Ephi-ciência Financeira
Principios de Avaliação de Opções
Objectivo
•Definição e Carcterização de Opções
•Tipos de Opções
•Princípios de Avaliação
João Cantiga Esteves – Senior Partner
1
ACTIVOS FINANCEIROS
DERIVADOS
• Perfis de Resultados das Posições Base em Opções
• Factores que influenciam o prémio das Opções
• Limites-Fronteira para os prémios das Opções
• Paridade Put-Call
• Considerações sobre o Exercício antecipado das
Opções Americanas
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2
CONTRATO de OPÇÕES
DETERMINANTES DO PRÉMIO
•
•
•
•
•
•
Preço do Activo Subjacente
Preço do Exercício
Vencimento
Volatilidade
Taxa de Juro (sem risco)
Dividendos
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3
CONTRATO de OPÇÕES
DETERMINANTES DO PRÉMIO
VARIÁVEIS
CALL
PUT
Preço Activo
Subjacente Ò
Ò
Ô
Preço Exercício Ò
Ô
Ò
Prazo
Ò
Ò
Volatilidade Ò
Ò
Ò
Taxa de Juro Ò
Ò
Ô
Dividendos Ò
Ô
Ò
Ò
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4
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites
CALL
• Limite Máximo = Preço do Activo
• Limite Mínimo = S - X e-rT
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5
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites
CALL
• Limite Mínimo = S - X e-rT
• Exemplo:
–
–
–
–
S = 20
X = 18
r = 10%
T = 1 ano
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6
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites
CALL
• Limite Mínimo = 20 - 18 e-0.1x1
= 3.71
Se c = 3.00 ?
Arbitragem
Compra call e vende short o activo
Encaixe = 20 - 3 = 17
Aplica a 1 ano = 17e-0.1x1 = 18.79
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7
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites
CALL
• Final de 1 ano - Expira a Opção
• Se S > 18 - Exerce e compra activo por 18
– Lucro = 18.79 - 18 = 0.79
• Se S < 18 - Não exerce. Por exemplo = 17
– Lucro = 18.79 - 17 = 1.79
CONCLUSÃO
Prémio > = 3.71
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8
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites
PUT
• Limite Máximo = Preço de Exercício
• Limite Mínimo = X e-rT - S
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9
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites
PUT
• Limite Mínimo = X e-rT - S
• Exemplo:
–
–
–
–
S = 37
X = 40
r = 5%
T = 1 semestre
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10
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites
PUT
• Limite Mínimo = 40 e-0.05x0.5 - 37 =
Se p = 1.00 ?
= 2.01
Arbitragem
Pede empréstimo de 38
Compra put = 1
Compra activo = 37
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11
(38 e-0.05x0.5 )= 38.96
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites
PUT
• Final de 6 meses - Expira a Opção
• Se S < 40 - Exerce e vende por 40 e paga
empréstimo
– Lucro = 40 - 38.96 = 1.04
• Se S > 40 - Não exerce. Vende activo. Por
exemplo = 42
– Lucro = 42.00 - 38.96 = 3.04
CONCLUSÃO
Prémio > = 2.01
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12
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites de não-arbitragem
CALL
Menor o Preço de Exercício, Maior o Prémio
• Call A
• Call B
6m
6m
Vender Call A
Comprar Call B
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X= 100
X= 95
c= 20
c= 15
CashFlow= +20
CashFlow= -15
Saldo CF = +5
13
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites de não-arbitragem
CALL
Menor o Preço de Exercício, Maior o Prémio
• Call A
• Call B
6m
6m
X= 100
X= 95
Se S = 95 ÎNenhuma
Se S < 95 ÎNenhuma
c= 20
c= 15
exercida Î Lucro=5
exercida Î Lucro=5
Se S > 100 ÎAmbas exercidas Î Lucro=5+5=10
ARBITRAGEM-Lucro certo
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14
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites de não-arbitragem
CALL
Diferença entre prémios não pode ser superior
à diferença dos Preços de Exercício
• Call C
• Call D
6m
6m
X= 95
X= 100
Vender Call C
Comprar Call D
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c= 10
c= 4
CashFlow= +10
CashFlow= -4
Saldo CF = +6
15
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites de não-arbitragem
CALL
Diferença entre prémios não pode ser superior à
diferença dos Preços de Exercício
• Call C
• Call D
6m
6m
X= 95
X= 100
c= 10
c= 4
Se S = 95 ÎNenhuma exercida Î Lucro=6
Se S < 95 ÎNenhuma exercida Î Lucro=6
Se S > 100 ÎAmbas exercidas Î Lucro=6-5=1
ARBITRAGEM-Lucro certo
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16
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites de não-arbitragem
CALL
Maior vencimento, Maior o Prémio
• Call E
• Call F
3m
6m
Vender Call E
Comprar Call F
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X= 100
X= 100
c= 6
c= 5
CashFlow= +6
CashFlow= -5
Saldo CF = +1
17
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites de não-arbitragem
CALL - Maior vencimento, Maior o Prémio
• Call E
3m
X= 100
c= 6
• Call F
6m
X= 100
c= 5
OPÇÕES AMERICANAS
Se Call E é exercida, então Exerço call F
Î Lucro=1
OPÇÕES EUROPEIAS (Exemplo S= 105)
Se Call E é exercida,
Recebo 100 e entrego activo que vale 105
Vendo Call F e recebo S - X e-rT > = 5
ARBITRAGEM-Lucro certo > = 1
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18
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites de não-arbitragem
PUT
Maior o Preço de Exercício, Maior o Prémio
• Put A
• Put B
6m
6m
Vender Put B
Comprar Put A
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X= 100
X= 95
p= 11
p= 12
CashFlow= +12
CashFlow= -11
Saldo CF= + 1
19
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites de não-arbitragem
PUT
Maior o Preço de Exercício, Maior o Prémio
• Put A
• Put B
6m
6m
X= 100
X= 95
p= 11
p= 12
Se S = 100 ÎNenhuma exercida Î Lucro=1
Se S > 100 ÎNenhuma exercida Î Lucro=1
Se S < 95ÎAmbas exercidas Î Lucro=5+1=6
ARBITRAGEM-Lucro certo
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20
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Limites de não-arbitragem
PUT
Maior o Vencimento, Maior o Prémio
PUT
A diferença entre dois prémios de 2 Put não pode
exceder a diferença dos respectivos Preços de
Exercício
EXEMPLO:
Put C
Put D
6m
6m
X= 100
X= 105
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c= 4
c= 10
21
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
Relação entre os prémios da call e do put sobre o
mesmo activo, mesmo vencimento e mesmo preço
de exercício
Construir carteira por:
Comprar activo subjacente S(t)
Vender Call sobre o activo, com X e T- c(t,T)
Comprar Put sobre o activo, com X e T - p(t,T)
INVESTIMENTO INICIAL = S(t) + p(t,T) - c(t,T)
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22
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
INVESTIMENTO INICIAL = S(t) + p(t,T) - c(t,T)
O que acontece no vencimento T?
