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DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
CONCEITOS BÁSICOS E DEFINIÇÕES:
INTRODUÇÃO
O nome “Pesquisa Operacional” apareceu pela primeira vez durante a Segunda Grande Guerra Mundial,
quando equipes de pesquisadores procuraram desenvolver métodos para resolver determinados
problemas de operações militares. Devido ao sucesso dessas operações, o mundo acadêmico e
empresarial procurou utilizar as técnicas criadas em problemas de administração.
A Pesquisa operacional é um ramo da ciência administrativa que fornece instrumentos para a análise de
decisões.
Assim sendo, uma DECISÃO é o resultado de um processo que se desenvolve a partir do instante em
que o problema foi detectado, o que se percebe através da percepção de sintomas. Então, o processo de
decisão empresarial se inicia quando uma pessoa ou grupo percebe sintomas de que alguma coisa está
saindo do estado normal ou planejado.
CARACTERÍSTICAS DA PESQUISA OPERACIONAL:
Característica multidisciplinar das suas aplicações;
Técnicas e métodos qualitativos por equipes interdisciplinares;
Procura determinar uma melhor utilização de recursos e otimizar as operações empresariais
Um novo enfoque sistêmico aos problemas de decisão das empresas ( ou seja), ultrapassa as fronteiras
das especialidades, assim, um profissional especialista
precisa evitar
uma tendência natural
de
enquadrar todos os problemas dentro dos limites de sua cultura, mas sim, por outro lado, este
profissional necessita de uma abordagem mais complexa e abrangente, porque a natureza e o ambiente
dos negócios exigem além do raciocínio do especialista, uma visão mais aberta que reconheça os
múltiplos aspectos envolvidos nos problemas da análise de decisão.
Utilização de “modelos” que permitem a “experimentação” ou seja, uma decisão pode ser bem mais
avaliada e testada antes de ser efetivamente implementada.
Vale-se
identificar que, o imenso progresso da Pesquisa Operacional se deve também,
ao
desenvolvimento dos computadores digitais, devido à sua velocidade de processamento e capacidade
de armazenamento e recuperação das informações.
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
1) o processo de decisão é seqüencial;
2) é um processo complexo;
3) é um processo que envolve valores subjetivos.
4) é um processo desenvolvido dentro de um ambiente institucional com regras mais ou menos
definidas.
IDENTIFICAÇÃO
DO
PROBLEMA
SINTOMAS
PROCESSO SEQÜENCIAL
PROCESSO
DECISÓRIO
PROCESSO COMPLEXO
O processo decisório seqüencial é conseqüência de O processo decisório consiste
uma série de fatos anteriores que criaram as bases relacionamento entre pessoas,
para se chegar à decisão. Esta decisão resulta de pelo
serviço,
comunicação
em um interresponsabilidades
e
sistemas
de
várias decisões que carregam diversos aspectos do informações, código de ética moral e, às vezes,
problema. A decisão é tomada a partir de discussões interesses e objetivos diferentes dos participantes..
na forma de consenso.
PROCESSO INCLUI VALORES SUBJETIVOS
É enorme
provenientes
o número
de
PROCESSO EM AMBIENTE INSITUCIONAL
de fatores intuitivos, Todas
experiência
pessoal
companhias
têm
uma
estrutura
e organizacional própria que influencia
e muitas
personalidade, envolvidos no processo decisório. vezes condiciona o processo decisório. Utiliza-se
Esses fatores influenciam a qualidade da decisão nas organizações técnicas modernas de gerência:
tomada, diferenciando assim, o bom do mau qualidade total,
administrador.
empowerment, planejamento
estratégico, etc. com o objetivo de que a tomada de
decisão
seja um ponto forte na avaliação
competitividade da organização no mercado.
da
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
CLASSIFICAÇÃO DAS DECISÕES
De
uma maneira geral as Decisões são classificadas em relação ao nível em que ocorrem dentro da
empresa e pelo grau de complexidade apresentado.
Apresenta-se abaixo dois critérios :
1) NÍVEL ESTRATÉGICO : Nível estratégico de uma decisão refere-se
à sua importância e
abrangência com relação à organização.
2) GRAU DE ESTRUTURAÇÃO: grau de estruturação refere-se à possibilidade de uma decisão
ser acompanhada em seu processo de preparação e de conclusão, ou mesmo de ser reproduzida,
por outras pessoas, em outras ocasiões, com os mesmos resultados.
GRAU DE
ESTRUTURAÇÃO
DA DECISÃO:
1) ALTO
2) MÉDIO
1) ADMINISTRAÇÃO
DE ESTOQUES
1)
FINANCIAMENTO
DO CAPITAL DE GIRO
3) BAIXO
1) PROGRAMAÇÃO
DA PRODUÇÃO
2) PROGRAMAÇÃO
ORÇAMENTÁRIA
1)
LOCALIZAÇÃO
DE
UMA NOVA FÁBRICA.
2)
POR
DIVERSIFICAÇÃO
AQUISIÇÃO
DE
EMPRESA
2) ESCOLHA DE
CAPA DE REVISTA
3) CONTRATAÇÃO
DE UM DIRETOR
3)
PROGRAMA
PESQUISA
DESENVOLVIMENTO
NÍVEL OPERACIONAL
NÍVEL GERENCIAL
NÍVEL CORPORATIVO
NÍVEL ESTRATÉGICO DA DECISÃO
DE
E
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
QUALIDADE DA DECISÃO:
Uma decisão apresenta elevada qualidade quando, de forma eficaz e efetiva, garante a realização
dos objetivos preestabelecidos, para os quais os meios e os recursos foram reservados.
Essa definição permite distinguir três características principais que possibilitam a avaliação da
qualidade de uma decisão:
1) satisfação dos interesses envolvidos;
2) adaptação dos meios necessários aos objetivos procurados;
3) consistência do curso da ação.
Assim sendo, poderíamos dizer que a qualidade de uma decisão é tão mais elevada quanto maior for
o grau de participação dessas três características no processo.
O ENFOQUE GERENCIAL DA PESQUISA OPERACIONAL
A Pesquisa Operacional tem sido vista pelos gerentes e praticantes sob dois enfoques:
1) Enfoque clássico ou tradicional é derivado do conceito quantitativo clássico da Pesquisa
Operacional, aplica técnicas de modelagem a problemas de decisão e resolve modelos obtidos
através da utilização de métodos matemáticos e estatísticos, visando à obtenção de uma solução
ótima, de uma maneira sistêmica. Entretanto, as soluções ótimas podem não ser totalmente
adequadas em todas as situações práticas, devido à sua pouca flexibilidade.
2) Enfoque atual segue o conceito qualitativo da Pesquisa Operacional. Centraliza-se para o
diagnóstico do problema, valoriza-se o espírito crítico, a sensibilidade para descobrir o problema
correto e analisar quais informações são fundamentais para a decisão e quais são acessórias, que
complementam, sem afetar os resultados.
A finalidade de toda informação é reduzir o grau de incerteza envolvido na decisão. Assim, a
informação só tem valor no contexto de uma situação específica.
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL
Um estudo de Pesquisa Operacional consiste, basicamente, em construir um modelo de um sistema
real existente como meio de analisar e compreender o comportamento dessa situação, com o objetivo
de leva-lo a apresentar o desempenho que se deseja.
O sistema real é um conjunto complexo de variáveis, de forma não muito definida. O sistema real
reduzido é o núcleo do sistema existente que, primordialmente, dita o comportamento deste e que pode
ser modelado, para efeito de análise, por uma estrutura simplificada.
SISTEMA REAL EXISTENTE
SISTEMA REDUZIDO ÀS
VARIÁVEIS PRINCIPAIS
MODELO
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
Um trabalho de Pesquisa Operacional deve desenvolver-se segundo as fases indicadas no fluxograma
abaixo:
PERCEPÇÃO OU DEMANDA POR SOLUÇÃO
DEFINIÇÃO DO
PROBLEMA
SOLUÇÃO DO
MODELO
CONSTRUÇÃO DO
MODELO
AVALIAÇÃO
VALIDAÇÃO DO
MODELO
EXPERIÊNCIA
IMPLEMENTAÇÃO DOS
RESULTADOS
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL
A seqüência do fluxograma não é rígida, todavia indica as principais etapas que devem ser vencidas.
Exceto a fase de Solução do Modelo, que se baseia em métodos e técnicas bem desenvolvidas, as
demais não seguem regras fixas e definidas.
Os procedimentos necessários para essas fases dependem do tipo do problema em análise e do
ambiente que o envolve.
Apesar das dificuldades aparentes de fixação de regras para a execução dessas fases, é conveniente que
seja feita alguma discussão sobre elas de forma a servir de guia geral de procedimentos.
Os retornos de informação são as revisões. Estas trocas de informações ocorrem entre as diferentes
etapas, devido às considerações que surgem da análise de uma etapa, sendo que estas revisões
continuam nas etapas que se seguem.
