Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 3, Setembro, 1999
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Termodin^amica do Modelo de Hubbard de Dois A tomos
(Thermodynamics of the Two-Atom Hubbard Model)
Marcelo A. Mac^edo e Claudio A. Mac^edo
Departamento de Fsica, Universidade Federal de Sergipe 49100-00 - S~ao Cristov~ao, SE, Brasil
E-mail: [email protected]
Recebido em 16 de junho, 1998
Um sistema magnetico composto de dois stios at^omicos e dois eletrons e estudado sob a otica do
modelo de Hubbard. Os autovalores de energia s~ao obtidos por diagonalizac~ao algebrica exata do hamiltoniano do modelo. As funco~es termodin^amicas calor especco, entropia, energia interna, magnetizac~ao e susceptibilidade magnetica s~ao determinadas a partir do calculo da func~ao de partic~ao
dependente de um campo magnetico externo h utilizando o metodo do ensemble can^onico. O sistema, representado no formalismo da segunda quantizac~ao, apresenta uma estrutura conceitual e
matematica acessvel a alunos cursando o ultimo ano de graduac~ao, e os resultados mostram uma
grande riqueza de fen^omenos fsicos com detalhes que viabilizam o aprofundamento da compreens~ao
dos mecanismos qu^anticos envolvidos nas propriedades termodin^amicas e dos metodos empregados
para obt^e-las.
A system composed of two atomic sites and two electrons is studied under the optics of the Hubbard model. The energy eigenvalues are obtained from the exact algebraic diagonalization of the
Hamiltonian model. The thermodynamic functions specic heat, entropy, internal energy, magnetization, and magnetic susceptibility are determined from of the calculation of the partition function
dependent of an external magnetic eld h utilizing the canonical ensemble method. The system, represented in the second quantization formalism, presents a conceptual and mathematical structure
accessible to students of the last year of under-graduate course, and the results show a rich variety
of physics phenomena with details that make feasible a deeper comprehension of the quantum mechanisms involved in the thermodynamics properties and of the methods employed to obtain such
properties.
I Introduc~ao
No ensino de mec^anica estatstica raramente empregase modelos de sistemas magneticos no formalismo de
segunda quantizac~ao. As raz~oes principais para isso
s~ao as diculdades matematicas e conceituais envolvidas com o formalismo.
Neste trabalho, resolve-se o problema do calculo das
propriedades termodin^amicas de um sistema magnetico
de dois stios at^omicos, com dois eletrons, submetido
a um campo magnetico estatico e uniforme, sob a
din^amica do modelo de Hubbard [1,2], utilizando o
metodo do ensemble can^onico. Trata-se de um sistema
com soluc~ao algebrica exata e uma estrutura conceitual
e matematica acessvel a alunos cursando o ultimo ano
de graduac~ao [3].
Os resultados mostram uma grande riqueza de
fen^omenos fsicos, com as propriedades das grandezas
estudadas expressando detalhes que permitem o aprofundamento do aprendizado dos conceitos de diversas
func~oes termodin^amicas e de metodos da mec^anica estatstica.
O modelo de Hubbard para dois stios, o calculo
algebrico das autoenergias e a analise do estado fundamental do sistema s~ao apresentados na sec~ao II. A sec~ao
III e dedicada a determinac~ao e analise das func~oes
termodin^amicas calor especco, entropia, energia interna, magnetizac~ao e susceptibilidade magnetica. As
conclus~oes s~ao expressas na sec~ao IV.
II
O modelo e o espectro de
energias
O modelo de Hubbard [1,2], em sua vers~ao mais simples, descreve os efeitos de correlac~ao dos eletrons em
uma rede cristalina considerando-se uma banda s como
hipoteticamente estreita. O hamiltoniano do modelo
consiste de duas partes essenciais: o termo que expressa
a din^amica eletr^onica interstios (\hopping"), caracte-
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de dois stios at^omicos, a e b, submetido a um campo
magnetico estatico e uniforme na direc~ao z (H Z ), podemos escrever o hamiltoniano como
rizado pela integral de transfer^encia eletr^onica entre
stios vizinhos t, e o termo de repuls~ao coulombiana intrastio, representado pela energia U . Para um sistema
c
H = ,t
X y
X
(a b + by a ) + U (na" na# + nb" nb#) , h (na + nb );
(1)
d
onde, ay (by ) e a (b ) s~ao operadores de criac~ao e destruic~ao de eletrons [4], respectivamente, do stio a(b);
e o ndice do spin (+1, -1 ou ", #), na = ay a (nb =
by b ) e o operador numero para eletrons no stio a (b),
e h = B H Z .
