Universidade Federal da Bahia
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1. Uma esfera de massa 3, 0 × 10−4 kg está suspensa por um fio. Uma brisa sopra ininterruptamente na direção horizontal empurrando a esfera de tal forma que o fio faz um ângulo
constante de 37◦ com a vertical. Ache
(a) o módulo daquele empurrão;
(b) a tração do fio.
2. Dois blocos estão em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma força horizontal é aplicada
ao bloco meno, como mostrado na Figura 1.
Figura 1: Problema 2
(a) Se m1 = 2, 3 kg, m2 = 1, 2 kg e F = 3, 2 N, ache o módulo da força entre os dois blocos.
(b) Mostre que se uma força de mesmo módulo F for aplicada ao bloco maior, mas no
sentido contrário, o módulo da força entre os blocos será 2, 1 N, que não é o mesmo
valor calculado em (a).
(c) Explique a diferença.
3. Um homem de 85 kg desce até o solo partindo de uma altura de 10,0 m segurando-se em
uma corda que desliza por uma roldana sem atrito até um saco de areia de 65 kg. Com que
velocidade o homem bate no chão se ele partir do repouso?
4. Uma corrente é composta de cinco elos, cada um de massa igual a 0,100 kg. A corrente é
puxada verticalmente pelo elo mais superior com uma força F~ resultando numa aceleração
constante de 2,50 m/s2 . Ache os módulos:
(a) da força que o elo 2 (segundo de baixo para cima) exerce sobre o elo 1 (o mais inferior);
(b) da força que o elo 3 (terceiro de baixo para cima) exerce sobre o elo 2;
(c) da força que o elo 4 (quarto de baixo para cima) exerce sobre o elo 3;
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(d) da força que o elo 5 (último de baixo para cima) exerce sobre o elo 4;
(e) da força F~ que a pessoa levantando o cadeira exerce sobre o elo mais elevado;
(f) da força resultante que acelera cada elo.
5. Um bloco de massa m1 = 3, 70 kg sobre um plano inclinado de θ = 30◦ está ligado por um fio
que passa por um roldana sem massa e sem atrito a um segundo bloco de massa m2 = 2, 30 kg
suspenso verticalmente (Figura 2). Quais são:
Figura 2: Problemas 5, 12 e 13
(a) o módulo da aceleração de cada bloco?
(b) a direção e sentido da aceleração do bloco suspenso?
(c) a tração do fio?
6. Um bloco de massa m1 é puxado ao longo de uma superfı́cie horizontal sem atrito por uma
corda de massa m2 , como mostrado na Figura 3. Uma força horizontal F~ é aplicada a uma
extremidade da corda.
Figura 3: Problema 6
(a) Mostre que a corda tem de formar uma barriga, mesmo que esta seja imperceptı́vel.
(b) Depois, supondo que esta deformação da corda seja desprezı́vel, ache
i. a aceleração da corda e do bloco;
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ii. a força que a corda exerce sobre o bloco; e
iii. a tração na corda no seu ponto médio.
7. Um caixote de 100 kg é empurrado com velocidade constante para cima de uma rampa de
30, 0◦ , sem atrito por um força horizontal F~ . Quais são os módulos de
(a) F~ ;
(b) da força que a rampa exerce sobre o caixote?
8. Uma força horizontal F~ de módulo igual a 12 N empurra um bloco que pesa 5,0 N contra uma
parede vertical. O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é 0,60, e o coeficiente
de atrito cinético é de 0,40. Suponha que o bloco não esteja movendo-se inicialmente.
(a) O bloco irá mover-se?
(b) Qual é a força da parede sobre o bloco, na notação de vetor unitário?
9. Um trabalhador deseja amontoar um cone de areia em cima de uma área circular de seu
pátio. O raio do cı́rculo é R e não deve haver areia espalhada além da área limitada. Se µe
for o coeficiente de atrito estático entre cada camada de areia ao longo do talude e a areia
abaixo (ao longo da qual ela poderia deslizar), mostre que o maior volume de areia que pode
ser estocada desta maneira é
1
πµd R3 .
3
Lembre-se que o volume de um cone é
1
Ah, onde A é a área da base e h é a altura do cone.
3
10. Um porco, que gosta de brincar de escorrega, desce uma certa rampa de com 35◦ de inclinação
no dobro do tempo que ele levaria para descer um escorrega liso com 35◦ de inclinação. Qual
é o coeficiente de atrito cinético entre o porco e a rampa?
