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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo
Capítulo 1: Números Reais
1.1- Conjuntos Numéricos
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos
então o conjunto
N = { 1,2,3,4,...} .
Os números –1, –2, –3, –4, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais
com os inteiros negativos e o zero define o conjunto dos números inteiros que denotamos por
Ζ = { 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4,...} .
Os números da forma
p
, onde p e q são inteiros e q ≠ 0 são chamados de frações e formam o conjunto dos
q
números racionais. Denotamos por
 p

Q =  ; p ∈ Ζ , q ∈ Ζ e q ≠ 0 .
q

p
Cada número racional
possui, também, uma representação decimal. Para obtê-la, basta efetuar a divisão
q
de p por q. Por exemplo:
1
= 0,25,
4
1
= 0,142857
7
e
5
= 0,416,
12
onde a barra acima dos algarismos indica que aquele grupo de algarismos repete-se indefinidamente. Dizemos,
nesse caso, que se trata de uma dízima periódica.
Observe que, dado o número racional
p
, ao dividirmos p por q, temos, em cada passo da divisão, apenas
q
um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2, ... , q – 1. Portanto, após no máximo q passos,
chegaremos ao resto zero, que é o que ocorre com
resto, que é o que ocorre com
1
, e a representação decimal será finita, ou repetiremos algum
4
1
5
e
, quando teremos uma representação decimal na forma de dízima periódica.
7 12
Reciprocamente, se x possuir uma representação decimal finita ou for uma dízima periódica, então x será
um número racional. Os exemplos a seguir podem ser generalizados para dízimas quaisquer e permitem entender
como obter uma fração a partir de uma representação decimal.
25 1
= .
100 4
Exemplo 2: Como x = 0,142857 possui um período de 6 dígitos, multiplicamos por 106 para obter
Exemplo 1: 0,25 =
(
)
106 x = 142857,142857. Assim, 106 x − x = 142857, de modo que 106 − 1 x = 142857 e resulta
142857 142857 15873
1443 111 1
x=
=
=
=
=
= .
6
10 − 1 999999 111111 10101 777 7
a a a ...a
Regra Geral: x = 0, a1a2 a3 ...at = 1 2 3 t , onde o denominador tem tantos dígitos iguais a 9 quantos
999...9
forem os algarismos do período (t, nesse caso).
1
Exemplo 3: Como os dois primeiros dígitos da parte decimal de x = 0,416 não fazem parte do período,
2
multiplicamos x por 102 para obter 10 x = 41, 6 = 41 + 0, 6 = 41 +
x=
6
2 41.3 + 2 125
= 41 + =
=
; portanto,
9
3
3
3
125 5
=
.
300 12
Existem números que não podem ser representados na forma
p
, onde p e q são inteiros e q ≠ 0, ou seja,
q
números cuja expansão decimal não é finita e nem periódica, tais como 2,101001000100001...,
2 = 1,41421..., π = 3,1415927..., e = 2,7182818... . Estes números formam o conjunto dos números
irracionais que denotaremos por QC.
Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto
dos números reais, que denotaremos por
R = Q ∪ QC .
Temos também os números da forma a + bi , onde a e b são números reais e i 2 = − 1 , que constituem o
conjunto dos números complexos denotado por
C = a + bi; a ∈ R, b ∈ R e i = − 1 .
{
}
Observação: As letras N, Q, R e C são as iniciais das palavras número (ou natural), quociente, real e complexo,
respectivamente. A letra Z é a inicial da palavra zahl, que significa número em alemão.
1.2- O Corpo dos Números Reais
No conjunto dos números reais introduziremos duas operações, chamadas adição e multiplicação, as quais
satisfazem os axiomas a seguir.
A adição faz corresponder a cada par de elementos a, b ∈ R sua soma a + b ∈ R, enquanto a multiplicação
associa a esses elementos o seu produto a . b ∈ R.
- Axiomas da adição
A1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a + b) + c = a + (b + c).
