COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA: CONTRIBUTOS DO PFCM NA
REFLEXÃO DAS PRÁTICAS DE PROFESSORES
Filipe Sousa
IEC – UM (e-mail: [email protected])
Valter Cebolo
IEC – UM (e-mail: [email protected])
Berta Alves
IEC – UM (e-mail: [email protected])
Ema Mamede
IEC – UM (e-mail: [email protected])
RESUMO
A reflexão sobre as práticas dos professores constitui um dos aspectos que mais define e
enriquece o Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 2º
Ciclo do Ensino Básico, (PFCM). A consciencialização da importância do
desenvolvimento nos alunos da comunicação matemática enquanto capacidade
transversal materializa-se nos relatos e reflexões escritas que integram os portefólios
produzidos pelos professores. Neste contexto, serão aqui analisadas algumas
limitações/constrangimentos revelados na promoção da comunicação matemática em de
sala de aula. São também abordados outros aspectos essenciais directamente
relacionados com esta capacidade, de salientar, a selecção cuidada das tarefas, a
valorização das produções dos alunos, o incentivo à explicação de estratégias de
resolução e à argumentação sobre os processos, a organização e gestão do trabalho a
desenvolver nos diversos momentos da aula, e as formas intervenção do professor.
Introdução
O PFCM tem como finalidade última a melhoria das aprendizagens dos alunos na área
da Matemática e o desenvolvimento de uma atitude positiva face a esta área do saber.
O PFCM funcionou em grupo, sendo que cada grupo era constituído por cerca de 10
professores. Uma parte da formação reportou-se a sessões conjuntas que se realizam
quinzenalmente, nas quais se pretendia o desenvolvimento de propostas curriculares a
experimentar na aula e o aprofundamento do conhecimento matemático necessário para
a sua concretização. Nestas sessões conjuntas, os professores foram desafiados a
questionar-se sobre a importância do seu papel na motivação e gestão da comunicação
matemática na sala de aula. Os professores tiveram ainda o acompanhamento do
formador em algumas aulas durante o seu horário lectivo normal, para a concretização e
análise das experiências, que contribuíram para um aprofundamento no processo de
reflexão individual e conjunta das práticas, criando desta forma dinâmicas de trabalho
colaborativo.
A cultura de reflexão promovida neste Programa terá sido um dos aspectos que mais o
define e enriquece, tendo-se mostrado essencial para a consciencialização e discussão
dos professores de muitas questões actuais associadas ao processo ensino e
aprendizagem da Matemática. Neste processo, destaca-se a tomada de consciência da
importância da comunicação matemática e a forma como esta é geralmente promovida
na sala de aula. Sendo esta uma questão que sempre interessou e preocupou os
formadores que integram a equipa de formação da Universidade do Minho, foi
constantemente discutida nas sessões de formação, levando a que os professores se
questionassem acerca da importância do seu papel na motivação e gestão da
comunicação na sala de aula. É nossa intenção partilhar aqui alguns testemunhos, que
espelham algumas dificuldades existentes na promoção de uma cultura de comunicação
matemática na sala de aula, tendo consciência de que serão apenas reflexo do início de
um possível processo de mudança por parte do professor.
A comunicação matemática
O recente Programa de Matemática do Ensino Básico (2007) também destaca a
comunicação matemática como uma importante capacidade transversal a toda a
aprendizagem da Matemática, juntamente com a Resolução de Problemas e o
Raciocínio Matemático, realçando que “os alunos devem ser capazes de comunicar as
suas ideias e interpretar as ideias dos outros, organizando e clarificando o seu
pensamento matemático.” (DGIDC, 2007, p. 5). Ou seja, os alunos devem ser capazes
de interpretar enunciados apresentados de forma oral ou escrita, expressar ideias usando
uma linguagem matemática precisa, descrever e explicar estratégias e processos
utilizados nas suas produções, argumentar e discutir argumentações apresentadas por
outros (DGIDC, 2007).