Se S(T) > X
Î Put - não é exercido
Î Call é exercida e vale S(T) - X (negativo)
Então a carteira vale
S(T) - S(T) + X = X
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23
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
INVESTIMENTO INICIAL = S(t) + p(t,T) - c(t,T)
O que acontece no vencimento T?
Se S(T) < X
Î Call - não é exercido
Î Put é exercido X - S(T)
Então a carteira vale
S(T) + X- S(T) = X
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24
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
INVESTIMENTO INICIAL = S(t) + p(t,T) - c(t,T)
O que acontece no vencimento T?
Se S(T) = X
Î Call - não é exercido
Î Call - não é exercido
Então a carteira vale
S(T), mas S(T) = X, portanto carteira = X
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25
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
INVESTIMENTO INICIAL = S(t) + p(t,T) - c(t,T)
O que acontece no vencimento T?
CONCLUSÃO- valor da carteira em T
Se S(T) > X - carteira = X
Se S(T) < X - carteira = X
Se S(T) = X - carteira = X
INVESTIMENTO CERTO - remunerado à taxa de
juro sem risco
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26
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
INVESTIMENTO INICIAL = S(t) + p(t,T) - c(t,T)
INVESTIMENTO CERTO - remunerado à taxa de
juro sem risco
Carteira Final/Carteira Inicial = 1 + rrf (t,T)
X/ S(t) + p(t,T) - c(t,T) = 1 + rrf (t,T)
c(t,T) + X e-rT = p(t,T) + S(t)
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27
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
c(t,T) + X e-rT = p(t,T) + S(t)
ARBITRAGEM
S(t) = 31
X = 30
p(t,T) = 2.25
c(t,T) = 3
rrf (t,T) = 10%
T = 3 meses
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28
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
c(t,T) + X e-rT = p(t,T) + S(t)
c(t,T) + X e-rT = 3 + 30 e-0.1x0.25 = 32.26
p(t,T) + S(t) = 2.25 + 31 = 33.25
ARBITRAGEM
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29
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
c(t,T) + X e-rT = p(t,T) + S(t)
Estratégia de Arbitragem:
• Comprar Call
• Vender Put
• Vender Short Activo
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30
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Estratégia de Arbitragem - Fluxo inicial
Comprar Call
3
Vender Put
2.25
Vender Short Activo 31
30.25 (inflow)
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31
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
30.25 (inflow) - no final de 3 meses, temos:
30.25 e0.1x0.25 = 31.02
Se S(T) > 30
exerce call, compra activo por 30 e devolvê-lo
(short)
Î LUCRO = 31.02 - 30 = 1.02
Se S(T) < 30
o put é exercido. Significa que somos obrigados a
comprar o activo por 30 e devolvê-lo
Î LUCRO = 31.02 - 30 = 1.02
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32
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
c(t,T) + X e-rT = p(t,T) + S(t)
ARBITRAGEM
S(t) = 31
X = 30
p(t,T) = 1
c(t,T) = 3
rrf (t,T) = 10%
T = 3 meses
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33
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
c(t,T) + X e-rT = p(t,T) + S(t)
c(t,T) + X e-rT = 3 + 30 e-0.1x0.25 3=32.26
p(t,T) + S(t) = 1 + 31 = 32
ARBITRAGEM
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34
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Paridade Put/Call - Teorema Fundamental
c(t,T) + X e-rT = p(t,T) + S(t)
Estratégia de Arbitragem:
• Comprar Put
• Vender Call
• Comprar Activo
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35
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
Estratégia de Arbitragem - Fluxo inicial
Vender Call
3
Comprar Put
1
Comprar Activo
31
empréstimo
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29 (outflow)
36
OPÇÕES
AVALIAÇÃO - Paridade Put/Call
29 (outflow) - no final de 3 meses, temos:
29 e0.1x0.25
= 29.72
Se S(T) > 30
call é exercida, vende activo por 30 e liquida
empréstimo
Î LUCRO = 30 - 29.72 = 0.27
Se S(T) < 30
exerce put, vende activo por 30 e liquida
empréstimo
Î LUCRO = 30 - 29.73 = 0.27
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37
ACTIVOS FINANCEIROS
DERIVADOS
• Paridade Put-Call
• Modelo Binomial - Introdução
• Modelo Binomial de um Período
• Modelo Binomial Multiperíodo
• Estratégias - Produtos Estruturados
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38
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
• Modelo Binomial
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39
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
• Modelo Binomial
– Determina o prémio das opções, assumindo que
o preço do activo subjacente tem evolução de
preço de tipo binomial
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40
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
Exemplo:
St = 20
ST = 22 ou 18
Valorizar uma Opção Call sobre o activo, com
X = 21 e 3 meses de vencimento?