11. Os blocos m2 e m3 da Figura 4 pesam 44 N e 22 N, respectivamente.
(a) Determine o peso mı́nimo do bloco m1 para impedir que o bloco m2 deslize se coeficiente
de atrito estático, µe , entre o bloco m2 e a mesa for de 0,20.
(b) Qual será a aceleração do bloco m2 se o coeficiente de atrito cinético, µc , entre a m2 e
a mesa for 0,15?
12. O corpo m1 da Figura 2 pesa 102 N e o corpo m2 , 32 N. Os coeficientes de atrito estático
e cinético entre m1 e a rampa são µe = 0, 56 e µc = 0, 25, respectivamente. O ângulo θ da
inclinação é igual a 40◦ . Encontre a aceleração de m1
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Figura 4: Problema 11
(a) se m1 estiver inicialmente em repouso;
(b) se m1 estiver inicialmente se movendo para cima da rampa;
(c) se m1 estiver inicialemnte se movendo para baixo da rampa.
13. Na Figura 2, dois blocos estão ligados por um fio que passa por uma polia sem massa e sem
atrito. A massa do bloco m1 é igual a 10 kg e o coeficiente de atrito cinético do bloco m1 e a
rampa é de 0,20. O ângulo θ de inclinação da rampa é igual a 30◦ . O bloco m1 desliza para
baixo da rampa com velocidade constante. Qual é a massa do bloco m2 ?
14. Uma caixa de formigas fêmea (massa total m1 =1,65 kg) e uma caixa de formigas machos
(massa total m2 =3,30 kg) descem um plano inclinado, ligadas por uma haste de massa
desprezı́vel paralela ao plano. A massa m1 está mais superior que a massa m2 . O ângulo da
rampa é 30◦ . O coeficiente de atrito cinético entre a caixa de formigas fêmeas e o plano é
µ1 = 0, 226; o coeficiente entre a caixa de formigas macho e o plano é µ2 = 0, 113. Calcule
(a) A tração na haste.
(b) A aceleração comum às duas caixas.
(c) Como as respostas para (a) e (b) mudariam se a caixa das formigas machos estivesse
atrás da caixa de formigas fêmeas?
15. Um caixote desliza pra aixo de uma calha inclinada, que possui lados ortogonais. O coeficiente
de atrito cinético entre o caixote e a calha é µc . Qual é a aceleração do caixote, em termos
de µc , θ e g?
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16. Uma caixa de massa m é arrastada ao longo de um assoalho horizontal que possui um
coeficiente de atrito cinético µc por uma corda que puxa para cima formando um ângulo θ
acima da horizontal com uma força de módulo F .
(a) Ache o módulo da força necessária para manter a caixa se movendo com velocidade
constante em termos de m, de µc , de θ e de g.
(b) Sabendo que você está estudando fı́sica, um instrutor pergunta-lhe qual seria a força
necessária para fazer deslizr um paciente de 90,0 kg puxando-o com uma força que
forma um ângulo de 25◦ acima da horizontal. Arrastando pesos amarrados a um par
de sapatos velhos sobre o piso e usando um dinamômetro você calculou µc = 0, 35. Use
esse valor e o resultado da parte (a) para responder à pergunta feita pelo instrutor.
17. Uma bola de beisebol é atirada verticalmente para cima. A força de arraste é proporcional
a v 2 . Em termos de g, qual é o componente y da aceleração quando a velocidade é igual à
metade da velocidade terminal, supondo que
(a) ela se move para cima?
(b) ela se move de volta para baixo?
18. Um bloco de massa m1 está sobre um plano inclinado com um ângulo de inclinação α e está
ligado por uma corda muito leve que passa sobre uma polia pequena a um segunda bloco
suspenso de massa m2 . O coeficiente de atrito cinético é µc e o coeficiente de atrito estático
é µe .
(a) Ache a massa m2 para a qual o bloco de massa m1 sobe o plano com velocidade constante
depois que ele entra em movimento.
(b) Ache a massa m2 para a qual o bloco de massa m1 desce o plano com velocidade
constante depois que ele entra em movimento.
(c) Para que valores de m2 os blocos permanecem em repouso depois de eles serem libertados
a partir do repouso?
19. Considere um sistema formado por dois blocos ligados por um roldana pequena. O bloco A
de massa ma está sobre o topo de uma mesa horizontal e é ligado por uma corda muito leve
que passa pela roldana deixando o bloco B (massa mB ) suspenso. Ache o coeficiente de atrito
cinético entre o bloco A e o topo da mesa. O bloco mB desce com velocidade constante.
