CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURAIS
São todos os números inteiros positivos,
incluindo o zero.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
NÚMEROS INTEIROS
• Os números naturais não permitiam a resolução de
todas as operações. Por exemplo, a subtração 3 - 4
era impossível.
• A idéia do número negativo, aparece na Índia,
associada a problemas comerciais que envolviam
dívidas.
• A idéia do número zero surgiu também nesta altura,
para representar o “nada”
nada”.
nada”
NÚMEROS INTEIROS
Representação:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Através de diagramas:
N
Z
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
1º) eliminar parênteses: ( )
2º) eliminar colchetes: [ ]
3º) eliminar chaves: { }
ATÊNÇÃO:
Prioridade nas Operações:
1º) Potenciação e Radiciação
2º) Multiplicações e Divisão
3º) Adição e Subtração
Observe:
{[(24 + 2 ⋅ 3) : (3⋅ 2 + 3 )] + 2 ⋅ 8}: (−2 + 2 ⋅ 3 + 16 − 25: 5 +13)
2
6
3
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E MÁXIMO
DIVISOR COMUM
• Dados dois ou mais números o Mínimo Múltiplo
Comum, MMC é o menor número que é múltiplo
dos outros dois (ou mais números).
• Dado dois ou mais números, denomina-se
Máximo divisor comum (MDC) desses números o
maior desses divisores
Vamos encontrar o mmc (12, 36, 18)
Primeiro encontramos:
Múltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...
Múltiplos de 36: 0 , 36, 72, 108, 144, 180,...
Múltiplos de 18: 0, 18 36, 54, 72, 90, 108,...
Os múltiplos comuns são: 0, 36, 72,....
Sem contar o zero.
m.m.c ( 12, 36, 18) = 36
Vamos encontrar o MDC ( 12, 36, 18)
D(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(36)= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }
D(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores comuns= 1, 2, 3, 6.
Logo,
MDC(12, 36, 18) = 6
DEFINIÇÃO: Um número p ≠ 1 é primo quando
só admite dois divisores: ele próprio e a unidade.
Caso contrário, o número é composto.
Sendo P o conjunto dos números primos,
poderemos escrever:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,...,359,...}
Vamos agora encontrar o MMC e o MDC
por um método muito prático!
Usaremos o método da Fatoração Simultânea
Escrevemos os números lado a lado separados por
vírgula.
Colocamos uma reta vertical.
12,
36, 18
2
Dividimos todos os números por
um primo divisor de todos.
6,
2,
2,
18, 9
6, 3
2, 1
3
3
Dividimos novamente por um
primo divisor de todos.
2
1,
1,
Como não temos um primo divisor
de todos, Já temos o MDC, basta
fazer 2 x 3 = 6
1
Continuamos a fatoração
Agora fazendo 2x3x3x2 temos o MMC, que é 36
Então MMC(12, 36, 18)=36 e MDC(12,36,18)= 6
Observe agora o que acontece com o MMC e
com o MDC dos números 10 e 11
10, 11
5, 11
1, 11
1,
1
2
5
11
Não há
comum!
primo
divisor
Então o MDC(10, 11) = 1 e
MMC (10,11) = 2x5x11 = 10x11 = 110
Números que tenham como MDC= 1, são
chamados de números primos entre si!
MMC E MDC - APLICAÇÕES
1) (FEPESE) Os corredores A, B e C levam 8, 15 e 20 minutos
respectivamente para completar uma volta em uma pista
de atletismo. Se eles partem simultaneamente de um
mesmo ponto inicial, em quanto tempo eles se
encontrarão novamente no ponto inicial?
a) 60 minutos b) 80 minutos c) 100 minutos
d) 120 minutos e) 160 minutos
2) Você dispõe de duas cordas e vai cortá-las em pedaços de
igual comprimento. Este comprimento, que você vai cortar,
deve ser o maior possível. As cordas, que você dispõe, são de
90 metros e 78 metros. De que tamanho você deve cortar
cada pedaço? Com quantos pedaços de cordas você vai
ficar?
NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto dos números racionais, representados pela
letra Q é composto pelos números decimais finitos,
decimais infinitos periódicos simples ou compostos
Q = {m/n ; m e n ϵ Z, n ≠ 0}
Através de diagramas:
N
Z
Q
NÚMEROS IRRACIONAIS
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos.
Alguns números irracionais famosos:
famosos:
• PI que vale 3,14159265 ....
• O número de Euler vale 2,71828...
• Raízes quadradas de números primos
π = 3,141592 ...
2 = 1, 41423 ...
e = 2,71828 ...
3 = 1,732050 ...
NÚMEROS REAIS
R = {x | x é um número racional ou irracional}
ou
R=Q∪I
Através de diagramas: