• Matemática – Matrizes
pg. 02
• Matemática – Determinantes
Planos de Manejo garantem
de alimentos em áreas de pro produção
teção
ambiental
• Física – Óptica geométrica
• Física – Refração da luz
pg. 04
pg. 06
pg. 08
• Português – Perscrutando o texto
pg. 10
os
vado n
r
e
s
b
o
o
ptic
meno ó zonas polares
ô
n
e
f
,
boreal
as a
Aurora regiões próxim
céus de
Pesquisas de alunos
da UEA contribuem
para preservação
da floresta
Melhoramento genético, preservação de
ecossistemas e recuperação de áreas
degradadas. Estes são alguns dos focos das
pesquisas desenvolvidas por alunos do curso
de Engenharia Florestal da UEA em trabalhos
de conclusão de curso. As pesquisas, ainda
que preliminares, já demonstram resultados
significativos no esforço de produzir
conhecimentos aplicáveis ao manejo e
proteção de recursos florestais e representam
uma parte da contribuição da UEA para
preservação do ecossistema da região e
melhoria das condições de vida do homem
amazônico.
É o caso da pesquisa desenvolvida por
Larissa Chevreuil. Orientada pela pelas
professoras Silvana Cristina Pando e Márcia
Bananeira Castro e Silva, a estudante
pesquisou a caracterização de proteínas de
sementes florestais da Amazônia. Com esse
trabalho, a aluna foi aprovada no Programa
de Pós-Graduação em Ciências de Florestas
Tropicais do INPA.
A avaliação de sementes, principal insumo
para produção de mudas de qualidade
usadas no reflorestamento, foi o objeto de
um outro estudo, desenvolvido pela aluna
Adriana de Araújo Bastos. O trabalho,
inserido no projeto Parkia, da Fundação de
Amparo à Pesquisa do Estado do
Amazonas (Fapeam), foi orientado pelas
professoras Ângela Maria da Silva Mendes
e Maria da Glória Gonçalves de Melo.
Desenvolvendo estudos sobre plantas jovens
de mogno (Swietena macrophylla King), o
acadêmico Adamir da Rocha Nina Júnior
buscou identificar o melhor ambiente de
plantio da espécie. A pesquisa, cujos
resultados devem viabilizar plantios por meio
da seleção de indivíduos de alta
performance produtiva e também o manejo
florestal, garantiu ao acadêmico, aprovação
em três cursos de mestrado, em algumas
das principais instituições de pesquisa do
Estado: Ufam, UEA e INPA. O trabalho foi
orientado pelos professores José Francisco
de Carvalho Gonçalves e Ananias Alves
Cruz.
A identificação de doenças em espécies
florestais da Amazônia foi o tema central do
trabalho da aluna Áurea da Silva Trindade.
Considerando a escassez de estudos sobre
doenças mais incidentes da região, ela
identificou três novas doenças foliareas em
mudas de andiroba (Carapa guianensis),
jacareúba (Calophyllum brasiliensis), ipê roxo
(Tabebuia impetiginosa) e mogno (Swietena
macrophylla). O trabalho representa o
primeiro passo para a adoção de manejo
fitossanitário em plantios e no manejo
sustentável das espécies nativas.
Matemática
Por exemplo,
Professor CLÍCIO
Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos
os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos. Por exemplo:
Matrizes
.
Matriz identidade: matriz quadrada em que
todos os elementos da diagonal principal são
iguais a 1 e os demais são nulos; é
representada por In, sendo n a ordem da matriz.
Por exemplo:
Notação geral
Costuma-se representar as matrizes por letras
maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas, acompanhadas por dois índicesz
que indicam, respectivamente, a linha e a
coluna que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada
por:
Assim, para uma matriz identidade:
In
t
Matriz transposta: matriz A obtida a partir da
matriz A trocando-se ordenadamente as linhas
por colunas ou as colunas por linhas. Por
exemplo:
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j
representam, respectivamente, a linha e a
coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na
matriz anterior, a23 é o elemento da 2.a linha e
da 3.a coluna.
Na matriz
Se
t
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A é
do tipo n x m.
Note que a 1.a linha de A corresponde à 1.a
t
coluna de A e a 2.a linha de A corresponde à 2.a
t
coluna de A .
, temos:
Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n,
Ou na matriz B = [ −1 0 2 5 ], temos: a11 = −1,
a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
t
tal que A = A . Por exemplo,
Denominações especiais
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6,
a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre aij = aji.
Algumas matrizes, por suas características,
recebem denominações especiais.
Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com
uma única linha. Por exemplo, a matriz
A =[4 7 −3 1], do tipo 1 x 4.
Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma
única coluna. Por exemplo,
Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de A
trocando-se o sinal de todos os elementos de A.
Igualdade de matrizes
, dotipo 3 x 1.
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são
iguais se, e somente se, todos os elementos
que ocupam a mesma posição são iguais:
Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja,
com o mesmo número de linhas e colunas;
dizemos que a matriz é de ordem n. Por
exemplo, a matriz
.
Por exemplo,
A=B⇔aij = bij para todo 1≤ i ≤ m e todo 1≤ j≤ n.