20. No sistema indicado do problema anterior, o bloco A possui massa mA e o bloco B possui
massa mB e a corda que liga os blocos possui massa diferente de zero mcorda . A corda possui
comprimento total L e a polia possui raio muito pequeno. Ignore qualquer concavidade na
parte horizontal da corda.
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(a) Se não existe atrito entre o bloco A e o topo da mesa, ache a aceleração dos blocos no
instante em que um comprimento d da corda fica suspenso verticalmente entre a polia
e o bloco B. À medida que o bloco B cai, o módulo da aceleração cresce, diminui ou
permanece constante? Explique.
(b) Considere mA = 2, 00 kg, mB = 0, 400 kg, mcorda = 0, 160 kg e L = 1, 00 m. Se existe
atrito entre o bloco A e o topo da massa, com µc = 0, 200 e µe = 0, 250, calcule o
valor da distância mı́nima d tal que os blocos comecem a se mover se eles inicialmente
estavam em repouso.
(c) Repita a parte (b) para o caso mcorda = 0, 040 kg. Os blocos se moverão nesse caso?
Explique.
21. Um universitário tenta empurrar uma caixa cheia de livros de fı́sica com massa m para o alto
de um plano inclinado com um ângulo de inclinação α acima da horizontal. Os coeficientes
de atrito entre o plano inclinado e a caixa são µe e µc . A força F~ aplicada pelo universitário
é horizontal.
(a) Se µe for maior que um certo valor crı́tico, o estudante não consegue fazer a caixa se
mover por maior que seja a força que ele realize. Calcule esse valor crı́tico de µe .
(b) Suponha que o valor de µe seja menor do que esse valor crı́tico. Qual é o módulo da
força aplicada pelo estudante para fazer a caixa se deslocar para cima do plano inclinado
com velocidade constante?
Figura 5: Problema 22
22. A Figura 5 mostra um bloco B de massa mB está sobre um bloco A de massa mA , que por
sua vez está sobre o topo de uma mesa horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o
bloco A e o topo da mesa é µc e o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o bloco B
é µe . Um fio leve ligado ao bloco A passa sobre uma polia fixa sem atrito e o bloco C está
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suspenso na outra extremidade do fio. Qual deve ser o maior valor da massa mc que o bloco
C deve possuir para que os blocos A e B deslizem juntos quando o sistema for libertado a
partir do repouso?
23. Uma cunha (plano inclinado de inclinação α com a horizontal) de massa M repusa sobre o
topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um bloco de massa m é colocado sobre a cunha.
Não exite nenhum atrito entre o bloco e a cunha. O sistema é libertado a partir do repouso.
(a) Ache a aceleração do bloco
(b) Suas respostas ao item (a) se reduzem ao valor esperado quando M for muito grande?
Explique.
24. Uma caixa de massa m é acelerada para cima de uma rampa por uma corda que exerce
uma tensão T . A rampa faz um ângulo α com a horizontal e a corda faz um ângulo θ
acima da rampa. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a rampa é µc . Mostre que
para qualquer valor de α, a aceleração é máxima quando θ = tan−1 µc (desde que a caixa
permaneça em contato com a rampa).
25. Uma caixa de massa m é puxada com velocidade constante ao longo de um piso plano por
uma força F~ que faz um ângulo θ acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre
a caixa e o piso é µc .
(a) Ache F em termos de θ, de µc , de m e de g.
(b) Para mg = 400 N e µc = 0, 25, ache F para θ variando de 0◦ a 90◦ em incrementos de
10◦ . Faça um gráfico de F contra θ.
(c) Com base na expressão geral obtida em (a), calcule o valor de θ para o qual o valor de F
é o mı́nimo necessário para manter o movimento com velocidade constante. (Sugestão:
Em um ponto onde uma função passa por um mı́nimo, como se comportam a primeira
e a segunda derivadas da função? Aqui F é um função de θ). Para o caso especial
mg = 400 N e µc = 0, 25, avalie o valor de θ ótimo e compare seu resultado com o
gráfico construı́do na parte (b).
26. Você é convocado como testemunha no julgamento de uma violação de trânsito. Os fatos são
estes: um motorista freou bruscamente e parou com aceleração constante. Medidas tomadas
dos pneus e das marcas da derrapagem indicam que ele travou as rodas do carro, e que o
mesmo percorreu 58,6 m antes de parar. O coeficiente de atrito cinético entre a rua e os
pneus era 0,750. A acusação é a de que ele estava em excesso de velocidade em uma área de
velocidade máxima igual a 60 km/h. Ele alega inocência. Qual é a sua conclusão, culpado
ou inocente? Qual era a velocidade do motorista quando ele freou?
