Divisibilidade
Um número é divisível por outro quando sua divisão por esse número for exata.
Por exemplo: 20 : 5 = 4 logo 20 é divisível por 5.
Múltiplos de um número
Um número tem um conjunto infinito de múltiplos. Para se chegar a esses
múltiplos devemos multiplicar o número 5 por 0,1,2,3,4,5,...
5x0=0 5x1=5
5x2=10
5x3=15
5x4=20
5x5=25
Logo o conjunto dos múltiplos de 5 é { 0,5,10,15,20,25,30,... }
Conjunto dos múltiplos de 3 é { 0,3,6,9,12,15,18,... }
Veja que no conjunto dos múltiplos de um número temos o menor múltiplo que é o zero
já o maior o múltiplo não podemos identificar já que o conjunto dos números naturais é
infinito.
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando terminar em 0,2,4,6,
ou 8.
Atenção não confundir o zero como sendo um número par, o zero é um número nulo e
não um número par.
Se o zero for o ultimo algarismo de um número, ele faz com que esse número seja par.
Exemplo 20.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismo for um número divisível
por 3.
Exemplo: 5367 é divisível por 3, pois 5+3+6+7=21 e 21 é divisível por 3 como a
soma dos algarismos é um número divisível por 3 logo o número 5367 também é
divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos os dois últimos
algarismo da direita formar um número divisível por 4.
Exemplo: 23416 esse número é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos
formam o número 16 que é divisível por 4.
Exemplo: 3477804 também é divisível por 4, pois os dois últimos algarismos
formam o número 04 que é divisível por 4.
Atenção 3457800 quando o número terminar em 00 também será divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.
Exemplo: 20 e 25
Divisibilidade por 6
Um número só será divisível por 6 se ele for ao mesmo tempo divisível por 2 e
por 3.
Exemplo: 276 é divisível por 6, pois ele é divisível por 2 porque é par e é
divisível por 3 porque 2+7+6=15 que é divisível por 3
Divisibilidade por 8
È parecido com o critério da divisibilidade por 4, só que ao invés de pegar os
dois últimos algarismos pegamos os três últimos algarismos, se formar um número
divisível por 8 então esse número será divisível por 8.
Exemplo: 38288 é divisível por 8, pois 288 é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for um número
divisível por 9. É o mesmo processo da divisibilidade por 3.
Exemplo: 277263 é divisível por 9, pois 2+7+7+2+6+3=27 a soma dos
algarismos é 27 que é divisível por 9. Portanto o numero 277263 é divisível por
9.
Divisibilidade por 10
Um numero é divisível por 10 quando termina em ZERO, exemplo 250.
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos valores de
ordem impar e os de ordem par for divisível por 11. Essa ordem dos algarismos será da
direita para a esquerda.
Atenção se o resultado da subtração for zero o número também será divisível
por 11.
Exemplo: 9620237 é divisível por 11, veja :
1° algarismo 7
Soma dos algarismos de ordem impar 7 + 2 + 2 + 9 = 20
2° algarismo 3
Soma dos algarismos de ordem par 3 + 0 + 6 = 9
3° algarismo 2
Subtraindo 20 - 9 = 11, veja que o resultado é 11 como ele é
4° algarismo 0
divisível por 11 logo o número dado também é divisível por 11.
5° algarismo 2
6° algarismo 6
7° algarismo 9
Exemplo: 17248
soma dos algarismos de ordem impar 8+2+1 = 11
soma dos algarismos de ordem par 4 + 7 = 11
veja que temos 11 – 11 = 0 por isso 17248 é divisível por 11.
Números primos
Número primo é aquele que é divisível apenas por 1 por ele mesmo.
Exemplos: 2 é divisível por 1 e por 2
3 é divisível por 1 e por 3
5 é divisível por 1 e por 5
É muito importante que você saiba sem o uso de cálculos pelo menos a
seqüência alguns números primos. Como ( 2,3,5,7,11,13,17,19,23,27,...) esta seqüência
é importante que se aprenda, pois ela será utilizada na decomposição de números e no
cálculo de divisores.