A primeira fase, DEFINIÇÃO DO PROBLEMA, do ponto de vista da Pesquisa Operacional, baseia-se
em três aspectos principais:
1) descrição exata dos objetivos do estudo;
2) identificação das alternativas de decisão existentes;
3) reconhecimento das limitações , restrições e exigências do sistema.
A descrição dos objetivos é uma das atividades mais importantes em todo o processo do estudo,
devido que a partir dela é que o modelo é concebido.
A equipe encarregada do estudo deve captar e refletir , na formulação do problema, nos desejos e
necessidades dos executivos com relação ao problema de decisão.
Como também, é muito importante que as alternativas de decisão e as limitações sejam todas
explicitadas, muito bem analisadas, com o intuito de que as soluções que resultarão no final do processo
sejam válidas e aceitáveis.
A segunda fase, CONSTRUÇÃO DO MODELO, trata-se de uma fase em que o analista deve usar toda
sua criatividade, tendo em vista que a qualidade de todo o processo seguinte será conseqüência do
grau de representação da realidade que o modelo venha a apresentar.
Vários tipos de modelos podem ser utilizados para resolver problemas gerenciais, desde um simples
modelo conceitual que apenas apresenta inter-relação entre as informações, até modelos matemáticos,
complexos que exigem uma força de trabalho muito grande para sua formulação e operação.
A terceira fase, SOLUÇÃO DO MODELO, tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo
construído.
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Se o modelo for matemático, a solução será obtida pelo algoritmo mais adequado, em termos de
rapidez de processamento e precisão de resposta. Exigindo do analista, uma força de trabalho muito
grande para sua formulação e operação.
Na quarta fase, VALIDAÇÃO DO MODELO, acontece porque no processo de solução do problema,
torna-se necessário verificar a validade do modelo. Um modelo é válido se ele for capaz de fornecer
uma previsão aceitável do comportamento do sistema e uma resposta que possa contribuir para a
qualidade da decisão a ser tomada.
É importante observar que este processo de validação não se aplica a sistemas inexistentes, ou seja, em
projeto. Nesse caso, a validação é feita pela verificação da correspondência entre os resultados obtidos e
algum comportamento esperado do novo sistema.
A quinta fase, IMPLEMENTAÇÃO DA SOLUÇÃO, ocorre após a avaliação das vantagens e a
validade da solução obtida, esta solução deve ser convertida em regras operacionais.
A implementação, pode ser uma atividade que altera uma situação existente, é uma das etapas críticas do
estudo. Sendo conveniente que seja acompanhada pela equipe responsável, tendo em vista que, quando
colocadas em prática, podem levar a possível reformulação do modelo em alguma de suas partes.
A presença da equipe permite, também, superar mais facilmente as resistências e oposições às
alterações propostas na sistemática das operações e que, normalmente, aparecem nessa fase de
trabalho.
A fase final, AVALIAÇÃO FINAL, nesta avaliação, um fator que tem papel primordial é a
experiência do pessoal envolvido no estudo. Não se deve esquecer que o modelo é apenas uma
representação simplificada, não conseguindo por isso captar todas as características e detalhes da
realidade. Assim sendo, será com a experiência e uma visão crítica que se poderá avaliar e determinar
a aplicabilidade da decisão.
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TEORIA DA DECISÃO ESTATÍSTICA
DECISÕES EM FACE DA CERTEZA, RISCO E INCERTEZA.
CONJUNTO DE FERRAMENTAS QUANTITATIVAS
O QUE É A TEORIA DA DECISÃO?
A Teoria da Decisão pode ser conceituada como um conjunto específico de técnicas que auxiliam o
tomador de decisão a reconhecer as particularidades do seu problema e a estruturá-lo.
Além disso, a Teoria da Decisão sugere soluções segundo alguns critérios preestabelecidos.
O tomador de decisão pode ser uma pessoa ou, mais abstratamente, uma instituição.
O ponto de partida para a Teoria da Decisão é a identificação dos elementos comuns que existem nos
problemas de decisão.
Uma DECISÃO é o resultado de um processo que se desenvolve a partir do instante em que o problema
foi detectado, o que se percebe através da percepção de sintomas. Então, o processo de decisão
empresarial se inicia quando uma pessoa ou grupo percebe sintomas de que alguma coisa está saindo
do estado normal ou planejado.
CONCEITOS:
ESTRATÉGIAS = as estratégias são as possíveis soluções para o problema.
RESULTADOS = cada alternativa de solução leva a um ou mais resultados, que são as
conseqüências das alternativas.
ESTADOS DA NATUREZA = são as ocorrências futuras que podem influir sobre as
alternativas, fazendo com que elas possam apresentar mais de um resultado.
VALOR ESPERADO DA ALTERNATIVA = (VEA) é a soma dos produtos dos
resultados da alternativa pelas respectivas probabilidades dos estados da natureza a eles
associados.
VALOR ESPERADO DA INFORMAÇÃO PERFEITA = ( VEIP) é o ganho excedente
sobre a decisão tomada com o mero conhecimento das probabilidades de ocorrência dos
estados da natureza futuros.
DTSC = problemas de decisão tomada sob certeza
DTSR = problemas de decisão tomada sob risco
DTSI = problemas de decisão tomada sob incerteza
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
A MATRIZ DE DECISÃO
A matriz de decisão é um auxílio visual a um problema de decisão, que permite juntar elementos
comuns do problema. A matriz é geralmente constituída:
-
nas linhas listam-se as alternativas possíveis;
nas colunas listam-se os estados da natureza;
em cada cruzamento linha/coluna coloca-se o resultado correspondente.
A tabela abaixo mostra o aspecto de qualquer matriz de decisão com p alternativas e
k estados da natureza:
TABELA MATRIZ DE DECISÃO
ALTERNATIVAS
A1
A2
A3
EN1
R11
R21
R31
AP
RP 1
ESTADOS DA NATUREZA
EN2
EN3
...
R12
R13
...
R22
R23
...
R32
R33
...
RP 2
RP 3
...
ENK
R1 K
R2 K
R3 K
RPK
OBSERVAÇÃO: Ai representa a i ésima alternativa, ENj o j ésimo estado da natureza
e Ri j o resultado associado entre eles.
(DTSR) DECISÃO TOMADA SOB RISCO :
Nos problemas de decisão tomada sob risco, conhecemos as probabilidades de ocorrência de cada um
dos estados da natureza. A decisão é tomada com base no resultado médio ou resultado esperado de
cada alternativa.
VALOR ESPERADO DA ALTERNATIVA
O valor esperado da alternativa (VEA) é a soma dos produtos dos resultados da alternativa pelas
respectivas probabilidades dos estados da natureza a eles associados.
Assim, o VEA nada mais é do que a média ponderada dos resultados possíveis para a alternativa,
tomando as probabilidades dos estados da natureza com pesos de ponderação.
Uma vez calculado o VEA para cada alternativa, a sua comparação pura e simples permite escolher a
melhor das alternativas.
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
EXEMPLO: Uma empresa que deseja lançar um novo produto, pode ver-se a braços com as alternativas
de construir uma nova fábrica, especialmente para o produto, ou aproveitar as instalações existentes.
Uma nova fábrica possibilitará maior flexibilidade para acomodar as alterações na demanda e no projeto
do produto, mas levará também a maiores custos de implantação.
Por outro lado, a empresa pode considerar três estados futuros da demanda: alta, média e baixa.
A matriz de decisão, já com as probabilidades associadas aos estados de natureza, está dada na tabela
abaixo:
ESTADOS DA NATUREZA
BAIXA
MÉDIA
ALTA
ALTERNATIVAS
DEMANDA
DEMANADA
DEMANDA
P = 0,2
P = 0,3
P = 0,5
USAR INSTALAÇÕES
EXISTENTES
- 100
100
200
CONSTRUIR
NOVAS
INSTALAÇÕES
- 300
0
400
SOLUÇÃO:
A matriz nos mostra que, se forem usadas as instalações existentes, as perdas serão menores se a
demanda for baixa.
Em compensação, os lucros serão maiores se forem construídas novas instalações e a demanda for alta
(haverá maior capacidade de produção para aproveitar a alta demanda).
As probabilidades de 0,2; 0,3 e 0,5 representam as expectativas adotadas pelo tomador de decisão sobre
a ocorrência futura dos estados de natureza, ou seja, neste caso, das características da demanda.
CÁLCULO DOS VALORES ESPERADOS
Alternativa: usar instalações existentes
Alternativa: construir novas instalações
VEA =
VEA =
(-100) (0,2) + (100) (0,3) + (200) (0,5) =110 (-300) (0,2) + (0) (0,3) + (400) (0,5) = 140
Espera-se, portanto, que a construção de novas instalações para a fabricação do produto possa levar a um
lucro maior de R$ 140 milhões, contra R$ 110 milhões caso sejam aproveitadas as instalações
existentes.