A2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a + b = b + a.
A3. Elemento neutro: Existe 0 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a, qualquer que seja a ∈ R.
A4. Simétrico: Todo elemento a ∈ R possui um simétrico em R, denotado por –a, tal que a + (–a) = (–a) + a = 0.
- Axiomas da multiplicação
M1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a . b) . c = a . (b . c).
M2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a . b = b . a.
M3. Elemento neutro: Existe 1 ∈ R tal que 1 ≠ 0 e a . 1 = 1 . a = a, qualquer que seja a ∈ R.
M4. Inverso multiplicativo: Todo elemento a ≠ 0 em R possui um inverso multiplicativo em R, denotado por a -1 ou
1/a, tal que a . a-1 = a-1. a = 1.
D1.
- Axioma da distributividade:
Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se a . (b + c) = a . b + a . c e (a + b) . c = a . c + b . c.
2
Observações:
1. Outros conjuntos numéricos apresentam-se munidos das operações de adição e multiplicação, satisfazendo as
nove propriedades anteriormente referidas. Por exemplo, o conjunto Q dos números racionais e o conjunto C dos
números complexos.
2. Um conjunto K munido de duas operações satisfazendo aos nove axiomas anteriores é denominado corpo.
Portanto, relativamente às operações de adição e multiplicação, R é um corpo. Também Q e C são corpos.
3. Usando os axiomas A.4 e M.4 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.
- Subtração: Se a e b são números reais, a diferença entre a e b, denotada por a – b, é definida por
a – b = a + (– b). A operação que associa a cada par de elementos a, b ∈ R sua diferença a – b ∈ R chama-se
subtração.
a
, é definido por
b
a
1
a
= a . b − 1 = a . . A operação que associa a cada par de elementos a, b ∈ R, com b ≠ 0, o quociente ∈ R
b
b
b
- Divisão: Se a e b são números reais e b ≠ 0, o quociente de a por b, denotado por
chama-se divisão.
1.3- Algumas propriedades que se deduzem dos axiomas de corpo
P.1. O elemento neutro da adição em R é único.
Vamos supor que 0 e 0’ são elementos neutros para a adição em R.
Temos:
0 é neutro e 0’∈ R ⇒ 0 + 0’= 0’;
0 ∈ R e 0’é neutro ⇒ 0 + 0’ = 0.
Logo, 0’= 0. Portanto o elemento neutro da adição em R é único.
P.2. O elemento simétrico em R é único.
Vamos supor que –a e a’são simétricos de a ∈ R.
Então:
a' = a’+ 0 = a’+ [a + (–a)] = (a’+ a) + (–a) = 0 + (–a) = –a.
Portanto o elemento simétrico de a ∈ R é único.
P.3. O elemento neutro da multiplicação em R é único.
Vamos supor que 1 e 1’ são elementos neutros para a multiplicação em R.
Temos:
1 é neutro e 1’∈ R ⇒ 1 . 1’= 1’;
1 ∈ R e 1’é neutro ⇒ 1 . 1’ = 1.
Logo, 1’= 1. Portanto o elemento neutro da multiplicação em R é único.
P.4. O elemento inverso em R é único.
Vamos supor que a-1 e a’ são inversos de a ∈ R, a ≠ 0.
Então:
a' = a’. 1 = a’. (a . a-1) = (a’. a) . a-1 = 1 . a-1 = a-1.
Portanto o elemento inverso de a ∈ R, a ≠ 0, é único.
P.5. Se a ∈ R então a . 0 = 0.
Temos:
a.0 = a. (0 + 0) = a.0 + a.0 ⇒ a.0 + [– (a.0)] = a.0 + a.0 + [– (a.0)] ⇒ 0 = a.0.
Logo, a.0 = 0.
3
P.6. Se a, b ∈ R tais que a . b = 0 então a = 0 ou b = 0.
Se a = 0, não temos nada a mostrar.
Vamos supor, então, a ≠ 0. Assim existe a-1 ∈ R e obtemos:
a.b = 0 ⇒ a-1 (a.b) = a-1.0 ⇒ (a-1.a).b = 0 ⇒ 1.b = 0 ⇒ b = 0.
P.7. Se a, b, c ∈ R então, a – b = c ⇔ a = b + c.
Temos:
a – b = c ⇒ a + (–b) = c ⇒ [a + (–b)] + b = c + b ⇒ a + [(–b) + b] = b + c ⇒ a + 0 = b + c ⇒ a = b + c.
a = b + c ⇒ (–b) + a = (–b) + (b + c) ⇒ a + (–b) = [(–b) + b] + c ⇒ a – b = 0 + c ⇒ a – b = c.
P.8. Se a, b, c ∈ R, com b ≠ 0, então,
a
= c ⇔ a = b.c .
b
Temos:
a
= c ⇒ a.b − 1 = c ⇒ a.b − 1 b = c.b ⇒ a. b − 1.b = b.c ⇒ a.1 = b.c ⇒ a = b.c.
b
a
a = b.c ⇒ b − 1.a = b − 1.( b.c ) ⇒ a.b − 1 = b − 1.b .c ⇒ a.b − 1 = 1.c ⇒
= c.
b
(
)
(
(
)
)
P.9. Se a, b, c ∈ R então, a + c = b + c ⇒ a = b.
Temos:
a + c = b + c ⇒ (a + c) + (–c) = (b + c) + (–c) ⇒ a + [c + (–c)] = b + [c + (–c)] ⇒ a + 0 = b + 0 ⇒ a = b.
P.10. Se a, b, c ∈ R, com c ≠ 0, então, a . c = b . c ⇒ a = b.
Temos:
a.c = b.c ⇒ (a.c).c-1 = (b.c).c-1 ⇒ a.(c.c-1) = b.(c.c-1) ⇒ a.1 = b.1 ⇒ a = b.
P.11. Se a, b ∈ R então, – a = (– 1) . a;
– ( – a) = a;
(– a) b = a (– b) = – (a b);
(– a) (– b) = a b.
1) (–1).a + a = (–1).a + 1.a = [(–1) + 1].a = 0.a = 0; logo o simétrico de a é (–1).a, ou seja, –a = (–1).a.
2) a + (–a) = 0; logo o simétrico de (–a) é a, isto é, –(–a) = a.
3) (–a).b + a.b = [(–a) + a].b = 0.b = 0; logo (–a).b é o simétrico de a.b, isto é, (–a).b = –(a.b).
a.(–b) + a.b = a.[(–b) + b] = a.0 = 0; logo a.(–b) é o simétrico de a.b, ou seja, a.(–b) = –(a.b).
4) (–a).(–b) = –[a(–b)] = –[ –(a.b)] = a.b.
P.12. Se a, b ∈ R então, a2 = b2 se, e somente se, a = ± b.
Temos:
a2 = b2 ⇔ a2 − b2 = 0 ⇔
( a − b ).( a + b ) =
0⇔ a− b = 0
ou
a+ b = 0⇔ a = b
ou
a = −b.
1.4- Desigualdades e suas propriedades
- Axioma de Ordem
No conjunto dos números reais, existe um subconjunto denominado de conjunto dos números positivos tal
que as seguintes condições são satisfeitas:
(i) dado a ∈ R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou a = 0, ou a é positivo ou
– a é positivo;
(ii) a soma de dois números positivos é positiva;
(iii) o produto de dois números positivos é positivo.
4
- Definições
1. O número real a é negativo se, e somente se, – a é positivo.
2. Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos como segue:
(i) a < b ⇔ b – a é positivo;
(ii) a > b ⇔ a – b é positivo.
3. Os símbolos ≤ (menor que ou igual a) e ≥ (maior que ou igual a) são definidos como segue:
(i) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b;
(ii) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b.
4. Expressões envolvendo os símbolos <, >, ≤ ou ≥ são chamadas desigualdades. Expressões do tipo a < b e
a > b são desigualdades estritas, enquanto a ≤ b e a ≥ b são desigualdades não estritas.
- Propriedades
Sejam a, b, c e d números reais. Temos:
P.1. a > 0 ⇔ a é positivo
a > 0 ⇔ a – 0 é positivo ⇔ a é positivo
P.2. a < 0 ⇔ a é negativo
a < 0 ⇔ 0 – a é positivo ⇔ – a é positivo ⇔ a é negativo
P.3. a > 0 ⇔ – a < 0
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ – a é negativo ⇔ – a < 0
P.4. a < 0 ⇔ – a > 0
a < 0 ⇔ a é negativo ⇔ – a é positivo ⇔ – a > 0
P.5. Se a ∈ R e a ≠ 0 então a2 > 0. Em particular, 1 > 0.
Como a ∈ R e a ≠ 0 temos, pelo axioma de ordem, que a > 0 ou – a > 0.
Também pelo axioma de ordem obtemos que se a > 0 então a2 = a.a > 0 e se – a > 0 então a2 = a.a = (– a).( – a) > 0.
Em particular, 1 ≠ 0 e 1 = 12; logo 1 > 0.
P.6. Dados a, b ∈ R, ocorre exatamente uma das alternativas seguintes: ou a = b, ou a < b ou a > b.
Sendo a, b ∈ R então b – a ∈ R e, pelo axioma de ordem, temos: ou b – a = 0, ou b – a > 0 ou – (b – a) > 0. Assim,
ou a = b, ou a < b ou a > b.
P.7. Se a < b e b < c então a < c.
Temos:
a < b e b < c ⇒ b – a > 0 e c – b > 0 ⇒ (b – a) + (c – b) > 0 ⇒ c – a > 0 ⇒ a < c.
P.8. Se a < b então a + c < b + c.
Temos:
a < b ⇒ b – a > 0 ⇒ b + c – c – a > 0 ⇒ (b + c) – (a + c) > 0 ⇒ a + c < b + c.
5
P.9 Se a < b e c > 0 então a c < b c.
Temos:
a < b e c > 0 ⇒ b – a > 0 e c > 0 ⇒ c. (b – a) > 0 ⇒ b.c – a.c > 0 ⇒ a.c < b.c
P.10. Se a < b e c < 0 então a c > b c. Em particular, a < b é equivalente a – a > – b.
Temos:
a < b e c < 0 ⇒ b – a > 0 e – c > 0 ⇒ (b – a).( – c) > 0 ⇒ a c – b c > 0 ⇒ a c > b c.
P.11. Se a < b e c < d então a + c < b + d.
Temos:
a < b e c < d ⇒ b – a > 0 e d – c > 0 ⇒ (b – a) + (d – c) > 0 ⇒ (b + d) – (a + c) > 0 ⇒ a + c < b + d.
P.12. Se 0 < a < b e 0 < c < d então a c < b d.
Temos:
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc
c < d e b > 0 ⇒ bc < bd
Logo, ac < bd.
P.13. Se a > 0 e b < 0 então a b < 0.
Temos:
a > 0 e b < 0 ⇒ a > 0 e – b > 0 ⇒ a.( – b) > 0 ⇒ – (ab) > 0 ⇒ ab < 0.
P.14. Se a > 0 então a-1 > 0. Segue-se que a > 0 e b > 0 implica
a
> 0.
b
Como a > 0 e a.a-1 = 1 > 0 então a-1 > 0, pois se a-1 = 0 então a.a-1 = a.0 = 0 e se a-1 < 0 então a.a-1 < 0.
Se a > 0 e b > 0 então a > 0 e b-1 > 0; logo
a
= ab − 1 > 0 .
b
P. 15. Se 0 < a < b então b-1 < a-1.
Temos:
a − 1 − b− 1 =
Logo, b-1 <
1 1
ab  1 1 
1  ab ab 
1
−
=
−
( b − a ) = ( ab ) − 1 ( b − a ) > 0 .
