Matemática e suas
Tecnologias
Matemática
Prof.: João Mendes
18
nº
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO (II)
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS
(OUTRAS BASES)
Como foi visto no sistema de numeração decimal,
em um sistema posicional, escolhe-se um número b para
ser a base de contagem e utilizam-se b símbolos básicos
para representar os números 0, 1, 2, 3, ..., b -1. Já para
representar os números maiores ou iguais a b, utilizam-se
combinações desses símbolos básicos, onde da direita para
a esquerda estão indicando as quantidades de potências de
b0, b1, b2, b3,..., respectivamente, a serem somadas. Assim,
por exemplo, podemos considerar o numeral 4203 como
um número expresso em qualquer base de contagem maior
que 4. Para deixar claro de que base de contagem se trata,
escreve-se o numeral entre parênteses, associado a um
índice indicando a base. Veja:
(4203)5 (lê-se: 4, 2, 0, 3, na base 5);
(4203)6 (lê-se 4, 2, 0, 3, na base 6);
(4203)10 ou simplesmente 4203 (lê-se: quatro mil,
duzentos e três unidades).
No sistema decimal, os dois primeiros numerais
equivalem a:
(4203)5 = 4 · 53 + 2 · 52 + 0 · 51 + 3 · 50 = 553
(4203)6 = 4 · 63 + 2 · 62 + 0 · 61 + 3 · 60 = 939
Quando a base de contagem do sistema é o número
dois, dizemos que o sistema é binário e utilizamos apenas
dois algarismos: 0 (zero, indicando a ausência da respectiva
potência de base 2) e 1 (um, indicando a presença da
respectiva potência de base 2).
Veja outros exemplos com os respectivos
correspondentes no sistema decimal:
a) (100111)2 = 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 +1 · 20
= 32 + 4 + 2 + 1
= 39
∴ (100111)2 = 39
b) (10001)2 = 1 · 24 + 1 · 20
= 16 + 1
= 17
∴(10001)2 = 17
“
Quando
a base de
contagem
do sistema
é o número
dois,
dizemos que
o sistema é
binário
”
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c) (2210)3 = 2 · 33 + 2 · 32 + 1 · 31 + 0 · 30
= 54 + 18 + 3
= 75
∴ (2210)3 = 75
No sistema de numeração posicional de base 11, utilizam-se 11 símbolos, que podem ser os mesmos símbolos do
sistema decimal (0, 1, 2, 3, ..., 9) e mais um outro símbolo para representar o número 10. Se, por exemplo, escolhe-se 10 =
D, temos os seguintes numerais com os respectivos correspondentes no sistema indo-arábico (decimal):
a) (3DD)11 = 3 · 112 + 10 · 111 + 10 · 110
= 363 + 110 + 10
= 483
∴(3DD)11 = 483
b) (20D9)11 = 2 · 113 + 10 · 111 + 9 · 110
= 2662 + 110 + 9
= 2781
∴(20D9)11 = 2781
Já no sistema de base doze, devemos escolher um símbolo para representar o número 10 e outro para representar o número
11. Se, em um sistema de numeração posicional de base 12, considerarmos os mesmos símbolos do sistema decimal e mais D =
10 e E = 11, podemos dizer que:
a) (1DE)12 = 1 · 122 + 10 · 121 + 11 · 120
= 144 + 120 + 11
= 275
∴(1DE)12 = 275
b) (ED0E)12 = 11 · 123 + 10 · 122 + 11 · 120
= 19008 + 1440 + 11
= 20459
∴(ED0E)12 = 20459
De modo geral, o número (anan – 1 ... a2a1a0)b, escrito na base b, pode ser escrito na base 10 assim:
(anan – 1 ... a2a1a0)b = an · bn + an – 1 . bn – 1 + ... + a2 · b2 + a1 · b1 + a0, onde os algarismos aí podem tomar apenas os valores
0, 1, 2, ... ; b – 1.
Por exemplo:
(2011)3 = 2 · 33 + 0 · 32 + 1 · 31 + 1 = 58, onde se tem:
3 · (2 · 32 + 0 · 31 + 1) + 1 = 58, isto é:
19
3 . 19 + 1 = 58 ou 58 3
19
Note: Para escrever 58 no sistema de numeração de base 3, o primeiro algarismo da esquerda (1) é o resto da
divisão de 58 por 3 (base 3).
Usando, agora, o quociente 19, temos:
2 · 32 + 0 · 31 + 1 = 19
3 · (2 · 31 + 0) + 1 = 19
6
3 · 6 + 1 = 19 ou 19 3
6
Note: Para escrever 58 no sistema de numeração de base 3, o segundo algarismo da esquerda (1) é o resto da
divisão do primeiro quociente (19) por 3 (base 3). Usando, agora, o quociente 6, temos:
2 · 31 + 0 = 6
3·2=6
ou
6 3
0 2
2
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Note: O terceiro algarismo da esquerda (0) é o resto da divisão do segundo quociente (6) por 3 (base 3).
Usando o quociente 2, temos:2 = 3 · 0 + 2
ou
2 3
58 3
2 0
28 19 3
Note: O último algarismo (primeiro da direita, 2) é o resto da divisão terceiro quociente (2) por
3 (base 3). Na prática, façamos apenas assim:
1
1
6
0
3
2 3
2 0
Daí, 58 = (2011)3
Seguindo o mesmo raciocínio, podemos, por exemplo, esrever o número 120 nos sistemas de bases 6, 2 e 9,
respectivamente. Veja:
a) 120 6
b)
c)
1.
