Conjunto dos Números Racionais: Algumas dificuldades didáticas
Rinon Nascimento de Paula
Especialista em Matemática - Professor de Matemática da ESUDA
Professor de Introdução à Econometria da ESUDA
RESUMO
Objetivo deste Artigo é analisar e avaliar certas particularidades dos números racionais, bem
como provocar a motivação dos alunos a conhecer algumas peculiaridades dos princípios básicos da
Aritmética, valioso campo de estudo da Matemática.
Palavras – chave: números decimais; geratrizes; dízimas periódicas
Key - Words: decimals numbers; generators numbers; periodic numbers
ABSTRACT
To suggest a analyze and evaluate to the youngest students, through didactic resources
(arithmetic demonstrations), to promote the students` motivation to know some peculiarities of the
basic beginnings of the Arithmetic, precious field of study of the Mathematics, and your
application in your daily one, as well as your importance in the High School.
INTRODUÇÃO
Determinadas argumentações pedagógicas levaram-nos a escrever este Artigo, dentre elas
destacamos: a) Um sentimento de responsabilidade didática parar registrar estas considerações; b)
Convidar o leitor a fazer uma reflexão mais detalhada sobre o estudo da Aritmética, importante
ramo da Matemática; c) Sugerir ao jovem educador a não deixar seu aluno sem uma resposta
convincente, mesmo diante de uma pergunta aparentemente inocente.
Nossa fundamentação teórica visa, tão-somente, estimular os novos educadores e educandos a
repensarem sobre a importância do papel educacional exercido pela Aritmética, diuturnamente, em
nossas várias atividades escolares e sociais, mesmo que tratemos de questões bastante simples,
promover o questionamento de nosso aluno e suportar os rigores científicos impostos pela Ciência
Matemática.
Bianchini nos indica os seguintes subsídios (1997, p. 175): "Representação decimal de uma
fração. Toda fração pode ser transformada em número decimal, bastando para isso dividir o
numerador pelo denominador. Exemplo 1) Representar na forma decimal a fração 9 / 4. Solução: 9 /
4 = 2,25. O quociente 2,25 é chamado decimal exato, porque o resto da divisão de 9 por 4 é zero.
Exemplo 2) Representar na forma decimal a fração 7 / 3. Solução: 7 / 3 = 2,333... Por mais que
prolongássemos essa divisão, o quociente não seria exato. Daí o motivo de usarmos as reticências
na representação do quociente 2,333... O número 2,333... é chamado dízima periódica simples. É
dízima periódica porque a divisão não é exata e o número 3 (chamado período) se repete
indefinidamente. É simples porque o período pode ser indicado abreviadamente, colocando um
traço sobre o período." Fração Geratriz (Bianchini-1997, p.176):" A fração que dá origem a uma
dízima periódica é chamada fração geratríz. Exemplo: Como 7 / 9 = 0,777..., então
7 / 9 é a fração geratriz da dízima periódica 0,777... Geratriz de uma dízima periódica simples. A
representação decimal das seguintes frações a) 2 / 9 = 0,222...; 5 / 9 = 0,555...etc, nos mostra que o
numerador da fração geratriz de dízima periódica simples é igual ao período, e o denominador tem
tantos noves quantos são os algarismos do período. Calculemos a fração geratriz das seguintes
dízimas periódicas simples: a) 0,444... etc. O período é 4, então o numerador é 4. O período tem um
só algarismo, que é o 4, então o denominador é 9. Logo, 0,444... = 4 / 9."
02
(Continuação do Artigo Conjunto dos Números Racionais: Algumas dificuldades didáticas......)
