Fundamentos de Álgebra Moderna
Profª Ana Paula
DIVISIBILIDADE EM
Divisão Exata
Definição 1: Diz-se que o número inteiro a é divisor do número inteiro b ou que o número b é divisível
por a se é possível encontrar q
tal que b aq.
Pode-se dizer também que b é múltiplo de a.
Notação: a b (a divide b) ou a b (a não divide b).
Exemplos: 3
9
Definição 2: Se a
quociente de b por a.
2
6
b e a
5
7
0, o número inteiro q tal que b
Propriedades:
1) a a, a (reflexividade)
2) Se a, b 0, a b e b a então a b.
3) Se a b e b c então a c.
4) Se a b e a c, então a
bx cy , x, y
5) Se a b e c d, então ac bd.
Obs:
1)Se a
2) Se a
b e a c então a
b então a bx, x
Exemplo: Prove que 2 2n
15n
Exercícios:
Demonstre por indução que:
1) 7
2 3n 1 , n 1
2) 8
3 2n 7 , n 0
3) 11
2 2n 1 . 3 n 2 1 , n 1
4) 7
3 2n 1 2 n 2 , n 1
5) 17
3 4n 2 2. 4 3n 1 , n 0
1
0 pois q
0
c ea
b
b
.
c .
.
1 é divisível por 9, n
1.
,0
0. q.
aq será indicado por b/a e chamado
Algoritmo Euclidiano ou Algoritmo da divisão em
Seu nome deriva do fato de Euclides o haver usado em seus Elementos para determinar o máximo
divisor comum de dois números inteiros positivos. Este algoritmo estabelece a divisão com resto.
Dados dois inteiros, a e b, com a
onde q e r são únicos. Se r
0, então sempre se pode encontrar dois inteiros q e r tais que:
b aq r em que 0 r a
0, então b é múltiplo de a.
Notação:b é dividendo, a é divisor, q é quociente, r é resto.
Divisão por 2: restos possíveis: 0 ou 1
Se r 0, o número é divisível por 2 e é chamado de número par (b
Se r 1, o número é chamado de número ímpar. (b 2q 1)
2q)
Divisão por 3: restos possíveis: 0, 1 ou 2
Se r 0, b 2q
Se r 1, b 2q 1
Se r 2 , b 2q 2
Exemplo:
1) Quais são o quociente e o resto da divisão de 97 por 6?
2) Na divisão euclidiano de 345 por a 0 o resto é 12. Determinar os possíveis valores de a (divisor)
e do quociente.
3) Seja m um inteiro cujo resto da divisão por 6 é 5. Mostre que o resto da divisão de m por 3 é 2.
2
Exercícios:
1) Sejam m e n inteiros ímpares. Prove que:
a) 4
2m 2n
b) 8
m2 n2
c) 8
m2 n2 2
2) Mostre que entre dois números pares consecutivos um deles é divisível por 4.
3) Mostre que a diferença entre os quadrados de dois inteiros consecutivos é sempre um número
ímpar. E a diferença entre os cubos de dois inteiros consecutivos?
4) Prove que:
a) Um dos inteiros a, a 2, a 4 é divisível por 3.
b) Um dos inteiros a, a 1, a 2, a 3 é divisível por 4.
5) Prove que o produto de dois números inteiros é ímpar se, e somente se, ambos os números são
ímpares.
6) Prove que, quaisquer que sejam os inteiros a e b, a expressão a b a 2 b 2 representa um
número par.
7) Na divisão euclidiana de 802 por a, o quociente é 14. Determine os valores possíveis para a e do
resto.
8) É possível encontrar dois inteiros múltiplos de 5 tais que o resto da divisão euclidiana de um pelo
outro seja 13? Justifique a sua resposta.
9) Quantos números naturais entre 1 e 1000 são divisíveis por 9? Justifique a reposta.
10) Se o resto da divisão euclidiana de um inteiro m por 8 é 5, qual é o resto da divisão de m por 4?
11) Se m é um inteiro ímpar, mostre que o resto da divisão de m 2 por 4 é 1.
12) Para cada par de inteiros a e b dado abaixo, encontrar o quociente q e o resto r satisfazendo o
algoritmo da divisão de Euclides:
a) a 59
e
b 6
b) a
71
e
b 5
c) a
48
e
b
7
d) a 67
e
b
13
13) Para n 2 e k um inteiro positivo qualquer, prove que n 1
nk 1 .
3
Critérios de divisibilidade
Os critérios de divisibilidade, no sistema de numeração decimal, são os critérios que estabelecem em
que condições o número natural N a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 a 0 a 1 10 a 2 10 2
a n 10 n é múltiplo
inteiro de 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc. em termos dos algarismos a n , a n 1, a n 2, a 1 , a 0
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
N é múltiplo inteiro de:
2
a0
4
a1a0
a0
a2a1a0
3 e 9 a soma dos dígitos a 0
11
10a 1 é múltiplo inteiro de 4
quando a 0
5
8
0, 2, 4, 6, ou 8
a0
a1
a1
a0
a2
a2
10a 1
0 ou 5
100a 2 é múltiplo inteiro de 8
a n é, respectivamente, um múltiplo inteiro de 3 e 9
1 n a n é múltiplo inteiro de 11.