Também o National Council of Teachers of Mathematics (2007), NCTM, enfatiza o
papel da comunicação como parte essencial da educação matemática, distinguindo a
importância de organizar e consolidar o pensamento matemático através da
comunicação, comunicar o pensamento matemático de forma coerente e clara entre
colegas, professores e outros; analisar e avaliar as estratégias e o pensamento
matemático usados por outros e usar a linguagem da matemática para expressar ideias
matemáticas com precisão. Embora seja mais usual a comunicação oral na aula de
matemática, o NCTM (2007) destaca igualmente a importância da comunicação escrita
como forma de “ajudar os alunos a consolidar o seu pensamento, uma vez que os obriga
a reflectir sobre o seu trabalho e a clarificar as suas ideias acerca das noções
desenvolvidas na aula.” (p. 67). Em Portugal, também o novo Programa enfatiza que a
comunicação oral tem lugar tanto em situações de discussão como no trabalho em
pequenos grupos, e os registos escritos podem surgir da elaboração de relatórios
associados à realização de tarefas (DGIDC, 2007).
A existência de orientações curriculares no sentido de promover a comunicação oral e
escrita dos alunos, pode suscitar alguns problemas de implementação ao professor,
durante a aula de Matemática. Saber quando e como pode esta comunicação ser
promovida, saber que tarefas favorecem o desenvolvimento da comunicação matemática
na aula são apenas alguns dos aspectos que podem constituir constrangimentos ao
professor. Um outro aspecto igualmente relevante e que pode constituir um obstáculo ao
professor prende-se com uma precoce e prematura imposição da linguagem matemática
formal. Pois “os alunos precisam de desenvolver um apreço pela necessidade de
definições exactas e pelo poder comunicativo dos termos matemáticos convencionais,
comunicando, primeiramente, através das suas próprias palavras” (NCTM, 2007, p. 70),
tendo em atenção que “rigor da linguagem, assim como o formalismo, devem
corresponder a uma necessidade sentida e não a uma imposição arbitrária.” (DEB, 2001,
p. 70).
Considera-se assim que o desenvolvimento da capacidade de comunicação dos alunos
deverá ser considerado um importante objectivo curricular, pelo que é essencial que se
criem
momentos
de
comunicação
adequados,
sendo
determinante
o
papel
desempenhado pelo professor. A este respeito o NCTM (2007) refere que o professor
deve procurar que os seus alunos explicitem os seus raciocínios com clareza, que
analisem e reajam aos raciocínios dos colegas.
Estas indicações vão de encontro a uma das ideias fundamentais que Fernandes (2007)
preconiza para uma mudança da realidade pedagógico-didáctica presente nas salas de
aula, que é a alteração do paradigma da transmissão pelo paradigma da interacção. Ou
seja, deixar de desenvolver o currículo com base no discurso do professor e a
passividade dos alunos, passando a privilegiar a comunicação entre o professor e os
seus alunos e entre os próprios alunos. Na aula de Matemática, o professor é o grande
impulsionador e promotor da comunicação matemática, proporcionando momentos de
discussão entre os distintos intervenientes. A este respeito, Orton (2004) refere que as
discussões professor-aluno e entre aluno-aluno exigem cautela, na medida em que a
formação de conceitos na cabeça dos alunos depende em muito do uso apropriado da
linguagem. A promoção da comunicação matemática depende em muito do papel
assumido pelo professor. Neste contexto, cabe ao professor: a) comunicar com rigor e
clareza; b) dar tempo suficiente para o aluno raciocinar; c) ouvir as ideias dos outros; d)
colocar em discussão essas ideias e validá-las colectivamente; e e) dar a devida
relevância às conclusões a tirar. No entanto, é manifesto que o professor tem
concepções e crenças que por vezes não permitem a promoção da comunicação
matemática em sala de aula. A sua postura é de tal forma tradicionalista que não dá
lugar à comunicação oral e escrita. Estas concepções e crenças redutoras,
impossibilitam os alunos de desenvolverem a comunicação matemática, pois se o
próprio professor não consente o desenvolvimento desta capacidade, o aluno não tem
sequer a oportunidade de a poder praticar.
