Prismas, Cubos e Paralelepípedos - 3
1. (Unesp 2015) Uma chapa retangular de alumínio, de espessura desprezível, possui 12
metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta
vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura
2).
Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é igual a 18 m2,
então, a altura dessa canaleta, em metros, é igual a
a) 3,25.
b) 2,75.
c) 3,50.
d) 2,50.
e) 3,00.
1
de água e
3
precisa ser totalmente esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é de
a) 7,2 litros.
b) 72 litros.
c) 21,6 litros.
d) 216 litros.
e) 25 litros.
2. (Unisc 2015) Um reservatório cúbico de 60 cm de profundidade está com
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3. (Uepa 2015) Otimização é uma área do conhecimento que se nutre das ciências exatas
para solucionar problemas práticos e efetivos independentemente do contexto onde surgem.
As indústrias buscam sistematicamente otimizar o processo fabril visando minimizar o
desperdício de material e, em decorrência disso, reduzir custos e ofertar produtos com
qualidade a preços menores. Nesse sentido, uma empresa pretende cortar, nos cantos de uma
folha de papelão, quadrados de lado x cm, de modo que o volume da caixa aberta seja
máximo, conforme a figura abaixo.
Nessas condições, e sabendo que a medida do lado do quadrado a ser cortado corresponde a
uma das raízes da equação 12x2  8 Lx  L2  0 o volume máximo dessa caixa será obtido
quando o lado do quadrado a ser cortado nos cantos da folha de papelão medir:
L
L
L
L
L
a) cm
b) cm
c) cm
d) cm
e) cm
6
4
2
5
3
4. (Cefet MG 2015) Uma caixa sem tampa no formato de um cubo, cuja aresta mede
3 metros, está sobre uma superfície plana e com água até uma altura de 2 metros em relação
à sua base, conforme mostra a FIG. 1.
A caixa será inclinada de tal forma que a aresta AB ficará totalmente em contato com a
superfície plana e haverá perda no volume de água, conforme a FIG. 2.
Sabendo-se que o ângulo formado, após a inclinação, entre a face ABCD e a superfície plana
é de 30 e, desprezando-se a espessura das faces da caixa, a quantidade de água que
sobrará na caixa, em m3 , é de
a) 9.
b) 18.
c) 4 3.
9 3
.
2
17 3
.
e)
4
d)
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5. (Imed 2015) Após a limpeza de um aquário, que tem o formato de um paralelepípedo, com
dimensões internas de 1,20 m de comprimento, 1m de largura e 50 cm de profundidade,
constatou-se que o nível da água atingiu 80% de sua altura máxima. Nessa situação, a
quantidade de água que falta para encher completamente o aquário, em litros, corresponde a:
a) 80.
b) 100.
c) 120.
d) 240.
e) 480.
6. (Enem PPL 2014) A caixa-d'água de uma casa tem a forma de um paralelepípedo retoretângulo e possui dimensões externas (comprimento, largura e altura) de, respectivamente,
4,0 m, 3,0 m e 2,5 m. É necessária a impermeabilização de todas as faces externas dessa
caixa, incluindo a tampa. O fornecedor do impermeabilizante informou ao dono da casa que
seu produto é fornecido em galões, de capacidade igual a 4,0 litros. Informou, ainda, que cada
litro impermeabiliza uma área de 17.700 cm2 e são necessárias 3 demãos de produto para
garantir um bom resultado.
Com essas informações, para obter um bom resultado no trabalho de impermeabilização, o
dono da casa precisará comprar um número mínimo de galões para a execução desse serviço
igual a
a) 9.
b) 13.
c) 19.
d) 25.
e) 45.
7. (Uepa 2014) A natureza é uma fonte inesgotável de comunicação de saberes necessários à
sobrevivência da espécie humana, por exemplo, estudos de apicultores americanos
comprovam que as abelhas constituem uma sociedade organizada e que elas sabem qual o
formato do alvéolo que comporta a maior quantidade de mel.
Texto Adaptado: “Contador”, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida – 2ª Ed.
rev. – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011.
Um professor de matemática, durante uma aula de geometria, apresentou aos alunos 3
pedaços de cartolina, cada um medindo 6 cm de largura e 12 cm de comprimento, divididos em
partes iguais, conforme figuras abaixo:
Dobrando os pedaços de cartolina nas posições indicadas, obtemos representações de
prismas retos com as mesmas áreas laterais e base triangular, quadrangular e hexagonal.
