Curvas de Energia Potencial
Consideremos o sistema formado por duas partículas, A e B, cujos movimentos
estão limitados à mesma linha reta, o eixo x do referencial. Além disso, vamos
considerar que o referencial foi escolhido de modo que a origem está fixa na partícula
A. Então, apenas a partícula B pode estar em movimento. A energia potencial desse
sistema é uma função da coordenada x, que representa a posição da partícula B no
referencial considerado ou, também, a distância relativa entre as partículas.
Se as partículas A e B são os átomos que formam uma molécula diatômica, a
energia potencial do sistema pode ser expressa pela seguinte função:
U( x ) =
a
b
− 6
12
x
x
em que a e b são constantes positivas (Fig.11).
Pela terceira lei de Newton, a partícula B faz uma força F na partícula A e a
partícula A faz uma força − F na partícula B. As forças atuam ao longo da linha que
passa pelas partículas, ou seja, ao longo do eixo x, e têm o mesmo módulo F, mas
sentidos contrários.
Por definição, a variação da energia potencial é dada por:
∆U = − W = − F∆x
de modo que podemos escrever:
F=−
∆U
∆x
Esta expressão mostra que o módulo e o sentido da força que atua sobre a
partícula B são dados, para cada valor de x, pela declividade da reta tangente à curva
no ponto correspondente, com o sinal negativo. Assim, analisando a curva de energia
potencial, isto é, o gráfico da energia potencial do sistema em função da coordenada
de posição da partícula B, podemos determinar as distâncias relativas para as quais
as partículas se atraem ou se repelem, se crescem ou decrescem os módulos das
forças que uma exerce sobre a outra quando elas se afastam ou se aproximam, e
assim por diante.
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Vamos voltar ao exemplo da molécula diatômica. Se o átomo B está na posição
x1, temos F1 < 0, uma vez que ∆U e ∆x são, ambos, positivos. Desta forma, a força que
atua sobre ele tem sentido oposto ao do eixo x, indicando que a interação entre os
átomos é atrativa. Na verdade, qualquer que seja a posição x ocupada pelo átomo B,
com x > x0, a força que atua sobre ele tem sentido oposto ao do eixo x, indicando que
a interação entre os átomos é atrativa. Se o átomo B está numa posição qualquer x,
com x < x0, temos F > 0, uma vez que ∆U é positivo e ∆x é negativo. Assim, a força
exercida sobre ele tem sentido igual ao do eixo x, indicando que a interação entre os
átomos é de repulsão.
Por outro lado, se o átomo B está numa posição x, com x >> x0, a força que
atua sobre ele tem sentido contrário ao do eixo x (caráter atrativo) e módulo muito
pequeno. Se o átomo B se aproxima do átomo A, isto é, se x diminui, o módulo da
força que atua sobre ele aumenta até um valor máximo e depois diminui, alcançando o
valor zero quando x = x0. Se x continua diminuindo, a força que atua sobre o átomo B
fica com sentido igual ao do eixo x (caráter de repulsão) e seu módulo cresce muito
rapidamente, de modo que, a partir de uma distância não muito grande de x0, fica
praticamente impossível aproximar ainda mais o átomo B do átomo A.
Estados Ligados
Vamos supor que a energia total da molécula em questão é E1, com E1 < 0
(Fig.12). Pelo principio de conservação da energia:
E1 = K + U = constante
em que U representa a energia potencial da molécula e K, a energia cinética do átomo
B no referencial adotado.
Como a energia cinética não pode ser negativa, o átomo B só pode ocupar
posições para as quais a correspondente energia potencial da molécula não seja
maior do que sua energia total. Por isso, x1, a posição em que o átomo B está mais
próximo do átomo A, e x2, a posição em que o átomo B está mais afastado do átomo
A, devem ser soluções da equação:
E1 = U( x )
Assim, para encontrar graficamente as posições x1 e x2 em função da energia
total da molécula, traçamos, paralelamente ao eixo x, uma reta que passa por E1. Essa
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reta corta a curva da energia potencial nos pontos correspondentes às posições
procuradas.
