CEEJA “MAX DADÁ GALLIZZI”
PRAIA GRANDE - SP
PARABÉNS!!!
VOCÊ JÁ É UM VENCEDOR!
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer
que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos
esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas
redescobertas da "arte matemática" que elaboramos o conteúdo
e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas.
MATEMÁTICA
ENSINO
FUNDAMENTAL
Os tópicos aqui abordados são muito importantes para o
início e o sucesso de nossa jornada.
Leia com atenção, resolva todos os exercícios que achar
necessário. Procure-nos assim que surgirem as primeiras
dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudá-lo.
02
Página 01
Divisibilidade
O número 9 não é múltiplo de 2; pois 9 dividido por 2 é igual a
4 e resta 1.
Em uma divisão existem alguns termos: dividendo (número que
será dividido), divisor (número que divide), quociente
(resultado da divisão) e resto (o que sobra da divisão), quando o
resto é igual a zero dizemos que a divisão é exata. O conceito
de divisibilidade, que é o conjunto de condições que os
números Naturais têm de preencher para que um possa ser
dividido por outro de forma exata, é derivado do conceito de
múltiplo de um número. Embora simples, esses conceitos são
de grande importância no desenvolvimento matemático e nos
auxiliam na solução de questões práticas. Se num país, por
exemplo, o presidente é eleito de quatro em quatro anos e os
senadores, de seis em seis, qual o período de tempo que separa
as eleições conjuntas para ambos os cargos?
O número 15 não é múltiplo de 4; pois 15 dividido por 4 é igual
a 3 e resta 3.
 Múltiplos de um número
Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por
M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5):
M(2) = {0,2,4,6,8,…}.
M(5) = {0,5,10,15,20,…}
Para lembrar:
O conjunto dos múltiplos de um número Natural não nulo é
infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número
dado por todos os números Naturais.
Observe:
M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,…} =
={0,3,6,9,12,15,18,…}
Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o
primeiro pelo segundo, o resto é zero.
Observe também que o menor múltiplo de todos os números é
sempre o zero.
O número 10 é múltiplo de 2; pois 10 dividido por 2 é igual a 5
e resta zero.
OBSERVAÇÃO: Quando um número é múltiplo de mais de
um número, dizemos que o primeiro é um múltiplo comum dos
segundos números.
O número 12 é múltiplo de 3; pois 12 dividido por 3 é igual a 4
e resta zero.
O número 15 também é múltiplo de 3; pois 15 dividido por 3 é
igual a 5 e resta zero.
Exemplo:
múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,...
múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,…
múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6, 12, 18,…
Página 02
Página 03
 Divisores de um número
Exercício 01
Escreva os múltiplos dos seguintes números:
a) M(4) =
e) M(8) =
b) M(5) =
f) M(9) =
c) M(6) =
g) M(12) =
d) M(7) =
h) M(25) =
Quando um número é múltiplo de outro, este chama-se divisor
do primeiro.
Por exemplo:
 8 é múltiplo de 4, então 4 é divisor de 8
 6 é múltiplo de 3, então 3 é divisor de 6
 12 não é múltiplo de 5, então 5 não é divisor de 12
O conjunto dos múltiplos de um número é finito ou infinito?
Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for
múltiplo do primeiro.
Exercício 03
Indicamos divisores por D
Exercício 02
Qual é o número que é múltiplo de qualquer número?
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(15) = {1,3,5,15}
Exercício 04
Do conjunto dos números naturais, quais são os múltiplos de 5
menores que 37?
Exercício 05
Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural
não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor
elemento é o 1 e o maior é o próprio número.
Qual o menor múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 500? E o
maior?
Exercício 06
Calcule os múltiplos comuns de 3 e 4, 3 e 5, 4 e 5.