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27. Os blocos A, B e C são dispostos como indicado na Figura 6 e ligados por cordas de massas
desprezı́veis. O peso de A é de 25,0 N e o peso de B também é de 25,0 N. O coeficiente de
atrito cinético entre cada bloco e a superfı́cie é igual a 0,35. O bloco C desce com velocidade
constante.
Figura 6: Problema 27
(a) Desenhe dois diagramas do corpo livre separados mostrando as forças que atuam sobre
A e sobre B.
(b) Ache a tensão na corda que liga o bloco A ao bloco B.
(c) Qual é o peso do bloco C?
(d) Se a corda que liga o bloco A ao bloco B fosse cortada, qual seria a aceleração do bloco
C?
28. Determine a aceleração de cada bloco na Figura 7 em função de m1 , m2 e de g. Não existe
nenhum atrito em nenhuma parte do sistema.
Figura 7: Problema 28
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29. Você faz parte da equipe do projeto para uma exploração do planeta Marte, onde g =
3, 7 m/s2 . Uma exploradora deve deixar o veı́culo de exploração que se desloca horizontalmente a 33 m/s quando estiver 1200 m acima da superfı́cie, e então, mover-se em queda
livre por 20 s. Nesse instante, um sistema portátil de propulsão avançada (PAPS, do inglês
portable advanced propulsion system) deve exercer uma força constante que diminuirá a velocidade da exploradora até chegar a zero no instante em que ela toca a superfı́cie. A massa
total (exploradora, roupa espacial, equipamento e PAPS) é de 150 kg. Despreze a variação
da massa do PAPS. Ache os componentes horizontal e vertical da força que o PAPS deve
exercer e por quanto tempo o PAPS deve exercê-la. Despreze a resistência do ar.
30. Qual deve ser a aceleração do carrinho da Figura 8 para que o bloco A não caia? O coeficiente
de atrito estático entre o bloco e o carinho é µe . Como seria o comportamento do bloco
descrito por um observador no carrinho?
Figura 8: Problema 30
31. Um bloco A, com peso 3mg, desliza sobre um plano inclinado S com inclinação de 36, 9◦ a
uma velocidade constante, enquanto a prancha B, com peso mg, está em repouso sobre A.
A prancha é ligada por uma corda no topo do plano (Figura 9).
Figura 9: Problema 31
(a) Faça um diagrama de todas as forças que atuam sobre A.
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(b) Se o coeficiente de atrito cinético entre A e B for igual ao coeficiente de atrito cinético
entre S e A, calcule o seu valor.
32. A Figura 10 mostra um sistema que pode ser usado para medir sua aceleração. Um observador
que caminha sobre a plataforma mede o ângulo θ que o fio que sustenta a bola leve forma
com o plano vertical. Não há atrito em nenhum ponto.
Figura 10: Problema 32
(a) Como θ relaciona-se com a aceleração do sistema?
(b) Se m1 = 250, 0 kg e m2 = 1250 kg, qual é o ângulo θ?
(c) Se você pode variar m1 e m2 , qual é o maior ângulo θ a ser atingido? Explique como
você deve ajustar m1 e m2 para isso.
Figura 11: Problema 33
33. Um pequeno bloco de massa m repousa sobre o topo de uma mesa horizontal sem atrito a
uma distância r de um buraco situado no centro da mesa (Figura 11). Um fio ligado ao
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bloco pequeno passa através do buraco e tem um bloco maior de massa M ligado em sua
outra extremidade. O pequeno bloco descreve um movimento circular uniforme com raio r e
velocidade v. Qual deve ser o valor de v para que o bloco grande permaneça imóvel quando
libertado?
34. Uma pequena conta pode deslizar sem atrito ao longo de um aro circular situado em um
plano vertical com raio igual a 0, 100 m. O aro gira com uma taxa constante de 4, 0 rev/s
em torno de um diâmetro vertical (Figura 12).
Figura 12: Problema 34
(a) Ache o ângulo β para o qual a conta está em equilı́brio vertical. (É claro que ela possui
uma aceleração radial orientada para o eixo da rotação.)
(b) Verifique se é possı́vel a conta “subir” até uma altura igual ao centro do aro.
(c) O que ocorreria se o aro girasse com 1,0 rev/s?
