METAS CURRICULARES DO ENSINO BÁSICO
5.º ano
EXEMPLOS DO CADERNO DE APOIO 2.º CICLO
António Bivar, Carlos Grosso, Filipe Oliveira, Maria Clementina Timóteo
Parte 1, pág. 28
Critérios de divisibilidade por 4
Existem dois critérios de divisibilidade por 4 que podem ser explorados:
Critério 1:
Um número N é divisível por 4 se e apenas se o número formado pelos dois últimos
algarismos de N for divisível por 4 .
Critério 2:
Um número N é divisível por 4 se e apenas se o dobro do valor do algarismo das dezenas
adicionado ao valor do algarismo das unidades for divisível por 4 .
1.
Os números 135 564 e 245 662 são divisíveis por 4 ?
Resposta
1.
Pelo primeiro critério:
64 é divisível por 4 , logo 135 564 é divisível por 4 .
62 não é divisível por 4 , logo 245 662 não é divisível por 4 .
Pelo segundo critério:
O número 2 × 6 + 4 = 16 é divisível por 4 , logo 135 564 é divisível por 4 .
O número 2 × 6 + 2 = 14 não é divisível por 4 , logo 245 662 não é divisível por 4 .
NO5-3.1
1
TEXTO DE APOIO AO PROFESSOR
Descritor: 3.1
Justificação dos critérios de divisibilidade por 4 e 9
1. Escrevendo um número natural N na forma N = 100 × a + b , onde b é o número
formado pelos dois últimos algarismos de N , e atendendo ao facto de 100 ser múltiplo de
4 , facilmente se conclui que N é divisível por 4 se e somente se b é divisível por 4 .
De facto:


Se b é múltiplo de 4 , N é múltiplo de 4 por ser a soma de dois múltiplos de 4 .
Inversamente, se N é múltiplo de 4 , b é múltiplo de 4 por ser a diferença de
dois múltiplos de 4 .
2. Pode completar-se um pouco este critério. Efetuando a decomposição decimal de b :
b = 10b1 + b0 = (4 × 2 + 2) × b1 + b0 = (4 × 2) × b1 + (2b1 + b0)
Deduz-se, por um método análogo ao do ponto anterior, que b , e portanto N , é divisível
por 4 se e somente se 2b1 + b0 for divisível por 4 .
Um raciocínio análogo permite demonstrar os restantes critérios de divisibilidade. A título de
exemplo, apresenta-se ainda a justificação geral do critério de divisibilidade por 9
acompanhada sistematicamente de uma ilustração.
Consideremos um número natural N = an an–1 … a2 a1 composto pelos n algarismos aj na
respetiva representação decimal:
N = an an–1 … a2 a1 = an × 10n–1 + … + a3 × 102 + a2 × 101 + a1
Ilustração: N = 5637 = 5 × 103 + 6 × 102 + 3 × 101 + 7
Observando que 101 = 1 × 9 + 1 , 102 = 11 × 9 + 1 , 103 = 111 × 9 + 1 , . , e que
10n–1 = 111…11 × 9 + 1 , vem:
(n – 1 algarismos iguais a 1)
N = an × (111…11 × 9 + 1) + … + a3 × (11 × 9 + 1) + a2 × (1 × 9 + 1) + a1 =
= (an × 111…11 + … + a3 × 11 + a2 × 1 ) × 9 + (an + an–1 + … + a2 + a1)
2
TEXTO DE APOIO AO PROFESSOR
Ilustração:
5637 = 5 × 103 + 6 × 102 + 3 × 101 + 7 =
= 5 × (111 × 9 + 1) + 6 × (11 × 9 + 1) + 3 × (1 × 9 + 1) + 7 =
= (5 × 111 + 6 × 11 + 3 × 1 ) × 9 + (5 + 6 + 3 + 7)
Observando que (an × 111…11 + … + a3 × 11 + a2 × 1 ) × 9 é um múltiplo de 9 , N é
divisível por 9 se e apenas se an + … + a3 + a2 + a1 for divisível por 9 .
Ilustração:
Como (5 × 111 + 6 × 11 + 3 × 1 ) × 9 é divisível por 9 , o número 5637 é divisível por 9 se
e apenas se 5 + 6 + 3 + 7 = 21 for divisível por 9 . Neste caso, 21 não é divisível por 9 logo
5637 também não é.
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