Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Relação de divisibilidade
São muitas as formas de se exprimir uma idéia matemática usando-se palavras. Observe, por exemplo,
que as afirmações:
“a
a é múltiplo de b”,
“a
a é divisível por b” e
“b
b é divisor de a”, têm o mesmo significado
para qualquer inteiros a e b. Em linguagem matemática, a relação entre os números a e b transmitida por
essas afirmações é simbolizada por uma barra vertical.
Assim, a relação b∣a exprime que “b
b é divisor de a”, mas costuma ser lida como: b divide a.
a
Já, a negação dessa relação é simbolizada por b∤a lida como: b não divide a.
a Exemplos:
2∣40
7∣28
2∤7
7∤ 40
A barra vertical também costuma ser usadas para indicar o conectivo lógico “tal que”, que não deve ser
confundido com a relação “ser divisor de”. O contexto em que o símbolo é aplicado deve ser observado.
Alem disso, quando escrevemos uma relação de divisibilidade devemos tomar muito cuidado com a
inclinação da barra para que uma expressão como 7∣28 “sete divide vinte e oito”, por exemplo, não seja
confundida com a expressão 7/28 que indica o número racional 0,25.
Critérios de divisibilidade
Considere o número seis mil, setecentos e noventa e cinco.
Ele possui seis milhares, sete centenas, nove dezenas e cinco unidades.
6 ⋅ 1000 + 7 ⋅ 100 + 9 ⋅ 10
+ 5 ⋅ 1
= 6.795
Como lemos os números da esquerda para a direta, podemos dizer que ele termina no algarismo de
suas unidades. Por isso, dizemos que o número 6.795 termina por 5.
Há três critérios de divisibilidade que dependem apenas do último algarismo de um número inteiro:
Um número inteiro é divisível por 10 quando termina por zero,
por 5 quando termina por zero ou cinco, e
por 2 quando termina por um algarismo par: 0,
0, 2, 4, 6 ou 8.
Teorema: Dados dois números inteiros a e b temos que se um número inteiro n que é divisor tanto de a
quanto de b, então este número n também é divisor da soma a+b.
a+b
n∣a
e
n∣b
⇒
n∣(a+b)
Assim, como todo número inteiro com mais de dois algarismos é a soma de um múltiplo de 100 com o
número formado pelos seus dois últimos algarismos (exemplo: 2532 = 2500+32), pode-se verificar se este
número é múltiplo de 4 observando-se apenas os seus dois últimos algarismos, pois 4 é divisor de
qualquer múltiplo de 100.
Além disso, como todo número inteiro com mais de três algarismos é a soma de um múltiplo de 1000
com o número formado pelos seus três últimos algarismos (exemplo: 25328 = 25000+328), pode-se
verificar se este número é múltiplo de 8 observando-se apenas os seus dois últimos algarismos, pois 8 é
divisor de qualquer múltiplo de 1000.
Seguindo este padrão, podemos enunciar critérios de divisibilidade que dependem apenas dos últimos
algarismo de um número inteiro.
Um número inteiro é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4,
4,
por 8 quando seus três últimos algarismos formam um múltiplo de 8
8,,
por 16 quando seus quatro últimos algarismos formam um múltiplo de 16,
16,
por 32 quando seus cinco últimos algarismos formam um múltiplo de 16,
16,
...
por 2n quando seus n últimos algarismos formam um múltiplo de 2n .
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Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Considere um número inteiro formado por quatro algarismos indicado pela cifra mcdu.
mcdu
Ele possui m milhares, c centenas, d dezenas e u unidades. Então:
mcdu = m ⋅ 1000 + c ⋅ 100 + d ⋅ 10 + u ⋅ 1
mcdu =
1000m + 100c + 10 d + u
mcdu = 999m+m + 99c+c + 9d+d + u
mcdu = 999m + 99c + 9d + m+c+d+u
mcdu = 9⋅(111m+11c+d) + (m+c+d+u)
Sendo assim, temos que o número cifrado por mcdu pode ser escrito como a soma de um múltiplo de 9
mais a soma de seus algarismos (m+c+d+u). Como este padrão é característico de todo número inteiro
com mais de um algarismo e, o número 9 é divisível por 9 e por 3, temos que:
Um número inteiro é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for múltipla de 9,
9, e
por 3 quando a soma dos seus algarismos for múltipla de 3.
Exemplos:
5.715 é divisível por 9, pois 5+7+1+5 = 18 é divisível por 9.
456 não é divisível por 9, pois 4+5+6 = 15 não divisível por 9.
456 é divisível por 3, pois 4+5+6 = 15 é divisível por 3.
31.274 não é divisível por 3, pois 3+1+2+7+4 = 16 não é divisível por 3.
Teorema: Dado um número inteiro n, o teorema fundamental da aritmética nos garante que se existirem
a e b também inteiros tais que o produto a⋅b
b seja divisor de n, então tanto a quanto b são divisores de n:
a⋅b ∣ n
a∣ n
⇒
e
b∣n
Por exemplo: o produto entre números 4 e 6 é 24 que, por sua vez, é divisor de 72. Portanto, os
número 4 e 6 são divisores de 72. Mas, esta não é uma propriedade recíproca, uma vez que o número 36 é
múltiplo de 4 e 6, sem ser múltiplo de 24.
Os critérios de divisibilidade a seguir decorrem deste fato.
Um inteiro é divisível por 6 quando for divisível tanto por 2 quanto por 3,
por 12 quando for divisível tanto por 3 quanto por 4,
4,
por 15 quando for divisível tanto por 3 quanto por 5,
...
Considere novamente o número inteiro formado por quatro algarismos indicado pela cifra mcdu:
mcdu
mcdu =
1000m + 100c + 10 d + u
mcdu = 1001m–m + 99c+c + 11d–d + u
mcdu = 1001m + 99c + 11d – m+c–d+u
mcdu = 11⋅(91m+9c+d) – (m–c+d–u)
Sendo assim, para saber se um número inteiro é divisível por 11, basta subtrair e somar alternadamente
os algarismos desse número, na ordem em que estão, e verificar se o resultado é divisível por 11.
Exemplos:
748 é divisível por 11, pois 7–4+8 = 11 é divisível por 11.
2.543 é divisível por 11, pois 2–5+4–3 = 0 é divisível por 11.
17.493 não é divisível por 11, pois 1–7+4–9+3 = –8 não é divisível por 11.
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