RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 3
Módulo 1: Razão e proporção
PÁGINA
82
6
Em um mapa a escala era de 1  2 500 000 e a distância entre duas cidades era 6,2 cm. Qual é a
distância real, em quilômetros, entre essas duas
cidades?
A escala 1 : 2 500 000 significa que cada 1 cm do mapa
corresponde a 2 500 000 cm da distância real.
No mapa a distância entre as duas cidades é de
6,2 cm.
Logo, a distância real entre as duas cidades é de
6,2  2 500 000  15 500 000 cm  155 km.
7
Hoje, a razão entre a idade de Juvenal e a idade
1
__
do pai dele é . Qual será a razão entre as idades
3
deles, quando Juvenal tiver o dobro da idade que
ele tem hoje?
Chamando de J a idade de Juvenal hoje e de
P a idade do pai de Juvenal hoje, tem-se que
J __1
__
 VP3J
P 3
Juvenal terá o dobro da idade que tem hoje (2  J)
daqui a J anos. Nesta data, o pai de Juvenal terá
P  J anos.
Atividades para classe
1
Determine em seu
a razão entre as medidas
___caderno
___
dos segmentos PQ e RS, sabendo que PQ  7,5 cm
e RS  12 cm.
7,5 ____
PQ ___
75
25
5
___


 ___  __
RS
12
120 40 8
2
Observe o segmento de reta a seguir e responda
em seu caderno.
U
M
2 cm
N
3 cm
D
6 cm
O
1 cm
a) Qual é a razão entre MU e ND?
MU __
1
2
____
  __
ND
6 3
b) Qual é a razão entre ND e MU?
6
ND __
____
 3
MU 2
c) Qual é a razão entre MU e MD?
MU __
2
____

MD 11
d) Quantas vezes o segmento UN cabe no segmento UD?
UD __
9
___
 3
___
UN 3
Logo,
___o segmento UN cabe 3 vezes nos segmentos UD.
3
4
5
Se um segmento de 8 cm foi dividido em partes
proporcionais a 2, 3 e 5, qual é a medida de cada
uma dessas partes?
Sejam x, y e z as medidas dos segmentos proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente.
y
z
x
Assim, tem-se: __  __  __  k V x  2k, y  3k e
5
2
3
z  5k
Por outro lado, x  y  z  8 V 2k  3k  5k  8 V
10k  8 V k  0,8 cm
Logo, x  2  0,8  1,6 V x  1,6 cm
y  3  0,8  2,4 V y  2,4 cm
z  5  0,8  4 V z  4 cm
___
___
8
M
N
O
a) Determine a razão entre NO e MO.
3
NO __
____

MO 5
b) Determine a razão entre MO e MN.
MO __
5
____

MN 2
c) Se MO  18 cm, qual é a medida em centímetros
___
____
Os___
segmentos AB e CD são proporcionais a PQ
e RS, nessa ordem. Determine
em seu caderno a
___
medida do segmento PQ, sabendo que AB  7 cm,
CD  3 cm e RS  4,5 cm.
___ ___
___ ___
PQ
AB ___
___

pois AB e CD são proporcionais a PQ e RS,
CD RS
nessa ordem.
7  4,5 31,5
PQ
7 ____
__
V PQ  ______  ____  10,5

3
3
3 4,5
Portanto, PQ  10,5 cm.
do segmento MN?
MO
18
5
5
MO  18 cm e ____  __ V ____  __ V MN 
MN
MN
2
2
2  18 36
 _____  ___  7,2 V MN  7,2 cm
5
5
d) Se NO  15 cm, qual é a medida em centímetros
____
do segmento MO?
3
15
15  5
NO 3
NO  15 cm e ____  __ V ____  __ V MO  _____ 
MO 5 MO 5
3
75
 ___  25 V MO  25 cm
3
___
Um segmento AB tem medida igual a 15 cm e um
ponto C que pertence a esse segmento está entre
AC
1
___ __
 . Determine em seu
A e B, de tal forma que
CB 4
caderno a medida CB.
AC  CB  15
AC __
1  CB
1
1
___
 V AC  _____ V AC  __CB
4
4
CB 4
1
Substituindo AC  __CB em AC  CB  15, tem-se:
4
1
__
CB  CB  15 V CB  4CB  60 V 5CB  60 V
4
60
V CB  ___ V CB  12 cm.
5
A razão daqui a J anos entre as duas idades
2J
será ______. Como P é igual a 3  J, tem-se:
PJ
2J
2J
2J
1
______
 _______  ___  __
P  J 3J  J 4J 2
1
Logo, a razão será __.
2
____
Na figura o ponto N do segmento MO está localizaMN
____ 2
__
 .
do de tal forma que
NO
3
9
Lucas resolveu distribuir 23 selos entre os quatro
netos dele. Para isso, ele dividiu a quantidade de selos em partes proporcionais à idade de cada neto.
Sabendo que André tem 12 anos, Rodrigo, 14 e que
as gêmeas Geórgia e Vitória têm 10 anos, calcule
quantos selos cada um recebeu.
André V A, 12 anos
Rodrigo V R, 14 anos
Geórgia V G, 10 anos
Vitória V V, 10 anos
76
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08.12.08 11:50:16
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
G
A
R
V
__
 ___  ___  ___  k V A  12k; R  14k;
14
12
10
10
G  10k e V  10k
12k  14k  10k  10k  23 V 46k  23 V
23
V k  ___ V k  __1
46
2
1
__
Logo, A  12   6 V André recebeu 6 selos;
2
1
R  14  __  7 V Rodrigo recebeu 7 selos;
2
1
G  10  __  5 V Geórgia recebeu 5 selos e Vitória
2
também recebeu 5 selos.
10 A classe do Professor Raimundo tem 25 alunos e
a razão entre o número de meninas e o número de
2
__
meninos da classe é . Numa atividade de classe,
3
o professor agrupou os alunos dois a dois formando casais.
a __
2
Meninas  a, meninos  o V a  o  25 e __
o3V
2o
V a  _____
3
5o
2o
_____
 o  25 V _____  25 V 5  o  75 V
Logo,
3
3
75
___
Vo
V o  15.
5
Logo, a classe tem 15 meninos e 10 meninas.
a) Qual é o número máximo de casais que podem
ser formados?
É possível montar 10 casais, pois há apenas 10
meninas.
b) Quantos meninos ficariam sem par?
Montando-se os 10 pares, 5 meninos ficariam sem
par.
c) Qual deve ser a razão entre o número de meninas
e de meninos para ter apenas um aluno sem par?
Para que um aluno fique sem par é necessário que
a diferença entre a quantidade de meninos e de
meninas seja 1. Como há 25 alunos, para que isso
ocorra teriam de ser 13 meninos e 12 meninas. A
12
razão entre meninas e meninos seria então __.
13
11 Mostre que se x e y são proporcionais a z e w, nesta ordem, então, x e y são proporcionais a x  z e
y  w, também nesta ordem, ou seja, mostre que se
x __
x
z
x
z
__
__
______
y  w , então, y  y  z .
x ______
x __
z
xz
__
__
ywVyyw
x
z
__
Seja __
ywkVxkyezkwVxz
xz
 ky  kw V x  z  k(y  w) V k  ______
y  w.
x
x ______
xz
__
Como k  __
y tem-se y  y  w .
PÁGINA
83
Capítulo 3
d
XX
2
3
___
__
b) x 
2
2
2  dXX
2  dXX
2  3  x V x  ______
3
2x
___ 12
__