Devido ao princpio de exclus~ao de Pauli, dois
eletrons de mesmo spin n~ao podem ocupar um mesmo
stio. Assim, um sistema de dois stios com dois eletrons
apresenta seis possveis conguraco~es de spins, conforme est~ao apresentadas na Tabela I.
Na Tabela I e no que segue abaixo s~ao apresentados os vetores de estado jA >; :::; jF >, correspondentes as congurac~oes de spins em termos do estado
vazio (vacuo), j0 >, denido tal que um operador de
criac~ao agindo sobre j0 > cria um eletron nesse stio
[(ay j0 >= j1 >); (by j0 >= j1 >)]; e um operador de
destruic~ao agindo sobre o estado vazio destroi o estado
[(a j0 >= 0); (b j0 >= 0)]:
(a) Estados com Sz = Denindo
Considerando os valores de S no que segue, os estados do sistema s~ao separados em dois grupos, S z = e S z = 0:
z
j1 i = jAi e j2i = B i;
(2)
e aplicando o operador hamiltoniano, encontra-se
c
H j1;2i = ,t
X y y y
X
a b a b j0i , t by a ay by j0i
0
0
0
0
+ Uay"a" ay# a# ay by j0i + Uby"b" by# b# ay by j0i
X
X
+ h ay a ay by j0i , h by b ay by j0i:
0
0
0
0
0
0
0
0
(3)
Utilizando as relac~oes de anticomutac~ao para fermions [4] o primeiro termo do lado esquerdo da Eq. (3) fornece
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,t
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X y y y
X
a b a b j0i = t ay ay by by j0i =
X
X
= t ay ay ( , by b )j0i = t ay ay j0i = tay ay j0i = 0 :
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Com procedimento analogo encontra-se facilmente que o segundo, o terceiro e o quarto termo da Eq. (3) tambem
s~ao nulos, e que o quinto e o sexto termo fornecem
X
X
,h 0ay a ay by j0i , h 0 by b ay by j0i = ,2hay by j0i :
0
0
0
0
0
0
d
Assim,
H j1i = ,2hj1 i e H j2i = 2hj2i
(4)
e desse modo, as autoenergias para os estados com
S z = s~ao E1 = ,2h e E2 = 2h:
A energia do estado fundamental com campo
magnetico nulo e E6 como pode ser visto facilmente
atraves das curvas da Fig. 1.
(b) Estados com S z = 0
Denindo
j3 i = p1 (jC i , jDi)
2
j4i = p1 (jE i , jF i)
2
j5 i = p1 (jC i + jDi)
2
j6 i = p1 (jE i + jF i);
2
(5)
0
0
encontra-se
H j3 i
H j4 i
H j5 i
H j6 i
0
0
=
=
=
=
Figura 1. Autoenergias em func~ao de U para h = 0.
0
U j4i
,2tj6 i
,2tj5 i + U j6 i:
(6)
0
0
0
Os estados j3i e j4 i t^em autoenergias, respectivamente, E3 = 0 e E4 = U: As demais autoenergias
s~ao determinadas pela soluc~ao do sistema determinado
a partir das relac~oes para j5 i e j6 i em (6):
0
0
,E ,2t
2
2
,2t U , E = E , EU , 4t = 0;
que tem soluc~oes dadas por
(7)
p 2
p 2
2
2
E5 = U + U2 + 16t e:E6 = U , U2 + 16t : (8)
Com um campo magnetico aplicado, o estado que
corresponde a E1 passa a competir com o de E6, e o
estado fundamental ca duplamente degenerado para
valores de h que tornam E1 = E6. Estes valores, denotados por hc e referidos neste trabalho por campos
crticos, s~ao determinados a partir de
p
hc = , 41 (U , U 2 + 16t2):
(9)
A Fig. 2 mostra a competica~o entre os estados
correspondentes a E1 e E6 para o caso particular de
U=t = 0; 5: Para campos menores do que hc a energia do estado fundamental e E6 e para campos maiores
do que hc e E1. Para h = hc o estado fundamental e
duplamente degenerado.
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III As func~oes termodin^amicas
A func~ao de partic~ao e dada por
c
6
X
^
,
H
Z = Tre = e,Ei = 1 + 2cosh(2h) + 2e,U=2 cosh 1 (U 2 + 16t2)1=2 + eU ;
2
i=1
(10)
d
sendo = 1=kB T:
Atraves da func~ao de partic~ao pode-se determinar
diretamente as func~oes termodin^amicas calor especco,
entropia, energia interna, magnetizac~ao e susceptibili-
dade magnetica.
Calor especco
A capacidade calorca e dada por
c
" 2
@Z 2 #
2
1
@
h
H
i
2 @ ln Z
2 1 @ Z
C = @T = kB @ 2 = kB Z @ 2 , Z 2 @ :
(11)
d
Figura 2.