Logo, opta-se pela construção dessas novas instalações.
VALOR ESPERADO DA INFORMAÇÃO PERFEITA
Até que ponto devemos empenhar esforços e consumir recursos para obter informações sobre o
futuro?
Uma informação perfeita traz um benefício e custa alguma coisa.
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
Nosso empenho pelas informações sobre o futuro, chega no ponto em que custe a perda do lucro
similar ao que estamos perdendo por não- tê-las.
Se estamos ganhando a quantia X com a informação perfeita, em relação ao que ganharíamos sem ela,
fica claro que não podemos pagar mais do que X pela informação.
Essa quantia X é aquilo que chamamos de valor esperado da informação perfeita (VEIP).
Valor esperado da informação perfeita (VEIP) é o ganho excedente sobre a decisão tomada com mero
conhecimento das probabilidades de ocorrência dos estados da natureza futuros.
EXEMPLO:
Suponhamos um feirante que trabalha com melões. Estes melões são comprados no sábado e revendidos
na feira de domingo. O feirante paga R$ 2,00 por melão que compra e revende-os a R$ 4,00 a unidade.
Para facilitar o exemplo, vamos admitir que a demanda para os melões só assuma os valores de 50, 100
ou 150 unidades.
O feirante poderá comprar qualquer uma dessas mesmas quantidades, mas não sabe de antemão qual
será a sua demanda, conhecendo tão somente suas probabilidades.
Vamos também admitir para simplificar que, se por acaso o feirante comprar mais melões do que vende
no domingo, ele perde completamente os melões não vendidos.
Sabe-se que o feirante estima em 0,35; 0,45 e 0,20 respectivamente, a probabilidade de que a demanda
seja de 50, 100 ou 150 unidades. Dentro dessa situação pede-se:
a) a melhor decisão a tomar sob risco
b) o valor esperado da informação perfeita
SOLUÇÃO: a) melhor decisão a tomar sob risco: O primeiro passo é montar a matriz.
ALTERNATIVAS
Comprar 50 melões
Comprar 100 melões
Comprar 150 melões
ESTADOS DA NATUREZA
VENDER
VENDER
50 MELÕES
100 MELÕES
p = 0,35
p = 0,45
100
100
0
200
- 100
100
VENDER
150 MELÕES
p = 0,20
100
200
300
Vamos observar que o feirante ganha (R$ 4,00 – R$ 2,00) = R$ 2,00 de lucro a cada melão vendido.
Para encontrar a melhor opção de compra sob risco basta calcularmos os valores de lucro esperados a
cada opção.
Comprar 50 melões:
VEA = (100 ) (0,35) + (100) (0,45) + ( 100) ( 0,20 ) = 100
Comprar 100 melões
VEA = (0) (0,35) + ( 200) (O,45) + ( 200) ( 0,20) = 130
Comprar 150 melões
VEA = ( -100) (0,35) + ( 100) ( 0,45) + ( 300 ) ( 0,20 ) = 70
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PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
A melhor opção para o feirante é comprar 100 melões, o que conduzirá a um lucro médio de R$ 130, 00.
c) valor esperado da informação perfeita
Vamos admitir agora que alguém ofereça ao feirante a informação perfeita de antemão. Todo sábado,
esse alguém diz ao feirante qual será a demanda por melões no domingo.
O feirante não pode alterar a demanda, mas pode tirar o melhor proveito possível da situação. Por
exemplo, se ele sabe que num particular domingo a demanda será apenas de 50 melões, essa é a quantia
que ele irá comprar. Aliás, ele sempre comprará exatamente o que ele irá vender.
Repare que quando a demanda for de 50 melões, o feirante lucrará R$ 100,00. quando a demanda for de
100 melões ele lucrará R$ 200,00 e, finalmente, quando a demanda for de 150 melões, ele lucrará R$
300,00. Ocorre que:
-
o feirante lucrará R$ 100,00 em 35% das oportunidades;
lucrará R$ 200,00 em 45% das oportunidades;
lucrará R$ 300,00 em 20% das oportunidades.
Pois estas são as chances das demandas de 50, 100 e 150 melões. O feirante não pode interferir nos
estados da natureza, ele apenas os conhece de antemão.
De posse da informação perfeita, o lucro médio do feirante será:
(100) (0.35) + (200) (0.45) + (300) (0.20) = 185
o feirante ganha agora R$ 185,00 contra R$ 130,00 que ganhava quando não havia a informação
perfeita. Pela definição, o valor esperado da informação perfeita é:
VEIP= 185 – 130 = 55
(DTSI) DECISÃO TOMADA SOB INCERTEZA
Na decisão tomada sob incerteza, não são conhecidas as probabilidades de ocorrência dos estados de
natureza. Existem diversos critérios disponíveis para a tomada de decisão, cada qual com sua lógica
subjacente.
Não há critério único para problemas de decisão tomada sob incerteza.
Apresenta-se a seguir alguns dos os critérios mais conhecidos:
1) CRITÉRIO MAXIMIN sua principal característica é ser bastante conservador, devido escolher a
alternativa como o “menos ruim” dos resultados;
2) CRITÉRIO MAXIMAX sua principal característica é ser fundamentalmente otimista, pois
escolhe com o melhor dos resultados;
3) CRITÉRIO DE LAPLACE que se destaca por atribuir probabilidades idênticas
aos resultados da natureza e toma a decisão como se fosse agora o problema do
tipo DTSR (problemas de decisão tomada sob risco)
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DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
CRITÉRIO MAXIMIN
A palavra “ maximin” quer dizer “ o máximo entre os mínimos ” .
Para cada alternativa, anotamos o pior resultado, comparando todas as alternativas entre si, e depois
escolhemos deles aquela que conduz ao “ menos ruim” dos piores.
É preciso tomar algum cuidado, pois o que é “ mínimo ” ou “ máximo” depende de como foi
construída a matriz de decisão.
Se os resultados estão expressos em lucro ou ganho de qualquer espécie, então o pior resultado será o
menor valor numérico.
O contrário acontecerá se os resultados expressarem despesa ou perda de qualquer espécie.
EXEMPLO:
Retornemos ao exemplo do feirante de melões, sendo que desta vez, não serão conhecidas as
probabilidades dos estados de natureza, com a finalidade de aplicarmos o critério maximin:
SOLUÇÃO:
A tabela abaixo transcreve a matriz de decisão do problema do feirante, com uma coluna adicional que
aponta, para cada alternativa, o pior resultado de cada alternativa:
ALTERNATIVAS
Comprar 50 melões
Comprar 100 melões
Comprar 150 melões
ESTADOS DA NATUREZA
Vender 50
Vender 100 Vender 150
melões
melões
melões
Piores resultados
100
100
100
100
0
200
200
0
- 100
100
300
- 100
Como a matriz de decisão é expressa em termos de lucro associado a cada opção de compra de certa
quantidade de melões, os piores resultados são expressos pelos números mais baixos de cada alternativa.
A alternativa escolhida é a de compra de 50 melões de cada vez, que conduz ao lucro de R$100,00. o
critério envolve um comportamento pessimista ou, pelo menos bastante conservador.
CRITÉRIO MAXIMAX
Neste critério, identifica-se em cada alternativa o seu melhor resultado.
A palavra “ maximax” indica “o máximo dos máximos”. Dados os melhores resultados de cada
alternativa, escolhe-se aquela com o melhor entre os melhores:
EXEMPLO:
Novamente, retornemos ao problema dos melões. A matriz de decisão aparece na tabela abaixo, agora
com uma coluna apontando os melhores resultados ( os de maior valor, neste caso) de cada alternativa.
Utilizemos o critério maximax para tomarmos a decisão:
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DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
ALTERNATIVAS
Comprar 50 melões
Comprar 100 melões
Comprar 150 melões
PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
ESTADOS DA NATUREZA
Vender 50
Vender 100 Vender 150
melões
melões
melões
Melhores
resultados
100
100
100
100
0
200
200
200
- 100
100
300
300
A melhor alternativa é agora a opção de comprar 150 melões, conduzindo ao máximo lucro possível, de
R$300,00 . esse método é claramente a maneira de pensar otimista incorrigível, que encara o futuro como
totalmente favorável a seus planos.
CRITÉRIO DE LAPLACE
O critério de Laplace usa todos os dados da matriz de decisão.
Como não são conhecidas as probabilidades dos estados da natureza, elas são suposta iguais, por falta de
razão para supô-las diferentes.
Por esse motivo, o critério de Laplace é algumas vezes referido como “critério ou método da razão
insuficiente”.
A probabilidade associada a cada estado da natureza é sempre igual à unidade dividida pelo número de
estados da natureza.
Após assumir probabilidades iguais, calcula-se o valor esperado para cada alternativa, escolhendo-se a
que conduzir ao melhor valor esperado.
EXEMPLO:
No caso do feirante com seus melões, a probabilidade que o critério de Laplace atribui a cada estado da
natureza é de 1/3, tendo em vista que existem 3 estados da natureza.
