou nada, e ter bons
momentos juntos.
(...) Começa aprender que não deve se compara com os outros, mas com o
melhor que você pode ser. Descobre que leva muito tempo para se tornar a
pessoa que se quer ser, e que o tempo é curto. Aprende que não importa aonde já
chegou, mas onde está indo; mas se você não sabe para onde está indo, qualquer
lugar serve. Aprende que ou você controla seus atos ou eles o controlarão, e que
ser flexível não significa ser fraco ou não ter responsabilidade, pois não importa
quão delicada e frágil seja uma situação, sempre existem dois lados.
(...) Aprende que maturidade tem mais a ver com os tipos de experiência
que se teve e o que você aprendeu com elas do que com quantos aniversários
você celebrou. Aprende que há mais dos seus pais em você do que você
suponha. Aprende que nunca se deve dizer a uma criança que sonhos são
bobagens; poucas coisas são tão humilhantes e seria uma tragédia se ela
acreditasse nisso. Aprende que quando está com raiva tem direito de estar com
raiva, mas isso não lhe dá o direito de ser cruel. Descobre que só por que alguém
não o ama do jeito que você quer que ame não significa que esse alguém não o
ama com tudo que pode, pois existem pessoas que nos amam, mas simplesmente
não sabem demonstrar ou viver isso. Aprende que nem sempre é suficiente ser
perdoado por alguém; algumas vezes você tem que aprender a perdoar-se.
Aprende que, com a mesma severidade com que julga, você será em algum
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momento condenado. Aprende que não importa em quantos pedaços
seu coração foi partido; o mundo não pára pra que você o conserte. Aprende que
o tempo não é algo que possa voltar para trás.
Portanto, plante seu jardim e decore sua alma, ao invés de esperar que
alguém lhe traga flores. E você aprende que realmente pode suportar, que
realmente é forte e que pode ir muito mais longe depois de pensar que não se
pode mais. E que realmente a vida tem valor e que você tem valor diante da
vida.
Nossas dádivas são traidoras e nos fazem perder o bem que poderíamos
conquistar se não fosse o medo de tentar.
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SUMÁRIO
1 – INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 8
1.1 – Memorial.............................................................................................................9
2 – PERÍODO DE OBSERVAÇÃO ..................................................................................... 11
2.1 – REGISTRO DE COMPARECIMENTO ....................................................... 12
2.2 – SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO ...................................................... 13
2.2 – SÍNTESE DE OBSERVAÇÃO DA ESCOLA ................................................19
3 – PERÍODO DE CO-PARTICIPAÇÃO .......................................................................... 22
3.1 – REGISTRO DE COMPARECIMENTO ....................................................... 23
3.2 – SÍNTESE DA FASE DE CO-PARTICIPAÇÃO ........................................... 24
4 – PERÍODO DE REGÊNCIA ........................................................................................... 27
4.1- PLANO DE UNIDADE .....................................................................................28
4.2 –REGISTRO DE COMPARECIMENTO ........................................................ 32
4.4 – PLANOS DE AULAS ....................................................................................... 35
5 – GRÁFICOS DO QUESTIONÁRIO SÓCIO-ECONÔMICO ..................................... 64
6 – CONCLUSÃO.................................................................................................................. 67
7 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 68
8 – ANEXOS .......................................................................................................................... 69
ANEXO 01: PROJETO – .......................................................................................... 70
ANEXO 02: 1ª AVALIAÇÃO DA II UNIDADE................................................... 87
ANEXO 03: 2ª AVALIAÇÃO DA II UNIDADE................................................... 88
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1. INTRODUÇÃO
Este relatório foi desenvolvido no curso de Licenciatura em Matemática com a
finalidade de ser avaliado na disciplina de Estágio Supervisionado III, nele foram registradas
todas minhas experiências durante o período de estágio vivenciado no Centro Integrado de
Educação Navarro de Brito.
É no estágio que o aluno poderá aplicar as teorias (da disciplina prática) junto com
prática, podendo mostrar todo o seu potencial para exercer uma profissão tão especial, que é
ser Educador.
Sei o quanto nossa profissão ainda é desvalorizada, mas o que anima é quando
olhamos para o futuro e vemos que nós somos transformadores de vidas. Acredito na
educação, por isso estou fazendo mais uma licenciatura.
Sei o quanto é importante o estágio, pois é nele que aprendemos “um pouco” sobre a
prática de ser um bom educador, que pena que às vezes é utópico. Sabemos que a realidade da
sala de aula é muito diferente de quando estagiamos, pois infelizmente os professores estão
quase sempre sobrecarregados e não tem tempo para aplicar algo novo em sala de aula, este é
um dos motivos de sermos muito bem recebido, tanto pelos alunos quanto pelo Regente.
Estou em sala de aula há cinco anos, apesar de achar desnecessário estagiar, foi uma
experiência impar, pois aprendi que tudo que fazemos com amor, pode transformar algo que
era impossível que era estagiar num 3º ano, em realidade, pois, geralmente os colégios não
permitem estagiários no último ano do Ensino Médio.
Quando terminei este estágio olhei para trás, e falei: Que apesar do sofrimento, das
renúncias, “tudo vale a pena”, pois aprendi a ter um carinho especial pelos meus “discentes
temporários”, e estou levando comigo a experiência de cada um, espero também que tenha
deixado algo de bom para eles, isto é, dando mais valor a aprendizagem matemática.
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1.1 MEMORIAL PESSOAL
Por toda minha vida escolar passei por diversos professores de matemática, posso
confessar que gostei de todos. Cada um tinha um estilo e um jeito diferente de ministrar suas
aulas, mas todos tinham a mesma satisfação em ensinar a matemática, esta disciplina tão
temida por muitos estudantes.
Durante o ensino médio, quando a maioria dos adolescentes tenta escolher a profissão
que seguiria na vida, eu sempre imaginei ser professora. Tanto que era meu sonho. Prestei o
primeiro vestibular para Biologia, para minha maior frustração, não passei. Deste ponto em
diante pensei que teria que passar mais um ano estudando em cursinhos pré-vestibulares para
tentar mais uma vez, ingressar na universidade. Comecei o cursinho no início do ano, mas
sabia que não queria mais biologia, resolvi então esperar o tempo certo para decidir minha
opção. Minha mãe que sempre me observava e como sempre muito preocupada, um dia me
disse que eu deveria pensar em fazer algo ligado a exatas, já que ela sempre me via estudando
esta disciplina quando chegava com os módulos do cursinho. Percebi naquele momento que
deveria fazer vestibular para Química. Assim como minha mãe, seria uma professora.
Entrei na Universidade com uma grande expectativa, mas logo percebi que a Química
que pensava aprender na Universidade não condizia com a realidade. O curso começou bem,
muitas disciplinas de cálculos, tanto que comecei a desenvolver muito meu lado de
“matemático puro”, mas tive um problema de saúde e tive que abandonar meu curso,
infelizmente meu sonho foi embora.
Como estudava na UFBA (Universidade Federal da Bahia), antes de trancar o curso
resolvi fazer um vestibular próximo de casa, fiz para Biologia, passei e comecei a cursar e
percebi que estava algo incompleto comigo, resolvi fazer matemática na UESB, mas terminei
o curso de Biologia.
Matemática era algo mais próximo de química devido os cálculos e achava que
poderia seguir esta área. Conforme o tempo passava, comecei juntamente com a minha turma
a questionar que estávamos em um curso de Licenciatura e não estávamos sendo preparados
para sermos professores, mas sim matemáticos puros. A partir destes questionamentos e
também depois da chegada da professora Dr. Tânia Cristina R. Silva Gusmão na
Universidade, motivou - me a desenvolver meu lado de futura professora.
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As teorias que aprendi na universidade e minha experiência em sala de aula
é a base para que meu estágio seja bem sucedido. O estágio, na visão pedagógica, é a forma
de auxiliar na formação do profissional educador, para o futuro exercício de sua profissão,
colocando-o em contato com a realidade, logo a teoria que se aprende no meio acadêmico se
alia a prática e auxilia o educador na vivência de sua profissão.
A minha vida acadêmica está contribuindo muito para a minha formação profissional.
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas.
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: I
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 a 30 de março de 2011
2.1 REGISTROS DE COMPARECIMENTO
DATA
HORÁRIO
ATIVIDADES
N° DE AULAS
22/03/2011
10:10 às 11:40
Teste I unidade sobre
Números complexos.
2
24/03/2011
7:20 às 9:00
29/03/2011
7:20 às 8:10
30/03/11
8:00 às 10:30
Abordagem
do
conteúdo
Fatorial,
resolução de alguns
exercícios de fatorial.
Resolução de alguns
exemplos
sobre
o
conteúdo Fatorial.
Participação no AC e
reunião entre as duas
estagiárias
(Neuraci
Dias e Maria das
Graças) e o professor
Regente.
2
1
3
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 a 30 de março de 2011
SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO
A Observação constitui a primeira fase do Estágio Supervisionado. Foi realizado no
Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB, localizado à Av. Frei Benjamin,
Brasil - Vitória da Conquista – Bahia, numa turma de 3º ano, sob a regência do professor
Enoque Alves de Matos.
Minha primeira aula de observação aconteceu no dia 22 de março de 2011. Cheguei ao
CIENB por volta das 09h50min da manhã para dar início às observações em sala de aula.
Antes de entrar em sala o professor conversou comigo que iria pegar uma aula de uma
professora para aplicar sua avaliação para que todas suas turmas ficassem com o conteúdo
igual. Ao entrar em sala, às 10h10min o professor apresentou-me à turma, dizendo que eu
estaria com eles a partir daquele dia como estagiária da disciplina, informando-os também que
a princípio eu estaria observando e coparticipando e a partir da segunda unidade assumiria a
turma como regente. Em seguida, o professor entregou a avaliação e uma folha em branco
esclarecendo-os que:
 A avaliação era composta por 11 questões, das quais os alunos poderiam escolher 5
para responder;
 Não seriam aceitas questões rasuradas;
 As respostas só seriam válidas acompanhadas com seus respectivos cálculos;
 Havia uma questão desafio ao fim da avaliação que tinha valor extra e, segundo ele,
era “presente de Natal”.
 Só seria permitido sair da sala, mesmo que houvesse terminado o teste, após 1 horário
(50 minutos);
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Desejou aos alunos bom trabalho, me entregou um teste (em anexo) e uma planilha,
que serviria para anotar as notas dos alunos futuramente, e sentou-se. Nesse momento,
entreguei lhe também o ofício, documento que me encaminhava para estagiar na turma.
Durante a avaliação predominou o silêncio. Os alunos ficaram muito concentrados e só se
manifestaram para perguntar se a ordem das questões poderia ser aleatória, tipo:
- “posso começar a fazer a 11 e depois voltar para a 2?”
No entanto, uma aluna (Maria Luísa) rapidamente entregou ao professor a sua avaliação. O
professor olhando para mim fez um infeliz comentário:
- forte candidata a estar aqui de novo ano que vem...
Foi então que a aluna retrucou:
- Vamos ver se eu não passo de ano! E foi embora.
Apesar do ocorrido, o andamento da prova foi tranquilo.
Por volta das 11h:20 min os alunos ainda estavam concentrados na prova, pensei:
“Graças a Deus minha sala é interessada”. Então tocou o horário 11:40 hs, Enoque recolheu
todas as provas e fomos embora da sala, ele me confessou que aquele 3º ano era a pior sala
para dar aula, pois os alunos conversavam muito e o rendimento dos mesmos era ruim.
No dia 24 cheguei ao colégio por volta das 7h:20min para duas aulas de observaçãoão.
O professor ao chegar, com um pouco de atraso, deu bom dia e iniciou a aula escrevendo no
quadro o conteúdo Fatorial e, logo abaixo, alguns exemplos, como:
5! = 5x4x3x2x1
Falou para os alunos repararem que a partir do número dado em todos os exemplos tinha-se o
produto de todos os números em ordem decrescente até chegar ao número 1, como visto
acima. A seguir, aguardou os alunos copiarem e falou em voz alta por duas vezes: fatorial é o
produto dos números em ordem decrescente a partir de um número dado. Em seguida, falou
que era a vez dos alunos dizerem em “coro” às palavras que ele havia dito e assim os alunos
fizeram. Na sequência, perguntou se os alunos haviam entendido e após confirmação,
perguntou novamente:
Dado um numero “n” calcule n!
O professor aguardou a resposta por alguns instantes, mas diante o silêncio dos alunos
ele começou a dizer que não havia motivos para espanto. O fato de se depararem com uma
letra em meio àqueles exercícios indicava que de um modo geral “n” representava um número
qualquer e dessa forma teríamos:
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n! = (n)x(n-1)x(n-2) x...x(1) isto ele escreveu no quadro, como havia falado anteriormente,
que o fatorial iria decrescendo até chegar ao 1.
Após ter feito isso, colocou alguns exercícios similares no quadro, como:

n!/(n - 2)!

(n - 1)!/(n – 1)!
 5!/3!
 20!/18!
 5!4!/3!2!
 n!/(n-1)!
Após isso acabou a aula, mas ele não corrigiu nada deixou para próxima aula. Durante estas
aulas percebi que o professor estava tentando “enrolar” com o conteúdo (pois ele conversa
muito e explica muito pouco o conteúdo), sem a menor intenção de utilizar estas aulas como
base para resolver futuramente problemas de contagem.
No dia 29 de março, a aula teve início às 7:20 hs, após cumprimentar os alunos dando
bom dia o professor perguntou se tinha alguma dúvida em relação a atividade que passou na
aula anterior, muitos disseram que não estavam conseguindo fazer a atividade. Então ele
corrigiu as atividades.
 A maioria dos alunos sentiu dificuldade neste exercício 5!/3!