Do que foi discutido acima, concluímos que o átomo B pode estar em qualquer
posição x, desde que x1 < x < x2. Além disso, quando o átomo B está em x1 ou em x2,
ele está em repouso porque sua energia cinética é zero, uma vez que a energia
potencial e a energia total da molécula são iguais.
Se o átomo B está em uma posição qualquer entre x1 e x0, atua, sobre ele, uma
força de mesmo sentido que o do eixo x, indicando que a interação entre os átomos é
de repulsão. Se o átomo B está em uma posição qualquer entre x0 e x2, atua, sobre
ele, uma força de sentido contrário ao do eixo x, indicando que a interação entre os
átomos é de atração. Se o átomo B está na posição x0, não há qualquer força atuando
sobre ele, sua energia cinética é máxima e a energia potencial da molécula é mínima.
Quando o átomo B está na posição x0, a molécula está em equilíbrio. Como aparece,
sobre o átomo B, uma força com sentido contrário ao do eixo x se ele se move para
uma posição entre x0 e x2 e uma força com o mesmo sentido que o do eixo x se ele se
move para uma posição entre x0 e x1, quando ele se encontra exatamente na posição
x0, a molécula está num estado de equilíbrio estável. Além disso, o átomo B oscila
periodicamente ao redor da posição x0, indo e voltando entre as posições x1 e x2. Se x0
é o ponto médio entre x1 e x2, então x0 representa a distância de separação média
entre os átomos da molécula.
Se a molécula absorve energia do meio externo, de modo que sua energia total
aumenta de E1 para E2, o átomo B passa a oscilar periodicamente entre as posições
x’1 e x’2. Como x’1 está um pouco à esquerda de x1 e x’2 está um pouco à direita de x2,
a amplitude das oscilações, agora, é maior. Por outro lado, devido à forma assimétrica
da curva da energia potencial, o ponto médio entre x’1 e x’2 está um pouco à direita de
x0. Isto significa que a distância de separação média entre os átomos da molécula
ficou um pouco maior. É importante observar que os dois fenômenos, o aumento da
amplitude das oscilações e o aumento da distância de separação média entre os
átomos, são independentes. Se a curva da energia potencial fosse uma parábola, o
primeiro fenômeno ocorreria, mas não o segundo. O segundo fenômeno está ligado à
dilatação térmica.
Se a energia total da molécula é E2, os átomos estão menos ligados um ao
outro em comparação com o caso em que a energia total da molécula é E1. Dizemos,
então, que a molécula está num estado de excitação mais alto.
Se a energia total da molécula é E = Umin, os átomos estão em repouso, o
átomo A na origem do referencial e o átomo B, em x0. Nesse caso, o átomo B não
oscila. De qualquer modo, se esta é a situação, conhecemos exata e simultaneamente
a posição e a velocidade de cada átomo que forma a molécula. Na Física Clássica,
esse é o estado de menor energia para a molécula. Na Física Quântica, o princípio de
incerteza de Heisenberg estabelece a impossibilidade de determinar, simultaneamente
e com precisão arbitrária, a posição e a velocidade de qualquer partícula. Assim, a
condição E = Umin não pode ser alcançada e, no estado de menor energia, o átomo B
deve oscilar com uma amplitude pequena, mas não nula. Em outras palavras, no
estado de menor energia, a molécula tem uma energia total não nula. Essa energia é
chamada de energia de ponto zero. Por isso, nem quando a temperatura de um corpo
qualquer atinge o zero absoluto, seus átomos deixam de oscilar.
A energia requerida para fazer com que os átomos da molécula, estando
separados de uma distância x0, passem a ter uma separação infinita, é:
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E = U( ∞ ) − U( x 0 ) = − Umin
Esta energia é chamada de energia de dissociação da molécula.