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41
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
ST=22
St=20
ST=18
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42
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
Call: X = 21
ST=22
C=1
St=20
ST=18
C=0
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43
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Princípio da não-arbitragem
Construir carteira:
∆ acções
Venda de 1 call sobre o activo
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44
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Princípio da não-arbitragem
Construir carteira:
Valor da carteira em T=
Se T = 22 Î
22 ∆ - 1
Se T = 18 Î
18 ∆
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45
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Valor da carteira em T=
Se T = 22 Î 22 ∆ - 1
Se T = 18 Î 18 ∆
Sem risco:
22 ∆ -1 = 18 ∆ Î
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∆ = 0.25
46
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Carteira sem risco:
0.25 acções
Venda 1 call
Valor da carteira em T:
22 x 0.25 -1 = 4.5
Valor da carteira em T:
18 x 0.25 = 4.5
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47
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Valor da carteira em T:
22 x 0.25 -1 = 4.5
Valor da carteira em T:
18 x 0.25 = 4.5
VA, em t, do valor da carteira em T:
VA = 4.5 e-0.12x0.25 = 4.367
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48
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
VA, em t, do valor da carteira em T:
VA = 4.5 e-0.12x0.25 = 4.367
Investimento Inicial:
20 x 0.25 - c = 5 - c
c = 0.633
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49
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial - Generalização
Exemplo:
Su Î fu
Sd Î fd
Valorizar uma Opção Call sobre o activo, com
Preço de Exercício = X vencimento T?
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50
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
Su
S0
Sd
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51
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
Call - X
Su
fu
S0
f
Sd
fd
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52
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Princípio da não-arbitragem
Construir carteira:
∆ acções
Venda de 1 call sobre o activo
Ephi-ciência Financeira
53
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Princípio da não-arbitragem
Construir carteira:
Valor da carteira em T=
Se Su Î
Su ∆ - fu
Se Sd Î
Sd ∆ - fd
Ephi-ciência Financeira
54
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Valor da carteira em T=
Su ∆ - fu
Se Su Î
Sd ∆ - fd
Se Sd Î
Su ∆ - fu = Sd ∆ - fd
∆ = (fu - fd ) / (Su - Sd)
Ephi-ciência Financeira
55
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Carteira sem risco:
∆ acções
Venda 1 call
Valor da carteira em T:
Su ∆ - fu
Valor da carteira em T:
Sd ∆ - fd
Ephi-ciência Financeira
56
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Valor da carteira em T:
Su ∆ - fu
Valor da carteira em T:
Sd ∆ - fd
VA, em 0, do valor da carteira em T:
VA = (Su ∆ - fu)e-rT
Ephi-ciência Financeira
57
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
VA, em t, do valor da carteira em T:
VA = (Su ∆ - fu)e-rT
Investimento Inicial:
S0 ∆ - f
Então
(Su ∆ - fu)e-rT c = S0 ∆ - f
Donde
f = S0 ∆ - (Su ∆ - fu) e-rT
Ephi-ciência Financeira
58
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
f = S0 ∆ - (Su
Substituindo ∆
Então:
∆ - fu) e-rT
= (fu - fd)/(Su-Sd)
f = e-rT [pfu + (1-p) fd)]
Em que:
p = (erT-d)/(u-d)
Ephi-ciência Financeira
59
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Exemplo:
u = 1.1 e d= 0.9
T = 0.25
fu = 1
fd = 0
r = 12%
p = (e0.12x0.25-0.9)/(1.1-0.9) = 0.6523
f = e-0.12x0.25 [0.6523 x 1 + 0.3467 x 0] = 0.633
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60
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Significado de p
p = probabilidade de o preço subir
(1-p) = probabilidade de o preço descer
Ephi-ciência Financeira
61
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
p = probabilidade de o preço subir
(1-p) = probabilidade de o preço descer
Então, o valor esperado desta opção será:
pfu + (1-p)fd
Sendo que será o VA do futuro valor da Opção
Então:
E(ST) = pS0u + (1-p) S0d ou
E(ST) = pS0(u-d) + S0d substituindo p, temos:
E(ST) = S0ert - NEUTRALIDADE DO RISCO
Ephi-ciência Financeira
62
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo
24.2
22
19.8
St=20
18
Ephi-ciência Financeira
16.2
63
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo
24.2
3.2
22
19.8
0.0
St=20
18
Ephi-ciência Financeira
16.2
0.0
64
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo
24.2
3.2
22
19.8
0.0
p = (e0.12x0.25-0.9)/(1.1-0.9) = 0.6523
f = e-0.12x0.25 [0.6523 x 3.2 + 0.3477 x 0] = 0.2.0257
Ephi-ciência Financeira
65
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo
19.8
0.0
18
16.2
0.0
f = 0
Ephi-ciência Financeira
66
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo
22
2.0257
St=20
18
0
Ephi-ciência Financeira
24.2
3.2
19.8
0.0
16.2
0.0
67
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo
22
2.0257
St=20
18
0
p = (e0.12x0.25-0.9)/(1.1-0.9) = 0.6523
f = e-0.12x0.25 [0.6523 x 2.0257 + 0.3477 x 0] = 1.2823
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68
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo - generalização
fu = e -r Ìt [pfuu + (1-p)fud)]
fd = e -r Ìt [pfud + (1-p)fdd)]
f = e -r Ìt [pfu + (1-p)fd)] , substituindo:
f = e -2r Ìt [p2fuu + 2p(1-p)fud+(1-p)2fdd)]
Ephi-ciência Financeira
69
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo - generalização
p2 - probanilidade da subida máxima