Enoque disse que: “matemático é preguiçoso” ( na minha opinião ele que é preguiçoso e tenta
incluir todos os matemáticos) e a vida exige praticidade, então seria mais conveniente
simplificar o termo maior, independente de ele estar no numerador ou denominador, até
chegar ao valor do menor e usar o “corte”, isto é, veja como fazer no primeiro exemplo:
•
5!/3! = (5x4x3!)/3! = 20
Aguardou os alunos fazerem, até que estes foram interrompidos pela campainha do colégio
que anunciou o fim da aula daquele dia.
Na manhã do dia 30, dia de Atividade complementar (AC) da Área de Matemática e
suas Tecnologias, retornei ao colégio para juntamente com a minha colega, de disciplina no
curso de matemática e de estágio no CIENB, Neuraci, conversarmos com o professor Enoque.
Durante essas Atividades Complementares (AC) são colocados em pauta assuntos referentes
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ao CIENB, passadas informações diversas e nos momentos seguintes, os
professores costumam fazer correções de atividades, planejar aulas, entre outras atividades. O
professor Enoque fez alguns comunicados, os quais foram discutidos pelos demais
professores:
 Está aberta a inscrição para certificação, (são provas que os professores da rede
estadual realizam para aumentar o salário);
 Tem uma nova lei que está no congresso referente aos professores que tem tempo
integral nas escolas;
 O Departamento de Ciências Naturais da UESB encaminhou uma lista de estagiários
para os respectivos professores do CIENB, citando turno e turma.
 Sugeriu que o Colegiado de Matemática ou Departamento de Ciências Exatas - DCE
também mandasse uma relação dos estagiários por professor, série e turno;
A questão da certificação gerou certa discussão. Uma professora questionou que “os
únicos funcionários que são avaliados por meio de provas são eles e que isso só acontece
porque eles sempre aceitaram de forma passiva. Nem mesmo os alunos hoje em dia são
avaliados nas escolas por este instrumento.” Outra professora complementou que “este
dinheiro deveria ser investido em capacitação por que este tipo de coisa não mede as práticas
de ninguém. O que deveria era ser feito um relatório de cada professor por parte da
coordenação ou direção da escola, pois o que acontece em sala de aula não dá para ser medido
em 20 linhas de uma dissertação na qual não se pode usar lápis, nem borracha e nem fazer
rascunho. Só é permitido usar uma caneta!”. (Concordo com a ideia da segunda professora,
pois as vezes estás seleções de certificações não prova o conhecimento adquirido no curso que
fazemos, e sim e mais uma medida política para não melhorar o salario do profissional da
educação).
Ficou definido que nos ACs seguintes ficariam assim: 1ª hora de reunião para discutir
questões institucionais e nas horas seguintes tirar o tempo para estudar para a prova da
certificação. Para isso, Os professores socializaram alguns materiais, como livros e apostilas,
dando fim à reunião e prosseguindo cada um com suas particularidades. Não havendo nada
mais a tratar com os colegas de trabalho.
Num momento a seguir, o professor se direcionou a mim e à minha colega Neuraci
para discutirmos sobre o nosso estágio. A princípio ele disse que o assunto da unidade II que
iríamos trabalhar com os alunos de 3º ano seria Polinômios. Posteriormente, entregou-nos o
calendário acadêmico, a partir do qual, definimos as datas de início e término da regência:
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início em 18 de Abril e término em 18 de julho1 com a entrega dos resultados das
avaliações aos alunos. Enoque nos disse que entre 11 e 15 de Abril aconteceria a semana de
provas e nós daríamos continuidade a nossa coparticipação, aplicando as provas aos alunos
conforme escala preparada por professores do CIENB. Falou-nos também em relação à sua
avaliação: costuma aplicar duas: um teste e uma prova, cada uma valendo 5,0 pontos.
Segundo ele, não há necessidade de pontuar a tarefa de casa, pois é dever do aluno fazer isso.
Ele também não é a favor de pontuar listas de exercícios, pois, segundo ele, um aluno faz e 30
copiam. Em seguida, perguntei a ele sobre a sala de informática: se ele costuma usá-la para
realizar alguma aula, quantos computadores ela tem e se todos estão funcionando. Ele nos
informou que não costuma levar os alunos para fazer atividades com informática nas aulas de
matemática e que dos 20 computadores apenas uns 9 estão em condições de uso. Comentamos
com o professor que pretendíamos inserir a informática ao trabalhar com algum conteúdo na
unidade e ele então nos convidou a realizar uma “oficina” para expor alguns softwares
matemáticos nas ACs do dia 20 de abril.
Em relação ao plano de unidade, Enoque nos disse que o havia esquecido, mas nos
entregaria em outro momento. Instantes depois o professor nos acompanhou até a biblioteca
para que pegássemos emprestado o livro adotado pelos professores de matemática do CIENB,
informando-nos que não costuma usá-lo, pois gosta de preparar suas aulas com exercícios de
outros livros. A seguir, acompanhou-nos novamente, desta vez até a sala da vice-diretora, nos
apresentou a ela, e disse que em breve as turmas de terceiros anos A e B estariam sob nossa
responsabilidade. E encerramos assim nossas atividades no CIENB na manhã desta quartafeira, encerrando também a fase observação.
Durante a fase de observações no CIENB, foi possível notar: como é o relacionamento
do Educado e educando, o perfil dos discentes e a forma como o docente aborda os conteúdos
e age com os discentes. Pelo que pude perceber, ele é respeitado pelos colegas e apresenta ter
um bom relacionamento com grande parte dos alunos da turma, com exceção de um aluno
chamado Francisco que sempre o questionava sobre os conteúdos e seu modo de avaliar.
Percebi que a grande maioria dos alunos do 3º B mantém silêncio durante as aulas de
matemática ministradas pelo professor, mas não respondem as atividades propostas pelo
professor na sala de aula. O professor durante as aulas “enrolava”(foge do assunto) muito,
1
A definição da data de início e término do meu estágio foi diferente em relação à de minha colega, pois
estagio às terças e quintas enquanto ela estagia às segundas e terças.
17
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conversava sobre profissão, que professor era desvalorizado por isso ele estava
fazendo Direito para sair da área da Educação.
Em geral, os discentes do 3º ano B apesar de ser mais velhos que os alunos do
Fundamental II que estagiei, não são tão diferentes, querem sair mais cedo (ter aula vaga), as
vezes percebe que o professor de Matemática enrola ou seja conversa mais que explica o
assunto, e tem aulas que eles nem assistem.
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2.3 ASPECTOS OBSERVADOS NA INSTITUIÇÃO
O Centro Integrado de Educação Navarro de Brito (CIENB), foi inaugurado em março
de 1970. Começou a funcionar com 12 salas de aula, mas logo depois o Dr. Rafael
Spínola elevou para 42 o número de salas. Nesta época o colégio começou a oferecer os
cursos de Magistério de 1º Grau, Técnico de Contabilidade e Auxiliar de Enfermagem,
além do ensino de 1º Grau, tornando-se a maior escola de Vitória da Conquista, uma
cidadela com mais de quatro mil alunos2.
A escola possui atualmente 2700 alunos, matriculados nos três turnos, no quadro de
85 professores, é considerada uma escola de grande porte. A estrutura física da escola é de
ótima qualidade, onde se encontra: uma sala de professores ampla e com banheiros, uma
sala de vídeo, uma secretaria, uma reprografia e impressões para uso dos professores,
vinte e seis salas de aula, todas equipadas com televisores a pen drive, de tamanho
satisfatório, é utilizado ventiladores, quadro branco e conta com uma boa iluminação.
Uma sala de direção, uma sala de xadrez, cozinha bem projetada, almoxarifado, pátio
interno e externo, banheiros masculino e feminino, laboratório de informática contendo 12
computadores, lanchonete (privada), reprografia para alunos (privada), quadra poli
esportiva, auditório amplo, espaço para apresentações teatrais, biblioteca com grande
número de livros didáticos, que são locados pelos alunos através da apresentação da
carteira de identificação, estacionamento externo.
A merenda é oferecida num cardápio diversificado, nos três turnos, sendo que é
oferecida também para os alunos do sexto horário, neste caso há uma defasagem, pois por
várias vezes não se tem aula devido à falta de merenda ou a falta de professores nestes
horários.
A escola mantém alguns projetos: Resgatando as Tradições Juninas; Ensinemando;
Historia e Comunidade; Reciclagem; Ressignificação de Dependência; Programa Mais
Educação; Ensino Médio Inovador. Mantendo dessa forma uma Proposta Pedagógica
voltada ao construtivismo.
2
Disponível em: http://blogdirec20.com.br/2010/06/02/centro-integrado-de-educacao-navarro-de-britocomemora-40-anos-de-inauguracao/
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SALAS DE AULA
CARACTERÍSTICAS DA CLASSE
A turma é composta por 42 estudantes sendo 30 mulheres e 12 homens. Destes, cerca
de 37 alunos costumam frequentar as aulas de matemática. Destes que frequentam cerca de 15
tem interesse, principalmente as meninas, apesar de que tem um aluno muito bom e
participativo que é Ellison.
ESTRUTURA FÍSICA DA SALA
É uma sala grande, bem arejada, com aproximadamente 45 carteiras para os alunos,
uma mesa com uma cadeira para o professor, um quadro branco e uma TV pendrive,
ventilador, janelas e um quadro branco. As carteiras se encontram em bom estado de
conservação. Cada aula tem a duração de 50 minutos, com 3 aulas semanais distribuídas em
dois dias da semana.
DOCENTE
O professor geralmente não falta ao trabalho, mas chega quase sempre atrasado
principalmente nos primeiros horários. Em relação aos alunos me parece que o professor tem
fama de “carrasco”. Ministra as aulas de forma expositiva, tradicional, escrevendo no quadro
e os alunos copiando em seus cadernos, não exige que os alunos tragam o livro, acredito que
isto será um problema grande para eu enfrentar na época da regência. Após explicar o
conteúdo ele costuma resolver muitos exercícios para fixação e depois aplica outros para que
os alunos os façam.
AVALIAÇÃO DO DOCENTE
A meu ver, o professor é aparentemente organizado, tem “domínio” ao abordar o
conteúdo e é sempre muito firme nas colocações em sala, mas ás vezes foge do conteúdo que
será abordado.
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TÉCNICAS E RECURSOS UTILIZADOS PELO PROFESSOR
As aulas são expositivas, pois o professor só fala e não trás nenhuma dinâmica de
ensino, utiliza sempre o quadro, pincel e livro didático.
ATIVIDADES DE ENSINO
O professor inicia o conteúdo da forma tradicional, escrevendo no quadro e os alunos
copiando. Em seguida explica o conteúdo e faz exercícios para fixação. A avaliação é feita
através de um teste e uma prova.
CONTEÚDOS
Os conteúdos trabalhados na unidade I foram: Números Complexos e Fatoriais. (obs:
já foram relatados anteriormente na síntese)
ASPECTOS EXTERIORES À SALA DE AULA
SALA DOS PROFESSORES
Na sala de professores tem alguns sofás móveis, uma mesa no centro da sala, usada
para colocar os diários de classe, antes e entre as aulas, um bebedouro, uma pequena mesa
onde se coloca merenda escolar e garrafas com chá e café. Há também, uma mesa usada pela
diretora ou vice-diretora, um sanitário feminino e um masculino.
A maior concentração de professores nesta sala costuma acontecer no horário de
intervalo e entre uma aula e outra.
REUNIÕES
As reuniões ocorrem sempre na sala da coordenação, os assuntos são
numerados de acordo com suas importâncias. Geralmente quem começa dá os
primeiros pronunciamentos são os coordenadores de áreas (pois cada área tem seu
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coordenador pedagógico, exemplo: Enoque é o coordenador de ciências
exatas e matemática e suas tecnologias).
BIBLIOTECA
No colégio existe uma biblioteca de pequeno porte na qual existe um sistema de
empréstimo para os alunos. Ficando disponível no horário letivo e sempre tendo alunos
utilizando-a. segundo os alunos, o professor de matemática não costuma levar os alunos para
a biblioteca.
LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA
A sala de informática possui 12 computadores em funcionamento, com acesso à
internet à disposição de alunos e professores. Funciona no horário letivo e para utilizá-lo é
preciso agendar antes.
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas.
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: I
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE COPARTICIPAÇÃO: 31 de Março a 19 de abril de 2011
3.1 REGISTRO DE COMPARECIMENTO
DATA
HORÁRIO
ATIVIDADES
N° DE
AULAS
7:20 às 9:00
Aplicação do
conteúdo Fatorial.
2
05/04/2011
10:50 as 11:40
Correção de atividades
propostas na aula
anterior.
1
07/0402011
7:20 às 9:00
Não Houve aula
0
12/04/2011
7:30 às 9:50
Aplicação da prova de
Português, Inglês e
Redação.
2
14/04/2011
7:30 às 9:50
Aplicação da prova de
Matemática.
2
19/05/2011
10:50 as 11:40
Correção da avaliação
final da I unidade.
1
31/03/2011
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: A TURNO: Matutino
FASE DE COPARTICIPAÇÃO: 31 de Março a 19 de abril de 2011
SÍNTESE DA COPARTICIPAÇÃO
A fase de coparticipação ocorreu no dia 31 de Março até 19 de abril. Esta fase
totalizou 08 horas/aula. Foi um período importante no meu estágio, assim como as outras
fases, pois neste período tive a oportunidade de ter mais contato com meus futuros discentes
provisórios.
A minha primeira aula de coparticipação ocorreu no dia 31 de Março como sempre o
professor entrou na sala atrasado e retornou novamente a aplicação da aula de Fatorial
dizendo que o fatorial é o produto de todos os números em ordem decrescente até chegar ao
número 1.