é do tipo 2 x 2, isto
e A = B, então
é, quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada, definimos a diagonal
principal e a diagonal secundária. A principal é
formada pelos elementos aij tais que i = j. Na
secundária, temos i + j = n + 1.
c=0eb=3
Operações envolvendo matrizes
Adição
Dadas as matrizes, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn,
chamamos de soma dessas matrizes a matriz
C = [Cij]mxn, tal que Cij = aij + bij, para todo:
Veja:
l ≤ i ≤ m e todo l ≤ j ≤ n
A+B=C
Exemplos:
Observe a matriz a seguir:
a11 = −1 é elemento da diagonal principal, pois
i=j=1
Observação: A + B existe se, e somente se, A
e B forem do mesmo tipo.
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois
i + j = n + 1 (3 + 1 = 3 + 1)
Matriz nula: matriz em que todos os elementos
são nulos; é representada por 0m x n.
Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m x
n), temos as seguintes propriedades para a
adição:
a) comutativa: A + B = B + A
2
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo
0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0
Subtração
Portanto, A . B ≠ B . A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade
comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes:
Dadas as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn,
chamamos de diferença entre essas matrizes a
soma de A com a matriz oposta de B:
A−B=A+(−B)
Observe:
Desafio
Matemático
01. Sendo A=
Dados um número real x e uma matriz A do tipo
m x n, o produto de x por A é uma matriz B do
tipo m x n obtida pela multiplicação de cada
elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
Da definição, temos que a matriz produto A . B
só existe se o número de colunas de A for igual
ao número de linhas de B:
B = x . A. Observe o seguinte exemplo:
Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e
x e y números reais quaisquer, valem as
seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b)distributiva de um número real em relação
à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição
de dois números reais: (x + y) . A = xA = yA
d)elemento neutro: xA = A, para x=1, ou seja,
A=A
A matriz produto terá o número de linhas de A
(m) e o número de colunas de B(n):
Se A3 x 2 e B2 x 5 , então (A . B)3 x 5
Se A4 x 1 e B2 x 3, então não existe o produto
Se A4 x 2 e B2 x 1, então (A . B)4 x 1
Propriedades
Verificadas as condições de existência para a
multiplicação de matrizes, valem as seguintes
propriedades:
a) associativa: (A . B). C = A .(B . C)
b) distributiva em relação à adição: A .(B + C)=
A . B + A . C ou (A + B). C = A . C + B . C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In
a matriz identidade de ordem n
Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes.
Não vale também o anulamento do produto, ou
seja: sendo 0m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n
não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou
B = 0 m x n.
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é
determinado por meio do produto dos seus
respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = (aij)mxp e
B = (bij)pxn é a matriz C = (cij)mxn em que cada
elemento cij é obtido por meio da soma dos
produtos dos elementos correspondentes da iésima linha de A pelos elementos da j-ésima
coluna B.
a)
b)
d)
e)
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se
existir uma matriz A’, de mesma ordem, tal que
A . A’ = A’ . A = In , então A’ é matriz inversa de
-1
A . representamos a matriz inversa por A .
Exemplos:
01. (FGV)Determinar a inversa da matriz
.
Solução:
1. linha e 1. coluna:
a
1.a linha e 2.a coluna:
c)
02. Se A e B são matrizes do tipo 2 x 3,
qual das seguintes operações não
pode ser efetuada?
t
a) A + B
t
d) B . A
b) A – B
e) A . B
t
t
c)(A + B) . B
03. Sabe-se que as ordens das matrizes A,
B e C são, respectivamente, 3xr, 3xs, e
2xt. Se a matriz (A – B) . C é de ordem
3x4, então r + s + t é igual a:
a) 6
d) 12
b) 8
e) 14
c) 10
04. Dadas as matrizes A=
B=
a)
b)
c)
d)
e)
e
, conclui-se que a matriz:
AB é nula
BA é não nula
2
A é nula
2
B é nula
A + B é nula
05. Multiplicando
obtemos
. O produto dos elementos a e b
Matriz inversa
Vamos multiplicar a matriz para entender como
se obtém cada Cij:
da primeira matriz é:
a) –2
d) 1
b) –1
e) 6
c) 0
06. Sejam as matrizes M=
T=
e
. Se M . T é a matriz nula 2 x 1,
então p . q é igual a:
a) –12
d) –18
2. linha e 1. coluna:
a
,calcule o
valor
de 2 A – B.
Multiplicação de um número real por uma matriz
a
e B=
a
b) –15
c) –16
07. O valor de x para o qual se tem
é:
a) –2
d) 1
2.a linha e 2.a coluna:
b) –1
e) 2
08. Se A é igual a
c) 0
, então A3 é
igual a:
Assim, observe que:
02. (PUC) Determine a matriz X na equação
T
A.(B+X) = C, sabendo- se que A, B e C são
inversíveis.
Solução:
T
-1
T
-1
A.(B + X) = C ⇒ A .A.(B + X) = A .C
2
T
-1
I .(B + X) = A .C
T
-1
(B + X) = A .C
-1
T
B + X = (A .C)
-1
T
X = (A .C) – B
3
a)
b)
d)
e)
c)
Desafio
Matemático
01. Dadas as matrizes A=
Matemática
Professor CLÍCIO
Determinantes
e B=
,
o determinante da matriz A . B é:
a) –1
b) 6
d) 12
e) 14
c) 10
02. São dadas as matrizes M1=
P9. Se todos os elementos situados de um
mesmo lado da diagonal principal de uma
matriz quadrada de ordem n, forem nulos
(matriz triangular), o determinante é igual ao
produto dos elementos da diagonal
principal.