E1
e E6 em func~ao do campo magnetico h para
U=t = 0; 5. hc =t = 0; 883:
A Fig. 3 mostra o calor especco (C =2kB ) em
func~ao da temperatura e do campo magnetico aplicado
para varios valores de U . O numero 2 que aparece dividindo o valor de C , corresponde ao numero de stios,
e aparecera tambem em outras grandezas.
Para h = 0 e U=t < 4, as curvas do calor especco
apresentam um pico e para U=t 4 dois picos. O
primeiro pico, que ocorre em baixas temperaturas, e
devido ao ordenamento antiparalelo e o segundo pico,
que surge em altas temperaturas, e devido a transic~ao
gradual metal-isolante. [5]
Quando e aplicado o campo magnetico os spins dos
eletrons tendem a se alinhar com o campo (direc~ao z ).
Este alinhamento quebra o ordenamento antiparalelo.
No caso de U=t < 4, a quebra do ordenamento antiparalelo e vista como uma diminuic~ao do pico (Fig. 3(a))
ate surgir um segundo pico (o menor deles) provocado
pelo campo magnetico. Ao se atingir o campo crtico,
em que os dois picos se sobrep~oem, ocorre a transic~ao
de ordenamento antiparalelo para paralelo, que vai diminuindo com o crescimento do campo, ate restar um
unico pico (ordenamento paralelo). Com o aumento
do campo magnetico, este pico comecara a crescer e se
formara em regi~oes de temperaturas mais altas. Para
U=t 4, o fen^omeno fsico descrito acima ocorre, so
que se tem tambem a presenca do pico correspondente
a transic~ao gradual metal-isolante (Figs. 3(b) e 3(c))
que desaparecera com campos acima do crtico.
Entropia
A entropia pode ser determinada de
@Z
@F
(12)
S = , @T = kB ln Z , Z @ ;
em que F = ,k0T ln Z e a energia livre de Helmholtz.
A Fig. 4 mostra o comportamento da entropia em
func~ao da temperatura para U=t = 0,5 e varios valores
de h. Pode-se observar que a entropia comeca com o
valor zero tanto para h menores do que hc quanto para
h maiores do que hc (hc =t = 0; 883) ou comeca com o
valor kln2 para h = hc , em T = 0, e tende para kln6
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em altas temperaturas. A raz~ao para isso e que o estado
fundamental do sistema e n~ao-degenerado para h 6= hc
e, como consequ^encia, S (T = 0) = kln1 = 0: Para
h = hc o estado fundamental e duplamente degenerado e, portanto, S (T = 0) = kln2. Com o aumento
da temperatura, o efeito da energia termica torna paulatinamente desprezveis as diferencas de energias dos
demais autoestados em relaca~o a energia do estado fundamental independentemente do valor do campo h. A
consequ^encia disso e uma elevaca~o sistematica da entropia com o aumento da temperatura, conduzindo no
limite de altas temperaturas a uma competica~o entre todos os seis estados do sistema e, portanto, a
S (T ! 1) = kln6:
Figura 4. Entropia em func~ao da temperatura para U=t =
0; 5: hc =t = 0; 883. Os numeros que identicam as curvas
s~ao os valores de h=t.
Energia interna
A energia interna e denida como
,H
E = hH i = TrHe
Z
Figura 3. Calor especco em func~ao da temperatura. (a)
U=t = 0; 5; hc =t = 0; 883: (b) U=t = 4; hc =t = 0; 414: (c)
U=t = 9; hc =t = 0; 212: Os n
umeros que identicam as curvas s~ao os valores de h=t.
1 @Z
= , @lnZ
@ = , Z @ : (13)
Os gracos da Fig. 5 mostram a energia interna
em func~ao da temperatura para alguns valores de U e
h. Eles indicam que com o aumento de U , para campo
nulo, ocorre um aumento da energia interna, o que e facilmente entendido considerando-se que o termo de repuls~ao coulombiana e positivo no hamiltoniano do modelo. Entretanto, quando o campo magnetico e aplicado, a energia interna cai porque a contribuic~ao do
termo devido ao campo magnetico para o hamiltoniano
do modelo tem o sinal negativo.
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crtico comeca em zero para T = 0 pois o estado fundamental dene o ordenamento antiparalelo dos spins
(S z = 0), e forma um pico que logo cai com aumento
da temperatura. Este pico e devido a competic~ao entre os efeitos do campo magnetico que tende a alinhar
o sistema e da temperatura que tende a destruir este
alinhamento.