Justificativas:
a) N a 0 a 1 10 a 2 10 2
a n 10 n é, respectivamente, um múltiplo inteiro de 2 e 5, quando
a 0 é um múltiplo inteiro de 2 e 5, isto é, quando a 0 0, 2, 4, 6, ou 8 ou a 0 0 ou 5, visto que a parcela
dentro do parêntesis é sempre um múltiplo de 2 e 5.
b) N a 0 a 1 10 a 2 10 2
a n 10 n é múltiplo inteiro de 4 quando a 1 a 0
de 4, visto que a parcela dentro do parêntesis é sempre um múltiplo de 4.
a n 10 n é múltiplo inteiro de 8 quando a 2 a 1 a 0
c) N a 0 a 1 10 a 2 10 2
é múltiplo de 8, visto que a parcela dentro do parêntesis é sempre um múltiplo de 8.
d) N
a0 a1 a2
a 1 10 1 a 2 10 2 1
an
um múltiplo inteiro de 3 e 9 quando a soma dos dígitos a 0 a 1 a 2
parcela dentro dos colchetes é sempre um múltiplo de 3 e 9.
e) N a 0 a 1 a 2
1 n a n 11a 1
soma alternada dos dígitos a 0 a 1 a 2
colchetes é sempre um múltiplo de 11.
an
a0
10a 1 é múltiplo
a0
10a 1
100a 2
10 n 1
é, respectivamente,
a n é múltiplo de 3 e 9, visto que a
99a 2
a n 10 n
1 n é múltiplo inteiro de 11 quando a
1 n a n é múltiplo de 11, visto que a parcela dentro dos
Desejando determinar um critério de divisibilidade por 7, por exemplo, concluirá que, o que importa,
são os restos da divisão de 1, 10, 100, , 10 n 1 , 10 n por 7 que são respectivamente
1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, pois
N
a 0 3a 1 2a 2 6a 3 4a 4 5a 5
7a 1 7 14a 2 7 142a 3 7 1428a 4 7 14285a 5
será um múltiplo inteiro de 7 quadno a 0 3a 1 2a 2 6a 3 4a 4 5a 5
for um múltiplo de 7, visto que a
parcela dentro dos colchetes é um múltiplo de 7.
De modo geral, a idéia do critério de divisibilidade no sistema de numeração decimal pelo número
natural não nulo p é a seguinte:
a n 10 n
pq 0 r 0 a 0 pq 1 r 1 a 1 pq 2 r 2 a 2
pq n r n a n
N a 0 a 1 10 a 2 10 2
rnan p q0a0 q1a1 q2a2
qnan
r0a0 r1a1 r2a2
4
onde q 0 e r 0 , q 1 e r 1 , , q n e r n, indicam, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de
1, 10, 100, , 10 n por p - será um múltiplo inteiro de p quando r 0 a 0 r 1 a 1 r 2 a 2
r n a n for múltiplo de p,
visto que a última parcela é sempre um múltiplo de p.
Critério geral: N a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 será um múltiplo inteiro de p
r0a0 r1a1 r2a2
r n a n for múltiplo inteiro de p.
0 quando e somente quando
Este critério pode ser aplicado em outro sistema de numeração.
Exemplo:
A divisibilidade por 7 no sistema de numeração com base 8: Sendo os restos da divisão de
1, 8, 8 2 , 8 3 , 8 n por 7 sempre 1, em base 8, que se
N
a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 8 a 0 8a 1
8n 1an 1 8nan
onde a n , a n 1, a n 2, a 1 , a 0
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 será múltiplo de 7 8 se, e somente se, a soma de seus
a n é múltiplo inteiro de 7.
algarismos for divisível por 7, isto é, se e só se, a 0 a 1 a 2
Tabela de Divisibilidade no sistema de numeração decimal de N a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 por:
a 0 é múltiplo inteiro de 2, a 0
2
3
a0
a1
0, 2, 4, 6, ou 8
a n é múltiplo inteiro de 3
a2
4
a 1 a 0 ou a 0
5
a 0 é múltiplo inteiro de 5, a 0
6
7
a0
a0
4a 1
4a 2
3a 1
2a 2
6a 3
4a n ou a 0
a 2 a 1 a 0 ou a 0
9
a0
a1
2a n é múltiplo inteiro de 6
2a 2
3a 1
2a 1
0 ou 5
2a 2
a3
3a 4
a0
a1
a n é um múltiplo inteiro de 9
a2
12
a0
10a 1
9a 2
n
10a 1
4a 2
4a n ou a 0
1 a n ou a 0
a2
10a 1
12a 3
3a 4
4a 5
é múltiplo inteiro de 7
4a 2 é múltiplo inteiro de 8
a 0 é múltiplo inteiro de 10, isto é, a 0
10
13 a 0
2a 1
ou a 0
4a 4
8
11
2a 1 é múltiplo inteiro de 4
ou a 0
a2
10a 3
2a 1
4a 2
3a 1
4a 2
0.
1 ou 10 a n é múltiplo inteiro de 11.
4a n é múltiplo inteiro de 12
a3
3a 4
4a 5
é múltiplo inteiro de 13
OBS: Os critérios de 7 e 13 são tão trabalhosos de recordar e de aplicar que é melhor efetuar a
divisão.
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