E descreveu os seguintes exemplos no quadro:
 20!/18!
 5!4!/3!2!
 n!/(n-1)!
Então corrigiu depois de uns 20 minutos que ele tinha passado a atividade.
 20!/18!= explicando que sempre começa fatorar do maior até chegar o fatorial do
menor para simplificar o fatorial, 20*19*18!/18!, simplifique o 18! Tanto no
numerador quanto no denominador, e o que sobrou só é multiplicar o que sobrou
20*19 = 380.
 5!4!/3!2! o mesmo fiz com este exemplo simplifiquei 5! até chegar ao 3! E o 4!
simplifiquei até chegar ao 2!. Cortei os fatoriais e o que sobrou eu multipliquei.
5*4*4*3= 240.
 n!/(n-1)!
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O problema foi neste exemplo, eles sentiram dificuldade então eu expliquei que n! é
maior que (n-1)!, então o processo era o mesmo simplificar o maior até chegar no menor
fatorial corta o fatorial e multiplica o que sobra.
n*(n-1)!/ (n-1)!= n
O regente passou alguns exercícios para casa:
 n(n-1)!/(n-2)!
 9!/7!
 15!/12!
 (n-2)!/ (n-3)!
Fiz a chamada, ele começou contar piada e conversar assuntos diferentes da aula, ai
tocou o horário.
No dia 5 de abril, esperei o professor entrar na sala ele pediu para eu fazer a chamada,
enquanto isso ele passava nas cadeiras dos alunos para ver se haviam feito às atividades, mas
infelizmente quase ninguém tinha resolvido as atividades da aula passada então ele pediu que
eu corrigisse no quadro.
 n(n-1)!/(n-2)!
 Comecei fazer, como nas aulas passadas, a correção n(n-1)(n-2)!/ (n-2)! Simplifica o
que tem de igual e sobrou n(n-1) e resolvi multiplicar fator por fator dando o resultado
n²-n.
 9!/7! O segundo comecei fatorando o 9 até chegar ao 7! para simplificar os fatoriais e
multiplicar o que tem igual
O resultado 9*8=72
 15!/12! O terceiro exemplo, fiz o mesmo processo mecânico o resultado era 15*14*13
= 2730
 (n-2)!/ (n-3)! Neste chamei um aluno para fazer que foi Ellison. Ele foi até ao quadro e
começou a responder (n-2) (n-3)! / (n-3)! simplificou e sobrou (n-2). E eu perguntei se
estes exercícios eram tão difíceis para que a maioria não tivesse respondido. Todos
ficaram em silêncio e acabou o horário.
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Nos dias 12/04 e 14/04 foram aplicações das provas ai só entreguei e fiquei
fiscalizando até o ultimo entregar. (professora está semana foi só prova no Colégio, para
completar a fase de coparticipação, apliquei as provas do dia 12/04 e 14/04, onde entrei na
sala por volta de 7:30 até as 9:40, neste dois dias fiquei observando eles responderem as
provas em silencio, tanto o primeiro dia quanto o segundo dia de provas eles se comportaram
bem e fiquei esperando até o ultimo acabar, mas foi de disciplina diferente como Biologia
química, português e redação).
Professora, o pior dia para mim foi dia 19/04, pois o regente Enoque disse que eu teria
que corrigir a prova que ele tinha feito, mas ele não falou nada comigo antes, e se eu não
soubesse números complexo qual seria minha credibilidade diante dos meus futuros
discentes?
O que aconteceu e que ele pensou que eu já iria reger, (pois ele queria ficar de folga),
mas como ele tinha que ficar comigo mais uma aula, ele me fez corrigir a prova, mesmo que
os alunos não estavam com ela em mãos, só para passar o tempo e terminar a coparticipação.
Fiquei com muita raiva, mas comecei a corrigir, ainda bem que lembrava só que
chegou numa questão que todos questionaram, pois Enoque não tinha explicado daquele jeito.
Ficou uma discussão na sala entre o Regente e os alunos, e depois ficou por isso mesmo os
discentes perderam a questão.
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II UNIDADE
Este plano de unidade foi solicitado como requisito da disciplina Estágio
Supervisionado III pela professora Roberta Bortoloti e será aplicado para alunos de 3º ano do
Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB, localizado à Av. Frei Benjamin,
Brasil - Vitória da Conquista – Bahia. Tem como objetivo colocar em prática as teorias e
metodologias adquiridas ao longo do curso de Licenciatura Plena em Matemática.
OBJETIVOS GERAIS DA UNIDADE:
- Contribuir com o desenvolvimento do saber matemático (do aluno);
- Compreender o que é um polinômio;
- Apresentar situações práticas que levam à ideia de polinômio;
- Manipular expressões algébricas envolvendo polinômios;
- Apresentar os métodos de resolução das operações com polinômios;
- Mostrar e relacionar, quando possível, a parte algébrica com a geométrica na resolução de
um problema que envolva expressão polinomial;
Nº de aulas
Conteúdo programático
necessárias
1. O que é um polinômio
1.1 - Introdução
4
1.2 - Definição
1.3 - grau de um polinômio
1.4 -Valor numérico
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2.
Polinômio identicamente nulo e identidade de
2
polinômios;
3. Adição, subtração e multiplicação de
5
polinômios;
4.
Divisão de polinômios
4.1- Método da chave
8
4.2 - Método dos cartões3
4.3 - Teorema do resto
4.4 - Teorema de D’Alembert
4.5 - Dispositivo prático de Briot-Ruffini
5. Aplicação da prova
3
6. Aplicação do projeto na UESB
5
7. Revisão para prova
2
8. Aplicação da avaliação Final
3
Total de aulas
32
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS QUE PRETENDE UTILIZAR:
A metodologia utilizada em sala de aula será baseada em aulas teóricas, que serão de
caráter expositivo-participativo, e aulas práticas, que serão realizadas com cartões em
cartolina e projeto de combinatória.
No primeiro momento serão realizadas aulas expositivo-participativas. Nestas, tentarei
mostrar para os alunos algumas situações em que a partir das quais originam equações ou
expressões que envolvem polinômios.
3
Este método aqui titulado como “Método dos cartões” trata se um recurso no qual os alunos irão utilizar
figuras em formato de retângulos e quadrados feitos com cartolinas coloridas para efetuar as quatro operações
e não só a divisão de polinômios.
30
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Depois serão abordadas algumas técnicas, estratégias e opções de como se
resolver essas equações ou expressões que envolvam polinômios, ou mesmo as operações
com o conteúdo polinômios. Para isso, mostrarei tanto a parte algébrica quanto a geométrica
(quando possível) para que os alunos tenham essas duas visões nos problemas. Nestas aulas
vamos utilizar além do recurso “lápis-papel”, recortes de papel em forma de quadrados e
retângulos, para efetuar as operações com polinômios, relacionando com as supostas áreas das
figuras.
Para fixar as técnicas e torna-los hábeis para responder questões sobre este conteúdo no
vestibular, pois muitos deles pretendem fazê-lo, aplicarei listas com questões do tipo que
caíram nos últimos vestibulares, não só das universidades públicas de Vitória da conquista
(UESB e UFBA) como de outras do Brasil. Logo após resolveremos alguns problemas
mostrando a aplicação dos polinômios no mundo real.
Na parte final da regência, será realizado um projeto que tem por objetivo inserir
metodologias diferentes nas aulas de matemática. Entre elas está o uso da informática, uma
prática que vem se inserindo no contexto das aulas de matemática nas últimas décadas. Para
isso, conheceremos o Geogebra, um software livre que mostra tanto a parte algébrica, quanto
a geométrica de uma equação (no caso aqui, do polinômio) encontrando as raízes da equação,
seu respectivo gráfico e os pontos de inflexão.
RECURSOS UTILIZADOS:
Cartões em cartolina
Quadro
Livro didático
Pincel
Computador
software
INSTRUMENTOS AVALIATIVOS QUE PRETENDE APLICAR:
A avaliação será sistemática e se dará ao longo de todo o processo de aprendizagem.
Levantarei informações sobre o conhecimento prévio do aluno e observarei as dificuldades e
as facilidades de cada um.
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Será avaliada no decorrer das aulas a participação, o comportamento, as
atividades extraclasses e as provas avaliativas individuais somando 10 pontos.
A minha distribuição de notas será a seguinte:
 8 pontos para provas escritas: será realizado um teste de valor 3,0 pontos e uma prova
valendo 5,0 pontos.
 2 pontos pela participação, comportamento e cumprimento das atividades propostas
(listas, manipulação de software e exercícios em sala).
REFERÊNCIAS
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
Geogebra: software livre. Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/>Acessado em 06
de abril de 2010.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, 2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática
volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
32
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas.
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 21 de abril a 17 de Julho de 2011
REGISTRO DE COMPARECIMENTO
DATA
HORÁRIO
ATIVIDADES
N° DE
AULAS
28/04/2011
07:20 as 9:00
Questionário
Socioeconômico.
2
Introdução á polinômios
Definições de: Função
Monomial, Função
Polinomial, grau de um
polinômio.
1
03/05/2011
10:50 as 11:40
05/05/2011
07:20 as 9:00
Valor numérico de um
polinômio e aplicação de
uma lista de exercícios.
2
10/05/2011
10:50 as 11:40
Inicio da correção da lista
de exercícios.
1
12/05/2011
07:20 as 9:00
Finalizada a correção da
lista de exercícios.
2
17/05/2011
10:50 as 11:40
Soma, subtração e
multiplicação de
polinômios.
1
19/05/2011
07:20 as 9:00
Correção de atividades
aplicadas na aula anterior.
2
33
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24/05/2011
10:50 as 11:40
Conteúdo identidade de
polinômios.
1
26/05/2011
07:20 as 9:00
Correção de atividades. E
primeira prova I
2
31/05/2011
10:50 as 11:40
Paralisação Estadual
1
02/06/2011
07:20 as 9:00
Divisão de polinômios
2
Correção de atividades
07/06/2011
07:20 as 9:00
Método da chave, teorema
do resto e teorema de
D’Alembert.Correção de
atividades.
2
09/06/2011
07:20 as 9:00
Divisão de polinômios:
Dispositivo Prático de
Briot-Ruffini e atividades
2
13/06/2011
07:20 as 12:00
Projeto de ensino com
análise combinatória
5
16/062011
07:20 as 9:00
2
Revisão para prova
05/07/2011
10:50 as 11:40
Não houve aula devido a
utilização das salas para o
processo seletivo da UESBvestibular 2011.2.
11/07/2011
7:20 às 8:10
Semana de provas
12/07/2011
8:10 às 9:50
Semana de provas.
2
2
34
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19/07/2011
10:50 as 11:40
Entrega de resultado
1
Total 32 aulas
35
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das graças Pinheiro Mascarenhas
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 28 de abril a 17 de julho
Assuntos: Aplicação do Questionário sócio-econômico
Nº de aulas: 02
PLANO DE AULA 01
Objetivos Gerais:
Aplicar questionário sócio-econômico a fim de conhecer o perfil geral do aluno;
Objetivos Específicos:
Responder ao questionário sócio-econômico, possibilitando maior entendimento sobre quem
é esse grupo de alunos;
Desenvolvimento: Iniciarei a aula distribuindo o questionário sócio-econômico. Durante esse
momento explicarei a importância de responder corretamente as questões, pois elas servirão
para que possamos conhecer o perfil de cada aluno
Recursos: Questionário socioeconômico
Avaliação: Através da participação dos alunos
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das graças Pinheiro Mascarenhas
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 21de abril a 17 de julho
PLANO DE AULA 2: O QUE É UM POLINÔMIO
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVOS GERAIS
 Mostrar a ocorrência de expressões denominadas polinomiais.
 Apresentar a definição de: polinômio, grau de um polinômio e valor numérico de um
polinômio;
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Reconhecer expressões polinomiais na resolução de problemas;
 Identificar o grau de monômios e consequentemente de polinômios;
 Determinar o valor numérico de um polinômio.
2. CONTEÚDO

Polinômios:
- Introdução
- Definição
- Grau de um polinômio
- Valor numérico
2. PRÉ-REQUSITO
 Potenciação;
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 Números complexos.
4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o conteúdo é
de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas utilizadas para: expor e explicar as definições de
polinômio, grau e valor numérico de um polinômio e sua presença na resolução de problemas.
As duas aulas seguintes serão utilizadas para realizar alguns exercícios.
Antes de iniciar o conteúdo a ser abordado é importante fazer um breve apanhado
sobre a álgebra. Ela é considerada a aritmética simbólica porque emprega letras para
representar números. Essas expressões matemáticas formadas por letras e símbolos numéricos
são chamadas expressões literais ou, genericamente, expressões algébricas e na resolução de
problemas é muito comum ocorrerem situações em que a leitura e a compreensão do
enunciado nos levam a formular expressões que permitam depois a resolução do problema,
por meio de uma equação oriunda das expressões obtidas. Por exemplo, veja algumas:
1) Se x é a idade de Ana, a idade que ela tinha há 5 anos é dada por x – 5.
2) O triplo da idade de Ana daqui há 4 anos é dado por 3(x + 4).
3) 25% de uma quantia é dado por x/4.