De acordo com Wood, Cobb e Yackel (1991), os momentos em sala de aula que
fomentam a colaboração entre pares, bem como a discussão alargada a toda a turma,
possibilitam aos alunos o envolvimento num tipo de discurso em que os seus
significados pessoais ficam sujeitos ao questionamento dos colegas, havendo um espaço
de negociação dos diferentes significados individuais até se chegar a um consenso. De
acordo com Veia (1996), a actuação do professor durante a discussão pode ajudar a
incutir nos alunos o respeito por saber ouvir os outros, estabelecendo com eles regras de
funcionamento, dispensando tempo suficiente para ouvir as suas ideias e encorajando-os
a pensar em questões a colocar quando ouvem os seus colegas. Para que tal seja
possível, cabe ao professor ser capaz de efectuar uma selecção adequada das tarefas a
propor aos seus alunos, bem como o ser capaz de gerir os distintos momentos da aula de
Matemática.
A selecção das tarefas
Uma escolha criteriosa das tarefas matemáticas que o professor propõe na sala de aula é
um aspecto essencial para a relevância da discussão que pode gerar. As actividades
centradas na resolução de problemas e de investigação constituem potenciais
oportunidades de aprendizagem e de desenvolvimento da comunicação matemática na
medida em que possibilitam a criação de uma atmosfera em que o professor e os alunos
assumem uma atitude de questionadores (Martinho & Ponte, 2005; Wood, Cobb &
Yackel, 1991). Mas para além da influência exercida pela natureza das tarefas que o
professor propõe, há também que ter em atenção a forma como a sua exploração é
organizada. Por exemplo, Serrazina et al. (2008) apontam que embora uma determinada
tarefa seja bastante rica do ponto de vista matemático, a possibilidade de colher todos os
frutos dessa tarefa pode ser amputada se não houver tempo suficiente para exploração,
se não houver lugar para discussão, argumentação e apurar conclusões.
A gestão dos momentos da aula
A gestão dos momentos de discussão da aula é da responsabilidade do professor. Esta
envolve uma complexa rede de decisões que o professor deve tomar ao longo da aula,
consiguindo gerir o tempo de forma a permitir que os alunos consigam definir os seus
próprios processos de resolução, formular e testar as suas conjecturas (Serrazina et al.,
2008). Também a organização das intervenções dos alunos requer um destaque especial
para que os processos de discussão possam ter lugar. A este respeito Lo e Wheatley
(1994) salientam a importância de se estabelecerem normas sociais para a discussão em
sala de aula em que os alunos tentam comunicar os seus significados matemáticos.
Além destes aspectos, Orton (2004) distingue o envolvimento activo dos alunos para
que uma discussão seja proveitosa para todos. Se assim não for, as potenciais vantagens
de uma discussão em grupo podem ser desperdiçadas.
O professor deverá também ser capaz de iniciar e conduzir o discurso na sala de aula e
incentivar os alunos a apresentar e explicar as suas produções, fomentando sempre a
procura de justificações para tais resultados. É frequente que os alunos demonstrem
algumas dificuldades em verbalizar as suas justificações, pelo que o professor deverá
colocar questões que ajudem o aluno a clarificar o seu raciocínio. Pois, é importante que
a validação desse raciocínio surja desta discussão (Serrazina et al., 2008), em vez do
certo ou errado sentenciado pelo professor. Nesse sentido, e de acordo com Martinho e
Ponte (2005), é crucial ter em conta a descentralização da autoridade, pelo que o
professor deverá solicitar aos alunos, sempre que oportuno, justificações das suas
produções de modo que estes possam também assumir o poder de decidir o que está
certo ou errado. Lo e Wheatley (1994) consideram desadequado que o professor, no
exercício da sua autoridade em sala de aula, interrompa discussões afincadas entre os
alunos durante a resolução de um problema, sem os ajudar a interpretar a situação em
discussão ou a expressar uma opinião.