Segundo Guelli (1997, p. 173): "Dízimas periódicas. Você já sabe escrever uma fração
decimal na notação decimal. Exemplos: 1) 9 / 10 = 0,9; 2) 455 / 100 = 4,55; 3) 85 / 1000 =
0,085...Mas nem sempre é possível obter resto 0; na divisão de 1 por 3, o resto 1 se repete
continuamente e o 3 se repete no quociente: 1 /3 = 0,333... O quociente 0,333... chama-se dízima
periódica. A fração que gera a dízima periódica chama-se geratriz (Guelli-1997, p. 174): "Assim,
1 / 3 é a geratriz de 0,333..." ... " Se o denominador contém somente os fatores primos 2 e 5,
obtemos um resto 0 e, portanto, temos um decimal finito. Ex: 7 / 8 = 0,875; 7 /5 = 1,4. ..."Se o
denominador contém algum fator primo diferente de 2 e 5, nunca obtemos o resto 0 e assim temos
um decimal infinito. Ex: 1) 5 / 3 = 1,6666... 2) 5 / 11 = 0,454545...Neste caso, o algarismo 4 e o
algarismo 5 se repetem periodicamente."
Castrucci et. al. (1998, p. 179): "A representação decimal de 5 / 3 é 1,6666..., com
infinitas casas decimais. O número decimal 1,666... é chamado dízima periódica. Na dízima
periódica 1,666... o período é 6.
Nosso Artigo é decorrente de uma situação fictícia (hipotética), mas perfeitamente plausível
nos dias atuais, onde um estudante da 8ª. Série do Ensino Fundamental-II; qualquer aluno nosso
que fará o ENEM; ou um aluno do 3º. Ano do Ensino Médio, muito estudioso, observador e
dedicado às pesquisas escolares, consultando um livro de Curiosidades Matemáticas, descobriu as
razões técnicas e pedagógicas pelas quais a igualdade 1 = 0,9999... não está totalmente correta,
Procurando entender melhor essas considerações, perguntou a seu professor de Matemática:
"Professor, a igualdade 1 = 0,9999... representa uma expressão numérica falsa ou verdadeira?
Tentaremos imaginar e/ou acompanhar o raciocínio de nosso colega e sua argumentação nos termos
seguintes: a) Percebe-se que os números racionais e os números decimais são tratados na 5ª. Série do Ensino
Fundamental-II, onde são abordados alguns aspectos das dízimas periódicas e suas geratrizes; b) Não
fazemos demonstrações numéricas (aritméticas) no Ensino Secundário; e c) Não enfatizamos as relações
existentes entre os conjuntos numéricos e suas propriedades mais relevantes. Nosso trabalho não abordará o
tema "Limites", uma vez que não pretendemos sair dos conteúdos vivenciados no Ensino Básico.
Constatamos que o centro da questão está no Conjunto dos Números Racionais, isto é na
divisão de números inteiros e operações com os números decimais. Como decorrência, faremos
algumas argumentações convenientes (representações numéricas e geométricas), com o propósito
de fundamentar uma estratégia didática nos termos seguintes.
A - Representações numéricas:
A1 - Representação de frações numéricas:
4/9 + 5/9 = 9/9 =1 ; e 1/3
+ 2 / 3 = 3 / 3 = 1.
A2 - Transformação de frações numéricas em números decimais infinitos:
4 / 9 = 0,4444... e 5 / 9 = 0,5555... ;
e 1 / 3 = 0,33333....... e 2 / 3 = 0,66666666......
A3 - Adição de números decimais infinitos:
0,444... + 0,555... = 0,9999....
A4 – Adição de outros números decimais infinitos:
0, 3333........
+
0,6666....... =
0,9999........
03
(Continuação do Artigo Conjunto dos Números Racionais: Algumas dificuldades didáticas)
B – Representações geométricas
Exemplos: B1
X
X
X
X
+
4/ 9
X
+
X
X
X
X
=
5/9
=
X
X
X
X
X
X
X
X
X
9/9 =1
B2
X
X
X
1 / 3
+
2 / 3
X
X
=
X
3 / 3 = 1
Observação: No primeiro membro da igualdade, considerar X representando o numerador
da fração (que simboliza a parte tomada do todo, da unidade).
C - Número Racional e Fração Decimal Finita e Infinita Periódica: Conceituação
Considerando a e b números inteiros, diferentes entre si, e sendo b diferente de zero,
podemos representar estes dois números como uma fração (um número racional) decimal finita ou
por uma fração decimal infinita periódica. Noutras palavras, toda fração decimal finita ou infinita
periódica, pode representar um número racional.