Espalhamento
Vamos considerar, agora, a situação em que o sistema constituído pelos dois
átomos tem uma energia E3 > 0 (Fig.13). Se o átomo B está a uma distância infinita do
átomo A, a energia total do sistema é apenas a energia cinética do átomo B:
E3 = K
Se o átomo B se move em direção ao átomo A, com o passar do tempo diminui
a distância relativa entre eles, a energia potencial do sistema deixa de ser zero,
tornando-se cada vez mais negativa. Como E3, a energia total do sistema, é constante,
a energia cinética do átomo B cresce e cresce o módulo da sua velocidade. A energia
cinética e o módulo da velocidade do átomo B continuam crescendo enquanto
perdurar a diminuição da energia potencial do sistema, isto é, até que o átomo B
alcance a posição x0. O átomo B passa pela posição x0 com máxima energia cinética
e, portanto, com velocidade de módulo máximo. Dali por diante, isto é, com a posterior
diminuição da distância relativa entre os átomos, a energia potencial do sistema
começa a crescer e a energia cinética e o módulo da velocidade do átomo B começam
a diminuir. Essa tendência perdura até que o átomo B alcance a posição x3, quando,
então:
E 3 = U( x 3 )
e
K=0
O átomo B atinge o repouso na posição x3, mas permanece nesta posição
apenas um instante. A partir desse instante, ele passa a se movimentar no mesmo
sentido que o do eixo x e o processo se repete de modo inverso: ele se afasta do
átomo A com energia cinética crescente e, portanto, com velocidade de módulo
crescente, passa pela posição x0 com máxima energia cinética e com velocidade de
módulo máximo e, a partir dessa posição, continua com energia cinética decrescente e
velocidade de módulo também decrescente. De qualquer modo, o átomo B se afasta
do átomo A para sempre.
Como a energia total do sistema formado pelos dois átomos é positiva e se
conserva, o processo como um todo não passou de uma colisão. Contudo, se o
sistema emite radiação eletromagnética durante a aproximação dos átomos, perdendo
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tanta energia que sua energia total fica menor do que zero, os átomos podem formar
uma molécula.
Tunelamento Quântico
Consideremos novamente um sistema formado por dois átomos, A e B, cujos
movimentos estão limitados à mesma linha reta, o eixo x do referencial. Além disso,
vamos considerar que o referencial foi escolhido de modo que a origem está fixa no
átomo A. Então, apenas o átomo B pode estar em movimento.
Agora, a energia potencial do sistema tem mínimo e máximo (Fig.14). Como já
discutimos, se o átomo B ocupa a posição correspondente ao mínimo da curva de
energia potencial, o sistema está num estado de equilíbrio estável. Contudo, se o
átomo B ocupa a posição correspondente ao máximo da curva de energia potencial, o
sistema está num estado de equilíbrio instável.
Se a energia total do sistema é E, o átomo B pode estar entre x1 e x2 ou entre
x3 e ∞. Como já discutimos acima, no primeiro caso, os átomos formam um sistema
ligado (uma molécula) e o átomo B oscila entre x1 e x2. No segundo caso, ou o átomo
B se afasta do átomo A, movendo-se para longe da posição x3, ou ele primeiro se
aproxima de x3 com velocidade de módulo decrescente, pára nessa posição por um
instante apenas e depois se afasta, em direção ao infinito, com velocidade de módulo
crescente.
O átomo B não pode estar em qualquer uma das posições entre 0 e x1 ou entre
x2 e x3 porque, nestas posições, a energia potencial do sistema seria maior do que a
sua energia total, ou seja, a energia cinética do átomo B seria negativa, o que é uma
impossibilidade física. Dizemos que estas posições são proibidas.
Assim, para a Física Clássica, se o sistema tem energia total E e os átomos
estão num estado ligado, eles permanecerão assim para sempre, desde que a energia
total não mude. Para a Física Quântica, mesmo que a energia total não mude, existe
uma certa probabilidade de que o átomo B passe a existir na região x > x3. O estado
do sistema passa, então, do estado em que os átomos estão ligados um ao outro a um
estado em que eles se afastam para sempre. Esse fenômeno é conhecido como
tunelamento quântico e explica a emissão de partículas alfa por núcleos atômicos de
grande massa.
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