2p(1-p) - probabilidade do meio
(1-p)2 - probabilidade da descida máxima
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70
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo
Exemplo PUT
S0= 50
X = 52
u = 1.2
d = 0.8
r = 5%
t = 1 ano (2 períodos)
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71
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo
St=50
4.1923
60
1.4147
40
9.4636
Ephi-ciência Financeira
72
72
0
48
4
32
20
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
p = (e0.05x1-0.8)/(1.2-0.8) = 0.6282
f = e
[0.62822 x0 + 2 x 0.6282 x
0.3718 x 4 + 0.37182 x20] =
4.1923
-2x0.05x1
Ephi-ciência Financeira
73
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial-Multiperíodo
Opções Americanas
St=50
5.0894
60
1.4147
40
12
Ephi-ciência Financeira
72
0
48
4
32
20
74
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
p = (e0.05x1-0.8)/(1.2-0.8) = 0.6282
f = e
-0.05x1
[0.6282 x 1.4147 +
0.3718 x 12] =
5.0894
Ephi-ciência Financeira
75
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
Ì - O que é o delta da Opção?
Rácio da variação do preço da Opção face
a variações do activo subjacente.
Nº de unidades do activo que devemos
juntar a uma opção curta para termos
uma carteira sem risco
Ephi-ciência Financeira
76
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
Ì - O que é o delta da Opção?
Delta Hedging
Delta de uma call é positivo
Delta de um Put é negativo
Ephi-ciência Financeira
77
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
Ì - O que é o delta da Opção?
CALL
(3.2 - 0)/(24.2 - 19.8)
(0 - 0) / (19.8 - 16.2)
(2.0257 - 0) / (22 - 18)
Ephi-ciência Financeira
78
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
Ì - O que é o delta da Opção?
PUT
(0 - 4)/(72 - 48)
(4 - 20) / (48 - 32)
(1.4147 - 9.4636) / (60 - 40)
Ephi-ciência Financeira
79
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo Binomial
Cálculo de u e d - volatilidade
u = eσ (δt)1/2
d=1/u
Ephi-ciência Financeira
80
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
MODELO BINOMIAL
T-t =
ÁREA DE INPUT
1 ano
dt =
0,25
X=
100
u=
1,1052
So=
100
d=
0,9048
r=
10%
m=
0,1000
T-t =
p=
0,6014
s=
1-p =
0,3986
Ephi-ciência Financeira
Nº Degraus =
81
365 dias (365)
20%
4
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Árvore de Evolução do Preço do Activo de Base
149,1825
134,9859
122,1403
110,5171
100,0000
122,1403
110,5171
100,0000
90,4837
100,0000
90,4837
81,8731
81,8731
74,0818
67,0320
Ephi-ciência Financeira
82
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Árvore de Probabilidades
0,1308
0,2175
0,3617
0,6014
1,0000
0,3468
0,4325
0,4794
0,3986
0,3448
0,2867
0,1589
0,1524
0,0633
0,0252
Ephi-ciência Financeira
83
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Árvore de Valor da Opção em Cada Nódulo
49,1825
37,4549
27,0173
18,8079
12,7684
22,1403
12,9861
7,6168
4,4676
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Ephi-ciência Financeira
84
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Árvore de Evolução do Preço do Activo de Base
Su8
…
Su7 d
…
…
…
Suuu=Su3
Suu=Su2
S
…
Sud=S
…
Sudd=Sud2
Sdd=Sd
2
…
…
Su4 d4
…
…
…
Sddd=Sd3
Su5 d3
…
…
Sd
Su6 d2
…
…
Suud=Su2 d
Su
…
…
Su3 d5
…
…
…
…
Su2 d6
…
…
…
Sud7
…
…
Sd8
Ephi-ciência Financeira
85
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Árvore de Probabilidades
(8!/(8!0!))p8
…
(8!/(7!1!))p7 (1-p)
…
…
…
p3
p
2
1
…
3p2 (1-p)
2p(1-p)
(1-p)
…
(8!/(4!4!))p4 (1-p)4
…
…
…
(1-p)3
(8!/(5!3!))p5 (1-p)3
…
…
2
…
…
3(1-p)p2
1-p
(8!/(6!2!))p6 (1-p)2
…
…
p
…
…
(8!/(3!5!))p3 (1-p)5
…
…
…
…
(8!/(2!6!))p2 (1-p)6
…
…
…
(8!/1!7!))p(1-p)7
…
…
(8!/(0!8!))(1-p)8
Ephi-ciência Financeira
86
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Árvore de Valor da Opção em Cada Nódulo
A=Max(0, S-X)
J
R
…
…
…
…
AA
Call Price
BB
S
…
…
L
…
…
D=Max(0, S-X)
M
U
…
…
…
C=Max(0, S-X)
T
…
…
K
…
…
B=Max(0, S-X)
E=Max(0, S-X)
N
V
…
…
F=Max(0, S-X)
O
X
…
G=Max(0, S-X)
P
Y
H=Max(0, S-X)
Q
I=Max(0, S-X)
Ephi-ciência Financeira
87
OPÇÕES FINANCEIRAS
MODELO BLACK-SCHOLES
• Características da Evolução dos Preços
• Volatilidade - Importância do Conceito
• Pressupostos do Modelo
• Fórmulas de Black-Scholes
• Indicadores de Risco
Ephi-ciência Financeira
88
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Características da Evolução dos Preços
• Binomial - o activo tem duas possibilidades de
evolução (u ; d)
• Processo Estocástico - quando o valor de uma
variável evolui no tempo de forma incerta
Ephi-ciência Financeira
89
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Características da Evolução dos Preços
Processo Estocástico - quando o valor de uma
variável evolui no tempo de forma incerta
• Processo estocástico discreto
quando o valor da variável muda apenas em certos
momentos de tempo
• Processo estocático contínuo
quando o valor muda em qualquer momento
Ephi-ciência Financeira
90
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Características da Evolução dos Preços
Processo estocático contínuo
quando o valor muda em qualquer momento
• variável - quando pode assumir qualquer
valor dentro de um intervalo
• discreto - quando apenas certos valores
discretos são possíveis
Ephi-ciência Financeira
91
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
ACTIVOS FINANCEIROS - Acções
Processo estocático contínuo variável
- quando pode assumir qualquer valor dentro de
um intervalo
Importante apesar de as acções variarem em
múltiplos e apenas serem transacionadas durante
certo tempo
Ephi-ciência Financeira
92
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
PROCESSO de MARKOV
Processo estocástico específico
- só o valor actual é relevante para prever o futuro.
