1
Difração
A difração descreve as modificações sofridas por ondas eletromagnéticas quando são obstruídas. Por exemplo, a frente de onda da Figura 1 abaixo.
Figura 1: Frente de onda obstruída por obstáculo.
Assumindo uma frente de onda uniforme pode-se quantificar a intensidade ao longo de
uma linha B −B 0 no outro lado do obstáculo através de um eixo cujo valor zero corresponde
ao topo do obstáculo. Espera-se que a intensidade de campo, ao longo de B − B 0 , se pareça
com a linha tracejada da Figura 2, com sombreamento completo e sinal zero abaixo do
topo do obstáculo e nenhum outro efeito acima dele.
Figura 2: Comportamento da densidade de potência relacionada a onda da Figura 1.
No entanto, a linha cheia da Figura 2 apresenta o que realmente acontece. Além da
energia “vazar” para a área de sombreamento, a intensidade de campo acima do topo do
obstáculo também sofre distúrbios. Isto pode ser explicado pelo princípio de Huygens, o
qual estabelece que cada ponto em uma frente de onda funciona como uma fonte de ondas
secundárias (elementares), que comporão a frente de onda em uma nova posição ao longo
da propagação. A Figura 3 abaixo ilustra o princípio.
1
Figura 3: Representação do princípio de Huygens.
1.1
Obstrução da onda propagante por um obstáculo
Assim, pode-se deduzir que as fontes pontuais da região não obstruída emitirão frentes de
onda secundárias que iluminarão a região situada atrás do obstáculo, diz–se que a energia
foi, então, difratada.
Note que as frentes de onda oriundas de cada fonte secundária, conforme Figura 4,
percorrem distâncias distintas até alcançar o receptor no ponto O. Portanto, dependendo
do caminho percorrido, cada fonte secundária dará uma contribuição positiva ou negativa
ao campo recebido em O.
Figura 4: Distâncias da frente de onda ao receptor no ponto O
Observe que na Figura 4 os pontos 1, 1’, 2, 2’, são pontos de referência onde a diferença
de percurso é de n λ2 , n = 1, 2, ... . Assim, se 0 ≤ n ≤ 1 , se tem percursos entre 11’, denominada 1a zona de Fresnel. Se 1 ≤ n ≤ 2 se tem percursos entre 2-2’, região
denominada 2a zona Fresnel.
Estabelecendo um plano perpendicular ao percurso entre a antena transmissora e receptora, onde o ponto A corresponde a linha de visada entre Fonte e observador O, é obtida
2
a Figura 5.
Figura 5: Zonas de Fresnel
A diferença do percurso de visada direta (ponto A) daquele distante h de A pode ser
expresso por.
h2 (d1 + d2 )
, h << d1 , d2
(1)
∆∼
=
2 d1 d2
A diferença de fase entre os percursos é ∆φ =
∆φ =
1.2
2π
∆
λ
ou
2π h2 (d1 + d2 )
.
λ 2 d1 d2
(2)
Elipsóides de Fresnel
Figura 6: Figura elipsóides de Fresnel
• Unindo os limites de cada zona de Fresnel ao longo de toda a propagação, as figuras
formadas serão elipsóides, Figura 6
• As antenas transmissora e receptora estão nos focos desses elipsóides
3
• São denominados Elipsóides de Fresnel
• Da mesma forma que as zonas de Fresnel, é utilizada a denominação primeiro, segunda elipsóide de Fresnel, e assim por diante, conforme o valor de n.
1.3
Aplicação – Difração por Gume de Faca
Figura 7: Obstáculo do tipo gume de faca ht = hr
A Figura 8 ilustra a geometria utilizada para a determinação do campo difratado por
um obstáculo gume de faca.
Características
• Obstáculo tem espessura infinitesimal
• Dimensão infinita na direção transversal à propagação
• Não é considerado o efeito da superfície da Terra na determinação da difração.
• α=β+γ
2
) pode ser expressa por
A diferença de percurso ∆, em termos do ângulo α = h( dd11+d
d2
∆∼
=
α2 d1 d2
,
2 d1 + d2
∆φ ∼
=
πα2 d1 d2
,
λ d1 + d2
h << d1 , d2
(3)
Diferença de fase
4
h << d1 , d2
(4)
Figura 8: Obstáculo do tipo gume de faca ht > hr
O parâmetro υ é denominado Difração de Fresnel-Kirchoff em Termos de α
s
2d1 d2
, α < 0, 2
υ=α
λ(d1 + d2 )
em termos de h se tem:
s
υ=h
2(d1 + d2 )
,
λd1 d2
portanto,
∆φ =
1.3.1
π 2
υ
2
(5)
(6)
(7)
Campo Difratado por um Obstáculo Gume de Faca
O campo elétrico E de uma difração por gume de faca pode ser expresso por:
Z
E
1+j ∞
−jπt2
= F (υ) =
exp[
]dt,
Eo
2
2
υ
(8)
F (υ) é denominada Integral de Fresnel, Eo é o campo elétrico no espaço livre. Soluções
5
Figura 9: Gráfico da potência de um sinal obstruído
Numéricas da Integral de Fresnel.
Gd (dB)
Gd (dB)
Gd (dB)
Gd (dB)
Gd (dB)
=
=
=
=
=
0
20 log(0, 5 − 0, 62υ)
20 log(0, 5 exp(−0,
95υ))
p
20 log(0, 4 − 0, 1184 − (0, 38 − 0, 1υ)2 )
20 log( 0,225
)
υ
se,
se,
se,
se,
se,
υ ≤ −1
−1 ≤ υ ≤ 0
0≤υ≤1
1 ≤ υ ≤ 2, 4
υ > 2, 4
(9)
Observações:
• A perda por difração é mínima se um obstáculo não bloqueia o volume contido na
primeira zona de Fresnel
• A visada é considerada direta se 55% da primeira zona de Fresnel não está bloqueada
Exercícios
1. Calcule a perda por difração. Assuma λ = 13 m, d1 = 1Km, d2 = 1Km e: (a)
h = 25m; (b) h = 0; (c) h = −25m. Calcule as respostas usando o gráfico e as
soluções numéricas (Equação (9). Para cada um desses casos identifique a zona de
Fresnel dentro da qual o obstáculo se encontra.
2. Para a geometria da Figura (10), determine: (a) a perda por difração gume de faca;
(b) a altera do obstáculo para que as perdas por difração considerando o modelo
gume de faca sejam de 6 dB. Considere que a frequência de operação é de 900 MHz.
6
Figura 10: Exercício 2
7