P10.Se A é matriz quadrada de ordem n e k∈IR
n
então det(k.A) = k . det A
e
Exemplos:
1) Qual o determinante associado à matriz?
Entenderemos por determinante , como sendo
um número ou uma função, associado a uma
matriz quadrada , calculado de acordo com
regras específicas .
É importante observar , que só as matrizes
quadradas possuem determinante.
1. Regra para o cálculo de um determinante
de 2.ª ordem.
Dada a matriz quadrada de ordem 2
,
temos que:
O determinante de A será indicado por det(A) e
calculado da seguinte forma:
det (A) = 1/2 A1/2 = ad − bc
Exemplo:
Observe que a 4.ª linha da matriz é proporcional
à 1.ª linha (cada elemento da 4.ª linha é obtido
multiplicando os elementos da 1.ª linha por 3).
Portanto, pela propriedade P5, o determinante
da matriz dada é NULO.
2) Calcule o determinante:
= senx . senx − [cosx . (−cosx)]
M2 =
. Considerando-se que o
determinante da matriz M2 vale D, o
determinante de M1 valerá:
-1
a) –2D
-1
d) 1/2D
b) –2D
c) –1/2D
e) 1/2D
03. Calcule o valor de x, a fim de que o
determinante da matriz A seja nulo:
a) x = 7
b) x = 10
d) x = 15
e) x = 9
c) x = 13
Observe que a 2.ª coluna é composta por zeros;
FILA NULA POSSUI DETERMINANTE NULO ,
conforme propriedade P3 acima. Logo, D=0.
3) Calcule o determinante:
= senx . senx + cosx . cosx
Regra para o cálculo de um determinante de
3.a ordem (Regra de SARRUS).
Para o cálculo de um determinante de 3.a ordem
pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte
maneira:
1. Reescreva abaixo da 3.a linha do determinante,
a 1.a e 2.a linhas do determinante.
2. Efetue os produtos em “diagonal”, atribuindo
sinais negativos para os resultados à esquerda
e sinal positivo para os resultados à direita.
3. Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado
será o determinante associado à matriz dada.
Exemplo:
Ora, pela propriedade P9 acima, temos:
D = 2.5.9 = 90
Definições.
a) Chama-se Menor Complementar (Dij) de um
elemento aij de uma matriz quadrada A, ao
determinante que se obtém eliminando-se a
linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira
ordem (3x3) A a seguir :
04. Na matriz A, faça K = 0 e resolva a
equação matricial
de x – y – z.
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
. Dê o valor
c) 2
05. Seja a matriz A=
Principais propriedades dos determinantes
.
Sabendo-se que At = A, calcule o
determinante da matriz A – A2 + I 23,
sendo I3 a matriz identidade de ordem
3.
a) –35
d) –76
b) 67
c) 89
e) –54
2x + 2–x
2x – 2–x
06. Sendo a= ––––––– e b=–––––– , o
2
2
determinante da matriz
a:
é igual
a) 1/4
d) 1/2
b) 4
c) 1
07. Calcular x e y de sorte que:
a) x = 1, y = 3
b) x = 3, y = 2
c) x = 4, y = 4
d) x = 4, y = 3
Podemos escrever:
Portanto, o determinante procurado é o número
real positivo 8.
Da mesma forma determinaríamos D11, D12,
D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos
como exercício!
b)Cofator de um elemento aij de uma matriz :
i+j
cof (aij) = (−1 ) . Dij .
Assim, por exemplo, o cofator do elemento
a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria
igual a:
2+3
5
cof(a23) = (−1)
. D23 = (−1) . 10 = − 10.
P1. Somente as matrizes quadradas possuem
determinantes.
P2. O determinante de uma matriz e de sua
t
transposta são iguais: det(A) = det( A ).
P3. O determinante que tem todos os elementos
de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante,
qualquer LINHA ou COLUNA.
P4. Se trocarmos de posição duas filas paralelas
de um determinante, ele muda de sinal.
P5. O determinante que tem duas filas paralelas
iguais ou proporcionais, é nulo.
P6. Multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse
número.
P7. Um determinante não se altera quando se
substitui uma fila pela soma desta com uma
fila paralela, multiplicada por um número
real qualquer.
P8. Determinante da matriz inversa:
-1
det( A )= 1/det(A).
-1
-1
Se A é a matriz inversa de A , então A . A =
-1
A . A = In , onde In é a matriz identidade de
ordem n. Nestas condições , podemos afirmar
-1
que det(A.A ) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) .
-1
-1
det(A ) = 1; logo , concluímos que: det(A )
= 1/det(A).
Notas:
1. Se det(A) = 0 , não existe a matriz
inversa A–1. Dizemos então que a matriz
A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .
-1
2. Se det A ≠ 0, então a matriz inversa A
existe e é única. Dizemos então que a
Teorema de Laplace.
• determinante de uma matriz quadrada é igual à
soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos
cofatores.
• Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem.
Como já conhecemos as regras práticas para
o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de
ordem 3, só recorremos à este teorema para
o cálculo de determinantes de 4.a ordem em
diante. O uso desse teorema, possibilita
abaixar a ordem do determinante. Assim, para
o cálculo de um determinante de 4.a ordem, a
sua aplicação resultará no cálculo de quatro
determinantes de 3.a ordem. O cálculo de
determinantes de 5.a ordem, já justifica o uso
de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel
for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
• Para expandir um determinante pelo teorema
de Laplace, é mais prático escolher a fila
(linha ou coluna) que contenha mais zeros,
pois isto vai facilitar e reduzir o número de
cálculos necessários.