Falarei aos alunos que essas são algumas simples exemplificações do uso das expressões
algébricas. Instantes depois desenharei as figuras abaixo no quadro e direi para que os alunos
imaginem por exemplo que, em determinados problemas, os enunciados nos levem às
seguintes figuras e suas dimensões:
Na primeira figura temos uma região retangular de dimensões x e x + 3. Perguntarei aos
alunos como se calcula o perímetro e a área do retângulo. Após ouvi-los e verificar se a
resposta está certa, direi que o perímetro (P) é indicado pela expressão:
P(x) = 2(x + 3) + 2x ou P(x) = 4x + 6
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A segunda figura é um cubo com arestas de medidas x, cuja área total (At) é indicada
por:
At = 6x²
e cujo volume (v) é dado por:
v = x³
A terceira figura é outro cubo com arestas x + 2, cuja área total é dada por:
At = 6(x + 2 )(x + 2) ou (6x + 12)(x + 2) ou 6x² + 12x + 12x +24 ou 6x² + 24x + 24
Donde, simplificando, isto é dividindo toda expressão por 6, lembrando que At = x² + 4x + 4
não é equação, temos: At = x² + 4x + 4
Todas essas expressões são chamadas de expressões polinomiais ou simplesmente
polinômios, cujo estudo vocês já iniciaram no ensino fundamental e será aprofundado agora.
Antes de apresentar a definição de polinômios, é conveniente apresentar a definição de
monômios. Logo a seguir, apresentarei as definições de grau de um polinômio e de como se
calcula o valor numérico de um polinômio.
FUNÇÃO MONOMIAL
Definição
Dado um número complexo (C) a e um numero natural n, consideremos a função f: C
em C definida por f(x) = axn.
A função complexa f é chamada função monomial ou monômio na variável x.
O número complexo a é denominado coeficiente do monômio e o numero natural n é
chamado de grau do monômio. Assim, vejamos alguns exemplos:
At(x) = 6x² é um monômio de grau 2.
v(x) = x³ é um monômio de grau 3.
Em seguida direi para os alunos que: “o polinômio representa a soma algébrica de monômios
na variável x.”. São exemplos de polinômios:
At(x)= x² + 4x + 4 é um polinômio de grau 2.
P(x) = 4x + 6 é um polinômio de grau 1
FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição
Sejam an, an – 1, ..., a2, a1, a0 números complexos e considere a função
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F(x) = anxn + an – 1 x n – 1 +... + a2x2 +a1x + ao
A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x.
Os números complexos an, an – 1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio.
Notemos que o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável x.
São exemplos de polinômios:
f(x) = 3x² + 2x – 1, onde a2 = 3,a1 = 2 e a0 = - 1
g(x) = -4 x³ + x + 1/2, onde a3 = -4, a2 = 0, a1 = 1 e a0 = ½
h(x) = -2x³ + x/3, onde a3 = -2, a2 = 0,a1 = 1/3 e a0 = 0
Observação: não representam polinômios:
a) f(x) = x + x¹/² + 2, devido ao expoente fracionário, pois por definição dado monômio, seja ele
f(x) = axn, n é sempre um numero natural, o que não é o caso deste exemplo.
b) g(x) = -1 + 2x + x-³, devido ao expoente negativo, pois -3 não é um numero natural.
GRAU DE UM POLINÔMIO
Definição
Grau de um polinômio P(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus
monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente dominante do
polinômio.
Exemplo 1
Vamos identificar o grau e o coeficiente em cada caso:
a) P1(x) = 2x³ + x² - 3x – 5 é um polinômio de grau 3 e coeficiente dominante igual a 2.
b) p2(x) = -31/2x4 + x³ -x²/2 – 1 é um polinômio de grau 4 e coeficiente dominante igual a -31/2.
c) p3(x) = x + 1 é um polinômio de grau 1 e coeficiente dominante igual a 1.
Exemplo 2
Seja o polinômio p(x) = (m – 1)x³ + x² - 3x + 1
O grau desse polinômio será 3, desde que o coeficiente x³ não se anule, isto é, desde
que tenhamos m – 1 ≠ 0 → m ≠ 1.
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VALOR NUMÉRICO
Definição
Considere um polinômio p(x) e um numero real α. O valor numérico do polinômio p(x) para x
= α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos necessários. Indicase por p(α).
Se p(α) = 0, o número α é chamado de raiz ou zero de p(x).
Exemplo 3
Vamos determinar o valor numérico do polinômio p(x) = 2x² - 3x + 5 para x = 4
p(4) = 2(4)² - 3(4) + 5
p(4) = 2(16) – 12 + 5
p(4) = 32 – 12 + 5
logo, p(4) = 25
Após tirar as eventuais dúvidas, aplicarei inicialmente uma lista de exercícios, que segue
abaixo, afim de que os alunos apliquem os conhecimentos acima e desenvolvam habilidades
acerca do assunto. Mais adiante resolveremos uma lista de problemas sobre polinômios.
CENTRO INTEGRADO DE EDUCACÃO NAVARRO DE BRITO-CIENB
Disciplina: Matemática
Série: 3º
Turma: B
Professor: Enoque Alves de de Matos
Estagiária:Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas
Data: ____/____/______
Aluno(a): ____________________________________________________
1ª lista da unidade II
1. Identifique o grau de cada polinômio e o coeficiente dominante:
a)
b)
c)
d)
p(x) = 4x³ - 6x² + 5
g(x) = 2/3x² - x + 5/3
f(x) = -8x² + 12x -20
h(x) = 2x² - 3x + 5
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2. Diga quais das seguintes funções são polinômios e justifique.
a)
b)
c)
d)
e)
p(x) = x7 + 1
q(x) = 5x4 – 3x2 + x-1 + 2
h(x) = 1/x² + 7x- 3
u(x) = 5x³ -2x1/4 + 1
f(x) = x² - 6x1/2 -8
3. Sendo p(x) = x³ + 4x – 1, calcular:
a)
b)
c)
d)
P(3)
P(4)
P(m + 1)
P(-2)
4. Verificar se 2 é raiz do polinômio p(x) = x² - 5x +6
5. (PUCC-SP) Dado o polinômio p(x) = xn + xn-1 + ... + x² + x + 3, se n for ímpar, então p(-1)
vale:
a) -1
b) 0
c) 2
d) 1
e) 3
6. (ITA) Um polinômio P(x) ax³ + bx² + cx + d é tal que P(-2)=-2 ,
P(-1) =3 , P(1) = -3 e P(2) = 2. Temos então que:
(a) b=0
(b) b=1
(c ) b=2
(d) b=3
(e) N.D.A.
7. Considere o polinômio p(x + 1) = 3x² -x + 5, determinar p(x).
5. RECURSOS
 Lousa;
 Pincel;
 Apagador;
 Atividade da lista
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas e no
cumprimento das atividades propostas, entre elas pontuando o “dever de casa”.
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7. BIBLIOGRAFIA
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática
volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas.
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 28 de abril à 17 de julho
PLANO DE AULA 3: Operações com polinômios.
1. OBJETIVOS
2.1 OBJETIVOS GERAIS
 Explicar as operações adição, subtração e multiplicação com polinômios;
 Mostrar a soma, subtração e multiplicação de polinômios relacionando-os com áreas de
figuras geométricas;
 Contribuir para que o aluno entenda e resolva as operações com polinômios.
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Efetuar a adição, subtração e multiplicação de polinômios;
 Operar algebricamente com polinômios relacionando-os com áreas de figuras
geométricas.
2. CONTEÚDO
 Operações com polinômios:
- Adição
- Subtração
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- Multiplicação
3. PRÉ-REQUSITO
 Operações com expressões algébricas;
 Área de uma região delimitada por quadrados e retângulos.
4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
As aulas serão expositivo-participativas e utilizaremos recursos manipuláveis. O
tempo estimado para abordar o conteúdo é de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas
utilizadas para: expor e explicar a soma, subtração e multiplicação algébrica de polinômios e
aplicar alguns exercícios em sala de aula. Nas duas aulas seguintes serão utilizadas figuras em
cartolina para entender o uso de polinômios no contexto de áreas de figuras (retângulos e
quadrados), possibilitando o aluno perceber a álgebra e a geometria ao utilizar este conteúdo
na resolução das atividades dadas.
Nas primeiras duas aulas, lembrarei aos alunos que as operações de soma, subtração e
multiplicação de polinômios seguem os procedimentos de Álgebra estudados no Ensino
Fundamental. Por meio de exemplos, vamos retomar essas operações conhecidas no estudo de
expressões algébricas. Em seguida, nas duas aulas seguintes, resolveremos alguns exercícios e
nas aulas futuras estudaremos de forma mais detalhada a divisão de polinômios.
Exemplo 1
Considere os polinômios P(x) = x³ + 2x² - 3 e Q(x) = x² + x + 1. Calcule:
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) - Q(x)
c) P(x) . Q(x)
a) Calculamos a soma adicionando os coeficientes de termos semelhantes:
P(x) + Q(x) = (x³ + 2x² - 3) + (x² + x + 1)
P(x) + Q(x) = x³ + 2x² - 3 + x² + x + 1
P(x) + Q(x) = x³ + 3x² + x – 2
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Observe que o grau da soma é igual ao grau maior entre os graus de P(x) e Q(x),
que nesse caso é o de P(x).
b) Calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes:
P(x) - Q(x) = (x³ + 2x² - 3) - (x² + x + 1)
P(x) - Q(x) = x³ + 2x² - 3 - x² - x - 1
P(x) - Q(x) = x³ + x² - x – 4
c) Calculamos o produto de dois polinômios fazendo a multiplicação de cada termo de
um deles, por todos os termos do outro. Posteriormente, faremos a adição dos
resultados:
P(x) . Q(x) = (x³ + 2x² - 3) . (x² + x + 1)
P(x) . Q(x) = x³. x² + x³ . x + x³ . 1 + 2x² . x² + 2x² . x + 2x² . 1 + (-3) . (x²) +
(-3) . (x) + (-3) . 1
P(x) . Q(x) = x5 + x4 + x³ + 2x4 + 2x³ + 2x² - 3x² - 3x – 3
P(x) . Q(x) = x5 + 3 x4 + 3x³ - x² - 3x - 3
Exemplo 2
Considere p(x) = 4x² - 3x – 2 e Q(x) = –x² + x -1. Calcular a soma destes polinômios.
Solução: P(x) + Q(x) = (4x² - 3x – 2) + (–x² + x - 1)
Operando com os termos semelhantes, temos: P(x) + Q(x) = 4x² - x² - 3x + x - 2 – 1
logo, P(x) + Q(x) = 3x² -2x -3
Após explicar os procedimentos acima, aplicarei os exercícios 20 letras (a e c), 21 letras (a e
b) da página 187 e o exercício 23 e 24 letra (b) da página 188 do livro Matemática aula por
aula (adotado pela escola). Ao terminarem de fazer, farei a correção.
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Nas duas aulas seguintes, resolveremos questões que envolvem soma, subtração e
multiplicação de áreas representadas por polinômios. A aula será iniciada da seguinte forma:
Os alunos em sala, será dividida em grupos de 4 pessoas, cada grupo irá receber o seguinte
material didático:
Mas como já havia comentado em aula (professora Roberta não iria dá para trabalhar
com os cartões devido o tempo que é curto) nós modificamos o plano.
· 5 quadrados grandes azuis, com medidas 10 x 10;
· 5 quadrados grandes vermelhos, 10 x10;
· 5 retângulos azuis, com medidas 10 x 3;
· 5 retângulos vermelhos, 10 x 3;
· 10 quadrados pequenos azuis, com medidas 3 x 3;
· 10 quadrados pequenos vermelhos, 3 x 3.
Apresentarei algumas regras de comportamento aos alunos para que haja um bom
desenvolvimento da atividade, para isso serão estabelecidas as seguintes considerações:
Peças
Dimensões
Área
Quadrado grande
X.X
X²
Retângulo
1.X
X
Quadrado pequeno
1.1
1
As peças de mesma área representam termos semelhantes.
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As peças de mesma área e cores diferentes são opostas e se anulam.
Convencionamos que as figuras vermelhas são negativas (-) e as azuis são positivas (+).
Em seguida, mostrarei exemplos em que os alunos irão resolver situações com o material
concreto envolvendo as operações adição e subtração de polinômios e a transformação
geométrica em algébrica e vice-versa:
1 – Soma de polinômios
Sabendo que o polinômio p(x) = 2x² - 3x - 4 representa a área de uma região, e o
polinômio Q(x) = –x² + x -1 representa a área de outra região, veja como se resolve a
soma destas regiões usando as figuras que você tem em mãos:
P(x) + Q(x) = (2x² - 3x – 4) + (-x² + x – 1)
Somando as figuras semelhantes temos:
2x² +(-x²) é dado por:
+
(-4) + (-1) equivale a:
+
e -3x + x é dado por:
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Donde se conclui que:
2 – oposto de um polinômio:
Exemplo 2: Dado o polinômio x² - x + 2
Seu oposto será:
3 – Subtração de polinômios:
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4 – Multiplicação de polinômios:
Exemplo 1:
Exemplo 2:
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Com os procedimentos acima explicados aplicarei as seguintes atividades:
1. Represente utilizando as figuras, o perímetro (soma das medidas de todos os lados de
uma figura) de um terreno de lados respectivamente iguais a 4x e 2x. Se x valer 4 metros,
qual o perímetro do terreno?
2. Escreva o oposto de: -x² +4
3. Determine a expressão polinomial que representa o perímetro de um retângulo de lados
3x + 1 e x – 4 e a expressão que representa a área.
4. Resolva:
a) (6x² + 3x) + (2x² - 4x -1)
b) (-4x² + 2x + 8) – (-x² +2x +6)
5. Resolva o exemplo 2 dado em aula anterior e observe se por este método o resultado
confere.
Durante o processo de resolução caso haja dúvidas tentarei esclarecê-las e ao fim da aula
farei as devidas correções.
5. RECURSOS
 Lousa;
 Pincel;
 Apagador;
 Cartolina duplex vermelha e azul.
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a exposição do
conteúdo e na resolução das atividades.