Os valores esperados são:
Comprar 50 melões
VEA = (100) (1/3) + (100) (1/3) + (100) (1/3) = R$ 100,00
Comprar 100 melões
VEA = (O) (1/3) + (200) (1/3) + (200) (1/3) = R$______________
Comprar 150 melões
VEA = (-100) (1/3) + (100) (1/3) + (300) (1/3) = R$_________________
A melhor alternativa é aquela com a maior VEA (VALOR ESPERADO DA ALTERNATIVA) , ou seja,
a alternativa de se comprar 100 melões, conduzindo a um lucro esperado de R$ _________________
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PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
O CRITÉRIO DO MÍNIMO ARREPENDIMENTO
Esse critério, mais sofisticado que os anteriores, procura minimizar o arrependimento por se escolher
uma alternativa errada. É conveniente antes de tudo definir o que se entende por arrependimento.
“Dado um estado de natureza, chama-se arrependimento associado a uma certa alternativa aquilo que
se perde, em termos relativos, por não se ter escolhido a melhor alternativa, quando considerado esse
estado de natureza”.
Explica-se: Dado um estado de natureza, haverá uma melhor alternativa que lhe é associada. No problema
dos melões, por exemplo, se considerarmos o estado de natureza “Vender 100 melões”,
os resultados são:
ALTERNATIVAS
RESULTADO
Comprar 50 melões
10.000
Comprar 100 melões
20.000
Comprar 150 melões
10.000
A melhor alternativa, nesse caso, teria sido que o feirante tivesse comprado 100 melões que lhe daria um
lucro de R$20.000,00. Se ele tivesse escolhido justamente essa alternativa, fica claro que não há
arrependimento algum ou, por outras palavras, o arrependimento é zero. Se porém, ele escolheu comprar
50 melões, o lucro será apenas de R$10.000,00, ele terá deixado de ganhar R$10.000,00
(R$20.000,00 – R$10.000,00). Este é o seu arrependimento por não ter escolhido a melhor alternativa.
Se ele comprasse 150 melões o seu arrependimento teria sido também de R$10.000,00. Para se calcular
os arrependimentos sob um dado estado de natureza, basta portanto:
a) Identificar a alternativa com o melhor resultado
b) Para cada alternativa, o arrependimento é calculado subtraindo-se o seu resultado do melhor
resultado identificado em a)
A Matriz de Decisão original transforma-se numa Matriz de Arrependimentos, com o mesmo número de
linhas e colunas da original. Vamos calcular os arrependimentos:
ESTADO DE NATUREZA VENDER 50 MELÕES
ALTERNATIVAS
RESULTADO
ARREPENDIMENTO
Comprar 50 melões
10.000 (o melhor)
10.000 – 10.000 = 0
Comprar 100 melões
0
10.000 – 0
= 10.000
Comprar 150 melões
-10.000
10.000 – (-10.000)= 20.000
ESTADO DE NATUREZA VENDER 150 MELÕES
ALTERNATIVAS
RESULTADO
Comprar 50 melões
10.000
Comprar 100 melões
20.000
Comprar 150 melões
30.000
(o melhor)
ARREPENDIMENTO
30.000 – 10.000 = 20.000
30.000 – 20.000 = 10.000
30.000 – 30.000 = 0
17
DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
MATRIZ DE ARREPENDIMENTO PARA O PROBLEMA DOS MELÕES
ALTERNATIVAS
Comprar 50 melões
Comprar 100 melões
Comprar 150 melões
ESTADOS DA NATUREZA
Vender 50
Vender 100
melões
melões
0
10.000
10.000
0
20.000
10.000
Vender 150
melões
20.000
10.000
0
Observe que os arrependimentos são sempre positivos, o que é possível devido à forma como são
definidos, sempre pela diferença entre o melhor resultado e os demais.
Se o resultados forem expressos como despesas, bastará tomar-se a diferença ( que é originalmente
negativa, já que o melhor resultado é o menor número) em valor absoluto.
Ainda neste caso, pode-se, de forma equivalente, subtrair o melhor resultado (menor número) de todos os
demais.
Voltemos ao critério de decisão do mínimo arrependimento. Uma vez transformada a matriz de decisão
em matriz de arrependimentos, procede-se como no critério maximin:
- aponta-se em cada alternativa o seu pior arrependimento;
- escolhe-se a alternativa com o “menos ruim” dos arrependimentos, ou seja, com o mínimo entre
os arrependimentos.
No caso dos melões, temos:
ALTERNATIVAS
COMPRAR 50 MELÕES
COMPRAR 100 MELÕES
COMPRAR 150 MELÕES
PIOR ARREPENDIMENTO
20.000
10.000
20.000
O mínimo entre os piores arrependimentos fica com a opção de comprar 100 melões , que é então a
alternativa escolhida.
18
DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
Exercícios
1. Dados a matriz de decisão de lucros a seguir (valores em milhões de reais), determinar a melhor
alternativa usando o valor esperado da alternativa.
Alternativas
EN1 (P=0,20)
Estados da Natureza
EN2 (P=0,50)
A1
A2
A3
25
38
30
40
28
50
EN3 (P=0,30)
55
48
15
2. Computar, no exercício anterior, o valor do lucro médio com a informação perfeita e também o
VEIP (Valor Esperado da Informação Perfeita).
3. Dada a matriz de decisão a seguir, expressa em milhares de reais representando despesas,
determinar a melhorAalternativa usando o valor Esperado da Alternativa.
Alternativas
EN1 (P=0,15)
Estados da Natureza
EN2 (P=0,35)
EN3 (P=0,40)
A1
A2
20
25
30
15
10
35
EN4 (P= 0,10)
25
8
4. Computar a despesa média esperada com a informação perfeita, bem como o VEIP (Valor
Esperado da Informação Perfeita), para o exercício 3.
5. A matriz de decisão a seguir mostra três alternativas e quatro quatro estados da natureza, dos quais
não são conhecidas as probabilidades (a matriz é fornecida em lucros).
Alternativas
EN1
EN2
A1
A2
A3
10
30
15
18
5
18
Estados da Natureza
EN3
28
18
25
Encontrar a melhor alternativa, de acordo com os seguintes critérios:
a) Maximax;
b) Maximin;
c) Laplace;
d) Mínimo arrependimento.
EN4
15
13
13
19
DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
6. Retomar o exercício 5 e encontrar a melhor decisão pelos mesmos critérios, mas supondo agora
que os números da matriz representam despesas.
7. Em um dado processo produtivo, a máquina MX210 pode ser corretamente ajustada ou não. A
probabilidade de que ela esteja corretamente ajustada é 0,80. Se ela estiver corretamente ajustada
90% das peças produzidas serão aceitáveis. Por outro lado, se ela estiver incorretamente ajustada ,
esse porcentual baixa a 40%.
É retirada uma amostra de 20 itens produzidos na máquina , e 15 deles revelam-se aceitáveis.
Revisar a probabilidade de que a máquina MX210 esteja corretamente ajustada.
8. A companhia Editora Urano planeja lançar uma nova revista para homens. Pela experiência
anterior dos editores, a revista tem uma chance de 80% de ser um sucesso. Para uma melhor
estimativa (revisão) dessa probabilidade, entretanto, a editora decide empreender uma pesquisa de
mercado. Uma amostra ao acaso de 100 leitores potenciais da revista é escolhida. se 40% dos
entrevistados responderem que comprariam a revista, então a revista está destinada ao sucesso . se
esse porcentual for de 25%, então a revista será um fracasso . Ao final das entrevistas, 35 leitores
declaram que comprariam a revista. Determinar a probabilidade de sucesso da revista à luz dessa
nova informação.
20
DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
A PROGRAMAÇÃO LINEAR E O PROCESSO DE DECISÃO
INTRODUÇÃO:
A programação linear é uma das muitas técnicas analíticas recentemente desenvolvidas que se têm
mostrado úteis na resolução de certos tipos de problemas empresariais.
Esses métodos quantitativos de resolução de problemas, como muitos aplicados na pesquisa operacional,
são baseados em conceitos matemáticos e estatísticos.
Considerando que a programação linear seja um “modelo”, um método apropriado de estudo seria
estrutura-la dentro da estrutura mais extensa do processo de tomada de decisão administrativa.
Objetivos para o estudo da programação linear :
a) reconhecer os problemas que passíveis de análise pelo modelo;
b) auxiliar o analista no estágio inicial da investigação;
c) avaliar e interpretar inteligentemente os resultados;
d) aplicar os resultados com a confiança que é adquirida somente com a compreensão dos
problemas e dos resultados envolvidos.
Áreas de aplicação da programação linear:
a) problemas de alocação, ou seja, problemas envolvidos na alocação de recursos
escassos entre fins alternativos, de acordo com algum critério.
b) Problemas complexos de alocação que não podem ser resolvidos
satisfatoriamente com as técnicas analíticas convencionais.