• Pierre Simon Laplace – (1749–1827) –
Matemático e astrônomo francês.
matriz A é INVERSÍVEL .
4
Exemplo:
Cálculo da inversa de uma matriz.
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz
-1
-1
-1
X , tal que X . X = X . X = In , onde In é a
matriz identidade de ordem n.
b)Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz
obtida substituindo-se cada elemento pelo
seu respectivo cofator.
Símbolo: cof A .
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma
matriz:
1
-1
T
A =––––– . (cofA)
detA
-1
Onde: A = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
T
(cof A) = matriz transposta da matriz dos
cofatores de A .
= 0 ⇔ (5 − 7) . (X − 7) . (x − 5) = 0
⇔ (−2) . (x − 7) . (x − 5) = 0 ⇔ x = 7 x = 5
Então, se x for igual a 5 ou a 7, o determinante
de Vandermonde acima será nulo.
Exercícios resolvidos
01. Dada uma matriz A de ordem 3, cujo determinante é igual a 2, calcule o determinante da
matriz 2A.
a) 12
d) 18
Determinante de matrizes de Vandermonde
Chama-se matriz de Vandermonde a toda
matriz quadrada de ordem n x n , ou seja,
c) 16
01. A condição para que o determinante
da matriz A=
seja diferente
Resolução:
3
Det (2A) = 2 .det A = 8. 2 = 16
de zero é:
02. O valor do determinante da matriz
é igual a:
a) a = –1 e a = 2
c) a > 0
e) a ≠ 1 e a ≠ 2
a) 2
d) 0
Resolução:
com n linhas e n colunas, da forma geral:
Observe que na matriz de Vandermonde acima,
temos:
a) a primeira linha é composta por bases do tipo
ai (i ∈ N , conjunto dos números naturais)
elevado a zero, ou seja, a1, a2, ... , an
elevadas ao expoente zero e portanto são
0
todas iguais a 1, pois a = 1 para todo a∈R,
conjunto dos números reais.
b)a segunda linha é composta por bases do
tipo ai elevado à unidade, ou seja, a1, a2, ... ,
an elevadas ao expoente um e portanto são
1
todas iguais a si próprio, pois a = a para
todo a∈R. Sendo assim, a matriz genérica
acima pode ser reescrita na forma a seguir:
Numa matriz de Vandermonde, os elementos
a1, a2, a3, ... , an são denominados elementos
característicos da matriz. Assim, por exemplo,
na matriz de Vandermonde abaixo,
b) 14
e) 20
Desafio
Matemático
b) 3
e) –1
c) 4
02. O valor de
x
–x
x
determinante da matriz
–x
é igual a:
b) 4
e) 2
é:
a) 4 (cosa + sena)
2
c) 2(cos a – sena)
2 +2
2 –2
03. Sendo a=–––––––– e b=–––––––– , o
2
2
a) 1/4
d) 1/2
b) a ≠ 1 e a ≠ –2
d) a ≠ –1 e a ≠ 2
c) 1
e) 0
03. Sejam as matrizes A=
e B=
.
A equação det (A – xB) = 0, com x∈IR,
admite:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
x
–x
x
–x
2 +2
2 +2
–x
a – b = –––––––– – –––––––– = 2
2
2
x
–x
x
–x
2 –2
2 –2
x
a + b = –––––––– – –––––––– = 2
2
2
b) 4
d) 2
uma raiz de multiplicidade 2;
uma raiz negativa;
duas raízes negativas;
uma raiz positiva e outra negativa;
uma raiz nula.
04. O valor do determinante da matriz
é igual a:
04. Quais os valores assumidos pela função
a) –4
d) 2
?
a) [0;1]
d) ]0;1[
os elementos característicos são 5, 6 e 7.
Observe que a matriz é de Vandermonde pois
na terceira linha os elementos são obtidos da
segunda linha, quadrando cada termo, ou seja:
2
2
2
25 = 5 , 36 = 6 e 49 = 7 .
Prova-se que o de uma matriz de
Vandermonde pode ser obtido multiplicandose todas as diferenças possíveis entre os
elementos característicos (ai – ak) com a
condição de que i>k. Assim, por exemplo, na
matriz M acima, o determinante será igual a :
|M| = (6 – 5).(7 – 6).(7 – 5) = 1.1.2 = 2.
b) ]0;1]
e) [0;2]
c) [0;1[
Resolução:
f(x) = senx. cosx. sen2x = (1/2).sen2x.sen2x =
2
(1/2).sen 2x
2
Como –1 ≤ sen2x ≤ 1, temos que 0 ≤ sen 2x ≤ 1
2
⇒ 0 ≤ (1/2)sen 2x ≤ 1/2 ⇒ 0 ≤ f(x) ≤ ½
05. Calcule o valor de
a) 2
d) 5
Resolução:
Veja mais um exemplo:
Calcule o determinante de Vandermonde abaixo:
Ora, como os elementos característicos são 5,
3, 2 e 4, o determinante será igual a:
|D| = (3 – 5).(2 – 5).(2 – 3).(4 – 5).(4 – 3).(4 – 2)
= (–2).(–3).(–1).(–1).1.2 = 12
.
b) 3
e) 6
c) 4
a) –1
d) 2
Resolução:
Nota: como o determinante de Vandermonde é
obtido multiplicando-se todas as diferenças possíveis (ai – ak) entre os elementos característicos,
com a condição que i > k, podemos concluir
que se pelo menos dois dos elementos característicos forem iguais entre si, o determinante
será nulo, pois aparecerá um zero no produto.
b) 1
e) –2
c) 0
, já que a terceira
coluna é igual à soma das colunas 1 e 2.