5
7
c)
60
7  2x  5  12 V 14x  60 V x  ___ 
14
30
30
___
___

Vx
7
7
d
XX
5
5
___
__
 x
d)
2
x  dXX
5  2  5 V x  dXX
5  10 V
5
5
10dXX
10 dXX
V x  ____  ___  _____  2dXX
5 V x  2dXX
5
5
dXX
d
XX
5
5
13 Observe os dois trapézios ABCD e A’B’C’D’ abaixo.
B’
B
1,0 cm
C
2,5 cm
C’
3,0 cm
2,1 cm
A
A’
D
3,5 cm
D’
5,0 cm
a) Calcule a razão entre a base maior do trapézio
ABCD e a base maior do trapézio A’B’C’D’.
3,5
35
AD
7
____
 ____  ___  ___
A’D’ 5,0 50 10
b) Calcule a razão entre a base menor do trapézio
ABCD e a base menor do trapézio A’B’C’D’.
1,0
10
BC
2
____
 ____  ___  __
B’C’ 2,5 25 5
c) Calcule a razão entre a altura do trapézio menor
e a altura do trapézio maior.
2,1
21
7
AB
____
 ___  ___  ___
A’B’ 3,0 30 10
d) As três razões obtidas são iguais?
Não.
14 Qual a densidade de um bloco de madeira de massa igual a 40 quilogramas e volume igual a 50 decímetros cúbicos?
40
m
d  __ V d  ___  0,8 kg/dm3
V
50
15 Sabendo que a razão entre as medidas AB e BD,
nessa ordem, é a mesma que a razão entre CB e
BE, determine o valor de y.
A
2
y
30°
C
4
E
B
30°
Atividades para casa
8
12 Determine em seu caderno o valor de x nas proporções a seguir.
5
x  3 __
a) ______ 
8
2
2  (x  3)  8  5 V x  3  20 V x  17
D
2 __
4
__
 V 2  y  8  4 V y  16
8 y
77
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 3
16 Copie e complete a tabela abaixo em seu caderno,
sabendo que as grandezas m e n são proporcionais.
m
3
4,5
7,2
18
9
dXX
3
n
3,333...
5
8
20
10
3
10dXX
_____
9
__1
3
10
___
27
4,5
m ____
Da 2a coluna da tabela tem-se que: __
n  5  0,9.
3
3
3
m __
__
__
____
n  a V 0,9  a V a  0,9 V a  3,33...
b
b
m __
__
__
n  8 V 0,9  8 V 0,9  8  b V b  7,2
c
c
m ___
__
___
n  20 V 0,9  20 V 0,9  20  c V c  18
9
9
9
m __
__
__
____
n  d V 0,9  d V d  0,9 V d  10
dXX
dXX
dXX
3
3
3
3
10dXX
m ___
__
___
____
_____
n  e V 0,9  e V e  0,9 V e  9
0,9  10
9
f
m ___
f  27
1
__
V 0,9  _____ V f  _______  ___  __ V
n  ___
10
27
27 3
10
27
1
V f  __
3
___ ___ ___
___
17 Os segmentos AB, CD, EF e GH formam, nessa ordem,___
uma___
proporção. Sabendo que as medidas de
___
AB, CD e EF são, respectivamente, iguais
___ a 6 cm,
14 cm e 18 cm, determine a medida de GH.
6
18
___
 ___ V 6GH  252 V GH  42 cm
14 GH
18 O perímetro
do triângulo ABC a seguir é 28 cm.
___
___ O
lado
AC
mede
4
cm
e
a
razão
entre
os
lados
AB e
___
___ ___
7
CB é __ . Calcule as medidas de AB e CB .
8
20 Dois ângulos consecutivos de um paralelogramo
2
ABCD estão na razão __. Calcule as medidas dos
3
quatro ângulos.
Como os lados de um paralelogramo são paralelos
dois a dois, seus ângulos opostos têm sempre a
mesma medida.
A 2 C 2
A
Ce
B
D e ainda __  __ e __  __.
Seja 
B 3 D 3
2
2
2
A  __
Be
C  __
D. Como 
B
D, então 
C  __
B.
Logo, 
3
3
3
2
2

A
B
C
D  360° V __
B
B  __
B
B
3
3




B
 360° V 2B  3B  2B  3B  1080° V 10
B  108°.
 1080° V 
B
D  108°.
Logo, 
2
A  __
Be
A
C, 
A
C  72°.
Como 
3
21 Determine em seu caderno
___ entre as me___ a razão
didas dos segmentos AB e CD, sabendo que
AB  45 km e CD  20 000 m.
Se AB  45 km e CD  20 000 m  20 km,
45 __
9
AB ___
___

 .
CD 20 4
22 Considere um triângulo
ABC e um paralelogramo
___ ___
CDEF, com EF//CD. Determine em seu caderno
o perímetro do paralelo- A
gramo CDEF.
3
B
2�z
F
9
8�x
Z
D x
C
Da figura, AC  8  x  x  8 e BC  2  z  z  2.
Sabendo que EF//CD e que ED//FC, tem-se:
9
18
z
AE ___
ED
___
V __  __ V z  ___  1,5.

AB BC
12 2
12
Tem-se também que:
AC
AB ___
12 8
___

V __  __
x V 12  x  24 V x  2.
EB
EF
3
O perímetro do paralelogramo CDEF é, portanto,
2  1,5  2  1,5  7.
B
A
4
C
AB  CB  AC  28
AB 7
7
AC  4 cm e ___  __ V AB  __CB
CB 8
8
7
Logo, __CB  CB  4  28 V 7CB  8CB  32 
8
192
 224 V 15CB  192 V CB  ____  12,8 cm.
15
89,6
7
__
_____
 11,2 cm.
Assim, AB   12,8 
8
8
E
Módulo 2: Teorema de Tales
PÁGINA
1
88
Atividades para classe
Determine em seu caderno o valor da medida x,
sabendo que as retas a, b e c são paralelas e as
retas r e s são transversais a esse feixe.
a)
19 Qual deve ser a medida da aresta x para que o
bloco da figura tenha massa 1 200 g e densidade
3 g/cm3?
a
x
2,8
5
7
b __
x
c
x cm
r
5
2,8
 ____ V 7x  14 V x  2
7
s
8 cm
10 cm
O volume do bloco é dado por 8  10  x  80x cm3.
1 200
m
Tem-se d  __ V 3  _____ V 240x  1 200 V
V
80x
1 200
_____
Vx
5
240
Logo, a medida da aresta x deve ser 5 cm.
b)
a
b
x
5
c
15
x�
3
s
r
15
x  3
___
V 15x  5 
 ______
x
5
 (x  3) V 15x  5x  15 V
V 10x  15 V x  1,5
78
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08.12.08 11:50:19
resolução de atividades Capítulo 3
2 Determine em seu caderno o valor das incógnitas
x, y e z nas figuras a seguir, sabendo que a, b, c e
d formam um feixe de retas paralelas, e t e r são
transversais a esse feixe.
a)
a
5
x12
b
8
5 Dois lados de um triângulo
__ BIA são cortados por
uma reta
___ paralela ao lado ​BI​ , de maneira que sobre
o lado ​AI​ está determinado um segmento de 15 cm
e outro de 18 cm. Sabendo que AB 5 22 cm, determine em seu caderno
___ a medida dos segmentos
determinados sobre ​AB​ 
.
I
2x 2 4
c
t
1 5 cm
t
r
1 8 cm
r
5
x12
__
​   ​5 _______
​ 
 