D - Dízima Periódica: Definição
Denominamos de fração decimal periódica ou dízima periódica aos números escritos no
formato de uma fração decimal qualquer, onde supomos que existe uma série infinita de algarismos
decimais, cuja série, a partir de certo ponto, é formada pela repetição de um mesmo grupo de
algarismos, chamado de período, ordenados sempre da mesma disposição.
E - Cálculo de uma geratriz (daremos prioridade, mais adiante, para o caso de uma dízima periódica
simples)
Considere uma dízima m formada com K algarismos no período:
_____________________
m = 0, K1K2K3K4......................Kn.
04
(Continuação do Artigo Conjunto dos Números Racionais: Algumas dificuldades didáticas......)
Multiplicando os dois membros por 10K , temos:
________________________
K
10 .m = K1K2K3K4......................Kn , K1K2K3K4......................Kn . Passando m para o 1º. membro,
temos:
10K.m - m = K1K2K3K4......................Kn , onde temos:
m = K1K2K3K4......................Kn , que representa uma fórmula geral de qualquer geratriz
10K - 1
procurada, ou que queiramos estabelecer.
Geralmente, temos K = 1 = 101 – 1 = 9; K = 2 = 102 – 1 = 99; K = 3 = 103 – 1; K = 4 = 104 – 1 =
9999.
____
Exemplo: Calcular a dízima de 0,6789. Resolução:
m = 0,6789; 10K = 104 = 104 – 1 = 9999 ; m = 6789 . Assim sendo, m = 6789 representa a
9999
9999
geratriz procurada.
F – Cálculo de uma geratriz (de uma dízima periódica composta)
Considere uma dízima da seguinte forma:
__
m = 0, BK, onde B representa a parte não-periódica com p algarismos e K representando o
período formado de q algarismos.
Multiplicando os dois membros por 10p.10q , temos:
__
__
p+q
p
10 . m = BK, K e 10 . m = B. K . Assim, teremos:
__
__
__
10p + q . m – 10p . m = B.K, K = B.K, K - B, K
10p. m (10q - 1 ) = B.K – B ;
B.K B que representa uma fórmula geral de qualquer
(10q - 1 ). 10p
geratriz procurada, ou que queiramos estabelecer.
_
Exemplo: Calcular a geratriz de 0, 32. Resolução:
_
m = 0,32 ; k = 2 ; B = 3 ; p = 1 ; q = 1. Então, teremos:
m=
32 3
(101 – 1).(10)1
=
m =
29
(9).(10)
=
29
90
m = 29 / 90. Assim sendo, 29 / 90 representa a geratriz procurada.
G - Análises preliminares das representações numéricas
Percebe-se claramente que elaboramos nosso raciocínio com números convenientes ao
desenvolvimento aritmético rápido para atingir nosso objetivo. Todavia, observando mais
detalhadamente nosso artifício numérico, nota-se que este procedimento não ser verifica, isto é, não
é verdadeiro para o caso de dízima periódica simples do tipo 0,9999....... , uma vez que, nessas
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(Continuação do Artigo Conjunto dos Números Racionais: Algumas dificuldades didáticas......)
circunstâncias, de acordo com nossa representação de que 9 1 9 = 1 para geratriz dessa dízima
periódica. Entretanto, um argumento muito forte que favorece a nossa proposta é que o número 1
não nos fornece (não gera) 0,9999. Assim sendo, haveremos de concluir que 0,9999... não possui
geratriz. Por outro lado, o número 1 é o limite da série (seqüência) formada pelos números 0,9;
0,99; 0,999; 0,9999...; visto que as diferenças entre 1 e os números dessa série são 0,1; 0,01; 0,001;
0,0001...; e tendem para 0 (zero).
