A Circunferência
Definição:
Denomina-se circunferência o conjunto de todos os pontos de um
plano eqüidistantes de um ponto fixo C desse plano, denominado
centro da circunferência.
Na circunferência da figura, temos:
ˆ
CA = CB = CD = r (raio da circunferencia)
Equação da Circunferência:
Considere o plano cartesiano e a circunferência de centro C(a, b) e
raio r, conforme indica a figura.
O ponto P(x, y) pertence à
circunferência se, e somente se,
2
2
d(P, C)
= r ⇒ (x − a)+
(y − b)=
r
2
2
(x − a)
+(y − b)=
r2
Essa igualdade é chamada equação reduzida da circunferência.
No caso particular do centro da circunferência estar na origem, isto
é, a = b = 0, a equação será:
2
2
(x − 0)
+(y − 0)=
r2 ⇒ x2 + y2 = r2
Equação Geral da Circunferência:
Partindo da equação reduzida de uma circunferência
desenvolvemos os quadrados para determinarmos a equação geral
da circunferência:
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Toda circunferência pode ser representada por uma equação da
forma x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, mas nem toda equação
dessa forma representa uma circunferência. A equação será a de
uma circunferência se r > 0.
Ex:
1) Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com
a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 5 unidades.
Solução:
A equação dada acima possui a seguinte equação reduzida:
2
2
(x − 0)
+(y − 0)=
52 ⇒ x 2 + y 2 = 25
2) Determine a equação da circunferência com centro no ponto
C(2, 3) e que passa pelo ponto P(–1, 2).
Solução:
2
2
r = d(P, C)
= (−1− 2)+
(2 − 3)
r = 9 +1
r = 10
2
2
2
2
(x − a)
+(y − b)=
r 2 ⇒(x − 2)+
(y − 3)=
2
2
(x − 2)
+(y − 3)=10
(
10
)
2
Posições Relativas de um Ponto e uma Circunferência:
Um ponto pode ser interno, externo ou pode pertencer a uma
circunferência de centro C e raio r.
As figuras ilustram o exposto:
Posições Relativas de uma Reta e uma Circunferência:
Uma reta l e uma circunferência λ podem ocupar as seguintes
posições relativas:
l
d(C, ) < r
l
d(C, ) = r
l
d(C, ) > r
Posições Relativas Entre duas Circunferências:
Duas circunferências λ1 e λ2, distintas, podem ter dois , um ou
nenhum ponto em comum. Assim, podem ocupar, no plano, as
seguintes posições relativas:
Cônicas
O que são cônicas?
Consideremos um cone circular reto e um plano que o intercepta.
Da posição desse plano relativamente ao cone, a seção obtida na
superfície lateral pode ser uma circunferência, uma elipse ou uma
parábola.
Parábola
Definição:
Denomina-se parábola o conjunto dos pontos de um plano
eqüidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa d, F ∉ d, do
plano.
Equação Reduzida da Parábola:
1º caso:
Parábola com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo y.
2
p
p


d ( P, F ) = d ( P, P ') ⇒ ( x − 0) +  y −  = ( x − x) 2 +  y + 
2
2


2
2
2
p 
p

x + y−  =  y+ 
2 
2

2
2
2
p
p
x + y − py +
= y 2 + py +
4
4
2
2
2
2
x = 2 py ou
x2
y=
2p
que são equações reduzidas da parábola de foco F(0,
p
y=– .
2
•
•
•
•
p
) e diretriz
2
O número real p ≠ 0 é chamado parâmetro da parábola.
Se p > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Se p < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Neste caso, o gráfico da parábola é simétrico em relação à y
(eixo das ordenadas), isto é, se o ponto (x, y) pertence ao
gráfico, o ponto (–x, y) também pertence.
2º caso:
Parábola com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo x.
Trocando x por y nas equações anteriores vamos obter:
2
y = 2 px ou
y2
x=
2p
• Se p > 0, a parábola tem a concavidade voltada para a direita.
• Se p < 0, a parábola tem a concavidade voltada para a
esquerda.
• Neste caso, o gráfico da parábola é simétrico em relação à xy
(eixo das abscissas), isto é, se o ponto (x, y) pertence ao
gráfico, o ponto (x, –y) também pertence.
Exercícios Propostos:
1) Determinar a equação da parábola cujo vértice é a origem dos
eixos de coordenadas, o eixo de simetria é o eixo y e a curva passa
pelo ponto P(–3, 7).
2) Dada uma parábola de equação y2 = –20x, pede-se:
a) As coordenadas do foco
b) A equação da diretriz
c) O esboço do gráfico
3) Determinar a equação da parábola cujo eixo de simetria é
vertical e que passa pelos pontos A(–3, 5), B(0, –4) e C(2, 0)
4) Determine a equação da parábola de foco F e diretriz d, sendo
F(1, 0) e d: x = – 1.
5) Determine a equação da circunferência com centro no ponto
C(2,3) e que passa pelo ponto P(−1,2).
6) A reta r contém o centro da circunferência x2 + (y+1)2 = 4 e é
paralela à reta s: 3x−y = 0. Determine a equação da reta r.
7) Qual a posição relativa entre a circunferência x2 + y2 − 4x − 2y − 13 = 0
e a reta x + y + 3 = 0 ?
8) Calcule o valor de k de modo que a equação x2 + y2 −2x + 10y +
6k = 0 represente uma circunferência.
9) Determine a equação da circunferência tangente ao eixo Ox,
cujo centro é a interseção das retas r: y = x + 5 e t: y = −2x + 8.
10) Uma reta intersecciona nos pontos A(3, 4) e B(−4, 3) uma
circunferência centrada na origem. Determine o raio dessa
circunferência.
11) Em cada um dos itens abaixo, determinar a equação reduzida,
o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo
da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.
a) x2 + 4x + 8y + 12 = 0
b) x2 − 2x − 20y − 39 = 0
c) y2 + 4y + 16x − 44 = 0
d) y2 − 16x + 2y + 49 = 0
e) x2 – 12y + 72 = 0
f) y = 4x – x2