 ​ 
V 5 ? (2x 24) 5 8 ? (x 1 2) V 10x 2 20 5
8 2x 2 4
5 8x 1 16 V 2x 5 36 V x 5 18
b)
x 2 1 _____
4
_____
​     
​ 5 ​      
​V (x 1 1) ? (x 2 1) 5 24 V ​
x11
6
V x2 21 5 24 V x2 5 25 V x 5 5
5
10
2
z
5 10
__
​   ​5 ___
​ z ​ V 5z 5 20 V z 5 4
2
2 4
​ __ ​5 __
​   ​ V 2y 5 12 V y 5 6
3 y
b
2x � 1
3
c
C
B
5
DC 5 (2x 1 1) 2 x 5 x 1 1
3
5
3
__
​ x ​5 _____
​      
​V 3x 1 3 5 5x V 2x 5 3 V x 5 __
​   ​5 1,5
x11
2
Portanto, o perímetro do triângulo ABC é​
4
2
y
5
3
x
D
3 Determine em seu caderno o valor de x e de y, sabendo que a//b//c.
x
3 1 5 1 (2x 1 1) 5 3 1 5 1 4 5 12.
___
7 No triângulo
ABC a seguir, ​ AD​  é bissetriz do ângu____ ___
lo ​
A​ e ​MN​ 
//​BC​ .
5
8
​   ​V 5y 5 8 V y 5 __
 ​y ​5 __
​   ​
5
2
3
x __
12
__
​   ​ 5  ​  ​V 5x 5 12 V x 5 __
 ​  ​ 
4 5
5
4
__
A
6
4 Determine em seu caderno o valor de x nos triângulos abaixo.
A
a)
4x
C
30°
30°
12
3x 1 2
4x
___
   
​ V 48x 5 15 ? (3x 1 2) V 48x 5
​   ​ 5 ​ _______
 
15
12
5 45x 1 30 V 3x 5 30 V x 5 10
x21
y
4
N
24
x
B
12
z
C
Qual o perímetro dos triângulos ABC e AMN?
B
A
M
8
15
3x � 2
b)
A
x
AB 5 22 cm V x 1 y 5 22 V x 5 22 2 y
y
18
___
​    ​5 ​ _______
   ​ 
V 18 ? (22 2 y) 5 15y V 396 2 18y 5
15 22 2 y
5 15y V 33y 5 396 V y 5 12 cm
Logo, x 5 22 2 12 5 10 cm.
A
a
y
6 Determine em seu caderno o perímetro do triângulo ABC a seguir.
y
3
B
B
6
4
x11
C
Pelo teorema de Tales, tem-se:
8
6
__
​     ​V x 5 18.
​ x ​  5 ___
24
Pelo teorema da bissetriz interna, encontramos:
6 __
8
​ __
y ​5 ​ 4 ​V y 5 3
8 1 24
6 1 18 _______
   
​5 ​  z   
​ V 24z 5 384 V z 5 16.
 
​ _______
12
Portanto, o perímetro do triângulo ABC é ​
6 1 18 1 1 12 1 16 1 24 1 8 5 84, e o perímetro
do triângulo AMN é 6 1 3 1 4 1 8 5 21.
79
5P_YY_M9_RA_C03_076A091.indd 79
11.12.08 14:50:40
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
8
Considere um triângulo
B
ABC, em que AB  5 cm e
x
AC  7 cm. Sabendo que
D
5
a bissetriz interna do ânx�1
gulo 
A determina sobre
___
___
BC os segmentos BD e A
___
C
7
DC, cujas medidas são
x e x  1 respectivamente, determine em seu caderno o perímetro do triângulo ABC.
5 _____
7
__
x  x  1 V 5  (x  1)  7x V 5x  5  7x V 2x 
5
 5 V x  __  2,5 cm
2
Assim, o perímetro do triângulo ABC é 5  7  2,5 
 3,5  18 cm.
PÁGINA
9
Capítulo 3
89
___
Sabendo que a reta r é paralela ao lado BC e que
AC  12 cm, determine em seu caderno os valores
de x e de y.
x  y  12 V x  12  y
De acordo com o teorema de Tales, tem-se:
12  y
5
__
V 5y  36  3y V 8y  36 V
 ______
y
3
V y  4,5 cm.
Substituindo na primeira equação, x  12  4,5 
 7,5 cm.
___
D
Atividades para casa
E
A
2
1,75
s
t
3,5
x3
x3
____
 ______ V 2  ______ V 4  x  3 V x  1
1,75
2
2
Professor: A reta w foi eliminada.
10 Sabendo que na figura abaixo r // s, determine em
seu caderno o valor de x.
2 12
12
r
x
14 Na figura a seguir, x  y e x  y  21. Sabendo que
a // b // c, e r e t são retas transversais, quais são
os valores de x e y?
9
t w
12
x
y
7,5
2,
5
b
c
x  y  21 V x  21  y
Da figura, tem-se:
21  y 12
12
x __
__
 y V ______  __
y V y  (21  y)  108 V
9
9
21  dXXXXXXXXXX
b2  4ac
441  432
b  dXXXXXXXXX
V y  _______________  ________________ 
2a
2
12 Observe o triângulo ABC a seguir.
B
3 cm
5 cm
y
r
y
V 21y  y2  108  0 V y2  21y  108  0 V
2
2,5
x
__
 ____ V 10x  30 V x  3
12
10
y
3
____
 __ V 2,5y  36 V y  14,4
2,5 12
x
12
x
11 Determine em seu caderno o valor de x e de y, sabendo que r // s // t // w.
r s
t
a
s
12 ____
2dXXX
x
x
_____
V 2  ____ V x  5

2,5
2,5
dXXX
12
A
5 dXXXXXXXXXX
b2 4ac
52  4  24
b  dXXXXXXXX
x  _______________  _________________ 
2a
2
5dXXX
121 ________
5  11
_________


V x1  3, x2  8
2
2___
Logo, a medida de BD, como não pode ser negativa,
é 3 cm.
___
Então a medida de AB é 8 cm.
r
2,5
s
C
x
4
__
 ______ V x  (x  5)  24 V x2  5x  24  0
x5
6
x13
3,5
t
B
Determine em seu caderno o valor de x, sabendo
que r // s // t.
r
___
13 Determine as medidas
___ de AB
___ e BD da figura a
seguir, sabendo que AC // DE, AB  x  5 cm,
BE  4 cm, BD  x e BC  6 cm.
C
21  dXX
9
21  3
 ________  ______ V y1  12 cm, y2  9 cm.
2
2
Então, para y  12 cm, tem-se x  9 cm. Já para
y  9 cm, tem-se x  12 cm. Como o enunciado especifica que x deve ser menor que y, a solução é
x  9 cm e y  12 cm.
15 No triângulo ABC a seguir, a bissetriz
interna do
___

ângulo
A
determina
sobre
o
lado
BC
os
segmentos
___ ___
BD e DC, cujas medidas são 3 cm e 9 cm, respectivamente. Sabendo que AB  2x  4 cm, AC 
 3y  6 cm e que x  y___
 11 cm,
___ determine em seu
caderno as medidas de AB e AC.
80
4P_YY_M9_RA_C03_076A091.indd 80
08.12.08 11:50:23
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
O perímetro do terreno A é de 6,3  5,7  5  7,2 
 24,2 cm. Isto corresponde, de acordo com a escala
dada, a 24,2  1 730  41 866 cm  418,7 m.
Portanto, serão necessários 418,7 metros de tapume
para cercar o terreno A.
Já para o terreno B, para descobrir o lado que falta,
faz-se:
6,3 __
5
____
 x V 6,3x 5 40,5 V x  6,428...  6,4.
8,1
Logo, o perímetro do terreno B é de 6,4  5,7  8,1 
 5,9  26,1 cm. Isto corresponde, de acordo com a
escala dada, a 26,1  1 730  45 153 cm  451,53 m.
Portanto, serão necessários aproximadamente 451,5
metros de tapume para cercar o terreno B.
A
3y � 6
2x � 4
B
3
D
C
9
x  y  11 cm V x  11  y
2x  4 3y  6
Pelo teorema da bissetriz interna, _______  _______.
3
9
Substituindo o valor de x, temos:
2  (11  y)  4 _______
3y  6
26  2y 3y  6
______________