Figura 13: Problema 35
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35. Um pequeno carro guiado por controle remoto possui massa de 1, 60 kg e move-se com
velocidade constante v = 12, 0 m/s em um cı́rculo vertical no interior de um cilindro metálico
oco de raio igual a 5, 0 m (Figura 13). Qual é o módulo da força normal exercida pela parede
do cilindro sobre o carro:
(a) no ponto A (na base do cı́rculo vertical)?
(b) no ponto B (no topo do cı́rculo vertical)?
36. Um pequeno bloco de massa m é colocado no interior de um cone invertido que gira em
torno do eixo vertical de modo que o tempo para uma revolução é igual a T (Figura 14). As
paredes do cone fazem um ângulo β com a vertical. O coeficiente de atrito estático entre o
bloco e o cone é µe . Para que o bloco permaneça a uma altura h acima do vértice do cone,
qual deve ser o valor máximo e o valor mı́nimo de T ?
Figura 14: Problema 36
37. Uma cunha de massa M repousa sobre o topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um bloco
de massa m é colocado sobre a cunha (Figura 15a). Não existe nenhum atrito entre o bloco
e a cunha. O sistema é libertado a partir do repouso.
Figura 15: Problemas 37 e 38
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(a) Ache a aceleração da cunha e os componentes horizontais e verticais da aceleração do
bloco.
(b) Suas respostas do item (a) reduzem-se ao valor esperado quando M for muito grande?
(c) Em relação a um observador estacionário, qual é a forma da trajetória do bloco?
38. Uma cunha de massa M repousa sobre o topo horizontal de uma mesa sem atrito. Um
bloco de massa m é colocado sobre a cunha, e uma força horizontal F~ é aplicada sobre a
cunha (Figura 15b). Qual deve ser o módulo de F~ para que o bloco permaneça a uma altura
constante em relação ao topo da mesa?
39. Na Figura 16, as massas m1 e m2 estão conectadas por um fio leve A que passa sobre uma
polia leve e sem atrito B. O eixo da polia B é conectado por um segundo fio leve C que
passa sobre uma segunda polia leve e sem atrito D a uma massa m3 . A polia D está fixa ao
teto através do seu eixo. O sistema é libertado a partir do repouso. Em termos de m1 , de
m2 e de g qual é
Figura 16: Problemas 39
(a) a aceleração do bloco m3 ?
(b) a aceleração da polia B?
(c) a aceleração do bloco m1 ?
(d) a aceleração do bloco m2 ?
(e) a tensão na corda A?
(f) a tensão na corda C?
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(g) O que as expressões fornecem para m1 = m2 e m3 = m1 + m2 ? O resultado era
esperado?
40. Uma bola é mantida em repouso na posição A indicada na Figura 17 por meio de dois fios
leves. O fio horizontal é cortado, e a bola começa a oscilar como um pêndulo. O ponto B
é o ponto mais afastado do lado direito da trajetória das oscilações. Qual é a razão entre
a tensão do fio na posição B e a tensão do fio na posição A antes de o fio horizontal ser
cortado?
Figura 17: Problemas 40
41. Um balão de pesquisa de massa total M está descendo na vertical, com uma aceleração para
baixo de módulo igual a |~a|. Determine a quantidade de lastro, em função de |~a|, g e M , que
deve ser jogada fora da cesta para fornecer ao balão uma aceleração para cima ~a, assumindo
que a força de sustentação exercida pelo ar sobre o balão não muda.
Figura 18: Problema 42
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42. Na Figura 18, um bloco de massa m é lançado para cima com velocidade v0 ao longo de um
plano de inclinação θ enquanto uma força horizontal F atua sobre ele. Porém, o bloco sofre
uma desaceleração. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é µc . Em função
de m e/ou θ e/ou g (aceleração da gravidade) e/ou µc e/ou F e/ou v0 :
(a) Determine o valor da desaceleração do bloco e mostre que sempre ocorrerá desaceleração
independente do valor da força |F~ | e da massa m se inclinação do plano for
arctan
1
π
<θ<
µc
2
(b) Quando o bloco alcança seu ponto mais alto, ele permanece em repouso ou desliza de
volta para baixo no plano? Justifique.
43. Considere uma caixa colocada sobre diferentes superfı́cies.
• Situações:
(i) A caixa está em repouso sobre uma superfı́cie horizontal áspera;
(ii) a caixa está em repouso sobre uma superfı́cie áspera inclinada;
(iii) a caixa está no leito plano e de superfı́cie áspera na traseira de um caminhão – o
caminhão está se movendo a uma velocidade constante por uma estrada reta e plana, e
a caixa permanece no mesmo lugar, no meio do leito da carroceria;
(iv) a caixa está no leito plano e de superfı́cie áspera na traseira de um caminhão – o
caminhão está acelerando para cima por uma estrada reta e plana, e a caixa permanece
no mesmo lugar, no meio do leito da carroceria;
(v) a caixa está no leito palno e de superfı́cie áspera na traseira de um caminhão – o
caminhão está subindo pela encosta de uma montanha, e a caixa está deslizando em
direção ao fundo do caminhão.