00 20 6
0 2 3
3
6
0
120 2
00 60 2
0 00 30 2
0 10
15 2
0
1 7
1
120 9
30 13 9
3
4
1 9
1 0
Daí, 120 = (320)6
De fato: (320)6 = 3 · 62 + 2 · 61 + 0 · 60
= 108 + 12
= 120
2
3
1
2
1
1
Daí, 120 = (1111000)2
De fato: (11000)2
= 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23
= 64 + 32 + 16 + 8
= 120
2
0
Daí, 120 = (143)9
De fato: (143)9 = 1 · 92 + 4 · 91 + 3 · 90
= 81 + 36 + 3
= 120
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(UFPR) Quando escrevemos 4307, por exemplo, no sistema de numeração decimal, estamos nos
referindo ao número 4 · 103 + 3 · 102 + 0 · 101 + 7 · 100 .
Seguindo essa mesma ideia, podemos representar qualquer número inteiro positivo utilizando
apenas os dígitos 0 e 1, bastando escrever o número como soma de potências de 2. Por exemplo,
13 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 e, por isso, a notação [1101]2 é usada para representar 13 nesse
outro sistema. Note que os algarismos que ali aparecem são os coeficientes das potências de 2 na
mesma ordem em que estão na expressão. Com base nessas informações, considere as seguintes
afirmativas.
1. [111]2 = 7
2. [110]2 + [101]2 = [1010]2
3. Qualquer que seja o número inteiro positivo n, a expressão de 2n, em potências de 2, tem apenas um dígito
diferente de 0.
4. Se a = [1111 ... 11]2, então 2 x a = [1111 ... 110]2.


20 dígitos
21 dígitos
Assinale a alternativa correta.
A) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
B) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
C) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
D) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
E) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.
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3
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2.
Um grupo de amigos decidiu criar seu próprio sistema de numeração posicional, e a base escolhida
foi o 5. Adotaram, portanto, cinco símbolos básicos que, escritos lado a lado, da direita de quem
está lendo para a esquerda, representam, respectivamente, as quantidades de potências 50, 51, 52, ...
a serem somadas. Os símbolos escolhidos foram:
Usando o sistema de numeração decimal, escreva os números que estão sendo representados
quando alguém desse grupo escreve:
Z
B)  A  A
A) 
3.
Qualquer
número
inteiro
A
B
C
D
E
positivo pode ser representado
01
03
05 07
02
03
06 07
04
05
05 07
08
09
10 11
16
17
18 19
na base “2” como a soma de
fatores que indicam potências 09 11 13 15
10
11
14 15
12
13
14 15
12
13
14 15
20
21
22 23
crescentes de 2, da direita
17
19
21 23
18
19
22 23
20
21
22 23
24
25
26 27
24
25
26 27
para a esquerda, aparecendo
27
30 31
29
30 31
29
30 31
29
30 31
26
28
28
28
o símbolo “1” se 2 elevado 25 27 29 31
àquela potência está presente
na composição do número, e o símbolo “0” se 2 elevado àquela potência não está presente na
composição do número. Por exemplo:
o número 5 é representado por (101)2 , pois 5 = 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
o número 9 pode ser representado por (1001)2 , pois 9 = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
Desse modo, no sistema binário de numeração (base 2), usam-se apenas dois algarismos na representação
dos números: 0 (zero, indicando a ausência do grupo) e 1 (um, indicando a presença do grupo).
Como forma de despertar o interesse dos alunos pelo tema, um professor de matemática confeccionou
os cartões a seguir com base nas regras do sistema binário e os apresentou a seus alunos afirmando:
“adivinharei o dia do aniversário de qualquer um de vocês”. Para isso, bastava lhe dizer todos os cartões
nos quais se encontra a número indicativo do mês e o número indicativo do dia do nascimento.
Tudo bem, disse Patrícia, uma das alunas, mas você, professor, não poderá ver os cartões. O mês
em que nasci se encontra nos cartões A, B, D e o dia, nos cartões B, C, D, E. Sem olhar os cartões, o
professor disse, corretamente, que o dia do aniversário de Patrícia era:
A) 29 de novembro.
B) 29 de setembro. E) 14 de outubro.
C) 30 de novembro.
D) 30 de setembro.
= zero
A = um
Z = dois
 = quatro
 = três
4.
João apresenta a seguinte igualdade à Patrícia e garante que a mesma é verdadeira:
Patrícia pensa um pouco e confirma: “realmente essa igualdade é verdadeira”. Como se justifica a
veracidade da igualdade acima?
5.
De posse de sua senha bancária de quatro dígitos, 0826, Marcos teve uma ideia para anotá-la com
segurança: mudaria a base do sistema de numeração e anotaria o numeral corresponde à sua senha,
no sistema por ele criado. Se Marcos utilizou a base 12, os algarismos do sistema decimal e mais 10
=  e ∅ = 11, o numeral anotado por ele foi:
A) 58
B) 58∅
C) 5∅
D)∅∅ E) 8∅5
885 = 531 + 346 + 7
GABARITO (V.17)
1
2
3
4
5
D
*
B
D
D
Professor-Colaborador: João Mendes
* 2. 19998
4
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OSG: 34868/10 - A.J - REV.: FLÁ