Universidade Estadual Paulista
"Júlio de Mesquita Filho"
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
MATEMÁTICA
INTRODUÇÃ A MATEMÁTICA
Lendo um livro sobre metodologia cientifica, uma frase que me chamou a atenção,
que dizia o seguinte: “Os números não existem fora do nosso cérebro."; o que me reflete a
pensar sobre a definição de Matemática, segundo o wikipedia: “A Matemática é a ciência do
raciocínio logico e abstrato. Um trabalho matemático consiste em procurar por padrões,
formular, conjecturas e por meio de deduções rigorosas a partir de axiomas e definições,
estabelecer novos resultados”. Quando falo em “dedução”, não falo em adivinhar o que esta
por trás do meu padrão, o que o senso comum poderia dizer, mas sim usar o método dedutivo
para acha-lo; o que é oposto á indução. É nesse método que se constrói a Matemática, mas o
método dedutivo não é totalmente nulo nessa ciência. E a definição ainda ressalta: “E é por
isso que a Matemática é tão temida dentro e fora da universidade”.
Mas ao invés de usar uma mera enciclopédia virtual, onde todos podem altera-la, irei
definir a Matemática segundo um autor: Morris Kline. Que define a Matemática da seguinte
maneira: "A Matemática pode ser definida como a disciplina em que nunca sabemos sobre o
que estamos falando, nem se aquilo que estamos dizendo é verdadeiro". Mas dessa forma
contraria todos os principio nós estudantes, conhecem por Matemática. E vocês se perguntam:
“Mas a Matemática não é a ciência mais exata de todas”. Existem muitas definições na
Matemática, muitas delas vocês iram ver em nosso curso pré-vestibular e muitas outras só
quem fará o curso de Matemática irá saber. Mas posso dizer como deixei implícito no
paragrafo anterior que a Matemática usa e usou de métodos indutivos. No livro Os Elementos
de Euclides o autor cria postulados que são uma espécie de teoremas, mas os postulados são
aceitos e usados sem provar que são verdadeiros. Como vocês verão a definição de reta, não
se pode dizer que uma reta é do mesmo modo como Euclides disse: a reta é um comprimento
sem largura.
Pode se dizer que a Matemática é uma das ciências mais antigas existentes, pois
antecede a escrita e tem rumores na pré-história, onde os homens pré-históricos aprenderam
a contar quantidades abstratas como tempo (dias, estações, anos). A aritmética elementar
(adição, subtração, divisão e multiplicação) também foi conquistada naturalmente.
Mas apesar da Matemática ser tão antiga ela ainda é usada e redescoberta a cada
século que passa. Uma grade descoberta da Matemática que não faz muito tempo é a
geometria não euclidiana. Ainda sim temos a teoria do buraco de minhoca. O termo foi criado
por um físico teórico estadunidense John Wheeler em 1957, mas a descoberta se da a um
matemático alemão Herman Wey em 1921.
A Matemática é usada em outras áreas como engenharia, medicina, física, e ciências
sociais. O estudo de Matemática Pura muitas vezes mostrou-se útil anos ou séculos adiante,
como aconteceu com os estudos das cônicas. A física é um exemplo claro disso. O que seria da
física sem a Matemática? A maioria dos conhecimentos Matemática é usada pela física como a
própria geometria euclidiana.
Como irei prova para vocês a Matemática é uma ciência que não devemos temer e
sim enfrenta-la a altura, se for dignos e responsáveis o suficiente para enfrentar –la
perceberemos que a Matemática será uma disciplina agradável e consecutiva. Como diria a
ideia construcionista: ”Aprende-se melhor ainda quando se gosta do que se faz se pensa e se
conversa sobre isso”
Em uma palestra sobre geometria hiperbólica o professor da UEM Prof. Dr. Valdeni
Soliani Franco disse: "Fazer Matemática é dar o mesmo nome para coisas diferentes.". Por isso
vocês devem ligar os assuntos ensinados nessa disciplina e não ter medo deles, pois com o
mínimo que já conhecemos, podemos construir toda a Matemática existente.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Naturais ( ): O conjunto dos números naturais é formado pelos
números 0, 1, 2, 3...; tem a objetividade de contagem natural, a que conhecemos.
Nesse conjunto são definidas duas operações: a adição e a multiplicação que apresentam as
seguintes propriedades,
:
 Associação da adição
 (a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo: (2+3) + 4 = 2+(3+4)