5
c) –1
05. Considere as matrizes A=
B=
e C=
,
.
Sabe-se que B = C, o determinante da
matriz A será:
a) 42
b) 21
c) 24
d) 12
e) 15
06. Se A=
e M = At + A–1, então
o determinante
da matriz M é igual a:
a) –89
d) –1
06. O determinante da matriz
é igual a:
Claro que este método de cálculo de, aplica-se
somente a matrizes de Vandermonde.
b) –3
e) 3
b) –39
e) 39
c) 0
07. Se A é uma matriz quadrada de ordem
n, de elementos reais, λ é um número
real e I, a matriz identidade de ordem n,
chama-se “valor próprio” de A a uma
raiz da equação det(A –λ. I) = 0, em
que “det” significa determinante.
Dessa forma, a soma dos valores
próprios da matriz A, abaixo é:
a) 4
d) 6
b) 2
e) –4
c) 0
Desafio
Físico
01. Três raios luminosos, A, B e C, incidem
num espelho plano. O raio A incide
perpendicularmente ao espelho; B incide
formando 80° com o seu raio refletido; C
incide formando 30° com o espelho. Os
ângulos de incidência são,
respectivamente:
a) 0°, 40° e 60°
c) 40°, 60° e 0°
e) 30°, 90° e 60°
b) 60°, 40° e 0°
d) 90°, 60° e 30°
02. Uma pessoa olha-se em um espelho
esférico e vê que sua imagem, virtual,
aparece ampliada e direita. Quanto ao
tipo de espelho e à posição da pessoa
em relação ao espelho:
a)
b)
c)
d)
convexo; defronte o espelho;
côncavo; entre o foco e o vértice;
côncavo; sobre o foco;
côncavo; entre o foco e o centro de
curvatura;
e) côncavo; sobre o centro de curvatura.
03. (UECE) Quando um homem se aproxima
diretamente de um espelho plano, com
velocidade de 1,2m/s, ele:
a) afasta-se de sua imagem com velocidade
de 1,2m/s;
b) aproxima-se de sua imagem com
velocidade de 1,2m/s;
c) aproxima-se de sua imagem com
velocidade de 2,4m/s;
d) mantém uma distância constante de sua
imagem.
Física
Aplicação
Professor CARLOS Jennings
Que altura deve ter um espelho plano para que
uma pessoa possa ver-se por inteiro quando
olha para o espelho colocado verticalmente
diante dela?
Solução:
Óptica geométrica
Estuda as leis que descrevem o comportamento
geométrico da luz nos fenômenos ópticos.
Reflexão da luz – Fenômeno óptico que ocorre
quando a luz, ao incidir em uma superfície que
separa dois meios, volta ao meio original.
a) Reflexão difusa – Efetua-se em todas as
direções, como a reflexão produzida por
todos os corpos que não apresentam uma
superfície polida como um espelho (esta
página que você está lendo, por exemplo).
b) Reflexão especular – Ocorre quando um
feixe incide numa superfície polida e volta
regularmente para o meio original; por
exemplo, se o feixe incidente é paralelo, o
refletido também é paralelo. A reflexão
especular permite a formação de imagens.
AS LEIS DA REFLEXÃO
1.a O raio incidente, a normal à superfície
refletora no ponto de incidência e o raio
refletido pertencem a um mesmo plano.
2.a O ângulo de incidência é igual ao ângulo de
reflexão.
Como d1 = d2, os triângulos OAB e OCD são
semelhantes. Então, seus lados são
proporcionais às suas alturas:
AB
d1(altura OAB)
––– = ––––––––––––––––––––
CD
d1+d2(altura de OCD)
h
x
d1
––=–––– ∴ x=––
2
h
2d1
O espelho deve ter a metade da altura da pessoa.
ESPELHO ESFÉRICO
Qualquer superfície lisa, de formato esférico,
que reflete especularmente a luz.
Elementos de um espelho esférico
ESPELHO PLANO
Qualquer superfície lisa e plana que reflita
especularmente a luz.
C = centro de curvatura do espelho;
V = vértice do espelho;
CV = raio de curvatura;
EP = eixo principal;
ES = eixo secundário;
α = abertura do espelho (obedeceremos às
condições de Gauss: espelhos com abertura
menor que 10° e raios incidentes próximos ao
eixo principal).
Foco imagem de um espelho esférico – É o
ponto de encontro dos raios refletidos ou de
seus prolongamentos.
04. Sobre a imagem formada em um
espelho plano:
I) É real.
II) É virtual.
III) Tem o mesmo tamanho do objeto.
IV)É menor que o objeto.
V) É invertida.
VI)Não é superponível ao objeto.
São falsas:
a) II e V
d) I, IV e V
Figura 2 – Imagem conjugada por espelho plano.