(a) Em qual (is) situação (ões) não há força de atrito atuando sobre a caixa?
(b) Em qual (is) situação (ões) há uma força de atrito estático atuando sobre a caixa?
(c) Em qual (is) situação (ões) há uma força de atrito cinético atuando sobre a caixa?
44. Considere uma estrada molhada com inclinação lateral como na Figura 19, no qual há um
coeficiente de atrito estático igual a µe e um coeficiente de atrito cinético igual a µc (µc < µe )
entre os pneus e a estrada. O raio da curva é igual a R.
(a) Se o ângulo de inclinação lateral for igual a β, determine a velocidade máxima que um
carro pode ter antes que ele deslize para cima do plano do inclinado.
(b) Determine a velocidade mı́nima que um carro pode ter antes que ele deslize para baixo
do plano inclinado.
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Figura 19: Problema 44
45. A aceleração da gravidade g pode ser determinanda medindo-se o tempo t gasto para que o
corpo de massa m2 da máquina de Atwood (veja a Figura 20) caia através de uma distância
L, partindo do repouso. Considere que as massas da polia e dos fios desprezı́veis bem como
a resistência do ar. Suponha que m1 > m2 .
Figura 20: Problema 45
(a) Obtenha uma expressão para g em função de m1 e/ou m2 e/ou L e/ou t.
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(b) Mostre que se ocorrer um pequeno erro ∆t na medida do tempo, o erro na determinação
de g pode ser determinado pela expressão
∆g
∆t
= −2
g
t
46. Um bloco é mantido em sua posição de equilı́brio por meio de um cabo ao plano de apoio
sem atrito, conforme a Figura 21. Se θ é o ângulo da elevação do plano e m a massa do bloco,
determine o módulo da força de tração no cabo, T~ e o módulo da força normal, F~n , exercida
pelo plano em função do ângulo θ, da massa m e da aceleração da gravidade g. Verifique o
seu resultado para θ = 0◦ e θ = 90◦ .
Figura 21: Problema 46
47. Na Figura 22, um bloco de massa m1 está sobre um plano inclinado com coeficiente de atrito
cinético µ1 que forma um ângulo θ1 com a horizontal. Um segundo bloco de massa m2
que está sobre um outro plano inclinado com coeficiente de atrito cinético µ2 que forma um
ângulo θ2 com a horizontal. Os dois blocos estão conectados por uma corda que passa por
uma polia sem atrito.
(a) Determine a aceleração de cada bloco
(b) Determine a força de tração na corda
(c) Determine a condição para que o bloco de massa m1 suba o plano.
48. Para determinar o coeficiente de atrito dinâmico de um bloco de madeira em movimento
sobre a superfı́cie horizontal de uma mesa, você elaborou o seguinte roteiro: pegue um bloco
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Figura 22: Problema 47
de madeira e lança-o horizontalmente sobre a superfı́cie da mesa. Utilizando um cronômetro,
meça o tempo, ∆t, gasto pelo bloco para parar e a distância total, ∆x, percorrida pelo bloco
após o impulso.
(a) Mostre que a partir dessas medidas que o coeficiente de atrito cinético é,
µc =
2∆x
2
g (∆t)
(b) Determine a velocidade inicial do bloco.
49. Dois blocos unidos por um cabo de massa desprezı́vel estão em repouso sobre uma superfı́cie
inclinada. O bloco mais baixo tem uma massa m1 e um coeficiente de atrito estático com
o plano µ1 . O bloco superior tem massa m2 (m2 < m1 ) e coeficiente de atrito estático µ2 .
O ângulo θ é aumentado gradativamente. Determine, em termos de m1 , m2 , µ1 , µ2 e g, o
ângulo θc em que os blocos começam a deslizar.
50. Dois blocos de massas m1 e m2 estão apoiados como indicado na Figura 23 e colocados sobre
uma superfı́cie horizontal sem atrito. Existe atrito entre os dois blocos. Uma força externa
de módulo F atua sobre o bloco superior formando um ângulo α abaixo na horizontal.