 −  =

 =
a b
ab  a b 
ab  a
b 
ab
a-1.
- Observações:
1. As propriedades P.7 a P.15 válidas para a relação < também são válidas para as relações >, ≤ e ≥. É evidente
que se a ∈ R então a ≤ a, e dados a, b ∈ R, tem-se a = b se, e somente se, a ≤ b e b ≤ a.
2. Um corpo ordenado é um corpo K no qual se destaca um subconjunto P ⊂ K, chamado o conjunto dos
elementos positivos de K, tal que as seguintes condições são satisfeitas:
P.1. Dado x ∈ K, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou x ∈ P ou – x ∈ P.
P.2. A soma e o produto de elementos positivos são positivos, ou seja, se x, y ∈ P então x + y ∈ P e x.y ∈ P.
Os elementos – x de K tais que x ∈ P chamam-se negativos.
Portanto, R e Q são corpos ordenados.
3. Num corpo ordenado K, se a ≠ 0 então a2 ∈ P. De fato, sendo a ≠ 0, ou a ∈ P ou – a ∈ P. No primeiro caso, a2
= a.a ∈ P. No segundo caso, a2 = (– a).( – a) ∈ P, pois valem as mesmas regras de sinais vistas para o conjunto R.
Em particular, num corpo ordenado 1 = 1. 1 é sempre positivo e, segue que, – 1 é negativo. Portanto, num corpo
ordenado, – 1 não é quadrado de elemento algum. Assim, concluímos que C não é ordenado.
6
4. Geometricamente, o conjunto dos números reais pode ser visto como uma reta, através de uma correspondência
entre os números reais e os pontos da reta. Para tanto, escolhemos um ponto arbitrário da reta, que denominamos
origem, e uma unidade de medida. A origem fica em correspondência com o número 0 (zero). Na semi-reta da
direita representamos os números reais positivos e, na semi-reta da esquerda, os números reais negativos. Essa reta,
provida da origem e da correspondência com os números reais, costuma ser denominada reta real e denotada,
também, por R. Na correspondência com a reta real, a < b significa que a fica à esquerda de b.
1.5- Valor absoluto de um número real
Se quisermos obter, para cada número real x, a distância entre x e a origem, devemos considerar os
seguintes casos:
Nos dois primeiros casos, dizemos que a distância entre x e 0 é o próprio x. No terceiro caso, a distância é –x.
- Definição
O valor absoluto (ou módulo) de um número real x, denotado por x , é definido por:
 x, se x ≥ 0
x = 
 − x, se x < 0.
De acordo com a definição temos que se x ∈ R então x ≥ 0 , e x = 0 se, e somente se, x = 0.
Além disso, se x ∈ R, ou x e – x são ambos zero, ou um é positivo e o outro é negativo. Aquele, dentre
x e – x, que não for negativo, é x . Logo, x é o maior dos elementos x e – x, ou seja, x = máx { x, – x}.
Temos, portanto,
x ≥ x e
x ≥ − x . Esta última desigualdade pode ser escrita − x ≤ x e obtemos
− x ≤ x≤ x.
Pelo que vimos, geometricamente, o valor absoluto de um número real x é a distância entre x e 0 (zero).
Para encontrarmos a distância entre dois números reais a e b quaisquer, devemos analisar três situações
possíveis para pontos a e b arbitrários da reta real:
No primeiro caso, como b − a > 0 , temos
b − a = b − a ; no segundo caso, como b − a = 0 , temos
b − a = 0 = b − a ; no terceiro caso, como b − a < 0 , temos b − a = − ( b − a ) = a − b . Assim, em qualquer
caso, temos b − a = distância entre a e b .
7
- Propriedades
2
2
P.1. Para todo a ∈ R temos a = a .
Como
a é um dos elementos a ou -a então a = a 2 ou a = ( − a ) 2 = a 2 .