O passado da variável e a forma como chegou ao
presente é irrelevante
Exemplo: Hoje PT = 10
A previsão do preço da PT no futuro não é afectada
pelo preço de há 1 semana, 1 mês ou 1 ano. A
informação relevante é o preço ser 10
Ephi-ciência Financeira
93
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
PROCESSO de MARKOV
As previsões são incertas e devem ser expressas em
termos de uma distribuição de probabilidades
Implica que a distribuição de probabilidades do preço
no futuro não é dependente de qual foi a evolução
do preço no passado
Assume que o preço de hoje reflecte já toda a
informação e acontecimentos ocorridos no passado
Ephi-ciência Financeira
94
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
• Modelo Binomial
– Determina o prémio das opções, assumindo que
o preço do activo subjacente tem evolução de
preço de tipo binomial
Ephi-ciência Financeira
95
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
EVOLUÇÃO DA BINOMIAL
BINOMIAL MULTIPERÍODO - calcula o preço das
opções assumindo uma distribuição binomial, mas
para um horizonte de vários períodos
Mas cada período pode ser:
1 ano, 1 semestre, 1 mês, 1 dia, 1 hora, 1 minuto
Por exemplo, se o período for 1 segundo, a binomial já
não é tão chocante!!!
Com períodos infinitesimais, a binomial aproxima-se
de uma distribuição de características contínuas
Ephi-ciência Financeira
96
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo BLACK-SCHOLES
1970
• Fisher Black
• Myron Scholes
Contributo decisivo na determinação dos preços
das Opções e na sua utilização como
instrumentos de hedging.
Ephi-ciência Financeira
97
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo BLACK-SCHOLES
O modelo incide sobre a valorização das Opções
sobre Acções e tem 2 pressupostos:
• Como evolui o preço de uma acção?
• Se hoje uma acção vale 10, quanto vale amanhã,
ou daqui a 1 semana, ou daqui a 1 mês?
Ephi-ciência Financeira
98
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo BLACK-SCHOLES
• A 1ª conclusão é que as variações proporcionais
do preço da acção, em prazos curtos, obedecem a
uma distribuição normal. Isto implica que o preço
da acção, no futuro, segue uma distribuição
lognormal.
• A distribuição normal pode assumir valores
positivos e negativos, enquanto que a distribuição
lognormal é sempre positiva.
• A distribuição normal é simétrica, a distribuição
lognormal é enviesada em que a média, mediana e
moda são diferentes.