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7. BIBLIOGRAFIA
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, 2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática
volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
NOVA Escola: Para professores do 1 grau. Ano X - n. 85, Junho, 1995, p. 22-25.
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas.
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 28 de abril à 17 de julho
PLANO DE AULA 4: IDENTIDADE DE POLINÔMIOS
1. OBJETIVOS
3.1 OBJETIVO GERAL
 Apresentar as definições sobre identidade de polinômios;
3.2 OBJETIVO ESPECÍFICO
 Reconhecer ou identificar a identidade de polinômios;
2. CONTEÚDO
 Identidade de polinômios:
- Polinômios idênticos;
- Polinômio nulo.
4. PRÉ-REQUSITO
 Potenciação;
 Números complexos.
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4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o conteúdo é
de 100 minutos (2 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar identidade de polinômios e
realizar alguns exercícios.
A princípio apresentarei aos alunos as definições:
Polinômios idênticos
Considerando dois polinômios P(x) e Q(x), dizemos que esses polinômios são
idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos correspondentes forem iguais.
P(x) = a0 + a1x +a2x2 + ... + anxn
Sendo:
temos:
Q(x) = b0 + b1x +b2x2 + ... + bnxn
P(x) ≡ Q(x) ↔ a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2,..., an = bn
Exemplo 1
Dados os polinômios idênticos P(x) = ax² + 3x = 8 e Q(x) = 4x² + 3x + b e sendo
P(x) ≡ Q(x), temos: a = 4 e b = - 8
Exemplo 2
Os polinômios f(x) = ax² + (b – 1)x + 3 e g(x) = -2x² + 5x – c são idênticos, então:
a = -2,
b–1=5↔b=6 e
–c = 3 ↔ c = -3
Exemplo 3
A igualdade (x + 3)/(x² - 4) = a/(x + 2) + b/(x – 2) ocorre quando:
(x + 3)/(x² - 4) = [a(x - 2) + b(x + 2)]/ (x + 2)(x – 2) →a(x – 2) + b(x + 2) ≡ x + 3→ ax – 2a +
bx + 2b ≡ x + 3. Agrupando os termos semelhantes, vem:
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(a + b)x + (-2a + 2b) = x + 3
Da identidade de polinômios segue que:
a+b=1
-2a + 2b = 3→ a = -1/4 e b = 5/4
Polinômio nulo
Polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo é aquele que todos os coeficientes são iguais
a zero. Indicamos p(x) ≡ 0.
Exemplo 4
Dado o polinômio p(x) = (a + 3)x² + (3b - 9)x + c, para que seja identicamente nulo temos:
igualando cada um de seus coeficientes iguais a zero segue que a = -3, b = 3 e
c = 0.
Para que os alunos adquiram habilidades acerca das definições dadas serão aplicados
os exercícios 11, 12, 14, 15 e 18 da página 185 do livro adotado pela escola.
5. RECURSOS
 Lousa;
 Pincel;
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 Apagador.
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas, no
cumprimento das atividades propostas e nos exercícios que ficam para casa.
Observação: Sempre quando passo atividades para casa na próxima aula dou o visto.
7. BIBLIOGRAFIA
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática
volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
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PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas.
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 28 de abril à 17 de julho
PLANO DE AULA 5: Divisão de polinômios.
1. OBJETIVOS
4.1 OBJETIVOS GERAIS
 Desenvolver estratégias de divisão de polinômios através de diferentes técnicas;
 Apresentar a divisão de polinômios relacionadas com figuras geométricas;
 Contribuir para que o aluno entenda e resolva a divisão com polinômios, pelo método
que achar conveniente.
4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Aplicar a divisão de polinômios relacionando – a com áreas de figuras geométricas;
 Escolher a técnica que lhe for conveniente para resolver a divisão de polinômios.
2. CONTEÚDO

Operações com polinômios: Divisão
- Método da chave;
- Método dos cartões
- Teorema do resto;
- Teorema de D´Alembert;
- Dispositivo prático de Briot-Ruffini.
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5. PRÉ-REQUSITO
 Área de uma região quadrada e retangular;
 Multiplicação de polinômios.
4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
As aulas serão expositivo-participativas e o tempo estimado para abordar o conteúdo é
de 350 minutos (7 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar as técnicas de divisão de
polinômios, aplicar alguns exercícios em sala de aula e realizar um teste.
Divisão de polinômios
Dividir um número inteiro a por outro inteiro b (b ≠ 0) consiste em encontrar dois inteiros q e
r, com o ≤ r < d, tal que:
→
a=q.b+r
Donde,
a = dividendo
b = divisor
q = quociente
r = resto
Por exemplo:
Temos:
7=3.2+1
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Da mesma forma, efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com
B(x) ≠ 0, é determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:
A(x) = Q(x). B(x) + R(x) em que:
A(x) = dividendo
B(x) = divisor
Q(x) = quociente
R(x) = resto
Indicando na chave, temos:
Observe que:

O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x).

O grau do resto R(x) para R(x) não nulo será sempre menor que o grau do divisor B(x).

Se a divisão é exata, o resto R(x) é nulo, ou seja, o polinômio A(x) é divisível pelo polinômio
B(x).
Método da chave
Para efetuar a divisão, usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos:
1. Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes, e
completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero.
2. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um
termo do quociente.
3. Multiplicar o termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo.

Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da
divisão e a divisão termina aqui.

Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo
dividendo.
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Exemplo 1: Determinar o quociente de A(x) = x³ + 4x² + x – 6 por B(x) = x + 2.
Solução: sendo Q(x) o quociente de A(x) por B(x) e R(x) o resto:
Gr(Q) = gr(A) – gr(B) = 2
Como gr(R) < gr(B) = 1, então gr(R) = 0 ou R(x) = 0.
x³ + 4x² + x – 6
x+2
-x³- 2x² + x - 6
x² + 2x - 3→ quociente: Q(x)
2x² + x - 6
-2x² - 4x
-3x - 6
+3x + 6
Resto:R(x) = 0
Verificamos, facilmente que: A(x) = B(x).Q(x) + r(x):
x³ + 4x² + x – 6 ≡ (x + 2)(x² + 2x – 3) + 0
Exemplo 2: O polinômio A(x) = x³ + px + q é divisível por x² + 2x + 5. Calcular os valores de
p e q.
Solução: Note que gr(Q) = 3 – 2 = 1 e R(x) ≡ 0
Utilizando o método da chave:
x³ + ox² + px + q
-x³ - 2x² - 5x
x² + 2x + 5
x – 2 → quociente Q(x)
-2x² + (p – 5)x + q
+2x² + 4x + 10
(p – 1)x + (q + 10) → resto: R(x)
O resto deve ser um polinômio identicamente nulo.
P – 1 = 0 e q + 10 = 0
P = 1 e q = -10
Observe que: x³ + x – 10 = (x² + 2x + 5)( x – 2)
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Método dos cartões
Com o material utilizado nas aulas de soma, subtração e multiplicação de polinômios irei
agora mostrar como se dá a divisão de polinômios com as figuras geométricas. É importante
lembrar que nem sempre podemos dispor deste recurso, assim é de fundamental importância
conhecê-lo, entendê-lo, mas conhecer as outras técnicas existentes, pois através delas
poderemos resolver a divisão entre polinômios.
vamos fazer a divisão de (x² - x) : (-x)
O quadrado é o x² e o retângulo é o (-x)
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EX.2 –
Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é o próprio valor
numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).
De acordo com a definição de divisão, temos:
P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x), onde R(x) = K (constante), pois gr(x - a) = 1
P(a) = (a – a) . Q(a) + k → P(a) = K
Logo: R(x) = P(a)
Exemplo 1
Podemos determinar o resto da divisão de f(x) = 3x4 – x³ + 2 por g(x) = x – 1 sem efetuar a
divisão. Basta notar que:

A raiz do divisor é x – 1 = 0 → x = 1.

Pelo teorema do resto, temos que: r = f(1), isto é, r = 3 . 14 – 1³ + 2 = 4.
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Exemplo 2
Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de P(x) = x 5 –
x3 + 2 por h(x) = x + 3, fazemos:


A raiz de h(x) é x + 3 = 0 → x = -3.
Utilizando o teorema do resto, vem: r = p(-3) = (-3)5 – (-3)3 + 2 = -243 – (-27) + 2 = -214.
Teorema de D’Alembert
A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é exata se, e somente se, P(a) =0.
Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a).
Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0.
Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata.
Exemplo 1
A divisão do polinômio P(x) = x³ + x² - 11x + 10 pelo binômio (x – 2) é exata, pois:
P(2) = 2³ + 2² - 11 . 2 + 10
P(2) = 8 + 4 - 22 + 10
P(2) = 0
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
Neste item vamos utilizar um dispositivo muito simples e prático para efetuar a divisão de um
polinômio P(x) por um binômio da forma ax + b. É o chamado dispositivo de Briot-Ruffini.
Para utilizarmos o dispositivo de Briot-Ruffini, temos duas restrições:
1ª restrição: o divisor tem que ser de grau 1;
2ª restrição: o coeficiente do divisor deverá ser igual a 1.
Vejamos o roteiro desse dispositivo para efetuar, por exemplo, a divisão de P(x) = 3x³ – 5x² +
x – 2 por x – 2.
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1º) colocamos a raiz do divisor seguida dos coeficientes do dividendo, em ordem
decrescente dos expoentes de x, no seguinte dispositivo:
raiz do divisor
coeficientes do dividendo
2
3
-5
1
-2
2º) Repetimos, abaixo da linha, o primeiro coeficiente do dividendo.
2
3
-5
1
-2
3
3º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e adicionamos o produto com o
segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.
2
3
-5
3
1
1
-2
2 . 3 + (-5) = 1
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e
adicionamos o produto com o terceiro coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim
sucessivamente.
2
3
-5
3
1
1
-2
3
4
2. 3 + (-2) = 4
2.1+1=3
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números que
ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente.
2
3
-5
1
-2
3
1
3
4
Coeficientes do quociente
resto
Logo, Q(x) = 3x² + x + 3 e R = 4
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Exemplo 1
Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 5x² - 4x + 2 por (3x – 1).
1/3
5
-4
2
5
-7/3
11/9
(1/3) . (-7/3) + 2 = 11/9
(1/3) . 5 – 4 = -7/3
Observe que o coeficiente de x no binômio não é igual a 1; fizemos, então, a divisão de P(X)
por (x – 1/3) e para termos os coeficientes de Q(x) devemos dividir os coeficientes obtidos no
dispositivo prático por 3.
Q(x) = (5/3)x – 7/9 e R = 11/9
Exemplo 2
Verifique se o polinômio P(x) = 2x³ - 3x² - 8x é divisível por (x - 3)(x + 1).
Dividindo P(x) por (x – 3)
3
2
-3
2
3
-8
-3
1
0
..................Q1(x)............. ...........R1........
Dividindo Q1(x) por (x + 1):
-1
2
2
3
1
1
0
...............Q2(x)....... ...........R2........
Como R1 = 0 e R2 = 0 podemos afirmar que P(x) é divisível pelo produto (x – 3)(x + 1).
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A seguir, aplicarei os exercícios propostos sobre polinômios que estão no livro adotado pela
escola. Os exercícios são para complementar a aula a respeito de polinômios. Darei o visto na
atividade na aula seguinte como forma de incentivo.
Página 190: exercícios 26, 28 e 29.
Página 191: exercícios 31 letras (a, b e c), 32 e 33.
Página 194: exercícios 34 letras (a e b) e 36.
Página 197: exercícios 42 letras (a e b).
Página 198: exercícios 50, 51, 52, 54.
Página 191: exercícios 32 e 33:
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Página 194: exercícios 34 (letras a e b) e 36:
Página 197: exercício 42 (letras a e b):
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Página 198: exercícios 50, 51, 52 e 54:
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Os exercícios são para complementar a aula a respeito de polinômios. Darei o visto na
atividade na aula seguinte como forma de incentivo.
5. RECURSOS
 Lousa;
 Pincel;
 Apagador;
 Retângulos e quadrados em papel duplex.
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a exposição do
conteúdo e na resolução das atividades.
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7. BIBLIOGRAFIA
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática
volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas.
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 28 de abril à 17 de julho
PLANO DE AULA 6:
Objetivos Gerais:
Revisar os assuntos Função Polinomial, para aplicação da 1º avaliação da II unidade;
Objetivos Específicos:
Demonstrar habilidade e competência resolvendo a revisão proposta.
Desenvolvimento: Com a finalidade de revisar os assuntos de Noções de Função, para 1ª
avaliação da II unidade.
Recursos: Quadro branco, Pincel, Apagador, atividade fotocopiada.
Avaliação: Através da participação dos alunos.
Referencias:
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Matemática
volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas.
DISCIPLINA: Matemática
CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º
UNIDADE: II
TURMA: B TURNO: Matutino
FASE DE REGÊNCIA: 28 de abril à 17 de julho
SÍNTESE DA AULA 1: Questionário Sócio - econômico
A regência é a terceira etapa do Estágio Supervisionado. Assim como as etapas
anteriores, foi realizada no Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB,
localizado à Av. Frei Benjamin, Brasil - Vitória da a regência do professor Enoque Alves de
Matos Conquista – Bahia, na turma do 3º ano B, que até então estava só observando e
coparticipando.
Minha primeira aula de regência aconteceu no dia 28 de abril de 2011. Teve início por
volta das 7:20hs até 9:00 hs da manhã. Neste dia me apresentei à turma os comuniquei que
estaria como professora deles por toda a II unidade. Para iniciar os trabalhos, falei um pouco
sobre o conteúdo que iríamos estudar: polinômios, a forma de avaliação que iria utilizar:
pontuando as atividades deixadas para fazer em casa, um teste, aplicação de projeto de ensino
e por fim uma prova.