V ________  _______ V
3
9
3
9
V 9  (26  2y)  3  (3y  6) V
V 234  18y  9y  18
Capítulo 3
Módulo 3: Semelhança de figuras
27y  216
PÁGINA
y  8.
Portanto, AB  2x  4  6  4  10 cm
e AC  3y  6  24  6  30 cm.
16 Considere um triângulo ABC, em que AB  7 cm e
AC  4,2 cm. Determine o perímetro do triângulo
ABC, sabendo que
a bissetriz interna
ângulo 
A
___
___do ___
determina sobre BC os segmentos BD e DC, cujas
medidas são x  2 e x respectivamente.
A
4,2
B
x�2
D
x
PÁGINA
C
Pelo teorema da bissetriz interna tem-se:
4,2
7
______
 ____
x V 7x  4,2x  8,4 V 2,8x  8,4 V
x2
8,4
____
 3.
Vx
2,8
Portanto o perímetro do triângulo é 7  4,2  5 
 3  19,2 cm.
17 O mapa a seguir representa dois terrenos situados
entre as ruas Entardecer, Manhã e Alvorecer, que
são paralelas. Durante as obras de construção dos
prédios, cada terreno será cercado com tapumes
de madeira. Quantos metros de tapumes serão necessários para cercar cada um desses terrenos?
Boxe Desafio
Nas copiadoras modernas, basta digitar uma porcentagem para que a ampliação ou redução correspondente seja realizada. Ao digitar 200%, por
exemplo, o original terá suas dimensões duplicadas. Que porcentagem se deve digitar na máquina
para que a área do original seja duplicada?
Como a razão de semelhança entre as áreas de dois
polígonos é igual ao quadrado da razão de semelhança entre seus lados, para a área ser duas vezes maior
os lados têm de ser dXX
2 vezes maior. Portanto, pode-se
dizer que o lado deve ser 1,41 vez maior. Daí, a porcentagem a ser digitada na copiadora deve ser 141%.
Logo, x  11  8  3 cm.
7
91
1
92
Atividades para classe
Verifique se as figuras apresentadas abaixo são
semelhantes. Em caso afirmativo, calcule a razão
de semelhança.
a)
Monumento em homenagem aos candangos, na Praça
dos Três Poderes, em Brasília, DF.
As figuras não são semelhantes, já que houve redução na largura da foto mas não no comprimento.
b)
81
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08.12.08 11:50:25
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 3
Sim, as figuras são semelhantes, pois os ângulos foram preservados e as medidas dos lados são propor1
cionais. A razão de semelhança é de k  2 ou k  __.
2
c)
c) Dois polígonos são semelhantes quando os lados correspondentes são proporcionais.
F – Além dos lados correspondentes serem proporcionais, é necessário que os ângulos sejam
preservados.
4
Os polígonos das figuras abaixo são semelhantes.
Determine:
C’
A
B
4,5 cm
E
3
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras,
e corrija em seu caderno as afirmações falsas.
a) Dois retângulos sempre são semelhantes.
F – Dois retângulos são semelhantes se as medidas dos lados correspondentes são proporcionais.
b) Se a medida do lado de um pentágono regular for
o dobro da medida do lado de outro pentágono
regular, os dois pentágonos serão semelhantes.
V
D’4,5 cm E’
7 cm
C
B’
a) a razão de semelhança entre os lados da figura
menor e da maior.
1,8
18
2
____
 ___  __
4,5 45 5
b) o valor de x.
x
2 __
__
 V 5x  14 V x  2,8 cm
5 7
A altura da maquete de um prédio é 50 cm. Sabendo que, depois de pronto, o prédio terá 60 m de
altura, responda às seguintes questões.
a) Qual é a escala em que esta maquete foi construída?
Se a maquete do prédio tem altura de 50 cm e
a altura do prédio real é de 60 m  6 000 cm, a
relação é de 50 para 6 000, ou seja,
5
50
1
______
 ____  ____
6000 600 120
A escala pode ser representada por 1 : 120.
b) Quais deverão ser as dimensões da piscina da
maquete, se a piscina do prédio será de 25 m
por 10 m?
Para calcular as dimensões da piscina na maquete utiliza-se a escala para fazer a proporção entre
as figuras:
25
x
1
___
 ____ V x  ____  0,208333..., ou aproxima25 120
120
damente 0,208 m, o que é equivalente a 20,8 cm.
10
1
x
___
 ____ V x  ____  0,083333..., ou aproxima10 120
120
damente 0,083 m, o que é equivalente a 8,3 cm.
Logo, as dimensões aproximadas da piscina na
maquete serão 20,8 cm por 8,3 cm.
c) A porta principal do prédio tem, na maquete,
1,8 cm de altura. Qual é a altura da mesma porta, no prédio real?
Altura da porta na maquete: 1,8 cm.
Utilizando a escala, tem-se que:
1,8
1
___
____
x  120 V x  216 cm, o que é equivalente a:
2,16 m.
m 3
1,8 c D ,2 cm
A’
As figuras não são semelhantes, pois os ângulos não
foram preservados.
2
x
5
Determine o perímetro de um para4
lelogramo ampliado
semelhante ao da
figura, sabendo que
6
a razão entre os la3
dos do original para o ampliado deve ser igual a __ .
4
Perímetro da figura: 4  6  4  6  20.
3
Sendo a razão de semelhança __, estabelece-se a
4
seguinte proporção entre os perímetros das figuras
original e ampliada:
3
80
20 __
___
___
x  4 V 3x  80 V x  3 , que é o valor do perímetro da ampliação da figura.
6
O triângulo da figura
foi dividido em duas
partes por um segmento paralelo à base.
Sabendo que as duas
partes
determinadas
possuem áreas iguais,
determine o que se pede
em cada item.
B
A
D
E
C
a) a razão entre as áreas dos triângulos semelhantes ADE e ABC.
Chamando a área do triângulo ABC de A1, a área
do triângulo ADE de A2 e a área do trapézio BCDE
de A3, tem-se:
A2  A3
A1  A2  A3 V A1  A2  A2  2A2.
A2
A2
1
Logo k  ___  ____  __.
A1
2A2 2
DE
___
b) A razão
.
BC
Sendo k a razão entre as áreas, a razão entre segmentos correspondentes é dXX
k.
dXX
dXX
XX
2 ___
2
1 ___
1
DE ___
DE
___
__
___



