Fundamentos I
Quest IV
Atividade 1:
Pesquisar, definir e exemplificar: o que são múltiplos de um número?
O que são divisores de um número? Qual a relação entre os mesmos?
Múltiplos e Divisores
Normalmente na infância ao iniciarmos nossos estudos na área da matemática, o primeiro
contato direto que temos com os múltiplos de um número natural, é quando começamos a
estudar as tabuadas de multiplicação.
Na verdade as tabuadas de multiplicação dos números de zero a dez representam os onze
primeiros múltiplos destes números.
Apenas para efeito de ilustração, vejamos a tabuada a seguir:
Tabuada de Multiplicação do Número 3
Tópico relacionado
Divisores de um Número Natural
3.0=0
3.1=3
3.2=6
3.3=9
3 . 4 = 12
3 . 5 = 15
3 . 6 = 18
3 . 7 = 21
3 . 8 = 24
3 . 9 = 27
3 . 10 = 30
Olhando a tabuada acima vemos os onze primeiros múltiplos de três.
O número 15, por exemplo, é múltiplo de 3 porque 15 é divisível por 3.
Concluímos então que um número natural a é múltiplo de um número natural b, se a é divisível
por b.
O número natural 21 é múltiplo do número natural 7, pois 21 é divisível por 7. O número 21
também é múltiplo de 3, pois ele é divisível por 3.
Analisando a tabuada acima deduzimos que um produto é múltiplo dos seus fatores.
Podemos estender o conceito acima, afirmando que um número natural é múltiplo de todos os
seus divisores naturais.
Todos os números naturais são múltiplos de si mesmo exceto o zero, assim como zero é
múltiplo de todos os números naturais, com exceção dele próprio.
Diferentemente do conjunto dos divisores de um número natural que é finito, o conjunto dos
múltiplos de um número natural é infinito, pois a multiplicação um número natural, por um
outro número natural irá produzir um dos seus múltiplos e como sabemos, o conjunto dos
números naturais é um conjunto infinito.
Novamente recorrendo à tabuada acima vemos que 12 é múltiplo de 3, pois 12 = 3 . 4. Para
formarmos o número 12, recorremos múltiplas vezes ao número 3, neste caso 4 vezes:
3 + 3 + 3 + 3 = 12
Esta é uma outra forma, talvez até mais clara, de entendermos o conceito de números múltiplos.
Um número natural é múltiplo de outro número natural, quando na sua formação somamos
várias vezes um deles para chegarmos ao outro.
Daí fica fácil concluir, que se somarmos a 12, três ou qualquer outro múltiplo de três, o
resultado obtido continuará sendo um múltiplo de 3.
Se a 12 somarmos três teremos:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15, que é múltiplo de três já que 15 = 3 . 5.
Se a 12 somarmos nove, que é um dos múltiplos de três, teremos:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21, que também é múltiplo de três, pois 21 = 3 . 7.
Se fatorarmos o número 30 veremos que ele não é um número primo, pois é formado pelo
produto dos números 2, 3 e 5 ( 2 . 3 . 5 = 30) e a partir do explicado acima, podemos afirmar
que:
Se somarmos 2, ou qualquer um de seus múltiplos a 30, o resultado continuará sendo múltiplo
de 2; se somarmos 3, ou qualquer um de seus múltiplos a 30, o total continuará sendo múltiplo
de 3 e se somarmos 5, ou qualquer um de seus múltiplos a 30, o resultado continuará sendo
múltiplo de 5.
Atividade 2:
Pesquisar e escrever as regras de divisibilidade ( por 2, por
3, por 4, por 5, por 6, por 10).
Critérios de divisibilidade
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem
verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de
divisibilidade.
 Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja,
quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
 Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for
divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível
por 3, então 234 é divisível por 3.
 Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois
últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
 Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
 Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
 Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
Atividade 3:
Pesquisar o que é: Crivo de Eratóstenes.
O Crivo de Eratóstenes é um algoritmo e um método simples e prático para encontrar números
primos até um certo valor limite. Segundo a tradição, foi criado pelo matemático grego
Eratóstenes (a.c. 285-194 a.C.), o terceiro bibliotecário-chefe da Biblioteca de Alexandria.
Para exemplificá-lo, vamos determinar a lista de números entre 1 e 30.
 Inicialmente, determina-se o maior número a ser checado. Ele corresponde à raiz quadrada do
valor limite, arredondado para baixo. No caso, a raiz de 30, arredondada para baixo, é 5.
 Crie uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, e 30.
 Encontre o primeiro número da lista. Ele é um número primo, 2.
 Remova da lista todos os múltiplos do número primo encontrado. No nosso exemplo, a lista fica:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 e 29.
 O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo número da lista
é 3. Removendo seus múltiplos, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 e 29. O próximo
número, 5, também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. 5 é o último número a
ser verificado, conforme determinado inicialmente. Assim, a lista encontrada contém somente
números primos.
Pesquisar e definir: o que são números primos?
Números Primos
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele
mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
 Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5,
7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero.
Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
 não é par, portanto não é divisível por 2;
 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
 não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
 por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número
primo.
2) O número 113:
 não é par, portanto não é divisível por 2;
 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
 não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
 por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
 por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o
resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.