Página 04
Página 05
 Critérios de Divisibilidade
Exercício 07
Escreva os divisores dos seguintes números:
a) D(4) =
e) D(10) =
b) D(5) =
f) D(12) =
c) D(8) =
g) D(18) =
d) D(9) =
h) D(24) =
Encontraremos aqui alguns critérios que nos ajudarão para
saber quando é que um número é divisível por outro.
o Divisibilidade por 2
Exercício 08
O conjunto dos divisores de um número é finito ou infinito?
Exercício 09
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6
ou 8, isto é, quando for par.
Exemplo:
 3256 é divisível por 2, porque termina em 6.
 4987 não é divisível por 2, porque não termina em 0, 2,
4, 6 ou 8.
o Divisibilidade por 3
Qual é o número que é divisor de qualquer número?
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores
absolutos de seus algarismos for divisível por 3, ou seja,
quando a soma for múltiplo de 3.
Exemplo:
 234 é divisível por 3, porque a soma de seus algarismos
(2+3+4=9) é divisível por 3.
 427 não é divisível por 3, porque a soma de seus
algarismos (4+2+7=13) não é divisível por 3.
Exercício 10
Qual é o menor e o maior divisor de um número?
Exercício 11
Qual é o menor e maior divisor de 14?
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Página 07
o Divisibilidade por 4
Exercício 12
Sem efetuar divisões, diga quais dos seguintes números são
divisíveis por 2.
a) 113
d) 3338
b) 250
e) 77725
c) 555
f) 99902
Exercício 13
Escreva os números naturais divisíveis por 2 que estão entre
519 e 529.
Exercício 14
Dos números a seguir, quais são divisíveis por 3?
a) 123
d) 681
b) 331
e) 712
c) 508
f) 888
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos
algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por
4.
Exemplo:
 30000 é divisível por 4, porque termina em 00.
 5316 é divisível por 4, porque o número formado pelos
seus dois últimos algarismos é 16, que é divisível por 4.
 708 é divisível por 4, porque o número formado pelos
seus dois últimos algarismos é 08, que é divisível por 4.
 7422 não é divisível por 4, porque 22 não é divisível por
4.
o Divisibilidade por 5
Exercício 15
Diga por que 1234 não é divisível por 3, sem efetuar a divisão.
Exercício 16
Dos números naturais entre 136 e 146, quais são divisíveis por
3?
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Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplo:
 61475 é divisível por 5, porque termina em 5.
 18790 é divisível por 5, porque termina em 0.
 72764 não é divisível por 5, porque não termina em 0
nem em 5.
Página 09
o Divisibilidade por 6
Exercício 17
Considere os números:
540, 1336, 4775, 5313, 6308, 9894 e 10000.
Diga quais deles são divisíveis por:
a) 4:
b) 5:
Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e
por 3 ao mesmo tempo.
Exemplo:
 5328 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (termina
em 8) e por 3(a soma dos seus algarismos é
5+3+2+8=18, que é divisível por 3).
 5270 não é divisível por 6, porque não é divisível por 3.
Exercício 18
O número 53 782 309 512 é divisível por 4? E por 5?
Exercício 19
Diga se o 1370 é ou não é divisível pelos números abaixo:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Exercício 20
O mês de fevereiro, dependendo do ano, pode ter 28 ou 29 dias.
Ele só tem 29 dias nos anos bissextos. Os números dos anos
bissextos, como 1980 por exemplo, são números divisíveis por
4.
Mas há exceções: um ano terminado em 00 só é bissexto
quando seu número for divisível por 400.
a) De 1990 a 2000, que anos foram bissextos?
b) 1900 foi um ano bissexto?
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o Divisibilidade por 7
Existe uma regra de divisibilidade por 7, mas ela é pouco
prática. Para saber se um número é divisível por 7, o
melhor é dividi-lo por 7.
o Divisibilidade por 8
A regra de divisibilidade por 8 é, até certo ponto, parecida
com a da divisibilidade por 4. Primeiro, note que 1000 é
divisível por 8. Então 2000, 3000, 4000, 5000,... também
são.
Um número natural maior que 999 é divisível por 8 quando
o número formado pelos seus três últimos algarismos for
divisível por 8.