Logo,
a = a2 .
2
2
2
P.2. Se a ∈ R então − a = a .
Se a = 0 então –a = 0 e
− a = 0= a.
Se a > 0 então –a < 0; assim
− a = − ( − a) = a e a = a .
Se a < 0 então –a > 0; segue que
Portanto,
− a = −a e a = −a.
− a = a.
P.3. Se x = a então x = a ou x = – a, onde x, a ∈ R e a ≥ 0 .
Como
x = a e x é um dos elementos x ou –x então x = a ou – x = a. Logo, x = a ou x = – a.
P.4. Se a, b ∈ R e a = b então a = b ou a = – b.
Como
a = a ou – a, b = b ou – b e a = b então a = b ou a = – b.
P.5. x < a se, e somente se, − a < x < a , onde x, a ∈ R e a > 0 .
Temos:
x = max { x,− x} < a ⇔ x < a e − x < a ⇔ x < a e x > − a ⇔ − a < x < a .
P.6. x ≤ a se, e somente se, − a ≤ x ≤ a , onde x, a ∈ R e a > 0 .
Demonstração análoga a P.5.
P.7. x > a se, e somente se, x > a ou x < − a , onde x, a ∈ R e a > 0 .
(⇒ )
(⇐ )
Como x > a e x = x ou − x então x > a ou − x > a; logo x > a ou x < − a.
Se x > a e como x ≥ x temos x > a. Se x < − a então − x > a e como x ≥ − x obtemos x > a.
P.8. x ≥ a se, e somente se, x ≥ a ou x ≤ − a , onde x, a ∈ R e a > 0 .
Demonstração análoga a P.7.
P.9. Se a, b ∈ R então a . b = a . b .
Temos:
2
a.b = ( a.b ) = a 2 .b 2 = a . b = ( a . b ) ⇒ a.b = ± a . b .
2
Como
2
2
2
a.b e a . b são reais não negativos obtemos a . b = a . b .
8
a
a
=
.
b
b
P.10. Se a, b ∈ R e b ≠ 0 então
Inicialmente vamos mostrar que
de
−1
b , ou seja, b − 1 = b . Logo,
Portanto,
1
1
=
. De fato, 1 = b.b − 1 = b . b − 1 ; assim b − 1 é o inverso multiplicativo
b
b
1
1
=
.
b
b
a
a
1
1
1
= a. = a . = a . =
.
b
b
b
b
b
P.11. Se a, b ∈ R então a + b ≤ a + b . (Desigualdade triangular)
Se a = b = 0, é claro que
Se a ≠ 0 ou b ≠ 0, temos:
a+ b ≤ a + b .
− a ≤ a ≤ a e − b ≤ b ≤ b ⇒ − (a + b) ≤ a+ b≤ a + b ⇒
a+ b ≤ a + b .
P.12. Se a, b ∈ R então a − b ≤ a + b .
Temos:
a − b = a + ( − b) ≤ a + − b = a + b .
P.13. Se a, b ∈ R então a − b ≤
Se a = b, é claro que
a− b ≤
a − b ≤ a− b .
a − b ≤ a− b .
Se a ≠ b, temos:
a = ( a − b) + b ≤ a − b + b ⇒
a − b ≤ a− b
b = ( b − a) + a ≤ b − a + a ⇒ b − a ≤ b − a = a − b ⇒
Assim obtemos:
− a− b ≤ a − b ≤ a− b
a − b ≤ a − b e, portanto, a − b ≤
Logo,
a − b ≥ − a− b
a − b ≤ a− b .
P.14. Se a, b, c ∈ R então a − c ≤ a − b + b − c .
Temos:
a− c = a− b+ b− c ≤ a− b + b− c .
P.15. Se a ∈ R então
a2 = a .
Explicação:
Dados um número real a ≥ 0 e um número natural n, demonstra-se que sempre existe um único real positivo
ou nulo b tal que bn = a.