Ephi-ciência Financeira
99
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Distribuição Normal
0
Ephi-ciência Financeira
100
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Distribuição Lognormal
0
Ephi-ciência Financeira
101
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo BLACK-SCHOLES
• PARÂMETROS
O comportamento de uma acção é definido com
base em 2 parâmetros:
1 – Retorno Esperado da Acção
Retorno
médio
anualizado
obtido
pelos
investidores no curto espaço de tempo - µ
2 – Volatilidade do preço da acção
Medida de incerteza sobre a evolução do preço
da acção – σ
Ephi-ciência Financeira
102
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo BLACK-SCHOLES
PRESUPOSTOS DA 1ª FORMULAÇÃO
• comportamento do preço do activo corresponde a uma
distribuição lognormal com µ e σ constantes
• Não há custos de transacção nem impostos
• Os títulos são divisíveis
• Não há dividendos, durante a vida útil da opção
• Não existem oportunidades de arbitragem
• Os títulos são transaccionados de forma contínua
• Investidores podem pedir empréstimos ou investir à
mesma taxa de juro sem risco
• A taxa de juro sem risco de curto prazo, rrf é constante
• Opções Europeias
Ephi-ciência Financeira
103
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Modelo BLACK-SCHOLES
CONCEITOS SUBJACENTES
– O preço da opção e o preço do activo subjacente
dependem ambos da mesma fonte de incerteza
– É possível constituir um portfolio com activo
subjacente e opção que elimina aquela fonte de
incerteza
– O portfolio obtido está instantaneamente isento de
risco, por isso a rendibilidade que oferece deverá ser a
taxa isenta de risco
Ephi-ciência Financeira
104
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
• FORMULÁRIO
c = S × N (d1) − Xe
p = X ×e
−r×(T −t )
− r ×(T −t )
N (d 2 )
N(− d 2) − S × N(− d1)
- σ: volatilidade (σ2: variância instantânea do preço do activo)
- ln: logaritmo natural
- N(x): função de distribuição de probabilidade cumulativa do preço
da acção; probabilidade de uma variável normalmente distribuída com
média zero e desvio padrão de 1 ser inferior a “x”
Ephi-ciência Financeira
105
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
• FORMULÁRIO
σ2
 S  
 × (T − t )
ln 
 +  r +
2 
X  
d1 =
σ × T −t
2
S  σ 
ln  +  r −  × (T − t )
2 
X 
d2 =
= d1 − σ × T − t
σ × T −t
Ephi-ciência Financeira
106
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
EXEMPLO
• S= 42
• X= 40
• r= 10%
• σ= 20%
• T= 6 meses
Ephi-ciência Financeira
107
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
ln(42/40) + (0.10 + 0.22 / 2) x 0.5
•
d1 =
------------------------------------- =
0.7693
0.2 x 0.51/2
ln(42/40) + (0.10 - 0.22 / 2) x 0.5
•
•
d2 =
------------------------------------- =
0.6278
0.2 x 0.51/2
d2 = d1 - 0.2 x 0.51/2 = 0.6278
Ephi-ciência Financeira
108
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Preço da Call =
c = 42 N(0.7693) – 40 e-0.1 x 0.5 N(0.6278)
• N(0.7693) = 0.7791
• N(0.6278) = 0.7349
c = 42 x 0.7791 – 40 e-0.05 x 0.7349 = 4.76
• N(-0.7693) = 0.2209
• N(-0.6278) = 0.2651
p = 38.049 N(-0.6278) – 42 N(-0.7693) = 0.81
Ephi-ciência Financeira
109
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Preço da Call = S N(d1) – X e-rT N(d2)
Preço do Put = X e-rT N(-d2) – S N(-d1)
O que são o N(d1) e o N(d2)?
São Probabilidades!
N(d1) - Probabilidade da Call chegar ao vencimento
in-the-money
N(-d1) - Probabilidade
vencimento in-the-money
Ephi-ciência Financeira
do
110
Put
chegar
ao
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
EXEMPLO
• S= 17.5
• X= 17
• r= 8%
• σ2= 10%
• T= 3 meses
Ephi-ciência Financeira
111
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
ln(17.5/17) + (0.08 + 0.10 / 2) x 0.25
•
d1 = ------------------------------------------ = 0.3889
0.11/2 x 0.251/2
•
d2 = d1 - 0.11/2 x 0.251/2 = 0.2308
Ephi-ciência Financeira
112
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
N(0.3889)=0.6513
σ2= 1
0
0.3889
Ephi-ciência Financeira
113
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
N(0.2308)=0.5913
σ2= 1
0
0.2308
Ephi-ciência Financeira
114
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Preço da Call =
c = 17.5 (0.6513) – 17 e-0.08 x 0.25 (0.5913)
= 11.4 - 9.85 = 1.55
Preço do Put =
p = c - S + Xe-rT = 1.55 - 17.5 + 17 e-0.08x0.25
= 0.71
Ephi-ciência Financeira
115
CONTRATO de OPÇÕES
DETERMINANTES DO PRÉMIO
VARIÁVEIS
CALL
PUT
Preço Activo
Subjacente Ò
Ò
Ô
Preço Exercício Ò
Ô
Ò
Prazo
Ò
Ò
Volatilidade Ò
Ò
Ò
Taxa de Juro Ò
Ò
ÒÔ ?
Ò
Ephi-ciência Financeira
116
Efeito das Determinantes no
Preço de uma Call
S
X
+
-
σ
C
Ephi-ciência Financeira
t
+
+
r
+
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Sensibilidade das determinantes
S
c
p
15.00
0.37
2.03
17.50
1.55
0.71
20.00
3.51
0.17
Ephi-ciência Financeira
118
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Sensibilidade das determinantes
σ2
c
p
0.05
1.26
0.42
0.10
1.55
0.71
0.15
1.79
0.95
Ephi-ciência Financeira
119
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
S ensibilidade das determ inantes
X
c
p
14.00
3.84
0.63
17.00
1.55
0.71
19.00
0.66
1.78
Ephi-ciência Financeira
120
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Sensibilidade das determinantes
T
c
p
.10
1.18
0.34
.25
1.55
0.71
.50
1.98
1.14
Ephi-ciência Financeira
121
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
Sensibilidade das determinantes
r
C
p
.05
1.54
0.70
.08
1.55
0.71
.13
1.56
0.72
Ephi-ciência Financeira
122
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
• FORMULÁRIO
c = S × N (d1) − Xe
−r×(T −t )
p = X ×e
Ephi-ciência Financeira
− r ×(T −t )
N (d 2 )
N(− d 2) − S × N(− d1)
123
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS
c = S × N (d 1) − Xe
− r × (T − t )
N (d 2 )
Quando S aumenta muito, muito, é quase certo que a call é
exercida Î d1 e d2 tendem a ter valores muito altos
Î N(d1) e N(d2) tendem para 1 Î c = S - Xe-rt
Ephi-ciência Financeira
124
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS
−r×(T −t )
p = X ×e
N(− d2) − S × N(− d1)
Quando S aumenta muito, muito, é quase certo que o put não
é exercido Î N(-d1) e N(-d2) tendem para 0 Î p = 0 .