Exemplo:
 34104 é divisível por 8, porque o número formado pelos
seus três últimos algarismos é 104, que é divisível por 8
 257010 não é divisível por 8, porque 010 não é divisível
por 8.
Página 11
o Divisibilidade por 9
Exercício 22
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores
absolutos de seus algarismos for divisível por 9, ou seja,
quando a soma for múltiplo de 9.
Exemplo:
 82737 é divisível por 9, porque a soma dos seus
algarismos é 8+2+7+3+7=27, que é divisível por 9.
 222222 não é divisível por 9,porque 2+2+2+2+2+2=12.
Qual dos números abaixo é divisível por 2, 3 e 5 ao mesmo
tempo?
160
180
225
230
Exercício 23
Qual dos números abaixo é divisível por 2 e 9 ao mesmo
tempo?
1277
5819
5336
2556
o Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero).
Exemplo:
 12380 é divisível por 10, porque termina em 0.
 12308 não é divisível por 10, porque não termina em 0.
Exercício 24
Exercício 21
Exercício 25
Considere os números 3456, 4567, 5678, 6789 e 7890. Diga
quais deles são divisíveis por:
a) 6:
b) 8:
c) 9:
d) 10:
Seja o número 51b8. Qual o menor algarismo que se pode
colocar no lugar da letra b para que o número seja divisível por
3?
Página 12
Considere o número 313131A, onde A representa o algarismo
das unidades. Se esse número é divisível por 4, então qual é o
maior valor que A pode assumir?
Página 13
 Números Primos
Reconhecimento de um número primo
Números primos são os números naturais que têm apenas dois
divisores diferentes: o 1 (um) e ele mesmo.
Exemplos:
 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número
primo.
 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um
número primo.
 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um
número primo.
Observações:
 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um
divisor que é ele mesmo.
 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados
números compostos.
Exemplo:
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos
números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o
número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor
e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
 não é par, portanto não é divisível por 2;
 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
 não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
 por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por
7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
 não é par, portanto não é divisível por 2;
 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
 não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
 por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é
maior que o divisor (7);
 por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é
menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de
zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número
composto.
Página 14
Página 15
Tabela de números primos
Exercício 26
O que é um número primo?
Vamos construir a tabela dos números primos de 1 a 50, usando
o método de Eratóstenes, um matemático grego que viveu há
mais de 2000 anos.
1º) Escreva os números naturais de 1 até 50.
Exercício 27
Quais são os dez primeiros números primos?
2º) Risque o número 1: ele não é um número primo.
3º) Circule o próximo, que é 2: ele é um número primo. Mas
risque os outros números divisíveis por 2. Portanto, risque 4, 6,
8, etc.
4º) Circule o próximo número, que é 3: ele é um número primo.
Mas risque os outros números divisíveis por 3. Portanto, risque
6, 9, 12, etc.
5º) O próximo número é 4, que já foi riscado. Circule então o
próximo, que é 5: ele é um número primo. Mas risque 10, 15,
20, etc.
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
9
19
29
39
49
Exercício 29
Explique por que:
a) 25 não é um número primo.
b) 1 não é um número primo.
c) Por que todos os números naturais pares maiores que 2
não são primos?
Exercício 30
Considere os números 15, 16, 17, e 18. Quais deles são primos?
6º) Continue assim, até que não se tenham mais números a
serem riscados.
Tabela dos Números Primos de 1 a 50
3
4
5
6
7
8
13
14
15
16
17
18
23
24
25
26
27
28
33
34
35
36
37
38
43
44
45
46
47
48
Exercício 28
Qual é o único número par que é primo?
10
20
30
40
50
Página 17
Página 16
 Mínimo Múltiplo Comum (mmc)
Exemplo:
Um país tem eleições para presidente de 4 em 4 anos, e para
senador de 6 em 6 anos.
Supondo que neste ano, essas duas eleições coincidam, daqui a
quantos anos elas voltarão a coincidir?