Ao número b chamamos raiz n-ésima de a e indicamos por b = n a , onde a é chamado radicando, o
símbolo
é o radical e n é o índice.
9
Por exemplo:
5
32 = 2 , pois 25 = 32
9 = 3 , pois 32 = 9
Conseqüências:
1. Da definição decorre que
( a)
n
n
7
0 = 0 , pois 07 = 0
6
1 = 1 , pois 16 = 1
= a.
2. Pela definição temos que
36 = 6 e não
36 = ± 6 . Mas, − 3 8 = − 2, −
sentenças verdadeiras, onde o radical não é o causador do sinal que o antecede.
3. Note que no cálculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito temos:
4 = − 2, ±
9 = ± 3 são
a2 = a .
2
a 2 é, por definição, o único número real positivo ou nulo que elevado ao quadrado resulta a . Como
De fato,
2
a 2 = a e a ≥ 0 , segue que
Por exemplo,
( − 5) 2
a2 = a .
= − 5 = 5 e não
( − 5) 2
= − 5.
1.6- Intervalos
- Definições
Sejam a e b números reais, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R definidos a seguir são chamados
intervalos:
[ a, b] = { x ∈ R; a ≤
( a , b ) = { x ∈ R; a <
[ a, b ) = { x ∈ R; a ≤
( a, b] = { x ∈ R; a <
x≤
x<
x<
x≤
b} ,
b} ,
b} ,
b} ,
( − ∞ , b] = { x ∈ R; x ≤ b} ,
( − ∞ , b ) = { x ∈ R; x < b} ,
[ a,+ ∞) = { x ∈ R; a ≤ x} ,
( a,+ ∞) = { x ∈ R; a < x} ,
( − ∞ ,+ ∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [ a, b] é um intervalo fechado, ( a, b ) é aberto,
[ a, b )
é fechado à esquerda, ( a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: ( − ∞ , b] é a
semi-reta esquerda, fechada, de origem b; ( − ∞ , b ) é a semi-reta esquerda, aberta, de origem b; [ a,+ ∞) é a semi-
reta direita, fechada, de origem a; ( a,+ ∞) é a semi-reta direita, aberta, de origem a; ( − ∞ ,+ ∞) pode ser
considerado aberto ou fechado. Quando a = b, o intervalo fechado
[ a, b]
reduz-se a um único elemento
[ a, a] = { a} , chama-se um intervalo degenerado, e os outros três intervalos da esquerda, neste caso, são vazios.
- Observações:
1. Os símbolos – ∞ (leia-se menos infinito) e +∞ (leia-se mais infinito) não representam números reais.
2. Todo intervalo não-degenerado é um conjunto infinito e contém números racionais e números irracionais.
10
1.7- Exemplos
1. Encontre um número racional c e um número irracional d tais que a < c < d < b , para os números reais a e b
dados, com a < b.
1
1
e b=
4
3
b) a = 0,994327 e b = 0,994328
a) a =
c) a = 0,871479 e b = 0,8714799...
d) a = 0,10010001... e b = 0,10010002
2. “O resultado da soma de dois números irracionais é um número irracional.” Verifique se é verdadeira ou falsa
essa afirmação, justificando sua resposta.
3. Encontre os números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica na reta real.
a) 2 + 3x < 5x + 8
b) 4 < 3x – 2 ≤ 10
c)
7
> 2, x ≠ 0
x
d)
x
< 4, x ≠ 3
x− 3
e) (x + 3) (x + 4) > 0
4. Resolva as seguintes equações:
a) 3x + 2 = 5
b) 2 x − 1 = 4 x + 3
c) 5 x + 4 = − 3
d) x + 2 x − 2 = 1 + 4 x
5. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:
a) x − 5 < 4
3 − 2x
≤ 4, x ≠ − 2
2+ x
c) 3x + 2 > 5
b)
1.8- Exercícios
Páginas 10 e 11 do livro texto.
11