Neste dia apliquei o questionário sócio – econômico, muitos perguntaram se eram obrigado
responder, eu falei que não, mas se não fosse pedir demais gostaria da resposta de todos.
SÍNTESE DA AULA 2: O QUE É UM POLINÔMIO
Esta foi minha segunda aula no dia 3 de maio, teve inicio por volta das 10:50 hs. Para
introduzir o conteúdo, comecei fazendo um breve apanhado sobre a álgebra. Ela é considerada
a aritmética simbólica porque emprega letras para representar números. Essas expressões
matemáticas formadas por letras e símbolos numéricos são chamadas expressões literais ou,
genericamente, expressões algébricas. Na resolução de problemas é muito comum ocorrerem
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situações em que a leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular
expressões que permitam depois a resolução do problema.
Após ter feito esse breve comentário copiei no quadro os três exemplos abaixo:
1) Se x é a idade de Ana, a idade que ela tinha há 5 anos é dada por: x – 5.
2) O triplo da idade de Ana daqui há 4 anos é dado por: 3(x + 4).
3) 25% de uma quantia é dado por: x/4.
Falei aos alunos que essas são algumas simples exemplificações do uso das expressões
algébricas.
Instante depois, desenhei as figuras abaixo no quadro e disse para eles que
imaginassem, por exemplo, que em determinados problemas os enunciados nos levem às
seguintes figuras e suas dimensões:
Na primeira figura temos uma região retangular de dimensões x e x + 3. Perguntei aos alunos
como se calcula o perímetro e a área do retângulo. Neste momento, Maria Luísa responde
“que o perímetro é a soma de todos os lados da figura”, e Felipe falou” que a área é fácil, no
retângulo é Base X Altura, no cubo eu esqueci”. Então eu falei que eles estavam certos.
Segui com a aula dizendo o seguinte:
Na primeira figura, representando perímetro por “P”, como se trata de um retângulo, e por
definição seus lados paralelos tem a mesma medida, segue que,
P = x + x + (x + 3) + (x + 3) ou P = 2 . x + 2 . (x + 3) = 4x + 6
Assim, como em relação ao perímetro, expliquei aos alunos como se calculava a área de uma
região no formato de um quadrado ou de um retângulo. Que é dada pelo produto da medida de
um lado, a quem chamamos de base pelo outro, a quem chamamos de altura. Assim, num
quadrado como os lados tem medidas iguais, representando lado por “l” e área por A, segue
que A = l².
Dessa forma, na primeira figura a área é dada por A = (x). (x + 3)
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Em seguida os expliquei que na segunda figura se tratava de um cubo com arestas
de medidas x, ou seja, cada face tem forma de um quadrado e como o cubo é composto por 6
faces, a área total (At) é indicada por:
At = 6x²
Disse aos alunos ainda que poderíamos calcular o volume (v), que, no caso do cubo é dado
pelo produto da largura pelo comprimento e pela altura, isto é: x . x . x.
v = x³
A seguir, perguntei novamente a eles: “agora, quero que vocês me respondam: qual a
área total representada na terceira figura?” então, eles me disseram que seria preciso calcular a
área de um quadrado e depois multiplicar por 6, como de fato ocorre.
Percebi que eles haviam entendido, e então segui o procedimento citado:
At = 6(x + 2 )(x + 2) ou (6x + 12)(x + 2) ou 6x² + 12x + 12x +24 ou 6x² + 24x + 24
Falei aos alunos que poderíamos simplificar, isto é, dividindo toda expressão por 6,
lembrando que At = x² + 4x + 4 não é equação, e sim uma expressão, temos:
At = x² + 4x + 4
Para concluir, disse que: todas essas expressões são chamadas de expressões
polinomiais ou simplesmente polinômios, cujo estudo eles iniciaram no ensino fundamental e
seria aprofundado agora. A aula só foi suficiente para introduzir o conteúdo, tendo fim às
9:00hs.
No dia 5 de maio, a aula teve início as 7:20 hs e terminou as 9:00hs. Ao chegar à sala,
os cumprimentei, como sempre, e antes de mostrar a definição de polinômios, desenhei no
quadro novamente as figuras da aula anterior com as expressões da área e do perímetro
obtidas e a seguir apresentei a definição de monômios. Logo depois, apresentei as definições
de grau de um polinômio e de como se calcula o valor numérico de um polinômio.
FUNÇÃO MONOMIAL
Definição
Dado um número complexo (C) a e um numero natural n, consideremos a função f: C
em C definida por f(x) = axn.
A função complexa f é chamada função monomial ou monômio na variável x.
O número complexo a é denominado coeficiente do monômio e o numero natural n é
chamado de grau do monômio. Assim, perguntei aos alunos se aquelas expressões obtidas no
início de nossa aula, como:
At(x) = 6x²
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v(x) = x³
se enquadravam nessa definição. Eles me confirmaram que sim.
Em seguida disse para os alunos que: “o polinômio representa a soma algébrica de
monômios na variável x.” Deste modo, as expressões:
At(x)= x² + 4x + 4 .
P(x) = 4x + 6
São classificadas como polinômios, quer dizer:
- A primeira das expressões acima tem 3 termos e é chamada de trinômio;
- A segunda delas tem 2 termos e é chamada de binômio, pois bi implica em dois;
Mas, generalizando, chamamos de polinômios a soma de monômios. Expliquei-os que poli é
sinônimo de muitos.
Após esta fala um aluno me questionou se o números 4 e 6 eram monômios, e então o
expliquei que:
O 4 poderia ser escrito como: 4x0, da mesmo forma que o 6 pode ser escrito como 6 x0, pois
todo numero elevado a zero dá 1. Assim, 4 e 6 se enquadram na definição de monômios, pois
zero é um expoente pertencente ao conjunto dos números naturais.
FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição
Sejam an, an – 1, ..., a2, a1, a0 números complexos e considere a função
F(x) = anxn + an – 1 x n – 1 +... + a2x2 +a1x + ao
A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x.
Os números complexos an, an – 1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio.
Notemos que o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável x.
São exemplos de polinômios:
f(x) = 3x² + 2x – 1, onde a2 = 3,a1 = 2 e a0 = - 1
g(x) = -4 x³ + x + 1/2, onde a3 = -4, a2 = 0, a1 = 1 e a0 = ½
h(x) = -2x³ + x/3, onde a3 = -2, a2 = 0,a1 = 1/3 e a0 = 0
em seguida perguntei aos alunos se os itens a e b representam polinômios:
a)f(x) = x + x¹/² + 2
b)g(x) = -1 + 2x + x-³
Alguns disseram que a opção “a” representava, depois pararam e mudaram de ideia, dizendo que não
era polinômio, pois em um dos termos o expoente é fracionário. Complementando eu disse à turma
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que o colega tinha razão, pois por definição, dado monômio, seja ele f(x) = ax n, n é sempre
um numero natural, o que não é o caso deste exemplo, em n = 1/2.
Na opção “b” eu os disse que também não se tratava de um polinômio devido ao expoente negativo,
pois -3 não é um numero natural. Com isso finalizei a aula.
No dia 10 de maio teve inicio mais uma aula. Ao chegar à sala, os cumprimentei, como
sempre, a aula teve inicio as 10:50 hs com o assunto grau de um polinômio.
GRAU DE UM POLINÔMIO
Definição
Grau de um polinômio P(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus
monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente dominante do
polinômio.
Exemplo 1
Vamos identificar o grau e o coeficiente em cada caso:
d) P1(x) = 2x³ + x² - 3x – 5 é um polinômio de grau 3 e coeficiente dominante igual a 2.
e) p2(x) = -31/2x4 + x³ -x²/2 – 1 é um polinômio de grau 4 e coeficiente dominante igual a -31/2.
f) p3(x) = x + 1 é um polinômio de grau 1 e coeficiente dominante igual a 1.
Exemplo 2
Seja o polinômio p(x) = (m – 1)x³ + x² - 3x + 1
O grau desse polinômio será 3, desde que o coeficiente x³ não se anule, isto é, desde
que tenhamos m – 1 ≠ 0 → m ≠ 1.
VALOR NUMÉRICO
Definição
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Considere um polinômio p(x) e um numero real α. O valor numérico do polinômio
p(x) para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos
necessários. Indica-se por p(α).
Se p(α) = 0, o número α é chamado de raiz ou zero de p(x).
Exemplo 3
Vamos determinar o valor numérico do polinômio p(x) = 2x² - 3x + 5 para x = 4
p(4) = 2(4)² - 3(4) + 5
p(4) = 2(16) – 12 + 5
p(4) = 32 – 12 + 5
Logo, p(4) = 25
Em relação a estas definições não houve grandes dúvidas. Ao fim desta aula entreguei uma
lista de exercícios, (anexada no plano de aula) afim de que os alunos aplicassem os
conhecimentos acima e desenvolvessem habilidades acerca do assunto.
Professora eu estou concertando, mas como o tempo é pouco vou mandar assim e nesta
semana ainda eu te mando o cd correto.
No dia 12 de maio retornei ao colégio para dar continuidade às atividades, a aula teve
início às 07:20 as 9:00 hs. Ao chegar à sala, cumprimentei os alunos e comecei a verificar se
haviam respondido a lista de exercícios, passando de carteira em carteira dando o visto na
atividade. Pude perceber que a maioria deles haviam feito. Eles me perguntaram quantos
pontos valeria a lista e eu os respondi que contava como uma atividade, e como havíamos
conversado no primeiro dia de aula eu pontuaria as atividades. Assim ao fim da unidade se
eles tivessem todos os vistos ganhariam 1 ponto, se não tivessem todos receberiam o referente
ao total que houvesse em seus cadernos.
Posteriormente, comecei a fazer a correção, pois houve algumas questões em que os
alunos não conseguiram responder. E por fim acabou a aula.
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INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMA
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LUCIENE DA COSTA SANTOS
MARIA DAS GRAÇAS P. MASCARENHAS
NEURACI DIAS AMARAL
INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Trabalho desenvolvido no Colégio Centro
Integrado de Educação Navarro de Brito como
forma de avaliação para a disciplina Estágio
Supervisionado III do Curso de Licenciatura Plena
em Matemática por Luciene da Costa, Maria das
Graças Pinheiro Mascarenhas e Neuraci Dias
Amaral à professora Msc. Roberta Bortoloti,
orientadora da disciplina, no I semestre de 2011.
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Quando alguém encontra seu caminho precisa ter
coragem suficiente para dar passos errados. As
decepções, as derrotas, o desânimo são ferramentas que
Deus
utiliza
para
mostrar
a
estrada.
Paulo Freire
81
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SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 82
2. ABORDAGEM HISTÓRICA .................................................................................................. 83
3. ABORDAGEM TEÓRICA ....................................................................................................... 88
4. PROPOSTA DA ATIVIDADE ................................................................................................ 90
4.1 OBJETIVOS. ...................................................................................................... 91
4.2. DEFINIÇÕES A SEREM DESENVOLVIDAS ........................................ 92
4.3. MATERIAIS DIDÁTICO E AMBIENTE PARA ENSINO................... 92
5. DESENVOLVIMENTO ............................................................................................................ 92
6. RESULTADOS ESPERADOS ................................................................................................. 96
7. REFERÊNCIAS .......................................................................................................................... 97
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1. INTRODUÇÃO
Quando se fala em matemática a primeira ideia que vem à cabeça das pessoas é algo
do tipo: muitos números, fórmulas, um “negócio” de “x”, de “y”, que é uma matéria difícil,
“um bicho de sete cabeças”. E quando a pergunta é a seguinte: onde você encontra
matemática? O que elas dizem também não foge desse raciocínio da resposta anterior.
Geralmente respondem: “nas contas, no supermercado, na escola, para contar dinheiro, etc.”
Geralmente a grande maioria da população não se dá conta de que “respiramos” matemática.
usamo-la em situações diversas. Mas, afinal de contas dá para se resolver determinados
problemas de matemática sem “decorar” algoritmos? Sem fórmulas prontas?
Análise a seguinte situação problema:
No antigo sistema de emplacamento de veículos as placas eram construídas de uma sequência
de duas letras distintas e de três algarismos. Devido o aumento considerável do número de
veículos, atualmente as placas de licenciamento de automóveis constam de 7 símbolos, sendo
três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguida de 4 algarismos. Qual o número máximo de
placas possíveis no antigo e no novo sistema de emplacamento?
Muita pessoas sequer tem ideia que a organização da identificação da placa de seus
automóveis foi pensada com base em um assunto de matemática: a análise combinatória.
Este, entre outros problemas, envolve o cálculo do número de agrupamentos dos elementos de
determinado conjunto sob certas condições.
Nosso objetivo neste trabalho é focalizar o ensino da análise combinatória através da
resolução de problemas, com a aplicação do Princípio Multiplicativo, usando estratégias
diferentes, manuseando materiais concretos e visualizando as possibilidades de organização
de agrupamentos, sem deixar de citar as a possibilidade de se resolver problemas de análise
combinatória através das técnicas de contagem: Arranjos, Permutações e Combinações.
Para abordar o conteúdo no primeiro momento fizemos uma pesquisa bibliográfica
sobre a história da combinatória e sobre a metodologia de resolução de problemas.
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2. ABORDAGEM HISTORICA4
Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas. Dela
faz parte a Análise Combinatória que, aliás, esteve na sua origem e que trata essencialmente
de: demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um conjunto finito dado,
satisfazendo certas condições, e contar ou classificar esses subconjuntos, sem que seja
necessário enumerar os seus elementos.
Aparentemente, a Análise Combinatória teve origem no tempo de Arquimedes (287 a.