Figura 6. Magnetizac~ao em func~ao da temperatura para
U=t = 0; 5: hc =t = 0; 883: Os n
umeros que identicam as
curvas s~ao os valores de h=t.
Figura 5. Energia interna em funca~o da temperatura. (a)
U=t = 0; 5: (b) U=t = 5: Os n
umeros que identicam as
curvas s~ao os valores de h=t.
Magnetizac~ao
A magnetizac~ao na direc~ao z e denida como
B @Z
Mz = ,B h @H
(14)
@h i = Z @h :
A Fig. 6 apresenta os gracos da magnetizac~ao na
direc~ao z em func~ao da temperatura para U=t = 0; 5 e
varios valores de h. A magnetizac~ao abaixo do campo
Quando o campo crtico e alcancado, independentemente do valor de U , a magnetizaca~o a baixas temperaturas sobe para um valor em torno de 0,5 porque ocorre
uma degeneresc^encia no estado fundamental entre estados de ordenamento paralelo (S z = 1) e de ordenamento
antiparalelo (S z = 0). Depois, a magnetizaca~o comeca
a cair com o aumento da temperatura. Para campos
acima do crtico, o sistema atinge o valor maximo de
magnetizac~ao (S z = 1) para baixas temperaturas (dois
eletrons alinhados) e esse valor decresce com o aumento
da temperatura pois esta tende a destruir o alinhamento
em raz~ao da competic~ao com os demais estados provocada pela excitaca~o termica.
Susceptibilidade magnetica
A susceptibilidade magnetica e denida por
z
zz = B @M
@h jh!0 :
Utilizando a Eq. (14), encontra-se que
(15)
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,1
1
,
U=
2
2
2
1
=
2
,
U
zz = 8B 3 + 2e
cosh (U + 16t ) + e
:
2
2
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(16)
d
O graco da susceptibilidade magnetica representado na Fig. 7 exibe os dois picos que aparecem no calor especco. Em temperaturas baixas o pico do calor
especco corresponde ao maximo da susceptibilidade.
Na regi~ao de temperaturas altas, em que se encontra o
segundo pico do calor especco, ha uma mudanca gradual da constante de Curie. Observa-se tambem que
quanto maior for U , maior sera o pico da susceptibilidade devido ao fato de que o sistema se torna mais
localizado [5].
lismo de segunda quantizac~ao e do metodo do ensemble
can^onico da mec^anica estatstica qu^antica. Alem disso,
o material apresentado viabiliza o aprofundamento da
compreens~ao dos mecanismos qu^anticos envolvidos nas
propriedades termodin^amicas do sistema tratado.
Deve ser destacado, tambem, que o estudo algebrico
exato de modelos aplicados a pequenos sistemas
at^omicos (\clusters") e considerado um laboratorio
do fsico teorico, tendo em vista a potencialidade do
metodo da infer^encia para a busca de soluc~oes exatas
de sistemas \innitos" e a possibilidade de validac~ao de
teorias aproximadas desses mesmos sistemas [6].
Agradecimentos
Os autores agradecem a Andre M. C. de Souza e
Mario E. de Souza por uteis discuss~oes, e ao CNPq
pelo apoio nanceiro.
References
Figura 7. Susceptibilidade magnetica em func~ao da temperatura. Os numeros que identicam as curvas s~ao os valores
de U=t.
IV Conclus~oes
O calculo algebrico exato do espectro de autoenergias
e de diversas func~oes termodin^amicas do modelo de
Hubbard aplicado a um sistema de dois stios at^omicos
submetido a um campo magnetico estatico e uniforme,
apresentado neste trabalho, constitui-se como um poderoso material didatico para o aprendizado do forma-
[1] J. Hubbard, J. Electron Correlations in Narrow Energy
Bands. Proc. Roy. Soc. A, 276, 238 (1963).
[2] E.H. Lieb, The Hubbard Model: Some Rigorous Results
and Open Problems. In Proceedings of the Conference
on Advances in Dynamical Systems and Quantum Physics: On the Occasion of the 60th Birthday of Gianfausto Dell'Antonio. Singapura, World Scientic, 1995,
faz uma resenha sobre os resultados do modelo de Hubbard.
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Worth, Saunders College, 1976, discute o estado fundamental do sistema objeto deste trabalho, com campo
magnetico nulo.
[4] R.M. White, Quantum Theory of Magnetism. Berlim,
Spring-Verlag, 1983.
[5] H. Shiba, & P.A. Pincus, Thermodynamic Properties
of the One-Dimensional Half-Filled-Band Hubbard Model. Phys. Rev. B, 5(5): 1966 (1972).
[6] J. Callaway, Cluster Simulation of Itinerant Magnetism. Physica B, 149, 17 (1988).