Ephi-ciência Financeira
125
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS
c = S × N (d 1) − Xe
− r × (T − t )
N (d 2 )
Quando S diminui muito, muito, Î d1 e d2 tendem a ter
valores muito altos e negativos ÎN(d1) e N(d2) tendem para 0
Î c = 0
Ephi-ciência Financeira
126
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
PROPRIEDADES DAS FÓRMULAS
−r×(T −t )
p = X ×e
N(− d2) − S × N(− d1)
Quando S diminui muito, muito, é quase certo que o put é
exercido Î N(-d1) e N(-d2) tendem para 1 Î p = Xe-rT -S
Ephi-ciência Financeira
127
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
VARIÁVEIS
• Preço Activo Subjacente
• Preço Exercício
• Prazo
• Taxa de Juro
• Volatilidade
Ephi-ciência Financeira
128
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
VOLATILIDADE
única
variável
explicativa que não é directamente
observável. Tem de ser estimada
VOLATILIDADE - Ou risco total, é a
característica de um activo que se
associa à instabilidade da sua taxa de
rendibilidade. Pode ser vista como uma
medida
de
variabilidade
das
rendibilidades dos activos.
Ephi-ciência Financeira
129
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
ESTIMAR A VOLATILIDADE:
•
Através de volatilidades históricas
•
Com base em volatilidades implícitas
Ephi-ciência Financeira
130
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
ESTIMAR A VOLATILIDADE:
•
Através de volatilidades históricas
Admite-se que a volatilidade do preço
do activo subjacente é constante ao
longo do tempo. Pode estimar-se a
volatilidade ao longo da vida da opção
com base na volatilidade registada no
passado
Ephi-ciência Financeira
131
CONTRATO DE OPÇÕES
Estimador Clássico de
Volatilidade
Uso do Desvio-Padrão das taxas de
rendibilidade historicamente observadas.
Por isso se designa de Volatilidade
Histórica:
∑ (R
T
σ
j
=
Ephi-ciência Financeira
t =1
j ,t
− R
T −1
132
)
2
j
CONTRATO DE OPÇÕES
Estimador Clássico de
Volatilidade
Para “anualizar” a volatilidade altera-se
a escala:
σ
=σ
anual
j
diária
j
Ephi-ciência Financeira
133
250
CONTRATO DE OPÇÕES
Volatilidade Diária e Anual
Exemplo
Se a Volatilidade calculada com base em
dados diários foi de 0,01, a Volatilidade
em termos anuais foi de:
σ
= 0,01 250 = 0,1581= 15,81%
anual
j
Ephi-ciência Financeira
134
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
ESTIMAR A VOLATILIDADE:
•
Com base em volatilidades implícitas
Consiste em determinar a volatilidade
com base na cotação de mercado das
opções. Resolver o modelo em relação a
σ para um prémio igual à cotação de
mercado.
Ephi-ciência Financeira
135
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
ESTIMAR A VOLATILIDADE:
• Com base em volatilidades implícitas
EXEMPLO:
S = 21
X = 20
r = 0.1
T = 0.25
COTAÇÃO da Call = 1.875
σ = ?
Ephi-ciência Financeira
136
CONTRATO de OPÇÕES
AVALIAÇÃO DE OPÇÕES
ESTIMAR A VOLATILIDADE:
• Com base em volatilidades implícitas
EXEMPLO:
S = 21
X = 20
r = 0.1
T = 0.25
COTAÇÃO da Call = 1.875
σ = ? - por aproximação = 23.5%
Ephi-ciência Financeira
137
Sensibilidade do valor das Opções a
diferentes condições de Mercado
Os Gregos
Ephi-ciência Financeira
138
Sensibilidade do Prémio da
Opção às variáveis que o
afectam
• Delta - 1ª derivada de c em ordem a S
• Vega ou Lambda - 1ª derivada de c em ordem a σ
• Theta - 1ª derivada de c em ordem a t
• Rho - 1ª derivada de c em ordem a r
Ephi-ciência Financeira
139
Medidas de sensibilidade
Delta
Taxa de variação do valor do derivado face a
variações do preço do activo subjacente.
∂f
∆=
∂S
Olhando para a fórmula, conclui-se que:
∆ = N(d1)
Ephi-ciência Financeira
140
Medidas de sensibilidade
Delta - Exemplo
S = 100 Î c = 10.3044
S = 102 Î c = 11. 5702
∂f
∆=
∂S
∆ = (11.5701-10.3044) / (102-100) = 0.6329
Ephi-ciência Financeira
141
Medidas de sensibilidade
Delta - Exemplo
S = 100
Î c = 10.3044
S = 100.10 Î c = 10.3660
∂f
∆=
∂S
∆ = (10.3660-10.3044) / (100.1-100)= 0.6160
Para S = 100 Î N(d1) = 0.6151
Ephi-ciência Financeira
142
Medidas de sensibilidade
Delta - ∆
É a 1ª derivada do preço da call relativa em
função do preço do Activo subjacente. Mede a
sensibilidade do preço da call a variações do
preço do respectivo activo subjacente.
O Delta de uma Call é sempre positivo
O Delta de um Put é sempre negativo
Ephi-ciência Financeira
143
Medidas de sensibilidade
Gamma
Taxa de variação do delta do derivado face a
variações do preço do subjacente.
Γ=
∂2 f
∂S 2
Efeito de 2ª Ordem - sensibilidade do Delta.