C. – 212 a. C.). Estudos de velhos pergaminhos e manuscritos feitos pelo historiador de
Matemática, Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia parecem confirmar que
Arquimedes terá sido pioneiro nessa área da Matemática.
Os pergaminhos passaram pelas mãos de vários povos durante a Idade Média e, para
além de quase terem sido destruídos pelo mofo, foram usados por monges que, por cima dos
textos originais, neles escreviam as suas orações.
Vieram a ser reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas, matemáticos
e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de programas de computador,
foi possível obter a escrita original, transcrição do trabalho de Arquimedes, designado por
Stomachion5 que, segundo Reviel Netz, é um autêntico tratado sobre Análise Combinatória. O
Stomachion é, aparentemente, um jogo, semelhante ao Tangran (um jogo chinês de 7 peças
bastante conhecido), mas constituído por 14 peças que devem ser encaixadas de maneira a
formarem um quadrado. Os estudos de Arquimedes pretendiam determinar de quantas
maneiras as peças se podiam colocar, de forma a construir o quadrado. Não se sabe ao certo se
Arquimedes conseguiu resolver esse problema, mas estudos recentes mostraram que existem
17152 ou 268 soluções considerando ou não, respectivamente, as soluções simétricas6.
4
5
Texto adaptado de Fernanda Maria de Souza Viera.
Não se sabe o significado preciso desta palavra apenas que tem a mesma raiz que a palavra grega para
estômago.
6
536 soluções podem ser vistas em:
http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html
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Figura 1 - Stomachion
O desenvolvimento da Análise Combinatória deve-se, em grande parte, necessidade de
resolver problemas de contagem, originados na teoria das probabilidades.
A noção de probabilidade tem a sua origem mais remota ligada à instituição dos
seguros usados já pelas civilizações mais antigas, nomeadamente pelos fenícios, a fim de
protegerem a sua actividade comercial marítima. Esta prática foi continuada pelos gregos e
pelos romanos, tendo chegado até a civilização cristã medieval através dos comerciantes
marítimos italianos. Pouco se sabe das técnicas então utilizadas pelos seguradores mas, parece
que se baseavam em estimativas empíricas das probabilidades de acidentes, para estipularem
as taxas e os prêmios correspondentes.
No fim da Idade Média com o crescimento dos centros urbanos, surge um novo tipo de
seguro, o seguro de vida. O primeiro estudo matemático sobre este seguro deve-se a Girolano
Cardan (1501-1576), em 1570, apresentado no seu livro “De proportionibus Libri V)” mas
parece ter-se revelado muito teórico e pouco prático. Foi Halley quem, em 1693, no seu
trabalho, “Degree of Mortality of Mankind”, mostrou como calcular o valor da anuidade do
seguro em função da expectativa de vida e da probabilidade da pessoa sobreviver por um ou
mais anos. A consolidação da aplicação da matemática nos seguros surge com o trabalho de
Daniel Bernoulli (1700-1782). Calculou o número esperado de sobreviventes após n anos a
partir do número de nascimentos e inovou na criação de novos tipos de seguros, calculando,
por exemplo, a mortalidade causada pela varíola em pessoas de determinada idade. É nesta
altura que surgem as primeiras grandes companhias de seguros.
Outro fator que contribuiu para o desenvolvimento da Análise Combinatória foram os
problemas originados nos chamados jogos de azar. É curioso que se designem por jogos de
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azar muitos daqueles que dependem apenas do acaso, tais como o de dados, a
roleta, certos jogos de cartas, etc.
Todos envolvem um fenômeno de acaso cujo resultado só muito raramente é favorável
ao jogador. Daí ser, de fato, apropriado chamar-lhes jogos de azar. A palavra “azar” é
proveniente do árabe “az-zahar”, por sua vez proveniente do persa “az-zar”, significando
jogos de dados. Os jogos de azar são, provavelmente, tão antigos como a Humanidade. As
mais antigas ligações destes jogos com a matemática reduzem-se à enumeração das
possibilidades de se obter um dado resultado no jogo, sem referência ao cálculo da
probabilidade de se obter esse resultado. Os jogadores queriam encontrar formas seguras de
ganhar em jogos de cartas, dados ou moedas. É no século XVI que os matemáticos italianos
Luca Paccioli (1445-1518), Cardan e Niccoló Tartaglia (1499-1557) apresentam as primeiras
considerações matemáticas sobre os jogos de azar. É de Cardan a primeira obra sobre jogos de
azar, “De ludo Aleae” publicado apenas em 1663. No entanto, o contributo decisivo para o
início da Teoria das Probabilidades foi dado através da correspondência entre os matemáticos
franceses Blaise Pascal e Pierre Fermat acerca de problemas surgidos nos jogos de azar.
O Conde de Méré, nobre francês e jogador assíduo, colocaram a Pascal vários
problemas dos quais se apresenta o seguinte:
“Eu e um amigo meu estávamos a jogar quando recebemos uma mensagem e tivemos de
interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 32 pistolas7 cada um. Ganharia as 64 pistolas
o que primeiro obtivesse 3 pontos, isto é, 3 vezes o número que escolheu no lançamento de
um dado.
Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido eu já tinha obtido o 6 duas
vezes. O meu amigo escolheu o 1 e, quando interrompemos o jogo, tinha obtido o 1 uma vez.
Como dividir as 64 pistolas?”
Vejamos uma resolução possível: No próximo lançamento válido, ou sai o 6 e ganha o Conde,
sendo a probabilidade de isso acontecer ½, ou sai o 1 (também com probabilidade ½) e o jogo
tem de continuar. No lançamento seguinte, se sair o 6, ganha o Conde, neste caso com
probabilidade ¼ = ½ , se sair o 1 ganha o amigo, também com
probabilidade de ¼ .
Assim, a probabilidade de o Conde ganhar o jogo é de ¾ = ½ + ¼ , logo deve receber
¾ das 64 pistolas, ou seja, 48 pistolas. Pascal interessou-se por este problema da divisão das
7
Moeda de ouro utilizada em vários países europeus até ao século XIX.
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apostas, que anteriormente já tinha motivado outros matemáticos, como Paccioli,
Cardan e Tartaglia, mas estes não tinham conseguido obter a solução correta. Sobre o assunto,
Pascal trocou idéias com o seu amigo Fermat e chegou a várias conclusões, ainda hoje
válidas. Uma dessas conclusões constitui o seguinte teorema:
Teorema: Suponha-se que um jogo é interrompido quando faltam r jogos ao primeiro
jogador para vencer, enquanto que ao segundo jogador faltam s jogos,
sendo r e s superiores a zero. O montante das apostas deve ser dividido de maneira que o
primeiro jogador fique com a proporção de
para n2, onde n = r + s - 1 (número
máximo de jogos que faltam efetuar).8
Aplicando este teorema ao problema anterior, temos que r =1, visto que
o Conde já tem dois pontos e só lhe falta 1 para ganhar e s = 2, visto que o amigo precisa de
mais dois pontos para ganhar. Então a proporção da aposta que o Conde deve receber é:
/ 2n =
/ 22 = 1+2/4 = ¾
Além dos matemáticos já referidos, pelo seu contributo no desenvolvimento da
Análise Combinatória, devemos salientar, também, os trabalhos realizados nessa área por
Leibniz (1646-1716), Jacques Bernoulli (1654-1705), Moivre (1667-1754), Newton (16461727), Euler (1707-1783), entre outros.
Leibniz escreveu, em 1666, “Dissertatio de Arte Combinatória”, resultado
dos seus estudos na Universidade de Leipzig em diferentes áreas, Filosofia, História,
Matemática e Direito. Nesse trabalho, apresenta as suas idéias fundamentais sobre
combinatória e reduz todo o raciocínio, toda a descoberta, a uma combinação de elementos
básicos tais como números, letras, sons ou cores.
Eis o tipo de idéia característico de Leibniz. Tentar reduzir problemas matemáticos a
uma forma simples e básica, que não só permitisse o seu entendimento, como também a sua
rápida resolução.
8
A demonstração deste teorema pode ser analisada no site:
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/probabilidades.htm
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4. ABORDAGEM TEÓRICA
Desde os primórdios da humanidade o homem se depara com problemas matemáticos.
Tais questões eram para resolver situações do seu cotidiano. Ainda hoje nos deparamos a todo
o momento com problema, que exige respostas rápidas. Segundo Newell e Simon (1972, p.
3), “um problema é uma situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o
caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação”.
A utilização da metodologia de resolução de problema em matemática ajuda no
desenvolvimento do raciocínio crítico dos alunos e faz com que a matemática saia de todo o
formalismo existente na sala de aula e vai para a vida cotidiana.
O problema passa a ser um ponto de partida e os professores, através da resolução do
problema, devem fazer conexões com outras ciências e entre os diferentes ramos da
matemática, gerando novos conceitos e novos conteúdos. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2003).
Este ponto de partida permite que os alunos resolvam problemas utilizando todo o
conhecimento adquirido durante sua vida, não focalizando apenas em um conteúdo especifico,
mas em todo o conjunto de saber matemático adquirido com o tempo.
A dificuldade encontrada para planejar uma aula com resolução de problemas é
grande, pois tem que estar procurando problemas que tenham sentido real. O professor tem
que estar procurando estratégias para que a resolução do problema seja apresentada para o
aluno de uma forma prática e fácil, mostrando uma matemática dinâmica e móvel que é
afetada por uma contínua expansão de seus conceitos.
O professor tem que planejar as questões-chave, para conduzir os alunos na análise
dos resultados apresentados e na busca de um consenso sobre os resultados obtidos; preparar a
melhor formalização dos novos conceitos e novos conteúdos construídos a partir do problema
dado. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2006). Segundo Ramos (et. al., 2001, p. 5), os problemas
matemáticos podem ser organizados em quatro tipos:
1. Problemas de sondagem: para a introdução natural e intuitiva de um novo conceito;
2. Problemas de aprendizagem: para reforçar e familiarizar o aluno com um novo conceito;
3. Problemas de análise: para a descoberta de novos resultados derivados de conceitos já
aprendidos e mais fáceis que os problemas de sondagem;
4. e problemas de revisão e aprofundamento: para revisar os tópicos já vistos e aprofundar
alguns conceitos.
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Aplicando este tipo de metodologia o professor poderá estar partindo de
problemas práticos para o abstrato. Ajudando desta forma que o aluno entenda que a
matemática esta relacionada diretamente com a sua vida. E desta forma desconstruindo a ideia
que a matemática é imóvel e homogênea e que ela não poderá ajudar na sua vida.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática de 5ª à 8ª
série (BRASIL, 1998, p.42):
Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar
respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta,
que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja convincente,
mas não é garantia de apropriação do conhecimento envolvido. Além disso, é
necessário desenvolver habilidades que permitam provar os resultados, testar seus
efeitos, comparar diferentes caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho,
a importância da resposta correta cede lugar à importância do processo de resolução.
Percebe-se que a resolução de problemas vai mais além da apropriação do conteúdo.
Pois não basta decorar a fórmula para determinada questão tem que compreender o processo
de resolução do problema.
Dos conteúdos de matemática, a peça-chave para trabalhar resolução de problemas é a
Análise Combinatória. É um dos conteúdos mais fáceis para aplicar a metodologia resolução
de problemas. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) “a resolução de
problemas é peça central para o ensino de matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e
se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios”
(BRASIL, 1998, p. 112).
A Combinatória, embora possa não ser percebida, contribui decisivamente, cada vez
mais, para a resolução dos problemas da vida moderna. Podendo ser apresentada de uma
forma em que motive o aluno a buscar resultados, a fazer questionamentos, em que eles
possam estar constatando de forma investigativa os padrões existentes entre alguns problemas
propostos.
Infelizmente a análise combinatória é um conteúdo desprivilegiado do ensino médio.
Que é apresentado ao aluno de uma forma pronta e acabada não permitindo que este como
autor de seu próprio conhecimento utilize sua criatividade para resolver este problema. De
acordo com (Almeida e Ferreira, 2009, p. 4):
Outro aspecto importante é a dinâmica de sala de aula. Estimular o trabalho em
conjunto proporciona muitos benefícios aos alunos. Eles aprendem a questionar,
trocam idéias uns com os outros e aprendem a trabalhar coletivamente. A
experiência coletiva contribui para a individual e favorece a cooperação entre
indivíduos. Mas é necessário tornar os alunos aptos a este tipo de trabalho, pois
alguns alunos deixam as tarefas por conta do grupo e não permanecem ativos nas
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atividades, não assimilando o conteúdo. O estudo individual também é importante para que o aluno
tenha a capacidade de trabalhar por si só.
Problemas de análise combinatória podem ser olhado pelo aspecto da multiplicidade
de opções para resolução de um problema. O mesmo problema pode ser resolvido de vários
modos, mas para isso precisa estar interpretando o problema, podendo ainda muitas vezes
estar relacionando com aspectos do dia-a-dia.
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4. PROPOSTA DA ATIVIDADE
4.1. OBJETIVOS GERAIS
- Contribuir com o desenvolvimento da capacidade de raciocinar logicamente.
- Ajudar no desenvolvimento da capacidade de relacionar análise combinatória com
problemas práticos.
- Desenvolver espírito crítico e criativo.
- Familiarizar-se com problemas que envolvam contagem;
- Entender o princípio multiplicativo.
- Proporcionar a oportunidade de discussão em grupo dos problemas sugeridos.
- Desenvolver a capacidade de argumentação e socialização de ideias.
- Detectar possíveis erros cometidos na resolução de problemas.
- Ajudar a encontrar melhores estratégias para resolução dos problemas.
4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS
Que o aluno/a seja capaz de:
- Criar estratégias e esquemas práticos para a solução dos problemas.