Outras considerações relevantes foram indicadas acima, que, em cumprimento ao rigor
matemático, nos sugere destacar, dentre elas:
a) Não existe uma fração que nos forneça a dízima periódica 0,9999...;
b) 4 1 9 gera a dízima periódica 0,4444...;
c) 5 / 9 gera a dízima periódica 0,5555...;
d) 4 1 9 e 5 / 9 não são números decimais; assim como não são transformáveis em números decimais;
e) As frações decimais possuem denominadores iguais a 2 e 5; 2 ou 5; com expoentes positivos. O
resto dessas divisões decimais é sempre zero; e
f) Que devemos afirmar, dentro da rigidez matemática, é que 4 / 9 não pode ser representante do numeral
0,4444...... Devemos observar que a diferença entre 4 / 9 e o numeral decimal tendo o algarismo 4 como
período pode tornar-se cada vez menor ou mais próximo de zero, na medida em que essas decimais tende
cada vez mais ao infinito. Noutras palavras: 0,4; 0,44; 0,444; 0,4444; 0,44444.....tenderá a 4 / 9 ou a
expressão 0,4444 .... = 4 / 9.
H – Análises preliminares das construções geométricas representativas de números racionais e inteiros
Entendemos que neste aspecto encontra-se outro núcleo da questão. É secular, é milenar a
prática didática de empregarmos as figuras geométricas planas, quando ensinamos as crianças, na
Educação Infantil, a expressar os números concretos e seus significados simbólicos, por
intermédio de figurinhas, principalmente aquelas coloridas. É inegável seu poder motivacional,
sua força cognitiva na motivação do aprendizado e sua contribuição pedagógica! Agora vem uma
parte delicada: “Estendermos essa postura didática até o 3º Ano do Ensino Médio e nos cursinhos
de pré-vestibular”, quando utilizamos figuras quadradas, triangulares, retangulares, para ensinar a
soma dos termos de uma progressão geométrica infinita decrescente; ou mesmo quando fazemos
uma “apresentação intuitiva dos conceitos de Limites”. A rigor, não temos ou percebemos
inconvenientes ou impropriedades estruturais algébricas ou aritméticas em nossas propostas, para o
Ensino Médio, nessas duas últimas aplicações.
Por outro lado da questão, convidamos o leitor para dividir as duas figuras geométricas
planas acima sugeridas. Aparentemente, não percebemos dificuldade alguma em dividir um
quadrado em nove (09) partes iguais; assim como a circunferência em três (03) partes iguais, visto
que terminada a operação, só resta basicamente adicionar (em termos físicos) as referidas partes, e
teremos, novamente, nossas figuras reconstruídas. Efetivamente, ficamos convencidos de que temos
nossa unidade remontada, restabelecida.
Vamos, então, aprofundar nossa tarefa nos termos seguintes: a) Divida a área do quadrado
acima com 11 cm de lado em sete (07) partes iguais. É provável que todos nós encontremos
respostas inquietantes e incompletas, aplicando a fórmula S = L2 / 7 = (11)2 / 7 = 17,285714,
porque obtivemos 17,285715 cm2 de área como resposta. No caso da circunferência, considere que
ela tem raio igual a 13 cm e faça a divisão em três (03) partes iguais. Aplicando a fórmula da área
S = π .R2 , temos: S = π . (13)2 / 3 = (169. π ) / 3 = 56, 33333333( π ). Se fizermos a divisão do
comprimento da circunferência em três (03) partes iguais, temos C / 3 = ( 2 π .R) / 3 = (2.13. π ) =
(26. π ) / 3 = 8,666666666( π ). Encontramos, mais uma vez, outro fator complicador, visto que não
obtivemos uma divisão exata.
A pendência dessa proposta é que ficamos com a ingrata missão de multiplicar e dividir
dízimas periódicas com o número irracional π , que, por si só, já possui centenas de casas
decimais. E as nossas dificuldades reapareceram novamente.
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(Continuação do Artigo Conjunto dos Números Racionais: Algumas dificuldades didáticas......)