 .
V
Portanto,
BC
BC dXX
2
2
d
XX
2
2
d
82
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08.12.08 11:50:26
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
PÁGINA
7
93
Atividades para casa
Determine a razão de semelhança entre os lados e
entre as áreas dos polígonos semelhantes indicados em cada item.
a) Octógonos regulares
1
Razão entre os lados: k  __.
7
7
1
Razão entre
1
k2  ___.
49
as
áreas:
b) Losangos
2
3
3
Razão entre os lados: k  __.
2
9
Razão entre as áreas: k2  __.
4
.
c) Retângulos
2
2
2
Razão entre os lados: k  __  2.
1
Razão entre as áreas: k2  4.
8
Responda às perguntas em seu caderno, justificando sua resposta.
a) Dois losangos são sempre semelhantes?
Não, pois os ângulos correspondentes podem
não ser congruentes apesar de seus lados serem
necessariamente proporcionais.
b) Dados dois polígonos A e B, em que todos os
ângulos internos de A são congruentes aos respectivos ângulos internos de B, é possível afirmar que A e B são polígonos semelhantes?
Não, pois os lados correspondentes podem não
ser proporcionais.
c) Dois polígonos regulares, com o mesmo número
de lados, são sempre semelhantes?
Sim, pois os ângulos são congruentes.
d) Um quadrilátero A tem lados com medidas 2 cm,
2,5 cm, 3 cm e 2 cm. Um quadrilátero B tem lados com medidas 6 cm, 7,5 cm, 9 cm e 6 cm. Eles
são semelhantes?
Nada se pode afirmar sem saber se os ângulos
foram preservados.
9
10 As copiadoras modernas permitem que se façam
ampliações e reduções com bastante facilidade.
Basta fornecer a razão de semelhança desejada,
em forma de porcentagem.
a) Se você digitar 50% em uma destas máquinas,
o que ela vai fazer?
Reduzir o original, de forma que os lados da cópia
sejam a metade do original.
b) Para obter uma ampliação em que todos os lados são aumentados 1,7 vez, o que se deve digitar?
Aumentar 1,7 vez corresponde a aumentar em
170%.
c) Um original retangular tem medidas 8 cm por
15 cm. Deve ser reduzido de forma que o lado
maior passe a medir 9 cm. O que se deve digitar
na copiadora?
9
Sendo a razão de ___  0,6  60%, deve-se digi15
tar 60%.
d) O que acontece ao se digitar 100%?
A cópia obtida tem tamanho igual ao original.
1
4
Capítulo 3
Roberta comprou um porta-retratos de 24 cm por
15 cm. Ela quer colocar nele uma fotografia de seu
filho Guilherme com medidas iguais a 9 cm por
6 cm. Ela pediu que se fizesse uma ampliação com
as medidas do porta-retratos.
Será possível preservar a imagem com todas as
proporções? Explique.
15
24
Como ___  ___, a foto ampliada sofrerá alguma de9
6
formação ou ficará menor que o porta-retratos.
11 Dois hexágonos regulares A e B são semelhantes,
3
__
e a razão de semelhança de A para B é igual a .
4
a) Determine a medida de cada lado de A, sabendo que o lado de B tem medida igual a 12.
LA 3
LA 3
k  ___  __ V ___  __ V LA  9
4
LB 4
12
b) Determine a razão entre as áreas de A para B.
AA
3 2
9
___
 k2  __  ___
4
AB
16
@ #
12 Lúcia quer montar a maquete do quarto da casa onde
mora, que tem dimensões 3 metros por 4 metros.
a) É possível montar a maquete dentro de uma caixa de sapatos, com medidas 31 cm por 19 cm?
400
Razão entre os comprimentos: _____  12,9.
31
300
____
Razão entre as larguras:
 15,8.
19
Pode-se montar a maquete nesta caixa, mas
como as razões entre comprimentos e larguras
têm valores diferentes, nem toda a superfície da
caixa será utilizada.
b) Se essa maquete for feita na caixa de sapatos
de 31 cm por 19 cm de tal forma que a medida
da parede de 3 metros do quarto seja representada no lado de 19 centímetros da caixa, a quantos centímetros corresponderá o comprimento
(maior dimensão) do quarto?
3
4
___
 __
x V 3x  4  19 V 3x  76 V x  25,3 cm
19
c) Qual será a escala utilizada?
Se na maquete a parede de 3 m (300 cm) foi
representada por uma de 19 cm, isso significa
que cada centímetro na maquete corresponde a
300
____
 15,8 cm do quarto. Assim, a escala usada
19
foi de 1 : 15,8.
d) De que tamanho deverá ser feita a caminha, se
a cama real tem dimensões 1,90 m  90 cm 
40 cm?
83
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08.12.08 11:50:27
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 3
As dimensões da cama real são:
1,90 m  190 cm, 90 cm e 40 cm.
De acordo com a escala 1 : 15,8, as dimensões da
cama na maquete serão:
190
90
____
 12 cm de comprimento, ____  5,7 cm de
15,8
15,8
40
largura e ____  2,5 cm de altura.
15,8
3
Verifique se os triângulos ilustrados em cada item
são semelhantes e, em caso afirmativo, identifique
o caso que justifica a semelhança.
a)
30º
Módulo 4: Semelhança de triângulos
PÁGINA
1
97
60º
Sim, pois a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°. Logo, o ângulo que falta no
triângulo azul é de 30°. O mesmo ocorre no triângulo verde: o ângulo que falta é de 60°. Portanto
os dois triângulos têm ângulos congruentes e o
caso que justifica a semelhança é AA.
Atividades para classe
Na figura abaixo, os lados dos três triângulos são
paralelos.
b)
6
3
5
a) É possível afirmar que os três triângulos são semelhantes? Por quê?
Sim, pois se os três lados são paralelos, os ângulos são congruentes.
b) Sabendo que o perímetro do triângulo maior é
16 cm e o do menor é 6 cm, é possível calcular
as medidas dos lados do triângulo menor? Explique.
Não. É preciso saber as medidas dos lados do
triângulo maior.
2
2
1
10
Os lados correspondentes dos dois triângulos são
proporcionais. Logo os triângulos são semelhantes, e o caso que justifica a semelhança é o LLL.
4
Para determinar a altura de uma torre de iluminação, uma pessoa fincou um bastão de 0,5 m de altura a 25 m do pé da torre. Em seguida, observou
o comprimento da sombra do bastão que a luz no
topo da torre projetava no chão. Veja a figura.
Observe os triângulos ilustrados abaixo.
5,5 cm
x
2,5 cm
3
y
a) Determine x, sabendo que os ângulos assinalados com o mesmo símbolo têm mesma medida.
3  5,5
3
x
____
 ____ V x  ______  6,6 cm
5,5 2,5
2,5
b) O perímetro do triângulo menor é 7,7 cm. Determine y e o perímetro do triângulo maior.
Perímetro do menor: 7,7 cm. Logo, a base do
triângulo é 7,7  5,5  2,2 cm.
y
5,5
A base do triângulo maior é ____  ___ V
2,5
2,2
5,5  2,2
V y  ________  4,84 cm.
2,5
Perímetro do maior: 5,5  6,6  4,84 
 16,94 cm.
Determine a altura da torre, considerando que o
comprimento da sombra é de 1 m.
x
0,5
25
1
0,5
1
___
 ____
x V x  26  0,5  13
26
A altura da torre é 13 metros.
84
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08.12.08 11:50:28
resolução de atividades Capítulo 3
___
___
5 Nas figuras abaixo ​UA​/ / ​IM​ . Determine x e y.
a)
98
Página Atividades para casa
___
___
U
y
8 Sabendo que ​DE​ // ​BC​ , calcule a medida x nos
triângulos abaixo.
a)
A
8,4
I
1,2
3
0,8
x
S
M
A
3,6
8,4
1,2
___
​ 
​  x   ​ 5 _______
  
 ​ V 1,2x 1 4,32 5 8,4x V 7,2x 5​
x 1 3,6
5 4,32 V x 5 0,6
0,8
1,2
____
  
​ 5 _______
​ 
 ​ V 0,96 1 1,2y 5 6,72 V 1,2y 5​
​     
8,4
0,8 1 y
5 5,76 V y 5 4,8
b)
D
E
5
2
x
B
C
25
x 5
__
​   ​ 5 __
​   ​V 3x 5 25 V x 5 ​ ___ ​ 
5 3
3
b)
A
B
D
12
x
16
U 1,2
I
3
S
4
x
E
C
x
x12
__
​     ​5 ______
 
​     
​V 16x 5 12x 1 24 V 4x 5 24 V x 5 6
12
16
3,5
A
2
yM
3
4
____
​5 __
​ x ​  V 3x 5 16,8 V x 5 5,6
​      
4,2
y 1 3,5 ___
3,5
   
​ 
5 ​     ​V 19,6 5 4y 1 14 V 4y 5 5,6 V
​ _______
4
5,6
V y 5 1,4
9 Os triângulos abaixo são semelhantes e a razão de
2
__
semelhança é ​    ​. Determine x e y.
5
14
8
12
x
y
6 Verifique se as afirmações abaixo estão corretas e
corrija em seu caderno as afirmações incorretas.
a) Dois triângulos equiláteros são semelhantes.
V – aqui todos os casos de semelhança de triângulos são verificados.
b) Dois triângulos isósceles com os ângulos dos
vértices opostos à base congruentes são semelhantes.
V – verifica-se LAL.
c) Dois triângulos com dois lados correspondentes
proporcionais e um par de ângulos correspondentes congruentes são semelhantes.
F – é necessário que os dois lados sejam adjacentes ao ângulo congruente.
7 Considere os triângulos
ilustrados e a proporção
indicada.
Sabendo que a área do
triângulo ABC é igual a 12,
determine a área do triângulo CDE.
4
Sendo k 5 ​ __ ​a razão de se- A
3
melhança dos segmentos,
D
20
2
2
x
Sendo k 5 __
​   ​, tem-se: __
 ​  ​5 ___
​     ​V 5x 5 28 V x 5 5,6
5
5 14
y
2
__
​     ​V 5y 5 24 V y 5 4,8
​   ​5 __
5 12
10 Identifique quais dos triângulos abaixo são semelhantes e indique o caso que justifica a semelhança
entre eles.
8
4
4
(I)
2
(II)
E
3
6
C
4
AB � __ DE
3
B
16
​   ​  .​
a razão de semelhança entre as áreas é k2 5 ___
9
Se a área do triângulo ABC é 12, então se tem:
12 ? 9 ___
27
12 16
__
   