Comutativa da adição
 a+b=b+a
Exemplo: 15+20 = 20+15

Elemento neutro da adição
 a+0=a
Exemplo: 1+0 = 1

Associativa da multiplicação
 (a.b).c = a.(b.c)
Exemplo: (2.3).4 = 2.(3.4)

Comutativa da multiplicação
 a.b = b.a
Exemplo: 20.3 = 3.20

Elemento neutro da multiplicação
 a.1 = a
Exemplo: 30.1 = 30

Distributiva da multiplicação relativamente à adição
 a.(b + c) = a.b + a.c
Exemplo: 2.(4+1) = 2.4 + 2.1
Conjunto dos números inteiros ( ): No conjunto dos inteiros temos que existem o simétrico
de um numero natural. Portanto, a expressão a – b não faz sentido nos naturais e por isso que
temos o conjunto dos números inteiros que são o conjunto dos naturais unido com os seus
simétricos. O simétrico a se representa por –a. Com isso temos que o conjunto dos inteiros é
formado pelos números: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...
Além das propriedades herdadas do conjunto dos naturais temos mais a seguinte propriedade:
Simétrico ou oposto para a adição
a + (-a) = 0
Exemplo: 2 + (-2) = 0
obs: temos pela propriedade dos números naturais que a + (-b) = a – b
Exemplo: 2 + (-3) = 2 – 3 =
Conjunto dos números racionais ( ): Dado um numero a≠1 e -1 temos que o inverso de a não
pertence aos números inteiros, por isso não definimos divisão nos números inteiros.
Chama-se o conjunto dos números racionais a todo numero escrito da seguinte forma , onde
é o numerador e
, é o denominador.
Temos nesse conjunto as seguintes definições, para
:
a)
Exemplo:
=
;
b)
;
Exemplo:
+
=
c)
Exemplo:
=
;
d) E que admite a seguinte propriedade:
a. Simétrico ou inverso para a multiplicação
=1
Exemplo: O inverso de é , pois
= 1.
O inverso de 2 é , pois
.
Obs: temos pela propriedade dos números inteiros que : =
Exemplo:
=
Todo numero racional pode ser escrito na forma decimal.
Exemplo: 2 = ;
3,4 =
Conjunto Irracional ( ): São todos os numeros tais que não podemos escrever da mesma
forma que os racionais. Exemplo:
, etc.
Conjunto dos números reais ( ): São chamado de números reais, os números que podemos
construir, ou de certa forma que conhecemos. Uma definição para os números reais é
, desta forma os números reais preenchem a reta por completo (pois dados dois
racionais quaisquer sempre existe um irracional entre eles).
Exercícios:
1) Resolva as seguintes equações:
a) 2 + 4 =
m)
=
b)
=
n)
=
c) 4 + 5 =
o) 12314 + 0 =
d)
p)
=
e) 2 + (-12)
q) (8.12). =
=
r) 214.0 =
f)
=
s)
=
g) 2. =
t) 2434 + 1 =
h) 8 - 7 =
u)
=
i)
=
2) Qual o oposto de:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 61
e) 27
3) Qual o inverso:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1234
e) 54
f)
f)
g)
g)
h)
i) 2,4
j) 4,34
h)
i)
j)
k)
2.4 =
=
v)
(2.3.). =
w)
=
l)
+ =
x)
y)
z)
k) 4,54
l) 3453,354
j)
k)
l)
=
124.1 =
12463254.0 =
FRAÇÕES
A fração nada mais é do que os números racionais puros, ou seja, aqueles que são escrito da
seguinte forma: , onde b≠0,1 e -1.
Além das operações e propriedades já mencionadas podemos simplificar uma fração. Para
simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador por um numero em comum
que seja divisível por esses números. Por exemplo,
, podemos dividir o 36 por 2 e o 26 por 2
assim teremos uma fração equivalente, . Pois
Exercícios:
1) Calcule:
2) Responda:
a) A fração correspondente
a)
a terça parte da unidade
é?
b)
.
3) Calcule:
a)
c)
b)
c)
b) Encontre o equivalente
fracional e decimal de:
i) 25%
ii) 50%
Dica:
d)
e)
f)
d)
e)
f)
g)
POTENCIAÇÃO
Sendo a R e n N temos que
Resultados importantes:
=1
Propriedade de potência:
 Produto de potencia de mesma base
Conserva a base e soma os expoentes:

Divisão de potencia de mesma base
Conserva a base e subtrai os expoentes:

Potencia de produto
Eleva cada fator a expoente de produto:

Potencia de um quociente
Eleva o numerador e o denominador ao expoente indicado:


Potencia de potencia
Conserva a base e multiplica os expoentes:
=
Potencia de ordem superior
Eleve a potencia a potencia indicada e faça o calculo:
Ex:
Exercícios:
Calcule as potencias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Calcule:
a)
b)
Tome
, calcule o valor da expressão:
l)
RADICIAÇÃO
Dado um número real a e um numero natural n>1, definimos raiz n-ésima de a como um
numero b que elevado ao expoente n-ésimo é igual a a.
Propriedade da radiciação:
 Radical de um produto

Radical de um quociente:

Expoente fracionário
Obs: se m = 1 temos que:

Radical de radical

Introdução do numero sobre o radical

Potencia de radical
Obs: podemos simplifica. Ex:
n é par, temos que:
. (Mas tome cuidado com expoente pares, pois se:
)
,
Redução de Radical: Só podemos reduzir radicais de mesmo índice e mesmo radicando.
Ex: 2. + 4. + 7.
= (2 + 4 + 7).
Racionalização de frações: Racionalizar um denominador irracional consiste em eliminar os
radicais ou expoentes fracionários do mesmo:
 Denominador da forma
:

Denominador monômio da forma

Denominador binômio da forma
Exercício:
1) Calcule:
a)
b)
c)
2) Simplifique:
3) Transforme
e calcule seu valor
4) Racionalize os denominadores:
a)
:
5) Calcule o valor das expressões
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
e)
PRODUTOS NOTAVEIS
Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem alguns produtos que apresentaremos a
seguir:
Propriedade distributiva:
a.(b + c) = a.b + a.c
Quadrado de uma soma (ou diferença):
Soma pela diferença:
Cubo de uma soma (ou diferença):
Exercício:
1) Efetue:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
g.
h.
i.
j.
k.
PORCENTAGEM
Chama-se porcentagem ou taxa percentual, a toda razão centesimal, ou seja, fração com
denominador 100.
Podemos representar o número acrescido do símbolo % como 20% ou na notação decimal 0,20
ou na forma de fração .
Podemos também compara duas grandeza da mesma natureza pela razão entre elas. O valor
de sua razão na forma decimal fornece a percentagem de ração entre as grandezas. Por
exemplo: Numa pasto com 600 ovelhas 210 já tiveram suas lãs retiradas. Qual a porcentagem
de ovelhas que ainda tem lã?
= 0,35 ou 35%, logo a porcentagem de ovelhas com lá é de
65%.
Exercícios
1. Calcule
a) 30% de 800
b) 20% de 50
c) 130% de 40
d) 10% de 650
e) 25% de 90
f) 200% de 8,5
g) 15% de 70
3. Dos 1.600 candidatos a um concurso, 32%
são nascidos no interior do estado de
Pernambuco, 7,5% em
outros estados e os restantes são naturais do
litoral de Pernambuco. O número de
candidatos nascidos no
litoral é?
4. As promoções do tipo “leve 3 e pague 2”,
2. Escreva cada número em notação de comuns no comércio, acenam com um
porcentagem
desconto, sobre cada
unidade vendida, de:
a)
a) 50/3%
b) 20%
b)
c) 25%
d) 30%
c)
e) 100/3%
d) 0,87
e) 1,54
APÊNDICE
Divisão:
Divisão por um potencia de 10: Para dividir um numero decimal por 10,100,1000,... desloque
a vírgula para a esquerda tanto quanto for o numero de zero.
Exemplo: = 2,3 ;
= 0,23 ;
= 0,023
Divisão de numero decimal: Basta multiplica o numerador e o denominador por
10,100,100... o tanto de vezes necessárias que a virgula deixe de existir e o numero decimal se
torne um numero inteiro.
Exemplo: 2,3 = ; 0,076=
Multiplicação:
Multiplicação com numero decimal: Para facilitar a multiplicação com numero decimal, basta
transforma-los em notação cientifica, por exemplo:
Exemplo: 3,15 . 2 =
= 630.
= 6,3
Adição:
Método de transformação em fração: Para somarmos números decimas basta transforma-los
em fração, por exemplo: 3,14 = ; dessa forma podemos somar usando soma de fração.
Exemplo: 3,153 + 6,04 =
Exercícios: 1) Resolva as seguintes divisões:
=
=
=
=
=
=
2) Resolva as seguintes multiplicações:
3,4.2 = 64,123.3 =
2.2,3 =
12,3.10 =
45,32.100 =
0,1.10 =
Monstro – Jeffrey Jerome Cohen
Artigo a cultura dos monstros: sete teses no Livro Pedagogia dos monstros de Jeffrey Jerome
Cohen – Romulo campos lins. Tirado do livro educação Matemática no capitulo Matemática,
monstros, significados e educação Matemática.
O aluno vê português no cotidiano, geografia, biologia, física... Na Matemática é diferente. O
aluno guarda a mochila da rua no cantinho quando chega à sala de aula, pega a pastinha da
Matemática e aprende, quando termina a aulas e guarda a pastinha e pega a mochila da rua e
vai embora. A Matemática da rua é uma Matemática comercial econômica, em que você usa
como usavam até o final do século XIX, para fins comerciais, é essa Matemática que o aluno
guarda na mochila no bolso escondido no fundo da bolsa.
A Matemática do matemático há seres que ao mesmo tempo em que mantêm a maioria das
pessoas fora do jardim do matemático, por serem para elas monstros monstruosos, são, para
os matemáticos monstros de estimação (Aqueles que circulam pelo jardim), que ao invés de
assustarem são fonte de deleite.
Monstros, como Drácula e Frankenstein, tem algumas coisas em comum. Primeiro, eles não
são desse mundo, ou seja, não espero que eu esteja andando pela rua e ele pule na minha
frente como um cachorro raivoso ou a mulher barbada. Segundo, por não serem desse mundo
não seguem as regras deste mundo. E por não serem desse mundo que são assustadores,
monstruosos. O monstro paralisa exatamente porque não sei como ele funciona como devo
agira com relação a ele, não sei o que dizer dele.
Mas há aqueles que enfrentem o monstro. Quem iria perseguir o monstro até o final, para
derrota-lo, senão o herói? “Eu deixo o monstro escapar para poder retorna minha vida
ordinária em paz.”.
Este monstro de que estamos falando o que guarda o jardim do matemático, nos desafia, mas
isto só quer dizer que nos ficamos ali ao invés de avançarmos em sua direção ao darmos as
costas e irmos embora.
A chave para tudo isso está no enigma da esfinge. O Enigma da esfinge diz assim: “decifra-me
ou te devoro”; ou seja, se não enfrentar o monstro monstruoso ele nunca será um monstro de
jardim e um dia quando quiser passear pelo jardim, ele irá te devorar.
O aluno vem monstros monstruosos; Eu vejo monstros de estimação. Como é que um monstro
pode ser duas coisas diferentes, uma quem frequenta e outra para quem não frequenta o
jardim dos matemáticos? O monstro é constituído por quem diz o que ele é. O monstro é
monstruoso para mim e de estimação para aquele que passei no jardim.
Nem sempre o matemático foi um matemático, ele tornou-se um. E é por isso que qualquer
pessoa que veja o monstro monstruoso não precisa virar as costas e sair do jardim, seguir sua
vida normal, e sim encarara-lo e ver ele como um monstro de estimação assim como muitos
matemáticos e não matemáticos o fizeram.