Características da imagem em um espelho
plano:
a) Imagem virtual – Forma-se atrás do espelho,
na interseção dos prolongamentos dos raios
refletidos.
b) IV, V e VI
c) II e IV
e) II, III, IV e VI
05. Um raio de luz monocromática propagando-se no ar (meio 1) incide na
superfície plana e polida de um bloco de
vidro (meio 2), como mostra a figura.
b) Imagem de um objeto extenso – Tem o
mesmo tamanho do objeto e é simétrica dele
em relação ao espelho: invertem-se os lados
esquerdo e direito. A distância da imagem ao
espelho é igual à distância do objeto ao
espelho.
a) O foco do espelho côncavo é real (espelho
convergente); do convexo, virtual (espelho
divergente);
b) A distância entre o foco e o vértice do espelho
é chamada distância focal (f) – nos espelhos
de Gauss, consideramos f = R/2, onde R é o
raio de curvatura.
Raios fundamentais:
1. Todo raio paralelo ao eixo principal de um
espelho esférico reflete-se passando pelo foco.
2. Todo raio que passa pelo centro de curvatura
reflete-se sobre si mesmo.
3. Todo raio que passa pelo foco reflete-se
paralelamente ao eixo principal.
Dados: n1= 1,00; n2= 1,41≅
;c= 3,0
.108m/s; θ1=45°
a) Calcule o ângulo de refração.
b) Calcule o desvio ∆ do raio incidente
ao refrata-se.
c) Calcule a velocidade da luz refratada
6
real é sempre virtual, direita e menor que o
objeto.
4. Todo raio que atinge o vértice, formando certo
ângulo com o eixo principal, reflete-se
formando ângulo igual.
Equação dos espelhos esféricos (Equação de
Gauss)
1
1
1
–– = ––– + –––
f
di
do
Equação da ampliação (A)
Hi
di
––– = –––
Ho
do
Nas equações acima:
f = distância focal (positiva para espelho
côncavo; negativa para convexo);
di = distância da imagem ao vértice (positiva
para imagem real; negativa para virtual);
Hi = altura da imagem (positiva para imagem
direita; negativa para invertida).
do = distância do objeto ao vértice;
Ho = altura do objeto.
Imagem de um objeto extenso
1.° caso – espelho côncavo; objeto colocado
além de C:
Aplicações
Imagem: real, invertida e menor que o objeto.
2.° caso – espelho côncavo; objeto colocado
sobre C:
01. Um objeto de 4cm é colocado verticalmente
sobre o eixo principal de um espelho côncavo, a
60cm do vértice. O raio do espelho mede 40cm.
Calcule a natureza e a posição da imagem
fornecida pelo espelho.
Solução:
a) Pela Equação de Gauss:
Ho = 4cm; do = 60cm; f = R/2 = 40/2 = 20cm
1
1
1
–– = ––– + –––
di
f
do
Imagem: real, invertida e do mesmo tamanho do
objeto.
3.° caso – espelho côncavo; objeto colocado
entre F e C:
1
1
1
1
1
1
––– = ––– + ––– ∴ –– = ––– – –––
20
60
di
di
20
60
1
2
––– = ––– ∴di =30cm
60
di
Como di é positiva, a imagem é real.
b) Para determinar o tamanho da imagem,
aplicamos a expressão da ampliação:
di
Hi
30
Hi
––– = – ––– ∴ ––– = – ––– ∴ Hi=–2cm
do
4
60
Ho
Imagem: real, invertida e maior que o objeto.
4.° caso – espelho côncavo; objeto colocado
sobre F:
O resultado mostra que a imagem é menor
que o objeto e invertida em relação a ele (Hi
negativa).
02. Um objeto de 4cm é colocado verticalmente
sobre o eixo principal de um espelho convexo
com raio de curvatura de 20cm. A distância
objeto é de 20cm. Determine as características
da imagem.
Neste caso, não haverá formação de imagem
(imagem imprópria).
5.° caso – espelho côncavo; objeto colocado
entre V e F:
Solução:
a) Equação de Gauss:
Ho = 4cm; f = –10cm (espelho convexo);
do = 20cm
1
1
1
–– = ––– + –––
di
f
do
1
1
1
1
1
1
–––– = ––– + ––– ∴ –– = ––– – –––
di
10
20
–10
20
di
Imagem: virtual, direita e maior.
6.° caso – espelho convexo:
1
–2–1
––– = ––––– ∴di =–6,6cm
20
di
Como di é negativa, a imagem é virtual.
b)Usando a ampliação:
Hi
di
Hi
(–6,6)
––– = – ––– ∴ ––– = – ––––– ∴ Hi=1,3cm
do
4
20
Ho
O resultado mostra que a imagem é menor
que o objeto e direita (Hi positiva).
No espelho convexo, a imagem de um objeto
7
Desafio
Físico
01. Uma pessoa, de 1,70m de altura,
posta-se diante de um espelho plano
colocado a 1,5m dela. A altura da
imagem e a distância que separa a
pessoa de sua própria imagem são:
(1,60m; 3,0m)
a) 85cm e 3m
b) 1,70m e 3m
c) 1,70m e 75cm
d) 1,70m e 1,70m
e) 3m e 1,5m
02. Analise as sentenças abaixo,
indicando as falsas e as verdadeiras:
I) Toda imagem real é sempre
invertida em relação ao objeto.
II) Toda imagem virtual é sempre
direita em relação ao objeto.