Sendo a promoção da comunicação em sala de aula um processo complexo, procura-se
aqui identificar dificuldades com que os professores se deparam nas práticas de sala de
aula.
A comunicação matemática e o PFCM
A consciencialização da importância do desenvolvimento nos alunos da comunicação
matemática enquanto capacidade transversal, assim como a sua utilização em termos de
orientação metodológica, a redefinição dos papéis dos diferentes actores na aula de
matemática, incluindo as dificuldades e constrangimentos que lhe estão subjacentes,
materializam-se nos relatos e reflexões escritas que integram os portefólios produzidos
individualmente por cerca de 150 professores do 2.º Ciclo do Ensino Básico, que
trabalharam ao longo de um ano com três dos autores deste trabalho. Estes portefólios
funcionam como um olhar crítico dos professores sobre as suas práticas lectivas. Neles
estão visíveis as tentativas de alteração das suas práticas em contexto de sala de aula,
tendo em vista uma melhoria do desenvolvimento da comunicação, expondo assim
dificuldades e constrangimentos com que os professores se debateram durante a
implementação das aulas de Matemática.
Resultados
Uma análise de conteúdo dos portefólios dos formandos, no que respeita à comunicação
matemática em sala de aula, possibilitou sistematizar alguns obstáculos que os
professores enfrentam na implementação das suas aulas procurando desenvolver a
comunicação matemática. Destes obstáculos destacam-se a escolha de tarefas, a
valorização das produções dos alunos, o incentivo à explicação de processos de
resolução e a forma de intervenção.
a) A escolha das tarefas
Os professores assumem e reconhecem que o tipo de tarefas seleccionado condiciona a
Comunicação Matemática e apontam como tarefas promotoras desta capacidade
transversal a resolução de problemas e as actividades de investigação. Exemplo disso é
o testemunho da Eva, que a seguir se apresenta:
“Apercebi-me de como a discussão proporcionada pela resolução de
problemas, em pequenos ou grandes grupos, é uma forma muito
importante de estimular a reflexão dos alunos. Pelo que este tipo de
experiências de aprendizagem têm de fazer parte, cada vez mais, da
prática lectiva pois proporciona uma melhoria nas aprendizagens tanto
a nível de raciocínio como na comunicação, em relação à resolução de
exercícios (…)” (Eva)
b) Valorização das produções dos alunos
É importante que os professores valorizem as produções dos alunos tendo em conta
alguns aspectos a promover em sala de aula, tais como: 1) conhecer e entender as
produções dos alunos; 2) dar oportunidade à partilha de resoluções e argumentação
sobre processos de resolução entre os alunos e alunos-professor; e 3) valorizar processos
e não apenas produtos.
Relativamente ao primeiro ponto, verifica-se que um desconhecimento das produções
dos alunos coloca em causa o trabalho de discussão e partilha de resoluções, estratégias
e processos por eles desenvolvidos. O testemunho da Fátima é disso exemplo.
“A dificuldade em dedicar mais atenção às várias etapas da actividade
de investigação pelo que não consegui conhecer convenientemente o
trabalho realizado pelos alunos de forma a saber valorizá-los, pois só
após a aula vi os seus registos.“ (Fátima)
Foi ainda apontado com alguma frequência o facto de o professor conhecer as
produções dos alunos, mas não conseguir entendê-las de forma a possibilitar uma
exploração mais rica da tarefa, como se pode verificar na resolução do problema “Um
rectângulo tem de perímetro 90m. A medida do comprimento é o dobro da medida da
largura. Qual será a medida do comprimento?”. Um dos alunos solicita ao professor que
verifique a sua resolução. O professor não consegue compreender de imediato o
raciocínio desenvolvido e rejeita esta produção do aluno, que estando correcta revela
uma reacção prematura por parte do professor.
Figura 1 – resolução apresentada por um aluno.