​ 5 ​   ​ 
​ x ​ 5 ___
 ​  ​ V x 5  ​_____
4
9
16
9,6
(III)
4
(IV)
3
2
(V)
4,8
1
5
(VI)
Os triângulos semelhantes são, pelo caso LAL, os
triângulos I e IV e os triângulos II e III.
85
5P_YY_M9_RA_C03_076A091.indd 85
11.12.08 15:03:23
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
Capítulo 3
11 Encontre os ângulos congruentes na figura. Determine os triângulos semelhantes e monte as proporções, para encontrar os valores de x e y.
Quantos metros o turista ainda vai ter que andar?
x
a)
São semelhantes os
triângulos OMB, IOB
e IMO. O ângulo I
BO é
I congruente ao ângulo
y
x
I
OM e o ângulo OIB é
congruente ao B
OM. Podem-se estabelecer as
O
seguintes proporções:
4 ___
x
__
2


64
V
x

8
V
x
x
16
y
20
__  ___
2
d 80 V y  4dXX
5
y V y  80 V y  XXX
4
B 4
M
170 m
16
b)
São semelhantes os
triângulos ABC, ABD
AD
e ACD. O ângulo B
é
congruente
ao
âny
4
gulo A
CB e o ângulo
A
BC é congruente ao

B x D
6
C CAD. Podem-se estabelecer as seguintes
proporções:
x ______
4
__
2
V x  6x  16  0

4 x6
6  dXXXXXXXXX
36  64
b2 4ac _______________
b  dXXXXXXXX
_______________


x
2a
2
6 10
 ________ V x1  2 e x2  8
2
Descarta-se a resposta negativa por se tratar de
uma medida geométrica. Logo, x  2.
y
2 __
__
2
d3
y  6 V y  12 V y  2 XX
A
12 Um triângulo ABC tem lados de medida
AB  10, AC  12 e BC  15. Determine a medida
dos lados de um triângulo A'B'C' semelhante ao triângulo ABC, sabendo que A'B'  15.
10 __
12
___
 x V 10x  180 V x  18
15
10 ___
15
___
 y V 10y  225 V y  22,5
15
Portanto, os lados medem: 15, 18 e 22,5.
13 Um turista está subindo uma enorme ladeira que
dá acesso a um mirante muito conhecido da cidade. Depois de já ter andado 200 m, vê uma plaquinha com os dizeres “Parabéns! Você já está a 34 m
de altura! O ponto mais alto está a 170 m de altura:
agora falta pouco!”.
170 m
0
20
m
34 m
34 m
200 m
200 ________
200  x
____

V 34 000  6 800  34x V
34
170
V 34x  27 200 V x  800
Logo, o turista terá de andar mais 800 metros.
14 Em um triângulo isósceles, a base mede 10 cm.
Se o perímetro desse triângulo é igual a 34 cm,
determine o valor da medida da base e dos lados
de outro triângulo, congruente ao primeiro, cujo
perímetro é igual a 17 cm.
O perímetro do triângulo é 34 cm. Sendo ele isósceles e sua base medindo 10 cm, os dois lados restan34  10 24
tes medem ________  ___  12 cm.
2
2
O perímetro do outro triângulo corresponde a metade do perímetro do primeiro. Como a razão entre os
perímetros também é a razão entre os segmentos
correspondentes, os lados do outro triângulo terão
metade das medidas do triângulo maior. Portanto a
base medirá 5 cm e os demais lados, 6 cm.
PÁGINA
99
Atividades para casa
15 Na figura abaixo, AB  3  BC. Sabendo que CD 
 28, responda às questões seguintes.
D
E
C
A
B
___
a) Qual a ___
medida de
___BE ?
Sendo AB  3  BC, sendo semelhantes os triângulos ABE e ACD, e chamando de x a medida de
___
BC, tem-se:
28  3
28 ___
4x
___

V BE  ______  21
BE 3x
4
b) Quantas vezes o perímetro do triângulo ACD é
maior que o perímetro do triângulo ABE?
A razão entre os lados correspondentes é k 
28
 ___  1,333... Portanto, pode-se dizer que o
21
perímetro do triângulo ACD é aproximadamente
1,33 vez maior que o perímetro do triângulo ABE.
c) Quantas vezes a área do triângulo ACD é maior
que a área do triângulo ABE?
A razão entre as áreas será k2  (1,33)2  1,78,
aproximadamente. Portanto, a área do triângulo
ACD é aproximadamente 1,78 vez maior que a do
triângulo ABE.
0
86
4P_YY_M9_RA_C03_076A091.indd 86
08.12.08 11:50:32
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
16 Determine as medidas x e y nas figuras abaixo.
a)
___
E
___
BC // EF
CD � 2,5 cm
F
BD � 6,0 cm
ED � x
DF � 9,0 cm
EF � y
BC � 7,5 cm
D
B
C
___
A
8
B
3
6
C
D
x
a) Os triângulos ABC e ECD são semelhantes? Em
caso afirmativo, identifique o caso de semelhança.
Sim, são semelhantes pelo caso LAL.
5
4
y
B
x
Pela semelhança entre os triângulos ABD e BCD,
tem-se:
5
20
x __
__
 V x  ___  6,66...
4 3
3
y __
16
4
___
__
 5,33...
 Vy
4 3
3
c)
A
AD
BD
BE
AE
CE
CD
E
�
�
�
�
�
�
4 cm
3 cm
8,2 cm
x
12 cm
y
Fazendo a semelhança entre os triângulos ABE e ACD,
tem-se:
x ______
4
__
V x2  12x  28 V x2  12x  28  0

7 x  12
b2 4ac
b  dXXXXXXXX
12 dXXXXXXXXX
144  112
x  _______________  ________________ 
2a
2
12  dXXXX
256 _________
12  16
___________


V x1  14 e x2  2
2
2
Logo, x  2 cm, pois não convém resposta negativa.
x ____
2 ____
4
4
__
__
y  8,2 V y  8,2 V 4y  16,4 V y  4,1 cm
B
___
C
E
b) Qual a razão de semelhança entre os triângulos
ABC e ECD?
BC 6
k  ___  __  2
CD 3
c) Qual o valor de x?
6
8 __
__
x 3Vx4
d) Qual é a área do triângulo ECD?
bh 34
A  _____  _____  6
2
2
e) Qual é a razão entre os perímetros dos triângulos
ABC e ECD?
A razão entre os perímetros é igual à razão entre
os segmentos (k). Portanto, a razão é 2.
f) Qual é a razão entre as áreas dos triângulos
ABC e ECD?
A razão entre as áreas é de k2  22  4.
18 Os triângulos da figura são equiláteros e semelhantes.
C
B
A
___
E
D
d)
___
17 Observe a figura e responda.
3
D
___
y 12
BC
AC
___
___  ___
___
V __  __ V 6y  84 V y  14 cm
7
6
CE CD
C
A
Fazendo a semelhança entre os triângulos ABC e
CDE, tem-se:
AC
AB
x 12
___
___  ___
___
V __  __ V 6x  60 V x  10 cm
5
6
DE CD
Pela semelhança entre os triângulos BCD e DEF,
tem-se:
2,5  9
9
x
____
 __ V x  ______  3,75 cm
6
2,5
6
y ___
7,5
7,5  9
__
______