Alguns exemplos de problemas de alocação:
a) determinação dos produtos a serem fabricados, a composição da produção, planejada levando em
consideração a demanda esperada, a adequabilidade e as capacidades da produção e facilidades
de distribuição, as diretrizes administrativas, tais como a política sobre os produtos levados até o
término da linha de produção. Com o objetivo de maximizar os lucros.
b) Problemas de mistura ou combinação de ingredientes utilizados na fabricação dos produtos,
tendo em vista a disponibilidade e os custos relativos dos ingredientes, qual a combinação que
resultará no custo mínimo de material por unidade do produto final?
c) Programação da produção e planejamento de estoque, procura-se qual o programa de produção e
quais os níveis planejados de estoque durante o próximo período planejado que satisfarão à
demanda esperada e também resultarão em custo mínimo?
d) Alimentação das máquinas, pergunta-se quais alocações de capacidade da máquina disponível
às séries de ordens que resultarão no custo mínimo?
e) Problemas de transporte e distribuição física, pergunta-se qual o plano físico de distribuição que
estará tanto dentro das restrições de capacidade como da demanda e que ao mesmo tempo
minimize os custos de produção e de distribuição durante o período de planejamento.
21
DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Os procedimentos de cálculo matemático de programação linear dependem em parte de vários métodos
de programação adotados em determinado problema.
O caso básico, ou geral, é chamado MÉTODO SIMPLEX, porque é baseado no algoritmo simplex.
Certos tipos de problemas de alocação podem ser resolvidos pelas versões especiais, menos
complexas, do método Simplex, conhecidas como métodos Gráficos e de Transporte.
FORMULAÇÃO DE MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Quando da análise de um problema, tentando enquadra-lo em um modelo de programação linear é
fundamental que se consiga distinguir, de um lado, quais são as variáveis fora do controle do analista, ou
parâmetros, cujos valores já estão fixados, e, de outro, quais são as variáveis de decisão, ou seja, aquelas
cujo valor se quer conhecer.
A solução de um modelo dará exatamente o valor dessas variáveis de decisão. As variáveis de decisão
compõem tanto a função objetivo como as restrições e são em geral designadas por letras como x, y, z,
etc., ou por uma letra indexada como x1, x2, etc. A função objetivo é uma expressão onde cada variável
de decisão é ponderada por algum parâmetro ( como por exemplo lucro unitário).
EXEMPLO DE FORMULAÇÃO : MAXIMIZAÇÃO
Consideremos o caso da indústria de móveis Fresão, que ilustra um problema de composição de produto.
A Fresão produz, entre outros artigos, dois tipos de conjunto para sala de jantar: o conjunto Beatrice e o
conjunto Anamaria.
A Fresão está preparando sua programação semanal de produção para os dois conjuntos. Sabe-se que,
embora não haja restrições no tocante à demanda do conjunto Beatrice (dentro das limitações de
produção atuais) para o conjunto Anamaria dificilmente a demanda semanal ultrapassará 8 unidades.
A fabricação dos dois conjuntos é dividida em dois grandes blocos de operações: Preparação( consistindo
do corte da madeira e preparação para montagem) e Acabamento ( consistindo da montagem dos
conjuntos e acabamento final).
Em face dos outros produtos existentes, a Fresão não poderá alocar mais de 100 horas para a preparação
e 108 horas para o acabamento durante a semana. O conjunto Beatrice exige 5 horas para a preparação e
9 horas para o acabamento, enquanto que para o conjunto Anamaria esses números são de 10 e 6 horas
respectivamente.
A Fresão deve decidir quantas unidades de cada conjunto devem ser fabricadas, levando em conta que o
conjunto Beatrice fornece um lucro unitário de R$ 4000,00 enquanto que para o conjunto Anamaria o
lucro unitário é de R$ 5000,00.
22
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
SOLUÇÃO
Na formulação de modelos de programação linear, é bastante útil reunirmos os dados em uma tabela, de
modo que se recorra a todo momento ao enunciado do problema, no caso da Fresão, a maioria dos dados
relevantes estão na tabela abaixo:
conjunto
Beatrice
Anamaria
Horas preparação
5
10
Horas acabamento
9
6
Demanda máxima
Não há
8
Lucro unitário
R$ 4000,00
R$ 5000,00
As variáveis de decisão estão claras no enunciado. Deseja-se saber quantas unidades de cada conjunto
devem ser produzidas. Chamemos de:
X = número de unidades do conjunto Beatrice
Y = número de unidades do conjunto Anamaria
O estabelecimento da função objetivo vem a seguir. Como cada unidade de conjunto Anamaria contribui
com R$ 4000,00 de lucro, contra R$ 5000,00 de cada conjunto Anamaria, o lucro total derivado de
X unidades do primeiro conjunto e Y unidades do segundo conjunto será dado por:
4000x + 5000y
Expressão esta que desejamos maximizar
Seguindo este raciocínio semelhante, podemos montar as restrições.
O número total de horas de preparação que se gastará para os dois conjuntos é
5x + 10 y
que não pode ser maior que o máximo de 100 horas que estão disponíveis para a preparação
logo, a primeira restrição fica
5x + 10y < 100
para o acabamento, a restrição será escrita como
9x + 6y < 108
a última restrição diz respeito à demanda máxima dos conjuntos Anamaria, que não pode ultrapassar a 8
unidades semanais
y < 8
finalmente, todo problema de programação linear possui as chamadas condições de não negatividade,
segundo as quais as variáveis de decisão só podem assumir valores positivos ou nulos:
x > 0
y> 0
23
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
repare que não teria sentido algum em se pensar num número negativo de qualquer um dos dois conjuntos
em questão. Aliás, a maioria dos programas de computador disponíveis para a programação linear
assume automaticamente as condições de não negatividade, não havendo necessidade de incorpora-las
aos dados de entrada na máquina.
Resumindo, o problema da indústria de móveis Fresão, formulado completamente segundo um modelo de
programação linear é o seguinte;
Maximizar 4000x + 5000y
Sujeito a
5x + 10y <100 (preparação)
9x + 6y < 108 (acabamento)
1y < 8 (demanda de conjuntos)
x>0 y>0
o problema da indústria Fresão admite como solução x = 8 e y = 6, levando a um valor máximo da
função objetivo de
4000 (8) + 5000 (6) = R$ 62.000,00
se os valores x = 8 e y = 6 forem substituídos nas restrições, veremos que as horas de preparação e
acabamento são totalmente esgotadas pela produção. Ao se tentar outros valores de x e y verifica-se que
sempre conduzem a uma valor da função objetivo menor que R$ 62.000,00.
OBSERVAÇÃO: Embora pareça desnecessário escrever 1y < 8 e não simplesmente y < 8, que também
está correto, é conveniente que acostumemos a colocar coeficiente 1 ou mesmo 0 (zero, correspondente
a uma variável que não compareça numa expressão) dado que isso será de muita utilidade quando da
solução dos problemas pelo algoritmo simplex, que será visto brevemente.
24
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
EXEMPLO DE FORMULAÇÃO: MINIMIZAÇÃO
A ABORDAGEM é essencialmente a mesma que em problemas de maximização, pelo que
aproveitaremos a oportunidade para apresentar um problema de formulação um pouco mais complexa.
Consideremos o caso do Senferro A e do Senferro Extra, que são os nomes comerciais de dois
líquidos antiferruginosos produzidos pela ABC Química Industrial Ltda. Os dois líquidos são obtidos
pela adição, em proporções diferentes, de dois líquidos denominados de HPO 33 e B 45 que são
adquiridos de outros fornecedores pela ABC. As proporções, todas em volume, são as seguintes:
Senferro A : 7 partes de HPO 33 para 5 partes do B 45
Senferro Extra: 4 partes de HPO 33 para 8 partes do B45
A ABC deseja programar a sua produção para o mês seguinte . como os dois produtos Senferro A e
Senferro Extra têm encontrado uma excelente aceitação no mercado servido pela ABC, esta espera
que deverá vender pelo menos 7000 litros do Senferro A e 3200 litros do Senferro Extra.
Como estes produtos são colocados no mercado juntamente com outros da ABC, considera-se
importante para a imagem da empresa que a demanda seja atendida tão bem quanto possível.
Por outro lado, a aquisição dos componentes BPO 33 e B45 acostuma gerar alguns problemas de
caixa para a ABC, dado que os fornecedores exigem pagamento à vista, enquanto que a ABC
costuma dar 10 dias para os clientes.
A alternativa para a ABC é então a de minimizar o investimento feito na compra do HPO 33
B45, que custam respectivamente R$ 400,00 e R$ 200,00 o litro.
e do
Existe uma cláusula adicional com o fornecedor do HPO 33, segundo a qual a abc não pode adquirir
menos que 200 litros desse componente a cada compra.