O aluno parece ter o raciocínio seguinte: noventa metros é a medida do perímetro do
rectângulo. A medida de dois lados consecutivos será metade do perímetro (daí o aluno
efectuar a divisão de 90 por dois). Como a medida de comprimento do lado maior é o
dobro da medida de comprimento do lado menor, significa que o lado menor será 1/3 da
medida do semi-perímetro (45 metros). O aluno divide 45 por 3 obtendo a medida do
lado menor (15 metros). Consequentemente, o aluno conclui que o lado maior mede 30
metros por ser o dobro da medida do menor.
Relativamente ao segundo ponto, podemos ver pelas Figuras 2, 3 e 4 um bom exemplo
de partilha de resoluções e estratégias entre alunos e alunos-professor. Na Figura 2, o
aluno expõe no quadro a sua estratégia de resolução. Os colegas intervêm e além de
apresentarem as suas estratégias, discutem e argumentam relativamente às estratégias
adoptadas e aos resultados obtidos (Figuras 3 e 4). O professor orienta a discussão
promovendo a Comunicação Matemática (Figura 4).
Figura 2 – Um aluno apresenta
a sua estratégia de resolução
Figura 3 – Um colega intervém
e inicia-se a discussão
Figura 4 – Outros alunos entram
na discussão. O professor orienta.
Numa outra situação de ensino-aprendizagem, um outro professor reconhece que
orientar/dirigir demasiadamente os alunos, limita a variedade de estratégias e a riqueza
das discussões entre alunos. A este respeito, o professor Bernardo testemunha que:
“Outro dos problemas surgiu na altura da apresentação e discussão dos
resultados, na medida em que eu os direccionei demasiado para as
minhas investigações feitas antes da aula (…) numa actividade de
investigação o professor deve apenas orientar os alunos nas suas
descobertas e não influenciá-los de acordo com as suas previsões.”
(Bernardo)
Relativamente ao terceiro aspecto, a Figura 5 evidencia uma prática pedagógica no
sentido de haver uma valorização dos processos e não apenas dos produtos.
Figura 5 – Alunos em discussão
Os alunos apresentam as diversas estratégias de resolução em acetato, discutindo os
diversos raciocínios desenvolvidos. O professor promove este tipo de abordagem, para
que os alunos compreendam todo o processo de resolução e não apenas o produto final.
c) Incentivo à explicação de processos de resolução
A Comunicação Matemática pode ser promovida em sala de aula através das
explicações das resoluções dos alunos para a turma oralmente ou através de produções
escritas. Durante a discussão o professor deverá não só fomentar a exploração das
produções correctas, como também utilizar o erro para alterar e consolidar aspectos
conceptuais ou processuais.
“Ao longo da aula tive dificuldade na gestão do diálogo com os alunos
pois, devido à minha ansiedade, não dei tempo necessário para que os
alunos pudessem dialogar mais uns com os outros sobre o seu trabalho.
Quando um aluno acertava eu respondia imediatamente que estava
correcto, cortando a discussão, o que procurei colmatar nas aulas
seguintes.” (Ana)
d) Forma de intervenção
No decorrer da aula, alguns professores questionaram-se sobre: Como e quando
intervir? Em que medida devo intervir? De que forma posso intervir?
“…ao longo da aula houve situações de constrangimento, como sejam:
as decisões acerca do que dizer e não dizer, do que perguntar e não
perguntar, de quais aspectos da discussão matemática devia estimular,
quais os que devia deixar cair, sobre quando devia orientar o debate
entre os alunos ou devia apenas fomentá-lo.” (Carmo)
Durante as resoluções, o professor deve intervir de forma a não condicionar o raciocínio
nem o espírito crítico do aluno. Contudo, o exercício desta prática ainda constitui uma
grande dificuldade para muitos professores.
Nas reflexões analisadas, outros pontos fracos foram detectados, nomeadamente o
professor se centrar-se mais em explicar e nunca abandonar esta postura em detrimento
do fazer entender. Isto parece traduzir uma visão tradicionalista do ensino da
Matemática, em que o professor assume uma postura directiva, centrada na transmissão
de conhecimentos, sendo escassos ou até omissos os momentos em que é atribuída ao
aluno a oportunidade de descobrir, estabelecer relações e construir o seu conhecimento
assegurando a compreensão de conceitos. Quando confrontados com este aspecto, a
maioria dos professores reconhece a importância de atribuir aos alunos um papel mais
activo na construção do seu saber, sendo-lhes, contudo, difícil sair do seu papel de
explicador controlador, dando lugar de destaque ao aluno descobridor. Parece assim
existir um conflito entre o que se faz e o que se sabe que se deve fazer.