Figura 23: Problema 50
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(a) Mostre que os dois blocos movem-se unidos somente quando
F ≤
(m1 + m2 )g
cos α
m2
− 1+
sen α
µe
m1
onde µe é o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos.
(b) Determine o intervalo válido para o ângulo α nas condições do item anterior.
51. Em um laboratório que conduz experiências sobre atrito, um bloco de 150 N repousa sobre
uma mesa de superfı́cie horizontal rugosa, que é puxado por um fio horizontal. A força de
puxar cresce lentamente até o bloco começar a mover-se e continua aumentar depois disso.
A Figura 24 mostra um gráfico da força de atrito f em função da força de puxar P .
Figura 24: Problema 51
(a) Identifique os intervalos dos valores da força P em que ocorrem os atritos estático e o
cinético.
(b) Determine os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e a mesa.
(c) Por que o gráfico inclina-se de baixo para cima na primeira parte, mas depois se nivela?
(d) Como seria o gráfico se um tijolo de 300 N fosse colocado sobre o bloco e quais seriam
os coeficientes de atrito nesse caso?
52. Um bloco desliza para baixo, com velocidade constante, sobre um plano inclinado de inclinação θ. O bloco é, então, projetado para cima sobre o mesmo plano com uma velocidade
inicial V0 .
(a) Determine a distância que o bloco subirá no plano até ficar em repouso em termos de
V0 , g e θ.
(b) Após o bloco ter atingido o repouso, ele deslizará para baixo do plano novamente?
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RESPOSTAS
mg
cos(θ)
onde θ = 30◦ e m é a massa do bloco.
1. (a) 2, 2 × 10−3 N
(b)
(b) 3, 7 × 10−3 N
8. (a) Não. Explique!
2. (a) 1,1 N
(b) (−12ı̂ + 5̂) N
(b) Mostre!
(c) Porque a força de contato acelera o
9. Dica: aplique a segunda lei de Newton
corpo de massa maior.
s
2(mH − mA )gh
3. v =
, onde mH é a
mH + mA
massa do homem, mA é a massa da areia
em apenas um grão de areia localizado na
superfı́cie do cone.
10. 0,53
m3 g
− m2 g
µe
(m3 − µc m2 )
(b)
g
m3 + m2
e h é altura.
11. (a)
4. (a) m(a + g)
(b) 2m(a + g)
12. (a) nula
(c) 3m(a + g)
(b) 3, 88 m/s2 aceleração para baixo da
(d) 4m(a + g),
rampa
(c) 1, 03 m/s2 para baixo da rampa
onde a é aceleração e m é a massa.
5. (a)
m2 − m1 sen θ
g
m1 + m2
13.
(b) Enquanto m2 − m1 sen θ > 0, te-
m1
µe tan(θ)
14. (a) 1,1 N
remos o bloco de massa m2 des-
(b) 3,63 m/s2
cendo e quando a desigualdade for
contrária, ele subirá.
(c) Explique!
√
15. g sen (θ) − 2µe cos(θ)
Se tivermos
uma igualdade, os dois corpos estarão em equilı́brio.
µc mg
cos(θ) + µc sen (θ)
(b) 293 N
16. (a)
m1 m2 (1 + sen θ)
g
(c)
m1 + m2
6. (a) Mostre!
(b)
17. (a) 0, 80g para baixo
F
m+M
M
ii.
F
m+M
(2M + m)
iii.
F
2(M + m)
i.
(b) 0, 75g para baixo
18. (a) m1 (µc cos(θ) + sen (θ))
(b) m1 (sen (θ) − µc cos(θ))
(c) m1 (sen (θ) − µe cos(θ))
7. (a) mg tan(θ)
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19.
mB
mA
29. (399ı̂ + 1448̂) N em 12,4 s.
30.
20. (a) aumentará até um valor limite:
mB + mcorda
g
mA + mB + mcorda
(b) 0,625 m
que o bloco está em repouso relativo com
o carro. Portanto, o observador conclui-
(c) a situação descrita neste item não é
ria que a normal é nula e assim também
possı́vel de ser realizada (por quê?)
como o módulo da força de atrito, e ele
21. (a) cot(α)
sen α + µc cos α
(b) mg
cos α − µc sen α
22.
g
. Um observador no carrinho, não deµe
tectaria a reação da força horizontal por-
não entenderia que o bloco está preso ao
carrinho se a força da gravidade está para
P
baixo. A razão para isto é que F~ = m~a
(mA + mB )(µc + µe )
1 − µe
não é aplicável ao sistema de coordenadas
do carrinho. O referencial do carrinho é
ı̂M g − ̂(M + m)g tan α
23. (a)
(M + m) tan α + M cot α
(b) sim. (verifique!)
acelerado e não inercial.