Sendo V3 o volume do prisma de base triangular, V4 o volume do prisma de base
quadrangular e V6 o volume do prisma de base hexagonal, é correto afirmar que:
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Adote:
3  1,7.
a) V3  V6  V 4 .
b) V3  V 4  V6 .
c) V 4  V3  V6 .
d) V6  V3  V 4 .
e) V6  V 4  V3 .
8. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as
dimensões, em centímetros, mostradas na figura.
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as
dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em
a) 14,4%
b) 20%
c) 32,0%
d) 36,0%
e) 64,0%
9. (Enem 2014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes
cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem
medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para
encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de
baixo.
Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?
a) 8.
b) 10.
c) 16.
d) 18.
e) 24.
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10. (Ufg 2014) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das
regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um
iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o
iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo.
Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento,
10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida
transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada.
11. (Enem PPL 2014) Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma
caixa com as seguintes dimensões: 25 cm de comprimento; 10 cm de altura e 15 cm de
profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um agrupamento de 125
caixas dispostas conforme a figura.
Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras?
a) 3.750 cm3
b) 18.750 cm3
c) 93.750 cm3
d) 468.750 cm3
e) 2.343.750 cm3
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12. (Espm 2014) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são
retângulos de áreas 6cm2 e 10cm2 , respectivamente.
O volume desse sólido é de:
a) 8 cm3
b) 10 cm3
c) 12 cm3
d) 16 cm3
e) 24 cm3
13. (Enem PPL 2014) Um agricultor possui em sua fazenda um silo para armazenar sua
produção de milho. O silo, que na época da colheita é utilizado em sua capacidade máxima,
tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, com os lados da base medindo L metros e
altura igual a h metros. O agricultor deseja duplicar a sua produção para o próximo ano e, para
isso, irá comprar um novo silo, no mesmo formato e com o dobro da capacidade do atual. O
fornecedor de silos enviou uma lista com os tipos disponíveis e cujas dimensões são
apresentadas na tabela:
Tipo de silo
I
II
III
IV
V
Lado
(em metros)
L
2L
2L
4L
L
Altura
(em metros)
2h
h
2h
h
4h
Para atender às suas necessidades, o agricultor deverá escolher o silo de tipo
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
14. (Acafe 2014) Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 1
metro de comprimento, 2 metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de
3
concreto. O nível da água que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até
da
4
altura.
O volume de água deslocado (em litros) foi de:
a) 4500.
b) 1500.
c) 5500.
d) 6000.
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15. (Enem PPL 2014) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo
retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 20 cm de altura. Chegando
em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A
seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 50 cm3 cada, que
ficarão totalmente submersas no aquário.
Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário.
O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a
a) 48.
b) 72.
c) 84.
d) 120.
e) 168.
16. (Ucs 2014) O volume de um prisma reto, cuja base é um retângulo com lados de medidas
4 m e 6 m, é igual a 120 m3 .
Qual será o volume, em m3 , do prisma reto que tem como base o polígono com vértices nos
pontos médios da base do prisma anterior e que tem o triplo da altura do prisma anterior?
a) 30
b) 60
c) 120
d) 180
e) 300
17. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la
no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais
comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado
na figura.
Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada
metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a
silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2m3 desse tipo de silo.
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012
(adaptado).
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é
a) 110.
b) 125.
c) 130.
d) 220.
e) 260.
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18. (Enem 2014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento
construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1: 100, foi
disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que
deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a
3cm, 1cm e 2cm.
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
a) 6.
b) 600.
c) 6.000.
d) 60.000.
e) 6.000.000.
19. (Upe 2014) Como atividade recreativa, o professor Leocádio propôs que seu aluno Klécio
montasse novas peças a partir da representada abaixo, mudando a posição de, apenas, um
cubo.
Dentre as peças representadas abaixo, assinale a que não pode ter sido confeccionada por
Klécio.
a)
b)
c)
d)
e)
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20. (Enem PPL 2014) Um lojista adquiriu novas embalagens para presentes que serão
distribuídas aos seus clientes. As embalagens foram entregues para serem montadas e têm
forma dada pela figura.
Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas arestas?
a) 10
b) 12
c) 14
d) 15
e) 16
21. (Fgv 2014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem
comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de 2m. Ela é preenchida com água a uma
vazão de 5.000 litros por hora.
Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu:
a) 25cm
b) 27,5cm
c) 30 cm
d) 32,5 cm
e) 35 cm
22. (Uem 2013) Considere dois prismas retos de mesma altura, h  6cm, e com bases sendo
hexágonos regulares, de modo que um seja inscrito no outro. Os vértices do prisma inscrito são
os pontos médios das arestas das bases do outro prisma, e as arestas da base do prisma
inscrito medem 2cm. Com relação a esses prismas, assinale o que for correto.
4
01) As arestas das bases do prisma maior medem
3 cm.
3
02) A área lateral do prisma maior mede 48 3 cm2 .
04) O volume do prisma menor é
36
3 cm3 .
3
08) A diferença entre os volumes dos prismas é de 12 3 cm3 .
16) O quociente entre os volumes do prisma maior e do menor é
4
3.
3
23. (Fgv 2013) Um prisma reto de base triangular tem área de uma face lateral igual a 20 cm2.
Se o plano que contém essa face dista 6 cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma,
3
em cm , é igual a
a) 18.
b) 36.
c) 48.
d) 54.
e) 60.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
Sabendo que (12  2x)  x  18 m2, vem
x2  6x  9  0  (x  3)2  0  x  3 m.
Resposta da questão 2:
[B]
O volume de água no reservatório é igual a
1
1
 603   216000  72000cm3  72dm3  72 L.
3
3
Resposta da questão 3:
[A]
O volume da caixa é dado por
V  (L  2x)2  x.
Resolvendo a equação 12x2  8Lx  L2  0, obtemos
x
( 8L)  ( 8L)2  4  12  L2
8L  4L
x
2  12
24
L
L
 x  ou x  .
2
6
Portanto, como V  0 para x 
L
L
cm, só pode ser x  cm.
2
6
Resposta da questão 4:
[D]
Considere a vista frontal, em que o ponto E é tal que DE é paralelo à superfície plana na qual
a caixa está apoiada.
O volume de água que sobra na caixa corresponde ao
volume do prisma triangular reto cuja base é o triângulo
retângulo de catetos AE e AD, e cuja altura é igual à aresta
do cubo.
Portanto, a resposta é
3
1
9 3 3
 AD  tg30 
m .
2
2
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Resposta da questão 5:
[C]
Sendo a profundidade igual a “altura máxima” do aquário, o nível total preenchido de água foi:
0,5  80%  0,40 m, ou seja, restam apenas 0,10 m  10 cm não preenchidos.
Calculando-se o volume do espaço a ser preenchido de água, tem-se:
0,1 1 1,20  0,12 m3
Sendo 1m3  1000 L, então 0,12 m3  120 L.
Resposta da questão 6:
[D]
A área que deverá ser impermeabilizada corresponde a
2  (4  3  4  2,5  3  2,5)  59 m2  590.000cm2 .
Portanto, o número mínimo de galões para a execução do serviço é igual a
3  590000
 25.
4  17700
Resposta da questão 7:
[B]
Tem-se que
V3 
42 3
 6  40,8cm3 ,
4
e
V6 
3  22 3
 6  61,2cm3 .
2
Portanto, conclui-se que V3  V4  V6 .
Resposta da questão 8:
[D]
Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 242  Hcm3 . Agora, sabendo que as
dimensões da nova lata são 25% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova
2
16
5