Vamos resolver esse problema.
O país terá eleições para presidente dentro de 4, 8, 12, 16, ...
anos.
E para senador dentro de 6, 12, 18, 24, ... anos.
Comparando esses números, chegamos à resposta: as eleições
voltarão a coincidir daqui a 12 anos.
Observe que, nesse problema, procura-se um número assim:
 Ele deve ser múltiplo de 4 (eleições para presidente);
 Ele deve ser múltiplo de 6 (eleições para senador);
 Ele deve ser o menos possível, excetuando o zero.
Este número é chamado de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.
Ele é indicado assim: mmc (4,6)
Para encontrar o mmc (4,6), escrevemos o conjunto dos
múltiplos de 4 e o dos múltiplos de 6:
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, ...}
Depois, procuramos os números que pertencem aos dois
conjuntos, isto é, os múltiplos comuns de 4 e 6.
Múltiplos Comuns de 4 e 6 = {0, 12, 24, ...}
O menor elemento desse conjunto, sem contar o 0, é o mínimo
múltiplo comum de 4 e 6. Então:
Mmc (4,6) = 12
As eleições voltarão a coincidir daqui a 12 anos.
Tendo-se dois ou mais números naturais não-nulos, o
mínimo múltiplo comum deles é o menor numero não-nulo
que seja múltiplo de todos eles
Vamos obter o mmc(6,15).
M(6) = {0, 6, 12, 15, 18, 24, 30 , 36, 42, 48, 54 , 60, ...}
M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, ...}
Múltiplos comuns de 6 e 15 = {0, 30, 60, ...}
Agora, escolhemos o menor elemento desse conjunto, com
exceção de 0. Portanto:
mmc(6,15) = 30
Agora é a sua vez!
Exercício 31
Obtenha:
a) mmc (2,3) =
b) mmc (3,4) =
c) mmc (4,5) =
d) mmc (5,6) =
e) mmc (8,10) =
f) mmc (8, 12) =
g) mmc (9,12) =
h) mmc (15,20) =
i) mmc (18,30) =
j) mmc (20,50) =
Exercício 32
Numa estação rodoviária, os ônibus para cidade A partem de 6
em 6 horas, e para cidade B, de 8 em 8 horas. Numa ocasião,
um ônibus para a cidade A partiu junto com outro para a cidade
B. Quanto tempo depois isso acontecerá de novo?
Página 19
Página 18
 Maximo Divisor Comum (mdc)
Veja estes conjuntos: os divisores de 24 e os divisores de 60.
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Os divisores comuns de 24 e 60 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Então, o maior divisor comum de 24 e 60 é 12. Indicamos:
mdc(24,60) = 12
Tendo-se dois ou mais números naturais não-nulos, o
máximo divisor comum deles é o maior número natural
divisor de todos eles
Exemplo:
Exercício 33
Obtenha:
a) mdc (6,10) =
b) mdc (10,15) =
c) mdc (10,20) =
d) mdc (12,21) =
e) mdc (16,30) =
f) mdc (18,27) =
g) mdc (21,35) =
h) mdc (24,42) =
i) mdc (27,36) =
j) mdc (45,54) =
Exercício 34
Um professor dá aulas numa 6º ano, de 30 alunos, e numa 7º
ano, de 18 alunos. Em cada sala, ele formou grupos, e todos os
grupos tinham o mesmo número de alunos. Qual é o maior
número de alunos que cada grupo pode ter?
Vamos obter o mdc(20,30).