SOLUÇÃO
Organização dos dados do problema
Componente
HPO 33
B 45
Senferro A
7
5
Proporções
Senferro Extra
4
8
Compra mínima
200
Não há
Custo unitário
R$ 400
R$ 200
É claro que as quantidades a adquirir dos componentes HPO 33 e B 45 são variáveis de decisão,
não menos importante, de se observar que, como esses componentes entram com proporções diferentes
nos dois produtos Senferro A e Senferro Extra.
25
DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
Assim, teremos que trabalhar com 4 variáveis para efeito de elaboração do modelo:
x1 = quantidade de HPO 33 a ser usada no Senferro A
x2 = quantidade de HPO 33 a ser usada no Senferro Extra
y1
quantidade de B 45 a ser usada no Senferro A
=
y2 = quantidade de B 45 a ser usada no Senferro Extra
fica claro que, se determinados os valores das variáveis acima, basta tomar
(x1
+
x2 ) como a quantidade de HPO 33 a comprar
enquanto que,
(y1
+
y2 ) será a quantidade de B 45.
Como cada unidade de HPO 33 contribui com R$ 400 para o custo
Enquanto que cada unidade de B 45 contribui com R$ 200 para o custo
Independentemente de serem usadas em um ou outro produto,
A função objetivo fica:
Minimizar 400 x1 + 400 x2 + 200 y1 + 200 y2
A primeira restrição a considerar é o atendimento da demanda mínima da Senferro A, que é de
7000 litros.
Supondo que as condições de linearidade prevaleçam, quando se misturam os dois componentes a
quantidade final de Senferro A é simplesmente a soma das quantidades isoladas dos componentes.
A primeira restrição fica:
x1 + y1 > 7000
o mesmo raciocínio vale para a restrição referente ao Senferro Extra,
cuja demanda mínima é de 3200 litros :
A segunda restrição fica:
x2 + y2 > 3200
26
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
A terceira restrição diz respeito à compra mínima do componente HPO 33, que deve ser de 200 litros
x1 + x 2 > 200
há ainda duas restrições, que dizem respeito às proporções que devem manter entre si os dois
componentes na composição dos dois produtos.
Na mistura para a obtenção do Senferro A , a proporção entre o HPO 33 e o B 45 deve ser 7:5
x1
y1
= 7
5
como é de costume que todas as variáveis estejam alinhadas, e que o lado direito das restrições seja
sempre um número, pode-se reescrever a restrição como
5 x1 - 7 y1 = 0
na obtenção do Senferro Extra, as proporções são de 4:8 para HPO 33 e B 45
x2 = 4
y2
8
8 x2 - 4 y2 = 0
sem esquecer as condições de não negatividade, finalmente:
x1 > 0, x2 > 0,
y1 > 0,
y2 > 0
resumindo, o modelo completo (colocando coeficientes iguais a 1 e zero para que todas as restrições
contenham todas as variáveis)
temos:
minimizar 400 x1 + 400 x2 + 200 y1 + 200 y2
sujeito a
1 x1 + 0 x2 + 1 y1 + 0 y2 > 7000
0 x1 + 1 x2 + 0 y1 + 1 y2 > 3200
27
DISCIPLINA: Pesquisa Operacional
PROFESSOR:
Luis Antonio Ccopa Ybarra
1 x1 + 1 x2 + 0 y1 + 0 y2 > 200
5 x1 + 0 x2 - 7 y1 + 0 y2 > 0
0 x1 + 8 x2 + 0 y1 - 4 y2 > 0
x1 > 0
x2 > 0
y1 > 0
y2 > 0
o problema completo tem, portanto 4 variáveis e 5 restrições. Não há a necessidade de se colocar os
coeficientes das variáveis nas condições de não negatividade, pois não comporão no alogaritmo de
solução, embora sejam condição obrigatória.
Novamente para não se deixar em aberto quaisquer dúvidas, segue a solução:
x1 = 4.983,3 litros
x2 = 1.066,7 litros
total HPO 33 = x1 + x2 = 6.050 litros
y1 = 2.916,7 litros
y2 = 2.133 litros
total B 45 = y1 + y2 = 5.050 litros
o investimento mínimo será nesse caso de R$ 3.070.000,00.
Todas as restrições são rigorosamente obedecidas.
28
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
SOLUÇÃO GRÁFICA: PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO
Retornemos ao problema da Indústria de Móveis Fresão, que consistia em determinar quantas unidades
dos conjuntos Beatrice e Anamaria deveriam ser programadas de forma a maximizar o lucro. Como se
recorda, a formulação completa era a seguinte:
Maxinizar 4000 x + 5000 y
Sujeito a
5x + 10 y < 100
9 x + 6 y < 108
1y < 8
x>0,y>0
a solução gráfica exige que tomemos dois eixos ortogonais, cada um dos quais irá representar os
valores de uma das variáveis, no caso tomaremos o eixo horizontal para a variável x e o eixo vertical
para a variável y.
a seguir todas as restrições devem ser representadas no plano xy.
Vejamos a primeira restrição
A expressão 5 x + 10 y representa o número total de horas de preparação que os dois conjuntos irão
ocupar.
É obrigatório que essa não ultrapasse a 100 horas, que é o máximo disponível. Suponha por um
momento que a soma 5 x + 10 y ocupasse exatamente as 100 horas disponíveis, ou seja,
5 x + 10 y = 100
essa igualdade é apenas a equação de uma reta, que pode ser determinada no plano se soubermos as
coordenadas de dois dos seus pontos.
Tradicionalmente, escolhem-se os pontos (0,y) e (0,x) ou seja, os pontos onde a reta encontra os eixos
x e y .
Se x = 0 então 5 (0) + 10 y = 100 e y = 10.
Se y = o então 5 x + 10 (0) = 100 e x = 20.
A reta resultante encontra-se na figura abaixo: ( restrição de horas de preparação )
número de conjuntos Anamaria (y)
18
16
14
12
10
8
6
4 zona permissível
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
29
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
Número de conjuntos Beatrice (x)
Ao longo da reta, teremos todas as combinações possíveis de valores de x e de y tal que
5 x + 10 y = 100 assim, por exemplo se x = 6 teremos 5 (6) + 10 y = 100 ou y = 7.
A região compreendida entre a reta e os eixos também obedece à restrição 5 x + 10 y < 100, logo a
restrição pode ser representada pela área compreendida entre a reta e os eixos, incluída a própria reta
para o caso de igualdade 5 x + 10 y = 100.
A essa área que aparece no gráfico, denominamos de zona permissível pela restrição do número de
horas disponíveis de preparação .
A área é limitada pelos eixos porque valem as condições de não negatividade.
Qualquer ponto fora da zona permissível ( como por exemplo o ponto onde x = 10 e y = 14 ) não será
uma solução possível para o problema.
A restrição seguinte diz respeito ao número máximo disponível de horas para acabamento
9 x + 6 y < 108
tomando novamente a igualdade, a reta resultante cortará os eixos nos pontos (0,8) e (12,0)
como é mostrado no gráfico . a região admissível novamente está compreendida entre a reta e os dois
eixos, sendo a própria reta o limite, valendo pela igualdade citada.
( Restrição de horas de acabamento )
número de conjuntos Anamaria (y)
18
16
14
12
10
8
6
4 zona permissível
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Número de conjuntos Beatrice (x)
Finalmente a última restrição estabelece que o número máximo de conjuntos Anamaria que pode ser
fabricado é igual a 8 , ou seja:
1y<8
30
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
O gráfico a seguir mostrará a reta que responde pela igualdade. Ela é paralela ao eixo, delimitando
uma região permissível que não tem limites para a direita, indicando que para qualquer número de
conjuntos Beatrice que se queira, o número de conjuntos Anamaria jamais ultrapassa a 8.
(Restrição : conjuntos Anamaria)
número de conjuntos Anamaria (y)
18
16
14
12
10
8
6
4 zona permissível
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Número de conjuntos Beatrice (x)
Os pontos A, B, C, e D são chamados PONTOS EXTREMOS da região possível, que nesse caso é finita
e delimitada pelas arestas do polígono ABCDE. Não é difícil determinar as coordenas desses pontos
extremos. Os pontos A, B, e E, por sua localização especial , têm coordenadas imediatas.
31
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
A ( x = 0, y = 0 ) ( origem dos eixos )
B ( x = 12, y = 0 )
E ( x = 0,y = 8 )
Os pontos C e D podem ser determinados diretamente por inspeção visual no gráfico, se ele estiver
suficientemente claro, no caso em pauta, distingue-se que as coordenadas desses pontos são:
C = ( X = 8,Y = 6 )
D ( X = 4, Y = 8 )
Se o gráfico não estiver traçado em perfeita escala ou se a leitura indica números fracionários, é
conveniente determinar-se as coordenadas por meio analíticos.
Vejamos como isso é feito com os pontos C e D.