III) Um espelho que produz uma
imagem virtual e menor que o
objeto é, certamente, côncavo.
IV)Os espelhos convexos só podem
produzir, de objetos reais, imagens
virtuais.
V) Um espelho esférico produz uma
imagem real, invertida e maior que
o objeto. Podemos afirmar que o
objeto está entre o foco e o raio de
curvatura.
a) Todas são verdadeiras.
b) Todas são falsas.
c) Apenas a III é falsa.
d) I, II e III são falsas.
e) Apenas V é verdadeira.
03. (Unifor–CE) Um espelho esférico tem
raio de curvatura 40cm. Um raio
luminoso, paralelo ao eixo principal,
incide próximo ao vértice e sofre
reflexão passando por um ponto P do
eixo principal. A distância de P ao
espelho vale, em cm:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 80
04. (UFMT) A um objeto colocado a 90cm
de um espelho esférico de pequena
abertura corresponde uma imagem
que é real e situada a 60cm do
espelho. Baseado nesses dados,
deduza a distância focal, em cm, e
reconheça a natureza do espelho.
(36cm; côncavo)
a) 50, convexo;
b) 45, convexo;
c) 40, côncavo;
d) 30, côncavo;
e) 36, côncavo.
Desafio
Físico
DEFEITOS DA VISÃO HUMANA
O olho emetrope (normal) é praticamente
esférico. Os meios transparentes (córnea, humor
aquoso, cristalino e humor vítreo) funcionam
como um sistema de lentes que refratam a luz,
permitindo a formação de imagens nítidas
exatamente sobre a retina, que é um
prolongamento do nervo ótico.
Miopia
Física
Professor CARLOS Jennings
Refração da luz
A correção dessa anomalia é feita com o auxílio
de uma lente divergente para compensar a
excessiva convergência do cristalino, permitindo
que se forme a imagem sobre a retina.
Reflexão total – Se um raio de luz incidir na
superfície de separação de dois meios com
ângulo maior que o ângulo-limite, a superfície
reflete o raio incidente. Na figura acima, o raio
OD é totalmente refletido.
Arapuca
Determine o ângulo-limite para a água, cujo
índice de refração é 4/3.
Solução:
Neste caso, comparamos a água com o ar
(nar =1), aplicando a Lei de Snell-Descartes
(lembre-se de que o ângulo de refração é 90o):
n1. sen i = n2 .sen r
nágua . sen L = nar . sen 90° ∴ 4/3 . sen L = 1,1
sen L = 3/4 ∴ sen L = 0,5 ∴ L ≅ 50°
Dióptro plano – Um conjunto de dois meios
separados por uma superfície plana (água e ar,
por exemplo) é chamado dióptro plano.
Profundidade aparente - Dado um dióptro (arágua), um observador no ar e um ponto objeto
P na água, verifica-se que a luz, saindo da água,
afasta-se da normal. O observador, em vez de
enxergar o ponto objeto P, verá a imagem P’.
Aplicação
normal. Em conseqüência disso, a imagem de
antes da retina, perdendo nitidez.
Figura 2
A velocidade de um raio luminoso muda quando
ele passa de um meio para outro, sofrendo, em
conseqüência, um desvio na sua direção de
propagação. A esse fenômeno dá-se o nome de
refração da luz.
Índice de refração – Caracteriza, do ponto de
vista óptico, um meio transparente e
homogêneo. A velocidade da luz em cada meio
está associada ao índice de refração absoluto:
c
n = –––
v
Na expressão acima, c é a velocidade da luz no
vácuo (≅ 300.000km/s), e v é a velocidade da
luz em dado meio.
O índice de refração é também chamado de
refringência. Diz-se que mais refringente é o
meio com maior índice de refração; menos
refringente, o meio com menor índice de
refração.
O olho míope é mais alongado que o olho
um objeto situado a longa distância forma-se
raio OC é o ângulo-limite porque o correspondente ângulo de refração é 90°.
(UFCE) O índice de refração da água é 4/3 e o
do vidro é 3/2. Qual é a razão entre a velocidade
da luz na água e no vidro?
Solução:
C
C
C
C
na = ––– ∴ va = ––– e nv = ––– ∴ vv = –––
va
na
vv
nv
va
nv
3/2
va
9
–––
= –––
= –––– ∴ –––
= –––
na
4/3
vv
8
vv
Lei de Snell-Descartes
Ao incidir na superfície de separação (dióptro
plano) dos meios 1 e 2, parte do feixe de luz é
refletida e parte é refratada.
Quando os raios incidem praticamente na vertical,
di
n2
é válida a proporção: –––
= ––––
, em que y' é
do
n1
a profundidade aparente; y é a profundidade
real; n2 é o índice de refração do meio onde
está o observador; n1 é o índice de refração do
meio onde está o objeto.
Exemplo:
No fundo de um copo de 12cm de altura,
completamente cheio de água, há uma moeda.
A que altura um menino, que observa a moeda
numa direção aproximadamente perpendicular,
vai vê-la? Dados: nágua = 4/3; nar = 1.
Solução:
y’ = –––––
nar
y’
1
–––
y
nágua ∴ –––
12 = –––––
4/3 ∴ y= 9cm
A imagem da moeda é virtual e, embora muitos
digam que não, ela tem o mesmo tamanho da
moeda propriamente dita.
Lentes esféricas
As aplicações mais importantes dos dióptros, na
vida cotidiana, estão nas lentes.