Vy
 11,25 cm
9
6
6
b)
Capítulo 3
___
AB // DE
AB  x
D BC  y
AC  12 cm
CD  6 cm
CE  7 cm
DE  5 cm
Determine o perímetro do triângulo menor, sabendo a que razão entre as medidas dos lados do
2
__
triângulo maior para o triângulo menor é igual a
3
e que o perímetro do triângulo maior é igual a 18.
A razão entre as medidas dos lados do triângulo me2
nor para o triângulo maior é k  __. Assim, a razão
3
2
entre os perímetros também é __. Logo, o perímetro
3
2
do triângulo menor deve ser: __  18  12.
3
87
4P_YY_M9_RA_C03_076A091.indd 87
08.12.08 11:50:33
resolução de atividades Capítulo 3
19 Na figura, o quadrilátero BDEF inscrito
___ no triân­
gulo é um losango. A ___
medida do lado ​AB​ é igual a
12 e a medida do lado ​BC​ é igual a 18. Determine as
medidas dos lados do losango.
A
E
B
D
F
C
___
Como
é um losango, as medidas dos
​  ,
___
___BDEF___
___ lados
___BE​
​___
DE​ , ​DF​
  e ​BF​  são iguais. Além disso, BE​
​   // ​DF​  e
___
​DE​ // BF​
​  .
Chamando de x o lado do losango, e fazendo a semelhança entre os triângulos ABC e DFC, tem-se:
12
x
​ ___  ​5 ______
​      
​V 18x 5 216 2 12x V 30x 5 216 V
18 18 2 x
V x 5 7,2
Este exercício também pode ser resolvido estabelecendo as relações de semelhança entre os triângulos ABC e AED.
ser sempre a mesma. Esses valores estão indica­
dos nas extremidades das bases dos retângulos.
Além disso, o ponto médio da base do retângulo
deve sempre coincidir com o valor médio dos in­
tervalos de classe. Os intervalos no histograma
representado foram divididos em faixas salariais
de amplitude igual a 500 reais.
Para escrever as classes representadas no gráfi­
co usam-se os valores das extremidades da clas­
se relacionados por um “T” deitado. Por exemplo,
para representar a faixa salarial de 0 a 500 reais,
escreve-se 0 500.
Na linha vertical está indicada a frequência desses
intervalos. No histograma acima, essa frequência
indica o número de funcionários que recebem
o salário de acordo com a faixa salarial. Assim,
um funcionário que recebe um salário de 300
reais deve ser incluído na frequência do intervalo de
0 500.
Monte uma tabela como a ilustrada abaixo para
organizar de outra maneira os dados apresenta­
dos no gráfico.
Distribuição dos salários
Faixa salarial
0
500
500
1 000
1 000
1 500
Tratamento da informação
Número de
funcionários
Ler e interpretar histogramas
Página
100
Coleta de informação
12
15
Distribuição dos salários
Paulo trabalha no setor de Recursos Humanos
da empresa Alfa. Na próxima semana ele terá de
apresentar, em uma reunião com a diretoria, um
relatório sobre a distribuição das faixas salariais
na empresa. Para facilitar a visualização das in­
formações, Paulo vai incluir no relatório os dados
representados em um histograma.
Número de
funcionários
Faixa salarial
Número de
funcionários
Página
101
1 500
2 000 2 000
6
2 500 2 500
3
3 000
3
Leitura de dados
a Quais são as faixas salariais dos funcionários da
empresa Alfa indicadas no histograma?
0 500; 500 1 000; 1 000 1 500; 1 500 2 000;
2 000 2 500; 2 500 3 000
24
15
b Qual a frequência do intervalo de classe 0
24 funcionários.
12
500?
c Considerando que os salários de todos os funcioná­
rios da empresa estão em alguma das faixas con­
sideradas, qual é o número de funcionários dessa
empresa?
24 1 15 1 12 1 6 1 3 1 3 5 63 funcionários.
6
3
0
Página
24
100
500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000
Salário
(em reais)
Organização da informação
No histograma, as bases do retângulo represen­
tam as classes de dados, ou seja, o intervalo con­
siderado na coleta de dados. Os intervalos devem
ter todos a mesma amplitude, isto é, a diferença
entre o maior e o menor valor de cada classe deve
d Quantos funcionários recebem um salário maior
que 2 mil reais?
De acordo com as informações, 6 funcionários têm
salário maior de 2 mil reais.
e Se um funcionário recebe 1 200 reais de salário,
em que intervalo de classe o seu salário deve ser
incluído?
No terceiro intervalo de classe: 1 000 1 500.
88
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11.12.08 15:05:22
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
PÁGINA
101
b)
Comunicação de resultados
101
c)
d)
Observe no histograma os dados obtidos na coleta
de informação, faça a organização dos dados em
uma tabela e a leitura de dados para responder às
questões.
O histograma a seguir apresenta os dados referentes às notas da primeira prova de Matemática em
uma sala do 9o ano.
3
13
14
12
10
8
10
6
4
2
3
4x
2
_______
__

x7
4
Calcule a área de um retângulo em que uma das
3
__
da outra e cujo perímetro é
dimensões mede
4
140 cm.
O perímetro do retângulo é dado por 2a  2b  140 V
3
3
V a  b  70. Como b  __a, tem-se que a  __a 
4
4
 70 V 7a  280 V a  40 cm. Logo, b 
3
 __  40  30 cm.
4
Portanto, a área do retângulo é dada por a  b 
 40  30  1 200 cm2.
NOTAS DA 1a PROVA DE MATEMÁTICA
(TURMA DO 9o ANO)
Quantidade
de alunos
6
x_____
1
___

5
15
15x  15  30 V 15x  15 V x  1
16x  8  3x  21 V 13x  13 V V x  1
2
Faça você
2x
___ 12
__