Para determinar o ponto C, nota-se que ele é o ponto de intersecção das retas limite das restrições
referentes às horas de preparação e de acabamento, ou seja, é a intersecção de
5 x + 10 y = 100 (I)
9 x + 6 y = 108 (II)
Uma combinação linear adequada entre as duas equações permitirá obter uma das variáveis, cujo valor
poderá ser então, substituído em qualquer uma das equações originais para dar o valor da outra
variável restante.
Multiplicando-se a equação (I) por 3, a equação (II) pó 5 e subtraindo a (II) da (I) vem que
15 x + 30 y = 300
(-)
45 x + 30 y = 540
__________________
- 30 x + 0
= - 240
de onde se conclui que x =8 que substituído na equação (I) fornece
5 (8) + 10 y = 100
10 y = 100 – 40 = 60
y=6
semelhantemente, o ponto D é o encontro das retas limite das restrições do número máximo de horas
disponíveis de preparação e do número máximo de conjuntos Anamaria.
5 x + 10 y = 100
1y=8
o que fornece imediatamente x = 4
32
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
embora tenhamos no momento uma região permissível para a solução do problema e conheçamos as
coordenadas dos pontos limites dessa região, ainda não temos a solução propriamente dita. Acontece que
os pontos extremos da região permissível guardam uma importantíssima propriedade:
“ A solução ótima encontra-se em um dos pontos extremos ”
para descobrir qual é o ponto que nos fornece a solução ótima, basta substituirmos as coordenadas de
todos os pontos extremos na função objetivo, como mostrado em seguida:
PONTO
Função objetivo
( 4000 x + 5000 y)
___________________________________________________________________________
A
B
C
D
E
x
y
4000 x
0
12
8
4
0
0
0
6
8
8
0
48000
32000
16000
0
5000 y
0
0
30000
40000
40000
0
48000
62000
56000
40000
A solução ótima encontra-se, portanto, no ponto C , fornecendo um valor de R$ 62.000,00 para a
FUNÇÃO OBJETIVO. Corresponde a fabricar 8 conjuntos Beatrice e 6 conjuntos Anamaria.
Há uma outra forma de se determinar o ponto C como SOLUÇÃO ÓTIMA.
A função objetivo 4000 x + 5000 y define uma família de retas no plano xy. Atribuindo um valor
arbitrário à função poderemos encontrar a reta correspondente, analogamente ao que fizemos com as
restrições. Atribuindo a 4000 x + 5000 y, por exemplo, o valor 20.000 ( múltiplo de 4000 e 5000, para
facilitar os cálculos) define-se a reta que passa pelos pontos ( 0,4) e (5,0) , como se mostra no gráfico:
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
Se a reta for movida paralelamente a si mesma, para a direita, o último ponto da região permissível que
ela tangenciará será o ponto C.
O gráfico também mostra um movimento intermediário, correspondente a um valor 40.000 para a função
objetivo.
Observe que ao mover a reta para a direita, paralelamente a si mesma, significa atribuir valores cada vez
maiores à função objetivo.
Como o ponto C é o último ponto da tangência da região possível, a ele corresponderá a solução (x = 8 e
y = 6 ) que maximiza a função objetivo.
SOLUÇÃO GRÁFICA: PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO
O tratamento é análogo ao caso de problemas de maximização: as restrições são delimitadas por retas,
definindo-se as regiões permissíveis.
A combinação dessas regiões dará a região final, comum a todas as restrições.
A solução estará então, em um dos pontos extremos.
Como se recorda, o problema da ABC Química Industrial Ltda. Tinha 4 variáveis, de forma que não
podemos toma-lo como exemplo.
Consideremos então, o modelo abaixo.
Minimizar 4 x + 4 y
Sujeito a
2 x + 1 y > 10
1x+2y > 8
1y < 6
transformando as desigualdades em igualdades, delimita-se a região comum mostrada no gráfico abaixo:
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
As regiões permissíveis ficam a gora à direita das retas limite traçadas para as restrições 2 x + 1 y > 10
e 1 x + 2 y > 8, em quanto que a região permissível para a restrição 1 y < 6 localiza-se entre a
reta 1 y = 6 e o eixo da variável x, limitando-se à esquerda pelo eixo da variável y.
a região comum permissível é limitada à direita e os pontos extremos resumem-se a A, B e C, cujas
coordenadas, são as seguintes:
A ( x = 8 y = 0)
B(x=4y=2)
C(x=2y=6)
A tabela abaixo, semelhante à que construímos de maximização, mostra que a solução ótimo encontra-se
no ponto B, com a função objetivo assumindo seu valor mínimo de 24.
PONTO
A
B
C
x
y
8
4
2
0
2
6
4x
32
16
8
4y
0
8
24
função objetivo
(4x+4y)
32
24
32
Podemos também determinar a solução ótima construindo as retas derivadas da função objetivo dando
valores à expressão 4 x + 4 y, como mostra o gráfico abaixo
no gráfico foram dados os valores 40, 32 e 24, este último corresponde ao valor mínimo da função
objetivo e portanto, tangenciando o ponto B.
Repare que agora devemos mover as retas derivadas da função objetivo para a esquerda, até encontrar
o ponto extremo.
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
O PROBLEMA GERAL DA ALOCAÇÃO LINEAR
FONTE
PESQUISA OPERACIONAL
Russell L. ACKOFF
Maurice W. Sasieni
INTRODUÇÃO
Convém lembrar que o problema de alocação envolve recursos e tarefas expressos em diferentes tipos
de unidades.
Consideremos que uma fábrica produz n produtos diferentes, nas quantidades x1, x2, ..., xn, empregando
diversas combinações de m máquinas diferentes.
Cada unidade do produto j consome ai j unidades de tempo da máquina i ( j = 1, 2, ..., n;
i = 1, 2, ..., m ).
A mesma operação pode requerer mais tempo numa máquina ( por exemplo, uma máquina mais velha)
do que noutra ( mais nova).
A quantidade total de tempo disponível na máquina i é b , por período de programação.
Finalmente, o lucro com cada unidade do produto j que se vende é cj
Esta situação está representada na tabela 1.
TABELA 1
NÚMERO DE UNIDADES DE TEMPO NECESSÁRIAS PARA PRODUZIR UMA UNIDADE DE
CADA PRODUTO
PRODUTO
j=
1
MÁQUINAS
i=
LUCRO/UNIDADE
1
2
.
.
.
m
2 ...
a11
a12
a21
a22
.
.
.
.
.
.
am 1
a m2
c1
c2
NÚMERO DE HORAS
DISPONÍVEIS/PERÍODO
DE PROGRAMAÇÃO
n
...
...
.
.
.
...
a1 n
a2 n
.
.
.
am n
...
cn
b1
b2
.
.
.
bm
Este problema, como muitos problemas de distribuição , pode ser expresso como a maximização de uma
função linear sujeita a restrições expressas em desigualdades lineares.
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
EXEMPLO NUMÉRICO
Consideremos um exemplo numérico muito simples. Uma pequena fábrica produz dois tipos de peças
para automóveis. A fábrica compra unidades fundidas que são torneadas, furadas e retificadas.
Os dados relativos à produção estão na tabela 2.
TABELA 2
CAPACIDADES
Capacidade De Torneamento
Capacidade De Furação
Capacidade De Retificação
PEÇA A
25 por hora
28 por hora
35 por hora
PEÇA B
40 por hora
35 por hora
25 por hora
As unidades para o tipo A custam R$ 2 cada; para o tipo B custam R$ 3 cada.
O preço de venda é de R$ 5 e R$ 6, respectivamente.
As três máquinas têm custos operacionais de R$ 20, R$ 14 e R$ 17 por hora.
Supondo que qualquer combinação dos tipos A e B possa ser posta à venda, qual o plano de
produção que maximiza o lucro?
A primeira etapa consistirá em calcular o lucro por peça, o que está feito na tabela 3.
TABELA 3
CUSTOS E LUCRO POR PEÇA
PECA A
TORNEAMENTO
20/25 = 0,80
FURAÇÃO
14/28 = 0,50
RETIFICAÇÃO
17,50/35 = 0,50
COMPRA
2,00
CUSTO TOTAL
PREÇO DE VENDA
LUCRO
3,80
5,00
1,20
PEÇA B
20/40 = 0,50
14/35 = 0,40
17,50/25 = 0,70
3,00
4,60
6,00
1,40
Dos resultados obtidos apresentados, conclui-se que se produzirmos em média x peças do tipo A
y peças do tipo B por hora, nosso lucro líquido será
e
Z = 1,20 x + 1,40 y.
Como os valores negativos de x e y não têm sentido devemos ter
x > 0, x > 0
não podemos escolher x e y à vontade uma vez que temos de respeitar os limites de capacidade, que
nos conduzem aos seguintes resultados:
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Torneamento
x + y
25
40
< 1
Furação
x + y
28
35
< 1
Retificação
x + y
35
25
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
< 1
Eliminando os denominadores, obtemos:
Torneamento
40 x + 25 y
< 1.000
Furação
35 x + 28 y
< 980
Retificação
25 x + 35 y
< 875
Quando representamos graficamente a equação 40 x + 25 y = 1.000, obtemos uma reta que divide
o plano em duas regiões (tabela 1). Na região que contém a origem, 40 x + 25 y < 1.000; na outra
região, 40 x + 25 y > 1.000.