Podemos estender nossas aplicações à Geometria Espacial (ou Geometria Sólida) por
intermédio de um exemplo muito familiar: “Considere a tarefa de dividir em partes iguais um bolo
de aniversário, com o formato de um cilindro reto, tendo um círculo como base, com 11 cm de
altura, 17 cm de raio, para 23 crianças amigas de seu aluno do Colégio Esperança.” Torna-se
significativo lembrarmos que o comprimento da circunferência, a área lateral, a área total e o
volume desse bolo apresentam em suas fórmulas: C = 2 π R; Ac = π R2 ; AL = 2 π R.H;
AT = (2 π R ).(R +H); e VC = π R2.H. Convém observarmos que todas essas expressões possuem o
famoso número π em sua composição, assim como esse número π possui infinitas casas decimais.
Propositadamente, selecionamos somente números primos nessas medidas indicadas para nosso
festivo bolo e o número de crianças. Já pensou na dificuldade para realizar essa missão?!...
Consideramos, agora, que já dispomos de informações suficientes para responder ao
questionamento de nosso aluno. A nossa resposta é que a igualdade numérica 1 = 0,9999.... é
falsa (É relevante destacarmos que não entramos efetivamente na análise das propriedades
estruturais algébrica ou aritmética dos Conjuntos dos Números Inteiros e Racionais).Torna-se
imperioso ressaltar as possíveis considerações para fazermos com que essa igualdade possa
representar uma expressão verdadeira. Entretanto, não podemos perder de vista a pendência que
ficou na divisão do nosso bolo de aniversário. Faremos um breve comentário no parágrafo seguinte.
Com o propósito de registrar apenas um fato bastante significativo sobre o tema proposto,
torna-se imperioso lembrarmos da “descoberta dos Números Irracionais, na Escola Pitagórica (535
a.C), por um aluno daquela Escola que fez, involuntariamente, uma descoberta inusitada, quanto
encontrou um número absolutamente estranho para representar a diagonal de um quadrado que
tinha os lados com 1 (uma) unidade de comprimento. Noutras palavras, aplicando o famoso
Teorema de Pitágoras, temos: d2 = 2, ou d = 2 uc (convém lembrar que este sinal
não
existia naquela época e que
2 é irracional, também inexistente, na ocasião. Utilizando nossa
máquina calculadora simples temos
2 = 1,4142135). Este tema poderá ser abordado futuramente
com mais abrangência, profundidade e rigor, quando falarmos sobre a História da Matemática.
Convidamos o distinto leitor, em nossas considerações finais, diante deste manancial de
informações numéricas e geométricas, a nos auxiliar a encontrar uma estratégia didática que
viabilize, que possibilite um processo ensino-aprendizagem muito mais acessível e concreto. É bem
verdade que reapresentamos algumas propostas didáticas na resolução desta temática,
principalmente, na inocente representação geométrica (física) de duas ou mais frações de um bolo,
que adicionadas nos forneceriam um bolo completo. Noutras palavras: uma unidade. Todavia,
existe um problema nessa alternativa, é que nesse procedimento cometemos nosso primeiro e
fundamental engano, quando trabalhamos com os números racionais, sem tomarmos algumas
precauções. Nosso segundo deslize consiste em não considerarmos que frações numéricas não
decimais não devem produzir divisões exatas, isto é, com o resto igual a zero. Na justificativa de
nosso raciocínio aritmético para encontrar a geratriz de nossa dízima periódica simples, cuidado
especial tivemos em adotar um "erro aproximado de 0,0001", com o propósito de evitar a absurda
transformação de uma fração decimal periódica infinita em uma fração decimal finita. Noutros
termos, “tivemos a atenção extrema para não afirmarmos que 1 = 0,9999...”.
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1998.
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_________ . Fundamentos de Matemática elementar. – Geometria espacial. 5ª. ed. VOL. 10.
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GUELLI, O. Matemática - uma aventura do pensamento. 5ª. Série. Ed. Ática. São Paulo.
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MONTEIRO, J. P. O. Elementos de Álgebra. 2ª edição. Ed. Livros Técnicos e Científicos. Rio
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NETTO, S. P. Matemática - conceitos e operações. 8ª edição. 5ª Série. Ed. Saraiva. São Paulo.
1988.
~~
-~
-
RINON NASCIMENTO DE PAULA
PROFESSOR DE MATEMÁTICA