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Divisores comum de 20 e 30 = {1, 2, 5, 10}
Agora, escolhemos o maior elemento desse conjunto
intersecção. Portanto:
mdc(20,30) = 10
Página 20
Página 21
Gabarito
Exercício 13: {520,522,524,526,528}
Exercício 01:
a) M(4) = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,...}
b) M(5) = {0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...}
c) M(6) = {0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,...}
d) M(7) = {0,7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,...}
e) M(8) = {0,8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,...}
f) M(9) = {0,9,18,27,36,45,54,63,72,80,...}
g) M(12) = {0,12,24,36,48,60,72,84,96,...}
h) M(25) = {0,25,50,75,100,...}
Exercício 14:
a) 123
d) 681
f) 888
Exercício 15: 1+2+3+4=10, a soma dos algarismos não é divisível por 3
Exercício 16: 138, 141, 144
Exercício 17:
a) 1336, 6308, 10000
b) 540, 4775, 10000
Exercício 02: infinito
Exercício 03: o número 0 (zero)
Exercício 18: É divisível por 4 e não é divisível por 5
Exercício 04: {0,5,10,15,20,25,30,35}
Exercício 19:
a) 2 : sim
b) 3 : não
c) 4 : não
d) 5 : sim
Exercício 05: menor = 105 ; maior = 497
Exercício 06:
M(3) = {0,3,6,9,12,15,18,21,...}
M(4) = {0,4,8,12,16,20,24,...}
M(5) = {0,5,10,15,20,25,...}
mmc(3,4) = 12 ; mmc(3,5) = 15 ; mmc(4,5) = 20
Exercício 20:
a) 1992, 1996, 2000
b) não
Exercício 07:
a) D(4) = {1,2,4}
b) D(5) = {1,5}
c) D(8) = {1,2,4,8}
d) D(9) = {1,3,9}
e) D(10) = {1,2,5,10}
f) D(12) = {1,2,3,4,6,12}
g) D(18) = {1,2,3,6,9,18}
h) D(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24}
Exercício 21:
a) 3456, 7890
b) 3456
c) 3456
d) 7890
Exercício 22: 180
Exercício 23: 2556
Exercício 08: finito
Exercício 24: A = 6
Exercício 09: o número 1
Exercício 25: b = 1
Exercício 10: menor = 1 ; maior = o próprio número
Exercício 26: é o número que só tem dois divisores, o 1 e ele mesmo
Exercício 11: menor = 1 ; maior = 14
Exercício 27: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Exercício 12:
b) 250
d) 3338
f) 99902
Exercício 28: 2
Página 22
Página 23
Exercício 29:
a) Porque 25 tem 3 divisores: 1, 5, 25
b) Porque 1 só tem 1 divisor, que é ele mesmo
c) Porque possuem mais de 2 divisores
Exercício 30: 17
Bibliografia
Exercício 31:
a) mmc (2,3) = 6
b) mmc (3,4) = 12
c) mmc (4,5) = 20
d) mmc (5,6) = 30
e) mmc (8,10) = 40
f) mmc (8, 12) = 24
g) mmc (9,12) = 36
h) mmc (15,20) = 60
i) mmc (18,30) = 90
j) mmc (20,50) = 100
Os textos e os exercícios foram retirados e/ ou pesquisados nos
seguintes livros:
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática,
2002. (5a a 8a séries)
Exercício 32: 24horas
DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemática Conceitos e
Histórias. São Paulo: Scipione, 1998. ( 5a a 8a séries)
Exercício 33:
a) mdc (6,10) = 2
b) mdc (10,15) = 5
c) mdc (10,20) = 10
d) mdc (12,21) = 3
e) mdc (16,30) = 2
f) mdc (18,27) = 9
g) mdc (21,35) = 7
h) mdc (24,42) = 6
i) mdc (27,36) = 9
j) mdc (45,54) = 9
GIOVANI, José Rui. Et all. A Conquista da Matemática. São
Paulo: FTD, 1998. (5a a 8a séries).
JAKUBOVIC, José. LELLIS, Marcelo. Matemática na Medida
Certa. São Paulo: Scipione, 1995. (5a a 8a séries)
Exercício 34: grupo de 6 alunos
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Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da
Área de Matemática do CEEJA, com base nos livros didáticos
descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teoria,
ora criando com base nos conteúdos observados.
PROFESSORES
EDNILTON FELICIANO
PAULO TELES DE ARAUJO JR.
2012
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