As duas outras desigualdades que aparecem na tabela 3, dividem o plano de modo semelhante.
Assim, se encararmos nossa decisão sobre os valores de x e y como equivalendo a escolher um
ponto no plano, vemos que o ponto deve estar no interior ou no limite da região OABC.
Como a reta 35 x + 28 y = 980 está fora desta região, a restrição relativa à capacidade de furação é
redundante.
Em outras palavras, qualquer combinação de x e y que satisfaça às restrições de torneamento e
retificação estará, automaticamente, dentro do limite da capacidade de furação.
A propriedade fundamental que nos permite resolver o problema garante que o ponto (x,y) para o qual
os lucros atingem seu valor máximo tem que coincidir com um dos vértices de OABC.
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
É muito fácil, portanto, verificar que os possíveis valores maximizantes são:
O (0,0)
A (0,25)
B (16,93, 12,90)
C (25,0)
Os lucros correspondentes são:
ZO = 0,
ZA = 35,
ZB = 38,39
ZC = 30
De modo que o melhor plano de produção é 16,93 de A por hora e 12,90 de B por hora.
Estes valores devem ser representados com taxas médias.
50
40
40 x + 25 y = 1000
30
35 x + 28 y = 980
A
20
25 x + 35 y = 875
B
10
O
10
20
C
30
40
Provavelmente poderíamos produzir a Peça A durante várias horas (ou mesmo dias) e depois produzir
a Peça B durante várias horas.
Tudo o que é preciso maxinizar os lucros é manter as quantidades produzidas na proporção de 16,93
para 12,90.
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
Programação Linear
Fonte: Pesquisa Operacional
Ermes Medeiros da Silva
Elio Medeiros da Silva
Valter Gonçalves
Afrânio Carlos Murolo
Modelo em Programação Linear
Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas de Pesquisa Operacional é a programação
linear. A simplicidade do modelo envolvido e a disponibilidade de uma técnica de solução programável
em computador facilitam sua aplicação. As aplicações mais conhecidas são feitas em sistemas
estruturados, como os de produção, finanças, controles de estoques, etc.
O modelo matemático de programação linear é composto de uma função objetivo; e de restrições
técnicas representadas por um grupo de inequações também lineares.
Exemplo: Função objetivo a ser maximizada: Lucro = 2x 1 + 3x2
TÉCNICAS
RESTRIÇÕES
4x1 + 3x2 < 10
6x1 - 3x2 > 20
x1 > 0
DE NÃO NEGATIVIDADE
x2 > 0
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são x 1 e x2
A função objetivo ou função e eficiência mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de
gerar lucro, para cada solução apresentada.
O objetivo é maximizar o lucro.
40
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
As restrições garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas impostas pelo
sistema.
As duas últimas restrições exigem a não negatividade das variáveis de decisão, o que deverá
acontecer sempre que a técnica de abordagem for a de programação linear.
A construção do modelo matemático, no caso um modelo linear, é a parte mais complicada de nosso
estudo. Não há regra fixa para esse trabalho, mas podemos sugerir um roteiro que ajuda a ordenar o
raciocínio.
Quais são as variáveis de
decisão?
Aqui o trabalho consiste em
explicitar as decisões que
devem ser tomadas e
representar as possíveis
decisões através de
variáveis chamadas
variáveis de decisão.
Se o problema é de
programação de produção,
as variáveis de decisão são
as quantidades a produzir no
período, se for um
problemas de programação
de investimento, as variáveis
vão representar as decisões
de investimento, isto é,
quanto investir em cada
oportunidade de
investimento, e em que
período.
Nas descrições sumárias de
sistemas, isso fica claro
quando lemos a questão
proposta, ou seja, a pergunta
do problema.
ROTEIRO
Qual o objetivo?
Aqui devemos identificar o
objetivo da tomada de
decisão. Eles aparecem
geralmente na forma de
maximização de lucros e
receitas, minimização de
custos, perdas, etc.
A função objetivo é a
expressão que calcula o
valor do objetivo( lucro,
perda, receita, etc.) em
função das variáveis de
decisão.
Quais as restrições?
Cada restrição imposta na
descrição do sistema deve
ser expressa como uma
relação linear ( igualdade ou
desigualdade ), montadas
com as variáveis de decisão.
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
Exemplo 1
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2.
O lucro unitário do produto P1 é de 1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1800
unidades monetárias.
A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma
unidade de P2.
O tempo anual de produção disponível para isso é de 1200 horas.
A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para
P2.
Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens?
Construa o modelo de programação linear para esse caso.
Solução:
a) quais as variáveis de decisão?
O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais as quantidades anuais que devem ser
produzidas de P1 e P2.
Portanto, as variáveis de decisão serão x1 e x 2
x1
quantidade anual a produzir de P1
x2
quantidade anual a produzir de P2
b) qual o objetivo?
O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado:
Lucro devido a P1: 1000 . x1 ( lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1)
Lucro devido a P2: 1800 . x2 ( lucro por unidade de P2 x quantidade produzida de P2)
Lucro total: L= 1000x1 + 1800x2
c) quais as restrições?
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As restrições impostas pelo sistema são:
-
disponibilidade de horas para a produção: 1200 horas.
Horas ocupadas com P1: 20x1 (uso por unidade x quantidade produzida)
Horas ocupadas com P2: 30x2 (uso por unidade x quantidade produzida)
Total em horas ocupadas na produção: 20 x1 + 30 x2
Disponibilidade: 1200 horas.
Restrição descritiva da situação: 20 x1 + 30 2 < 1200.
-
Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda)
-
Disponibilidade para P1: 40 unidades
Quantidade a produzir de P1: x1
Restrição descritiva da situação: x1 < 40
-
Disponibilidade para P2: 30 unidades.
Quantidade a produzir de P2: x2
Restrição descritiva da situação: x2 < 30
Resumo do modelo : Max L = 1000x1 + 1800x2
Sujeito a:
Restrições técnicas :
20 x1 + 30x2 < 1200
x1 < 40
x2 < 30
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Exemplo 2:
Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas.
A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia.
Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar.
Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas.
Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas.
Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de
vitaminas e proteínas com o menor custo possível?
Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades
monetárias.
Solução:
a) quais são as variáveis de decisão?
Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos que a pessoa deve consumir no dia.. as
variáveis de decisão serão, portanto:
x1
quantidade de carne a consumir no dia
x2
quantidade de ovos a consumir no dia
b) qual o objetivo?
O objetivo é minimizar o custo, que pode ser calculado:
Custo devido à carne: 3 . x1 (custo por unidade x quantidade a consumir de carne)
Custo devido aos ovos: 2,5 . x2 (custo por unidade x quantidade s consumir de ovos)
Custo total : C = 3x1 + 2,5x2
Objetivo: minimizar C = 3x1 + 2,5x2
c) quais as restrições?
As restrições impostas pelo sistema são:
-
necessidade mínima de vitamina : 32 unidades
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Luis Antonio Ccopa Ybarra
-
vitamina de carne: 4 . x1 ( quantidade por unidade x unidades de carne a consumir)
vitamina de ovos: 8 . x2 (quantidade por unidade x unidade de ovos a consumir)
total de vitaminas : 4x1 + 8 x2
necessidade mínima : 32
restrição descritiva da situação: 4x1 + 8 x2 > 32
-
necessidade mínima de proteínas: 36 unidades
proteína de carne: 6 . x1 (quantidade por unidade x quantidade de carne a consumir)
proteína de ovos : 6 . x2 ( quantidade por unidade x quantidade de ovos a consumir)
total de proteínas: 6x1 + 6x2
necessidade mínima: 36
restrição descritiva da situação: 6x1 + 6x2 > 36
Resumo do modelo: min C = 3x1 + 2,5x2
Sujeito a:
Restrições técnicas:
4x1 + 8x2 > 32
6x1 + 6x2 > 36
Restrições de não negatividade:
x1 > 0
x2 > 0
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Bibliografia:
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
 MOREIRA, D.A. Administração da produção e operações. São Paulo: Editora Pioneira Thomson,
2004. 619 p.
 LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na tomada de decisões. 2ª ed. Rio de Janeiro: Campus:
Elsevier, 2004. 384 p.
 SILVA, E.M. da; SILVA, E.M. da; GONÇALVES, V; MUROLO, A.C. Pesquisa operacional: programação
linear, simulação. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1996. 184 p.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
 PRADO, D. Programação linear: Série pesquisa operacional. São Paulo: Editora DG, 1999. (v. 1).
 RUSSEL, L.A.; SASIENI, M.W. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 1979. 523 p.