7
21
42x  84 V x  2
A partir dos dados que você pôde analisar no gráfico e os obtidos com a organização das informações, elabore um parágrafo sobre a relação entre a
distribuição salarial nessa empresa e o número de
funcionários em cada faixa.
Resposta possível: “Mais da metade dos funcionários
da empresa ganha menos de RS|| 1 000,00, enquanto
que cerca de 10% ganha mais de RS|| 2 000,00”.
PÁGINA
9
O desenho abaixo representa dois terrenos vizinhos cujas laterais são perpendiculares à rua Santana. A medida total dos fundos dos terrenos, na
rua Santa Clara, é de 150 m. Calcule a medida dos
fundos de cada terreno.
Rua Santana
3
2
0–2
4–6
2–4
0
Quantidade
de alunos
a
b
c
d
e
2
2
40 m
60 m
6–8
8–10
Notas
Obtém-se a tabela abaixo a partir dos dados do
gráfico:
Notas
2
4
4
3
6
10
6
8
13
8
x
10
y
ra
nta Cla
Rua Sa
9
Quantos alunos tiraram nota menor ou igual a 4?
De acordo com as informações do gráfico, 5 alunos
tiraram nota menor ou igual a 4.
Qual a quantidade de alunos dessa sala do 9o ano?
2  3  10  13  9  37 alunos.
Quantos alunos tiraram nota acima de 8?
9 alunos tiraram nota acima de 8.
Se Marcelo tirou nota 7, em qual intervalo de classe
a nota dele deve ser computada?
No 4o intervalo de classe: 6 8.
Há mais alunos com nota acima ou abaixo de 5?
Há mais alunos com nota acima de 5.
60 __
3
x
___
 V 40x  60y V x  __y
40 y
2
3
Como x  y  150, __y  y  150 V 5y  300 V
2
V y  60 m.
3
3
Assim, x  __y V x  __  60  90 m.
2
2
4
Calcule x, y e z, sabendo que r // s // t // u e que x
 y  z  10.
3
x
7
y
5
PÁGINA
1
104
Questões globais
Calcule, mentalmente, o valor de x nas proporções.
3
x
__
__
a) 
4
8
x6
Capítulo 3
z
r
s
t
u
Sendo x  y  z  10, tem-se:
15 __
3 __
5
30
3  7  5 ___
7 __
__________
___
x  y  z  10  x  y  z V x  15 
50 10
70 14
 2; y  ___  ___  4,66...; z  ___  ___  3,33...
15
15
3
3
89
4P_YY_M9_RA_C03_076A091.indd 89
08.12.08 11:50:35
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
5
Capítulo 3
A razão entre as medidas dos ângulos agudos de
1
__
um triângulo retângulo é igual a . Determine as
4
medidas desses ângulos.
Num triângulo retângulo a soma dos ângulos não-retos é igual a 90°. Para que a razão entre esses ân1
gulos seja __ , deve-se fazer a seguinte proporção:
4
x
1
________
 __ V 4x  90°  x V 5x  90° V x 
4
90°  x
 18° V 90°  x  90°  18°  72°.
b) Se os três lados de um triângulo ABC são proporcionais aos três lados de um triângulo EFG;
então, necessariamente, seus ângulos têm a
mesma medida.
V – se os três lados são proporcionais aos três lados correspondentes do outro triângulo então os
dois triângulos são semelhantes pelo caso LLL.
Logo, seus ângulos terão a mesma medida.
c) Se num triângulo ABC___
for construído um segmento de
o ponto médio
___
___reta paralelo a BC, unindo
de AB ao ponto médio de AC, então a medida
___
deste segmento será metade___
da medida de BC.
V – seja___
M o ponto médio
de
___AB e N o ponto mé___
dio de AC . Tem-se MN // BC e o triângulo AMN
semelhante a ABC. A razão de semelhança será
___
1
de k  __, pois M é ponto médio de AC. Logo,
2
1
MN  __ BC.
2
d) Considere___
um triângulo ABC. Seja ___
M o ponto
médio de AB e N o ponto médio de AC. A área
do triângulo AMN é metade da área do triângulo ABC.
1
F – pois sendo k  __, a razão entre as medidas
2
das áreas será k2, portanto a área do triângulo
1
menor será __ da área do maior.
4
Logo, os ângulos procurados são 18° e 72°.
6
A treliça abaixo, feita de bambu, foi usada em um
jardim, para apoiar plantas trepadeiras. Os bambus horizontais foram amarrados paralelamente.
Calcule as medidas desconhecidas, com aproximações de uma casa decimal.
x
2
z
1,5
13,5
11,25
t
2,5
7
a
y
3
b
Fazendo a proporção entre os dois primeiros bambus, tem-se:
2,5
2  3  1,5  2,5 _____
9
2 3 1,5 ____
________________

 __  __  ___
z  t
11,25
11,25 x y
x  2,5
y  3,75  3,8
z  1,875  1,9
t  3,125  3,1
Agora, fazendo a proporção entre o primeiro e o último bambu, tem-se:
3  13,5
3
a
____
 __ V a  _______  4,5
13,5 9
9
2,5
2,5  13,5
b
____
____
_________

Vb
 3,75  3,8
13,5
9
9
___



figura
___ abaixo, AD é bissetriz de BAC e
EF // BC. Calcule x, y e z.
Na
___
A
3
6
E
9
B
1
x
z
F
y
D
8
C
Primeiramente, pelo teorema de Tales, encontra-se
3 6
o valor de y: __  __
y V y  18.
9
Agora, pelo teorema da bissetriz interna, encontram-se os demais valores:
3 __
6
__
 z V z  2;
1
24
12 ___
__
x  8 V x  4.
8
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras
e corrija em seu caderno as afirmações falsas.
a) Dois retângulos são sempre semelhantes, já que
todos os seus ângulos medem 90°.
F – é necessário saber se os lados correspondentes são proporcionais.
9
Na figura, o quadrilátero
___ MESA é um quadrado e M
é o ponto médio de AB.
Responda.
B
E
M
AC  20 cm
A
S
C
a) Quantos triângulos retângulos há na figura?
São três triângulos retângulos: ABC, BEM, CES.
A? Por
EM é congruente ao ângulo BC
b) O ângulo B
quê?
___
___
Sim, pois EM // AC, já que são lados de um quaEM e B
CA são ângulos correspondrado. Assim, B
dentes e portanto congruentes.
c) Quais são os triângulos semelhantes na figura?
Todos, pelo caso AA.
d) Qual é a razão de semelhança entre :ABC e
:BME?
A razão de semelhança
é de k  2, já que M é
___
ponto médio de AB.
___
e) S é o ponto médio de AC? Justifique.
Sim,
___ pois BM  MA , já que M é ponto médio de
AB . Sendo MESA um quadrado, a razão de semelhança entre os lados dos triângulos BME e ESC
é 1. Logo, ME  SC. Como ME  AS, tem-se
que
___
AS  SC , ou seja, S é ponto médio de AC.
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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
PÁGINA
105
Questões globais
___
A, e AH é a altura
10 O triângulo ABC é retângulo em 
relativa ao seu maior lado, a.
B
A
AB � c CH � m
AH � h BH � n
AC � b BC � a
H
C
a) Monte todas as proporções possíveis pela semelhança usando as medidas literais dos lados
dos triângulos.
São possíveis as seguintes proporções:
b a c c
b a c a b b c
a __
__
 ; __  __; __  __; __  __; __  __; __  __;
b m b h h m c n c h h n
b __
b __
m __
h __
m __
h
__
c  h ; c  n; h  n.
b) Quais são as relações entre os lados dos triângulos semelhantes determinadas pelas proporções?
São possíveis as seguintes proporções:
a  h  b  c; b  h  c  m; c  h  b  n; b2  a  m;
Capítulo 3
12 A certa hora do
dia, a medida do
comprimento da
sombra de um
edifício iluminado pelos raios
solares era igual
a 45 metros de
comprimento. Um
bastão vertical de
3 metros de altux
45 m 3 m
ra colocado ao
lado do edifício
na mesma hora possui uma sombra de 4,5 metros
de comprimento. Determine a altura do edifício.
A relação é assim estabelecida:
3
h
___
 ____ V h  30 metros.
45 4,5
13 Determine o valor da medida x do lado do quadrado inscrito no triângulo da figura.
18 � x
18
x
c2  a  n; h2  m  n.
11 As folhas de papel usadas em escritórios e escolas são padronizadas, isto é, têm um tamanho predeterminado. Elas recebem nomes: A0, A1, A2, A3 e
A4 e cada uma é obtida cortando a anterior ao meio
em sua maior dimensão. Observe.
12
18  x
18
___
V 18x  216  12x V 30x  216 V
 ______
x
12
V x  7,2
14 Determine o perímetro do triângulo ADE da figura.
A
2
x
1
a) Calcule as dimensões das folhas A3 e A4.
59,5
A folha A3 terá _____  29,75 cm por 42 cm.
2
42
___
 21 cm por 29,75 cm.
A folha A4 terá
2
b) Mostre, calculando as razões de semelhança,
que essas folhas são figuras semelhantes.
Ao calcular as razões de semelhança encontra-se
valores muito próximos:
84,1
59,5
29,75
118,9
42
_____
 _____  _____  _____  _____ 
84,1
59,5
42
29,75
21
 1,41  dXX
2
B
D
E
5
x
C
Os triângulos ADE e ACB são semelhantes (caso
AA). Então tem-se:
x
2
_____
 ______ V 4  2x  x2  x V x2  3x  4 
x1 2x
 0 V x  4.
___
2 DE
Para achar a medida de DE, faz-se: __  ___ V
5
4
V DE  2,5.
O perímetro de ADE é 2  3  2,5  7,5.
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