Correcçções e Reduç
Correc
Reduções às Observaç
Observa ções
As observações devem, por princípio, ser sempre reduzidas aos
sistemas de referência próprios devido, quer à geométria de observação,
quer a princípios físicos dos processos de medição e observação.
Existem:
Correcções aos ângulos azimutais e aos azimutes;
Correcções às distâncias zenitais ;
Correcções às distâncias;
Correcções aos desníveis;
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Correcçções Azimutais
Correc
Aos ângulos e direcções azimutais :
É uma correcção de redução ao sistema de referência
geodésico (âmbito da geodesia), que não afecta o rigor das
observações topográficas;
Azimutes Magnéticos: - Declinação magnética
magnéticos (varia com o lugar e no tempo);
para
azimutes
Azimutes Astronómicos: - Refracção, Paralaxe, Aberração, Desvio da
Vertical e Redução à Geodésica;
Por Giroscópio: - Correcção instrumental.
Azimutes Geodésicos: - Convergência de meridianos.
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Correcçções aos Ângulos Zenitais
Correc
- Falta de verticalidade do eixo principal (âmbito da geodesia);
- Efeito da refracção:
Zv = Z a + k
D
R
∂T


k = −  0,3185
+ 0,0127 
∂
H


∂T
−1
= −0 ,26º Km
∂H
com
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Correcçções aos Comprimentos
Correc
Electromagnética:
1ª Correcção atmosférica:
2ª Correcção atmosférica:
Ex. T1000:
k' ≅ d ( µ ref − µ )
D3
k' ' ≅ ( k 2 − k )
12 Rα2
0 ,29065 P 

k' = D 281,8 −

1 + 0 ,00366T 

D = D' +k' + k' '
V
Dv
P
Redução ao plano horizontal:
Redução ao Nível do Mar:
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DH = D I sen( Zv )
D0 = DH
DH
D0
R
R + HP
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Correcçções aos Comprimentos
Correc
Redução ao Plano Cartográfica:
0
Dc
M
D0
Projecção: GAUS ou Transverse Mercator
Elipsóide: Hayford ou Internacional
Ponto Central: ϕ = 38º 40’
(
)
Dc = D0 + 41018 E −19 M E2 + M E M V + M V2 D0
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Correcçções aos Desní
Correc
Desníveis
Nivelamento geométrico:
Correcção da falta de paralelismo das superfícies de
nível (âmbito da geodesia)
∆h =
g − γ0
∆n
γ0
Nivelamento Trigonométrico:
Correcção da depressão do horizonte e da refracção
∆h = ∆n + (Ω − ∆r ) = ∆n + 6,8E − 8 D 2
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3
Lei Geral de Propagaç
Propaga ção dos Erros
Os erros aleatórios presentes nas observações afectam directamente a
precisão das coordenadas calculadas.
Se os cálculos resultarem de sucessivas observações de ângulos e
distâncias então os erros propagam-se sucessivamente de acordo com
a Lei Geral de Propagação da Variâncias e Covariâncias.
Seja f = f(a,b,c) com a,b, e c não correlacionados e com variâncias
σ2 a, σ2 b , σ2 c, onde
df =
∂f
∂f
∂f
da + db + dc
∂a
∂b
∂c
∂f
∂f
∂f
σ 2f =   σ 2a +   σ 2b +   σc2
 ∂a 
 ∂b 
 ∂c 
2
então a variância de f é dada por:
2
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Caso Geral
Seja
f ( y)= x
uma função não linear qualquer
e Bx a matriz de covariância das observações x, então a matriz de
covariâncias dos parâmetros y é dada por:
By = J f Bx J Tf
Ou de uma outra forma para modelos lineares:
Ay = x
B y = AB x AT
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Irradiada Simples
M B = M A + D AB senR AB
PB = PA + DAB cos R AB
Saber (σMB , σ PB) a partir de (σM A,σ PA), σD e σR?
dM B = dM A + senRAB dDAB + DAB cos RAB dRAB
dPB = dPA + cos R AB dDAB − DAB senRAB dRAB
Diferenciando:
Quadrando e desprezando-se os termos cruzados (D e R são independentes)
σ2M B = σ2M A + sen2 RAB σ 2D + D 2AB cos2 RAB σ 2R
σ2PB = σ2PA + cos 2 R AB σ2D + D 2AB sen2 R AB σ2R
com σ = p + q D
2
D
2
σ =σ
2
R
2
Se o ponto A for considerado fixo:
σ 2M B = sen 2 RAB σ 2D + D 2AB cos 2 R ABσ 2R
2
+σ
2
Ro
σ 2PB = cos 2 RAB σ 2D + D 2AB sen 2R AB σ2R
2
α
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Irradiada Sucessiva
k
Seja
RK = R0 + ∑ α i − kΠ
i =1
k
k
M k = M 0 + ∑ ∆M i = M 0 + ∑ D isenR i
i=1
i= 1
k
k
i= 1
i =1
Pk = P0 + ∑ ∆Pi = P0 + ∑ D i cos R i
Aplicando a lei geral de propagação das variâncias e covariâncias,
σ2R K = σ 2R0 + kσ 2αi
k
k
σ2M k = σ 2M 0 + ∑ sen 2 R iσ 2D i + ∑ D 2i cos2 R iσ 2Ri
i= 1
i= 1
k
k
i =1
i =1
σ2Pk = σ 2P0 + ∑ cos 2 R i σ 2Di + ∑ D2i sen 2 R iσ 2R i
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Nivelamento Trigonomé
Trigonométrico
Com zenital simples:
H B = H A + DAB cos z AB + hi − ha + ε
σ 2H B = σ2H A + cos 2 z ABσ 2D A B + D 2 sen 2 z ABσ 2z A B + 2σ 2hia + σ 2ε
Com zenitais reciprocas:
HB = HA +
D1 cos Z AB − D2 cos Z BA + ( h1I − hI2 ) − ( hA2 − h1A )
2
 cos z AB − cos z BA  2
2  senzBA − senzAB 
2
2
σ2H B = σ2H A + 
 σ DA B + D 
 σ z A B + σhia
2
2




2
2
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Precisão de Levantamento
Com cálculo da variâncias das coordenadas através da lei de
propagação dos erro é possível saber a precisão exacta dos pontos mais
afastados do levantamento, podendo deste modo, estabelecer-se a
precisão de levantamento pelo critério
ε L = máx{σ Mi ,σ Pi}
Mais correcto que o critério
ε L = 2,6 ⋅ σ D
Em que no nosso caso com σD=3mm dava σL=0,8cm, quando com medições
angulares de precisão σα=20” (ex.: T16) pode originar uma imprecisão de
cerca de 3-4cm nas coordenadas.
20”
1cm
100m
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Elipses de Erro
Dada a matriz de variâncias e covariâncias das coordenadas de um
ponto pode-se definir a sua elipse de erro (precisão do ponto)
σ2
ΣP =  M
σ MP
σ MP 

σ 2P 
α
1
 2σ

α = arctg  2 MP 2 
2
 σM − σ P 
a=
{
1 2
σM + σ 2P −
2
{
1
b = σ 2M + σ 2P +
2
Topografia – Propagação de Erros
(σ
(σ
2
P
2
P
)
− σ 2M + (2σ MP )
)
− σ 2M + ( 2σ MP )
2
}
2
}
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