Como reconhecer um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos ele pela seguência de números
primos ( 2,3,5,7,11,13,17,19,23,27,...) até obtermos uma divisão em que o quociente
seja menor ou igual ao divisor se nenhuma da divisões anteriores forem exatas, então o
número será primo.
Ex: Verificar se 1 239 é primo ou composto
Ex: Verificar se 119 é primo ou composto
Ex: Verificar se 47 é primo ou composto
Atenção: O número que não é primo é chamado de número composto.
Fatoração
Utilizamos a fatoração para decompor um número composto em fatores primos.
Exemplo : vamos fatorar o número 60
60
2
60 dividido por 2 é 30 e coloca embaixo do 60
30
2
30 dividido por 2 é 15 e coloca embaixo do 30
15
3
não posso mais dividir por 2,então 15 : 3 é 5 coloca embaixo do 5
5
5
não posso mais dividir por 3, então 5 : 5 é 1 coloca embaixo do5
1
Logo a forma fatorada de 60 é 22 x 3 x 5 veja que o 2 tem expoente 2
porque apareceu duas vezes.
Lembra da seqüência de números primos citada acima, quando vamos fazer a
fatoração de um número só podemos dividir ele por um número primo.
Se for possível vamos dividir por 2 até quando não puder mais, depois por 3, depois
por 5 e assim sucessivamente.
Exemplo: fatorar o número 90.
90
2
45
3
15
3
5
5
1
Logo a forma fatorada de 90 é 2 x 32 x 5
Divisores
Podemos determinar os divisores de um número através da fatoração do número.
Após fatorar criamos uma coluna ao lado da coluna fatorada, colocando o número 1
acima do 1º número da fatoração,depois cada número da fatoração multiplicará que está
acima dele na 2ª coluna.
Exemplo: encontrar os divisores de 20.
1
20
2
2
2x1=2 resultado ao lado dele.
10
2
4
já tem 2x1, falta 2x2=4 coloca ao lado dele.
5
5
5,10,20
fazemos 5x1=5, 5x2=10 e 5x4=20 colocamos ao lado dele
1
Logo os divisores de 20 são todos os resultados das multiplicações 1,2,4,5,10 e 20
Exemplo: Vamos agora determinar os divisores de 90
1
90
2
2
2x1=2 coloco resultado ao lado do 2.
45
3
3,6
3x1=3 e 3x2=6 coloca resultado ao lado do 3.
15
3
9,18 já tem 3x1 e 3x2 falta 3x3=9 e 3x6=18 coloca 9 e18 ao lado
5
5
5,10,15,30,45,90 todos os números multiplicados por 5
1
Logo os divisores de 90 são todos os resultados das multiplicações
1,2,3,6,9,18,5,10,15,30,45 e 90 se preferir poderá ser colocado na ordem numérica
1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45 e 90
Quantidade de divisores de um número
Podemos também utilizar a fatoração para indicar a quantidade de divisores sem
ter que escrevê-los.
Exemplo: quando fatoramos o número 90 temo a forma fatorada 21 x 32 x 51 o
expoente 1 não é necessário colocar só estou colocando afim de que você possa
visualizar melhor o que vou explicar.
Na forma fatorada temos os expoente 1, 2 e 1, vamos aumentar uma unidade em
cada expoente ficando então 2, 3 e 2 e por fim vamos multiplicá-los 2 x 3 x 2 = 12, logo
90 tem 12 divisores.
Vamos calcular o numero de divisores de 60
A forma fatorada de 60 é 22 x 3 x 5
Os expoentes são
2
1
1
Aumentado de 1 fica
3
2
2
Multiplicando
3 x 2 x 2 = 12 portanto 60 também tem 12 divisores.
Vamos calcular o numero de divisores de 20
A forma fatorada de 20 é 22 x 5
Os expoentes são
2
1
Aumentado de 1 fica
3
2
Multiplicando
3 x 2 = 6 portanto 20 tem 6 divisores.