Pode assumir valores positivos ou negativos
Ephi-ciência Financeira
144
Medidas de sensibilidade
Gamma - Exemplo
S = 100 Î ∆ = 0.6151 Î Γ = 0.0181
Se
SÎ 101 Î ∆ = 0.6151 + 1 x 0.0181 = 0.6332
Ephi-ciência Financeira
145
Indicadores de Risco
Vega
Taxa de variação do valor do derivado face a
variações da volatilidade do activo subjacente.
ν=
∂f
∂σ
1ª Derivada do preço em função da volatilidade
do activo subjacente
Ephi-ciência Financeira
146
Indicadores de Risco
Vega
Muito
importante,
porque
variações
na
volatilidade dos activos subjacentes podem
provocar alterações significativas no preço das
opções
ν=
Ephi-ciência Financeira
∂f
∂σ
147
Indicadores de Risco
Vega - Exemplo
σ
= 0.3 Î c = 10.30 Î
ν
σ
= 0.5 Î c = 10.30 + 0.2 x 26.8416 = 15.67
= 26.8416
Aumento do preço da call em cerca de 50%
∂f
ν=
∂σ
Ephi-ciência Financeira
148
Indicadores de Risco
Rho
Taxa de variação do valor do derivado face a variações
da taxa de juro
∂f
rho =
∂r
1ª derivada do preço da opção em função da taxa de
juro
O Rho de uma call deverá ser sempre positivo
Ephi-ciência Financeira
149
Indicadores de Risco
Rho -Exemplo
S = 100 Î c = 10.3044 Î Rho = 25.2515
Taxa Juro Ò 1% Î c Ò 0.01 x 25.2515 = 0.2525
rho =
∂f
∂r
Preço da Call pouco sensível a variações de taxas
de juro
Ephi-ciência Financeira
150
Indicadores de Risco
Theta
Taxa de variação do valor do derivado face a variações
da maturidade da opção
∂f
Θ=
∂t
Mesmo que tudo seja constante, o preço da opção vai
variando com a passagem do tempo
É o negativo da 1ª derivada do preço da call face ao
prazo até à maturidade
Ephi-ciência Financeira
151
Indicadores de Risco
Relação entre o Delta, Theta e Gamma
1 2 2
∂f
∂f 1 ∂2 f 2 2
S
rf
rS
σ
+ rS +
=
<=>
Θ
+
∆
+
Γσ S = rf
2
2
∂t
∂S 2 ∂S
Ephi-ciência Financeira
152
Delta Hedging
Imunização a reduzidas variações do subjacente em
reduzidos intervalos de tempo
Cobertura dinâmica
Portfolio (P):
- 1 opção (f)
+ ∂f acções (S)
∂S
Ephi-ciência Financeira
153
Medidas de sensibilidade
Delta - Exemplo
S = 100
Î c = 10.3044
S = 100.10 Î c = 10.3660
∂f
∆=
∂S
∆ = (10.3660-10.3044) / (100.1-100)= 0.6160
Para S = 100 Î N(d1) = 0.6151
Ephi-ciência Financeira
154
Delta Hedging
Investimento Inicial:
P = -c + N(d1) S
S = 100
c = 10.3044
N(d1) = 0.6151
P = - 10.3044 + 0.6151 x 100 = 51.2056
Ephi-ciência Financeira
155
Delta Hedging
S varia para 100.10, então
S = 100.10
c = 10.3660
N(d1) = 0.6151
P = - 10.3660 + 0.6151 x 100.10 = 51.2055
Para uma variação de S=0.1, c varia apenas de 0.0001
Ephi-ciência Financeira
156
Delta Hedging
S varia para 110, então
S = 110
c = 17.2821
N(d1) = 0.6151
P = - 10.3660 + 0.6151 x 110 = 50.3789
Para uma variação de S=10, c varia apenas de 0.8267
PORTFOLIO DELTA NEUTRO
Ephi-ciência Financeira
157
Gamma Hedging
Tornar um Portfolio Gamma Neutro
-
Imunização a elevadas variações do
subjacente em reduzidos intervalos de tempo
Cobertura dinâmica
Portfolio (P):
- 1 opções com Gamma = Γ
Γ
opções com Gamma =Γt
+
Γt
Ephi-ciência Financeira
158
activo
Delta
Análise de Sensibilidade - Call Europeia
c = S × N(d1) − K × e−r×(T −t )N(d2)
Valor
1,000,000
800,000
600,000
400,000
Delta
200,000
3,000,000
1,900
1,700
1,500
1,300
1,100
900
700
500
0
2,000,000
1,000,000
Ephi-ciência Financeira
159
1,900
1,700
1,500
1,300
1,100
900
700
0
500
∆ = N(d1)
Gamma
Análise de Sensibilidade - Call Europeia
N' (d1)
Γ=
100,000
80,000
60,000
−r×(T −t )
− r × K ×e
× N(d2)
40,000
20,000
1,900
1,700
1,500
1,300
1,100
Theta
900
0
700
2× T −t
S ×σ × T − t
500
Θ= −
S × N' (d1)×σ
Gam m a
1,900
1,700
1,500
1,300
900
1,100
-400
700
-200
500
0
1
Θ + rS∆ + Γσ 2 S 2 = rf
2
-600
-800
-1,000
-1,200
Ephi-ciência Financeira
160
Vega
Análise de Sensibilidade - Call Europeia
V = S × T − t × N' (d1)
Vega
6,000
4,000
2,000
Ephi-ciência Financeira
161
1,900
1,700
1,500
1,300
1,100
900
120
100
80
60
40
20
0
700
Rho= K ×(T −t)×e−r×(T−t ) × N(d2)
Rho
500
1,900
1,700
1,500
1,300
1,100
900
700
500
0