 H  h  64%  H, isto é, a altura da lata atual deve
lata, temos   24   h  242  H  h 
4

25
ser reduzida em 100%  64%  36%.
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Resposta da questão 9:
[B]
Sendo
a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de
baixo mede 2 .
Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar
4 3
então ela levará 8  
3
 4
3
(2 )3
4
2
3
unidades de volume,

  10 minutos para encher completamente o restante do depósito.

Resposta
da
A quantidade de água obtida é dada por
questão
10:
56  16


0,9   12  18  56 
 (52  18)  12   24.105,6 m3 .
2


Resposta da questão 11:
[D]
O volume pedido é dado por 125  25  10  15  468.750cm3 .
Resposta da questão 12:
[C]
Temos
(ABCD)  AB  BC  AB  2  6
 AB  3cm
e
(BCFE)  BC  BE  2  BE  10
 BE  5cm.
Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE  4cm.
Por conseguinte, o resultado pedido é
AB  AE
34
 BC 
 2  12cm3 .
2
2
Resposta da questão 13:
[A]
O volume do silo que o agricultor possui é igual a L2h m3 . Desse modo, o silo a ser comprado
deverá ter volume igual a 2L2h m3 .
Portanto, dentre as opções apresentadas pelo fornecedor, a única que apresenta a capacidade
desejada é o silo I.
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Resposta da questão 14:
[B]
Como
3
 0,75, segue-se que o resultado pedido é
4
1 2  5  (0,75  0,6)  1,5 m3  1500 L.
Resposta da questão 15:
[A]
Lembrando que o volume de líquido deslocado é igual ao volume do corpo submerso, segue
40  15  (10  6)
que o número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a
 48.
50
Resposta da questão 16:
[D]
Seja h a altura do prisma retangular. Desde que 4  6  h  120, e sabendo que o polígono com
vértices nos pontos médios dos lados do retângulo é um losango, concluímos que o resultado é
igual
46
3
 3h   120  180 m3 .
2
2
Resposta da questão 17:
[A]
Como h  2 m, segue-se que b  6  2  0,5  5 m. Logo, segue que o volume total do silo é
65
3
igual a 
  20  220 m . Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa
 2 
220
2 m3 , podemos concluir que o resultado pedido é
 110 toneladas.
2
Resposta da questão 18:
[E]
Seja V o volume real do armário.
O volume do armário, no projeto, é 3  2  1  6cm3 . Logo, temos
3
6  1 
3

  V  6.000.000cm .
V  100 
Resposta da questão 19:
[D]
A única peça que não pode ser obtida por meio do deslocamento de apenas um cubo é a da
alternativa [D].
Resposta da questão 20:
[D]
O sólido formado será um prisma pentagonal. Logo, o número de arestas é igual a 3  5  15.
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Resposta da questão 21:
[E]
O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a 3,5  5000  17.500
litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que
10  5  h  17,5  h  0,35 m  35cm.
Resposta da questão 22:
01 + 02 + 08 = 11.
[01] Correto. Seja a medida do lado do hexágono maior. Sabendo que os ângulos internos
de um hexágono regular medem 120, pela Lei dos Cossenos, vem
2
2
2 
 
 
2 2
1
22        2    cos120  4 
 2  
2 2
4
4  2
2
2
16
 2
3
 
4 3
cm.
3
[02] Correto. A área lateral do prisma maior mede
6 h  6
4 3
 6  48 3 cm2 .
3
[04] Incorreto. O volume do prisma menor é dado por
3  22  3
36
 6  36 3 cm3 
3 cm3 .
2
3
[08] Correto. O volume do prisma maior é igual a
2
4 3
  3
3
 3 


 6  48 3 cm3 .
2
Portanto, a diferença entre os volumes dos prismas é
48 3  36 3  12 3 cm3 .
[16] Incorreto. De [04] e [08], vem
48 3
36 3

4 4

3.
3 3
Resposta da questão 23:
[E]
Sejam h e , respectivamente, uma aresta lateral e uma aresta da base, de tal modo que
 h  20cm2, conforme o enunciado. Sabendo que a distância do plano que contém essa face
até a aresta oposta é igual a 6cm, segue-se que essa distância corresponde à altura do
triângulo que é base do prisma. Portanto, o resultado pedido é igual a
6
 h  3   h  3  20  60cm3 .
2
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