31. (a) Faça os diagramas!
24. Mostre!
(b) 0,45
µc mg
cos θ + µc sen θ
(b) faça o gráfico
25. (a)
32. (a) g tan θ
(b) 9, 462◦
(c) 14, 0◦
máxima da via é 60 km/h e a sua veloci-
(c) 45◦ por quê?
r
grM
33.
m
dade era 105,7 km/h.
34. (a) 81, 1◦
26. o motorista é culpado, já que a velocidade
(b) Não. Explique.
27. (a) desenhe os diagramas de forças.
(c) Situação impossı́vel para essa veloci-
(b) 9,0 N
dade angular. Explique.
(c) 31 N
35. (a) 61,8 N verticalmente para cima
(d) 1,54 m/s2
(b) 30,4 N verticalmente para baixo
s
h tan β sen β + µe cos β
36. 2π
g
cos β − µe sen β
2m2
28. para o bloco m1 :
g e para o
4m1 + m2
m2
g
bloco m2 :
4m1 + m2
37. (a)
~acunha = −ı̂
gm
(M + m) tan α + (M/ tan α)
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~abloco = ı̂
gM
g(M + m) tan α
− ̂
(M + m) tan α + (M/ tan α)
(M + m) tan α + (M/ tan α)
(b) Quando M m =⇒ acunha → 0, como esperado, a cunha não se moverá. Para o
bloco, ~abloco → ı̂gsen α cos α − ̂gsen 2 α com o sistema de coordenadas usual. Repare
que a componente horizontal é na verdade gsen α multiplicado pelo fator cos α e para o
componente vertical o fator de multiplicação é sen α, ou seja, decompomos neste caso a
aceleração ao longo do plano inclinado, gsen α, em componentes horizontal e vertical.
(c) O observador detectará uma trajetória espiral.
as acelerações são nulas. TA = mg e
38. (M + m)g tan α
TC = 2mg e todas as polias estarão
39. (a)
em equilı́brio.
40. cos2 β
−4m1 m2 + m2 m3 + m1 m3
g
4m1 m2 + m2 m3 + m1 m3
41.
(b) a mesma magnitude e direção de a3 ,
2M a
a+g
42. (a) Mostre!
mas em sentido oposto.
(c)
(b) Permanece em repouso. Justifique!
Mostre!
4m1 m2 − 3m2 m3 + m1 m3
g
4m1 m2 + m2 m3 + m1 m3
43. (a) (i) e (iii) Justifique!
(d)
(b) (ii) e (iv) Justifique!
(c) (v) Justifique!
4m1 m2 − 3m1 m3 + m2 m3
g
4m1 m2 + m2 m3 + m1 m3
s
44. (a)
(e)
s
4m1 m2 m3
g
4m1 m2 + m2 m3 + m1 m3
(b)
2L
45. (a) 2
t
(f)
tan β − µe
1 + µe tan β
m1 + m2
m1 − m2
Rg
Rg
(b) Mostre!
8m1 m2 m3
g
4m1 m2 + m2 m3 + m1 m3
46. θ = 0: |F~n | = mg e |T~ | = 0; para θ = 90◦ :
|F~n | = 0 e |T~ | = mg Justifique!
(g) Se m1 = m2 = m e m3 = 2m, todas
47. (a)
tan β + µe
1 − µe tan β
m2 (sen θ2 − µ2 cos θ2 ) − m1 (sen θ1 + µ1 cos θ1 )
g
m1 + m2
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m1 m2 g
(sen θ1 + sen θ2 + µ1 cos θ1 − µ2 cos θ2 )
m1 + m2
sen θ2 − µ2 cos θ2
1
(c) m1 < m2
com θ2 > arctan
sen θ1 + µ1 cos θ1
µ2
(b)
48. (a) Mostre!
2∆x
(b)
∆t
µ1 m1 + µ2 m2
49. arctan
m1 + m2
(b) Estático: 0,500; cinético: 0,333. Explique!
(c) Explique!
(d) Os valores de f deverão dobrar, mas
50. (a) Mostre!
o formato do gráfico não será afe
m1
(b) 0 ≤ α < arctan
µe (m1 + m2 )
Justifique!
51. (a) Estático:
0
≤
P
≤
tado. Explique!
52. (a)
75, 0 N.
V02
4gsen θ
(b) Repouso. Explique!
Cinético: P > 75, 0 N Explique!
23