- Manusear materiais concretos para visualizarem as estratégias a serem tomadas para
resolução de problemas.
- Resolver problemas de multiplicação que envolvam relações de análise combinatória.
- Analisar situações problemas e refletir qual a melhor maneira de resolvê-las;
- Calcular as possibilidades de agrupamento de um determinado conjunto.
- Permutar os elementos de determinados conjuntos.
- Calcular as combinações possíveis para determinadas situações.
- Registrar os problemas propostos.
- Diferenciar Combinação, Arranjo e Permutação através de exemplos do cotidiano e da
utilização de materiais concretos.
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4.3. DEFINIÇÕES A SEREM DESENVOLVIDAS
 ARRAJO SIMPLES – Denomina-se arranjo simples dos n elementos de E, p a p, toda
sequência de p elementos distintos de E.
 ANAGRAMA – É um código formado pela transposição (troca) de todas as letras de
uma palavra, podendo ou não esta palavra ter significado na língua de origem.
 PERMUTAÇÃO SIMPLES – Chama-se permutação simples dos n elementos,
qualquer agrupamento (sequência) de n elementos distintos de E.
 COMBINAÇÃO SIMPLES – Chama-se combinação simples dos n elementos de E, p
a p, todo subconjunto de E com p elementos.

4.4. MATERIAIS DIDÁTICOS E AMBIENTES PARA O ENSINO
Para esse trabalho serão utilizados materiais concretos para visualização dos
problemas propostos, emborrachados, letras do alfabeto e os algarismos cortados em
emborrachados, folha de atividades, livros, quadro branco e pincel. O projeto será
desenvolvido na Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, no Laboratório de Matemática.
DESENVOLVIMENTO
Este projeto será dividido em duas etapas para que seja desenvolvido. Primeiramente a
sala será organizada em grupos de 5 pessoas.
PRIMEIRA ETAPA: No primeiro momento serão realizados vários problemas propostos em
conjunto.
PROBLEMA 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?
Para encontrarmos a solução, irei convidar os próprios alunos, sendo eles 5 meninos e
5 meninas, para vir até o centro da sala e começaremos a fazer a contagem. Para eles
visualizarem as possibilidades de formação de casais faremos o seguinte:
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Para cada menina entregarei 5 cordões, os quais elas entregará um a cada um dos
meninos. Após este procedimento, perguntarei novamente de quantos modos podemos formar
um casal com 5 homens e 5 mulheres. Isto é, quantas ligações podem ser feitas utilizando
aqueles cordões? Após obter a resposta vinda dos alunos, irei explicar da seguinte forma:
 A primeira menina tem opção de ser a parceira de 5 meninos.
 A segunda, a terceira, a quarta e a quinta menina também têm a mesma quantidade de
opções.
Assim, temos:
 5 meninas com cada uma tendo 5 opções, isto é 5 x 5 = 25.
Após resolver este problema juntamente com os alunos, lançaremos um novo
problema, o qual iremos resolver, passo-a-passo, com eles novamente.
PROBLEMA 2: De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila?
Os objetivos dos problemas I e II são para que os alunos possam perceber a
importância do princípio multiplicativo. Em seguida, recordarei para eles novamente o
principio da contagem, pois em aulas anteriores eles já tinham visto a definição. Dizendo para
eles que: “se há x modos de tomar uma decisão D1, há y modos de tomar uma decisão D2,
então o número de modos de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é xy.” (ELON, p. 85,
1998).
Após relembrar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), em alguns casos
conhecido como Teorema Fundamental da Contagem (TFC), falarei para os alunos que
segundo (IEZZI, 1998,p. 426):
Todo problema de contagem pode ser resolvido, pelo menos teoricamente pelo TFC.
Porém, na prática, a resolução de alguns desses problemas pode se tornar muito
complicada. Dessa forma, estudaremos técnicas de contagem de determinados
agrupamentos – baseadas no TFC – as quais simplificarão a resolução de muitos
problemas.
Depois irei apresentar para cada grupo um novo problema para que eles tentem
resolver. Para realizar estas atividades confeccionarei materiais que permitam visualizar em
miniatura o problema dado. Enquanto os alunos estiverem tentando encontrar a solução dos
problemas irei auxiliá-los
PROBLEMA 3: Quantas são as possibilidades de arrumações das letras de palavra AMOR?
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PROBLEMA 4: Quantas são as possibilidades de arrumações das letras de palavra
AMORA?
PROBLEMA 5: Uma bandeira deve ser pintada com 3 cores diferentes de forma que não é
permitido colorir as listras da região de fronteira com a mesma cor. Desse modo, calcule o
número de maneiras diferentes que pode ser pintada essa bandeira, sabendo que ela é
composta por 6 listras.
PROBLEMA 6: Contar a quantidade de números formados por 2 algarismos distintos pelos
algarismos 1, 2, 3 e 4.
PROBLEMA 7: Otávio, João, Mário, e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os
agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
PROBLEMA 8: Fruta na alimentação: Segundo a classificação de alimento mais aceita
atualmente, as frutas estão no grupo dos alimentos reguladores, pois atuam no equilíbrio de
diversas funções do organismo, como digestão, o funcionamento do intestino e a absorção de
nutrientes. Além disso, contribui para melhorar a resistência contra infecções. Por isso, em
uma cesta contendo 10 frutas: 6 maçãs e 4 peras. Daniela quer retirar, uma a uma, as 10 frutas
dessa cesta. De quantas maneiras ela poderá retirá-las?
SEGUNDA ETAPA: Para iniciar esta etapa será passado um vídeo do Novo Telecurso 2000aula 51- para os alunos estarem aprendendo combinações, outra técnica de agrupamento, em
problemas que envolvem, por exemplo, o esporte.
A seguir, será entregue, um problema para cada grupo, no qual quando solucionado
será revezado entre os grupos até que todos sejam resolvidos por cada grupo. O objetivo é que
os alunos aprendam a resolver problemas de análise combinatória sem utilizar mecanicamente
as fórmulas. E quando usá-las consciente da lógica contida na problemática de determinada
questão.
PROBLEMA 9: Para ir ao cinema, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par
de tênis. Sabendo que ele dispõe de 3 camisetas, quatro bermudas e dois pares de tênis, de
quantas maneiras distintas ele poderá se vestir?
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PROBLEMA 10: Quatro homens e uma mulher estão em uma sala de espera, onde há apenas
um banco de quatro lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem se sentar,
nunca deixando em pé a mulher?
PROBLEMA 11: Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. De quantas maneiras é
possível retirar, uma a uma, as 8 bolas dessa urna?
PROBLEMA 12: De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão com 8
jogadores? (no jogo só pode ter 6 jogadores)
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6. RESULTADOS ESPERADOS
Através deste trabalho de ensino pretendemos ensinar de uma forma diferente o
conteúdo Análise Combinatória. Para que os alunos possam estar vendo a matemática envolta
dele, analisando a necessidade em estar aprendendo este conteúdo e percebendo que a
matemática ajuda no desenvolvimento do raciocínio lógico e também o crítico.
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7. REFERENCIAS
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. A resolução de problemas e o uso do computador
na construção do conceito de Taxa Média de Variação. Revista de Educação Matemática, São
Paulo, n.8, p.37-42. 2003.
ALMEIDA, Adriana Luziê de; FERREIRA, Ana Cristina. A Comunicação Matemática como
ferramenta para o ensino e a aprendizagem da Análise Combinatória no 2º ano do Ensino
Médio em uma escola pública de Itabirito (MG). Itabirito, MG [s. n.] 2009. Disponível em:
<d.yimg.com/kq/groups/22309893/175814723/.../CCAdrianaAlmeida.do> Acesso em: 22
maio 2011.
BRASIL - Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1998.
Fundação Roberto Marinho; FIESP. Telecurso 2000. Ensino médio – Matemática. Disponível
em: <http://www.youtube.com/watch?v=yqM0asBZl_A > Acessado em: 20 de maio de 2011.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. 2.ed. São Paulo:
FTD,2005.
LIMA, Elon Lages. et. al. A matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 1998.
RAMOS, Agnelo Pires. et. al. Problemas matemáticos: caracterização, importância e
estratégias de resolução. São Paulo: IME- USP. 2001. Disponível em:
www.esev.ipv.pt/.../mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf. Acesso: 22 maio
2011.
VIERA, Fernanda Maria de Souza. Uma introdução á combinatória: Técnicas de contagem
Tese (Mestre em Matemática) – Universidade Portucalense, Porto, 2007. Disponível em:
www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/modules/.../visit.php?cid... Acessado em: 22
de maio 2011.
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6. CONCLUSÃO
No momento do estágio supervisionado, em que o estagiário vai para sala de aula, ele
se depara com situações que precisam ser resolvidas imediatamente, exigindo improvisos e
destreza, ele mobiliza vários saberes que adquiriu durante todo seu processo acadêmico, logo
a Universidade tem papel fundamental nesta etapa.
A formação inicial como um todo, não apenas uma ou outra disciplina que a compõe,
deve fazer sentido para o licenciando. As relações que estabelece com a universidade, o
mundo e os outros, sejam colegas ou professores, devem levar o estagiário a atribuir sentido
para essa formação. Nesse processo é possível que comecem a surgir alguns questionamentos,
tais como:
1. Todos os saberes que o futuro professor precisa para que sua atuação em sala de aula
seja agradável a si são desenvolvidos nos bancos da academia?
2. Podemos dizer que os saberes relacionados à prática pedagógica do professor são
ensinados em livros ou disciplinas específicas?
O estágio pode ser compreendido como um lugar de construção da identidade docente,
mas não só de construção, também de reflexão, legitimação e fortalecimento da identidade
anteriormente construída.
O estágio é sem dúvida, um dos mais eficientes instrumentos para que professores em
formação inicial possam ter contato com a sala de aula e as experiências que advém dessa
durante o período da graduação. A vivência no ambiente de trabalho possibilita ao licenciando
colocar em prática a teoria construída durante toda sua vida acadêmica e também reestruturar
estas práticas.
Depois de toda esta reflexão que já possuía antes de começar o estágio, vejo que ele,
com muita veemência, contribuiu e muito em minha formação docente e veio a somar mais a
partir de algumas situações que vivi e presenciei neste período.
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7.REFERÊNCIAS
 EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues
– Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
 BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica. Parâmetros
Curriculares Nacionais: Fundamental II – Brasília: MEC, 1999.
 DANTE, Luís Roberto, Tudo é Matemática: livro do professor volume único, 1ª
edição. São Paulo: Ática, 2008.
 GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática,
vol.3. Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, 2001.
 IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto.
Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.
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DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
8. ANEXOS
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DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CENTRO INTEGRADO DE EDUCACÃO NAVARRO DE BRITO-CIENB
Disciplina: Matemática
Série: 3º
Turma: B
Professor: Enoque Alves de de Matos
Estagiária: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas
Aluno(a): ____________________________________________________
1ª Avaliação da unidade II
Atenção:







Cada questão tem valor 0,6 somando ao todo 3,0 pontos;
Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais fácil;
Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos;
Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marcar e deixe os cálculos ao
lado;
As respostas finais devem ser colocadas a caneta;
Não serão aceitas questões rasuradas;
Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos.
1. Dado o polinômio p(x) = 2x4 - 5x² + 6, o valor de p(-3) é:
a)
b)
c)
d)
e)
23
213
-23
-213
N.D.A
2. Determine a e b a fim de que o grau do polinômio f(x) = (a – 2b)x² + (2a – 3b +2)x + 2 seja
igual a zero
.
3. Sejam os polinômios f(x) = 2x² – 3, g(x) = -4x³ – x e h(x) = x² - x + 1, determine
P(x) = f(x) . g(x) + h(x).
4. Se os polinômios f = x³ + (a – b)x² + (a – b – 2)x + 8 e g = x³ + 2x² + (3a – b) são idênticos,
então:
a) ab = 3
b) a = 3b
c) b = 3ª
d) a/b = 1
e) N.D.A
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CENTRO INTEGRADO DE EDUCACÃO NAVARRO DE BRITO-CIENB
Disciplina: Matemática
Série: 3º
Turma: B
Professor: Enoque Alves de Matos
Estagiária: Maria das Graças Pinheiro Mascarenhas
Aluno(a): ____________________________________________________
“Cada um de nós compõe a sua história. Cada ser em si carrega o dom de ser capaz. E
ser feliz...” (Almir Sater) Bom trabalho!!!
Avaliação final da unidade II-13/07/2011
Atenção:
 Cada questão tem valor 1,2 somando ao todo 6,0 pontos;
 Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais fácil;
 Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos;
 Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marcar e deixe os cálculos ao
lado;
 As respostas finais devem ser colocadas à caneta;
 Não serão aceitas questões rasuradas;
 Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos.
Utilize o método da chave para resolver a questão 1.
1) (Unificado) O resto da divisão do polinômio p(x) = x³ - x + 1 pelo polinômio d(x) = x² + x + 1 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0
x+2
x–2
–x+2
–x–2
Use o teorema do resto para resolver a questão 2.
2) (FABRAI-MG) O resto da divisão de P(x) = x4 +x³ - 3x² + 2x – 1 por q(x) = x – 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
14
15
16
17
18
3) Através do dispositivo de Briot-Ruffini, obter o quociente e o resto da divisão de f(x) = x5 – 3x³ + 2x²
+ 4 por g(x) = x + 1.
4) Dado o polinômio p(x) = 2x4 - 5x² + 6, o valor de p(-2) é:
a) 18
b) -3
c) -6
d) -18
e) Nenhuma das anteriores
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5) Use o método que a char conveniente para encontrar o resto da divisão de p(x) = x³ + x² + x + 1 por
x² - x + 1.
6) Questão extra-valor 0,5 ponto: quantos são os anagramas da
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