“Fui talvez mais directiva do que o desejado, pois em alguns grupos
expliquei a determinados alunos a forma de chegar ao resultado, devido
às dúvidas colocadas, em vez de lhes dar apenas pistas para eles
próprios descobrirem a solução.” (Gabriela)
“Vi o tempo a fugir, mostrei as figuras que faltavam descobrir e passei à
correcção da ficha, em vez de permitir a discussão e analisar os erros,
pois ainda estou agarrada a trabalhar e fazer muito (…)” (Helena)
Conclusão
A valorização da comunicação na sala de aula terá de passar obrigatoriamente por uma
alteração das concepções dos professores relativamente ao seu papel na sala de aula,
procurando uma maior valorização e atenção às produções matemáticas realizadas pelos
alunos, uma maior abertura a momentos de interacção entre alunos-professor e alunosalunos, criação de expectativas positivas em relação àquilo que o aluno é capaz de fazer.
Nos professores são notórios alguns aspectos que podem condicionar a comunicação
matemática na sala de aula nomeadamente: o conflito entre perspectiva tradicionalista e
de interacção; o conhecimento matemático e curricular do professor como
condicionante da comunicação matemática do aluno; embora haja consciência da
importância da comunicação matemática na sala de aula, a alteração das práticas é
pouco significativa; gerir a comunicação matemática na aula é difícil.
Parece ser evidente que o trabalho de reflexão conjunta desenvolvido no âmbito do
PFCM, ao longo do ano lectivo, sobre comunicação matemática na sala de aula
sensibilizou e consciencializou os professores para a sua importância, pois muitos
professores ressaltam a importância deste aspecto na sua reflexão crítica documentado
nos seus portefólios individuais. Para tal, contribuíram em muito, os princípios
subjacentes a este programa e a sua forte componente de práticas de reflexão conjunta
baseadas no contexto e realidade em que os professores se inserem.
Referências Bibliográficas
DEB (2001). Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais. Lisboa:
Ministério da Educação.
Direcção Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular (2007). Programa de Matemática
do Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação.
Fernandes, D. (2007). Um Imperativo Ético. Educação e Matemática, 94, 1.
Lo, J. & Wheatley, G. (1994). Learning opportunities and negotiating social norms in
mathematics class discussion. Educational Studies in Mathematics, 27, 145-164.
Martinho, M. H., & Ponte, J. P. (2005). Comunicação na sala de aula de Matemática: Práticas e
reflexão de uma professora de Matemática. In J. Brocardo, F. Mendes, & A. M.
Boavida (Eds.), Actas do XVI Seminário de Investigação em Educação Matemática
(pp. 273-293). Setúbal: APM.
National Council of Teachers of Mathematics (2007). Princípios e Normas para a Matemática
Escolar.
Tradução
portuguesa
dos
“Principles
and
Standards
for
School
Mathematics”. Lisboa: APM.
Orton, A. (2004). Learning mathematics – Issues, theory and classroom practice. (3rd edition).
London: Continuum.
Serrazina, M. L.; Canavarro, A. P.; Guerreiro, A.; Rocha, I. & Portela, J. (2008). Programa de
Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino
Básico (2.ª versão). Lisboa: DGIDC.
Veia, L. (1996). A Resolução de problemas, o raciocínio e a comunicação no primeiro ciclo do
Ensino Básico – três estudos de caso. Tese de Mestrado, Universidade de Lisboa.
Lisboa: APM.
Wood, T.; Cobb, P. & Yackel, E. (1991). Changing in teaching mathematics: A case study.
American Educational Research Journal, 28(3), 587-616.