De modo simples, lente é um corpo
transparente, delimitado por duas faces, das
quais uma, pelo menos, é curva. Então, uma
lente esférica pode ser considerada como a
interseção de duas esferas.
Elementos geométricos de uma lente
• C1 e C2 = centros de curvatura das faces.
• r1 e r2 = raios de curvatura das faces.
• Eixo principal = reta que contém C1 e C2.
• e = espessura da lente.
Classificação das lentes delgadas – A denominação das lentes de bordas finas termina
sempre com a palavra convexa; das de bordas
grossas, com a palavra côncava.
Hipermetropia
É o inverso da miopia. Neste caso, o olho é
menos alongado que o normal e,
conseqüentemente, a imagem forma-se depois
da retina, perdendo a nitidez.
Figura 1
Presbiopia ou “vista cansada”
É um defeito comum em pessoas idosas e
ocorre por falta de acomodação do cristalino.
Com o passar do tempo, tanto o cristalino
quanto os músculos ciliares perdem sua
elasticidade, dificultando ainda mais a
acomodação visual, ou seja, aumentando a
distância mínima de visão nítida. A correção da
presbiopia é feita com o emprego de uma lente
convergente, que soma sua convergência à do
cristalino, permitindo uma visão perfeita de
objetos próximos.
Astigmatismo
Normalmente, esse defeito é provocado pela
falta de esfericidade da córnea. Por isso, é
corrigido com o auxílio de lentes cilíndricas.
As pessoas astigmatas vêem os objetos sem
nitidez, como se estivessem superpostos, com
pequena sombra lateral.
O produto do seno do ângulo de incidência pelo
valor do índice de refração do meio onde se
propaga o raio incidente (n1) é igual ao produto
do seno do ângulo de refração pelo índice de
refração do meio onde se propaga o raio
refratado (n2).
n1 . sen i = n2 . sen r
Importante:
1. Passando a luz de um meio menos
refringente para outro mais refringente, o raio
refratado aproxima-se da normal.
2. Passando a luz de um meio mais refringente
para outro menos refringente, o raio sofre um
desvio afastando-se da normal.
Aplicação
Um raio de luz propaga-se no ar (nar = 1,0) e
incide em uma placa de vidro (nvidro = 1,4),
sofrendo refração. O ângulo de incidência é 45°.
Calcule o ângulo de refração.
Solução:
n1. sen i = n2 .sen r
1. sen 45° = 1,4 . sen r ∴ 0,7 = 1,4.sen r
sen r = 0,5 ∴ r = 30°
Ângulo-limite (L) – É o ângulo de incidência que
corresponde a um ângulo de refração de 90°.
Sendo o meio 1 mais refringente que o meio 2,
ao passar de 1 para 2, um raio luminoso sofre
um desvio, afastando-se da normal. À medida
que o ângulo de incidência cresce, o de refração
também cresce, mas numa proporção maior.
No esquema abaixo, o ângulo de incidência do
Figura 4
8
Desafio
Físico
Agora, faça você: desloque o objeto AB para
uma posição entre o foco e a lente, e obtenha a
imagem A’B’ (ela será virtual, direita e maior que
o objeto).
Exemplo 2 – Considere o objeto AB diante de
uma lente divergente como na figura. Como
será a imagem dele?
Para simplificar, convencionou-se representar as
lentes pelos símbolos:
Lentes convergentes e divergentes – Os raios
luminosos que incidem numa lente podem ser
desviados, convergindo para o eixo principal ou
divergindo dele. Isso depende da forma das
lentes e do índice de refração do meio onde
elas se encontram:
1. Se o índice de refração da lente for maior que
o do meio em que ela está: as de bordas
finas são convergentes; as de bordas
grossas, divergentes.
2. Se o índice de refração da lente for menor
que o do meio em que ela está: as de bordas
finas são divergentes; as de bordas grossas,
convergentes.
Foco principal objeto – Refere-se à luz
incidente. Quando raios luminosos incidem
numa direção que contém o foco objeto,
emergem paralelos ao eixo principal:
Foco principal imagem – Refere-se à luz
emergente. Quando raios luminosos incidem
paralelos ao eixo principal, emergem numa
direção que contém o foco imagem:
Neste caso, observe que os raios refratados não
se cruzam. Seus prolongamentos cortam-se no
ponto A’, onde o observador verá a imagem A’B’
virtual, direita e menor que o objeto. Numa lente
divergente, a imagem terá sempre essas
características.
Equação de Gauss para lentes esféricas
1
1
1
––– = –––– + ––––
f
di
do
Equação da ampliação (A)
Hi
di
––––
= – ––––
Ho
do
Nas equações acima:
f = distância focal (positiva para lentes
convergentes; negativa para divergentes); di =
distância imagem (positiva para imagem real,
negativa para virtual); Hi = altura da imagem
(positiva para imagem direita; negativa para
invertida); do = distância do objeto ao vértice;
Ho = altura do objeto.
Construção de imagens – De modo
semelhante aos espelhos (veja a aula anterior),
as lentes também formam imagens reais ou
virtuais de objetos que são colocados diante
delas. Usaremos, também aqui, os raios
principais que permitem encontrar a posição da
imagem de um ponto.
1.° – Um raio luminoso que incide paralelamente
ao eixo de uma lente convergente refrata-se
passando pelo 1.° foco.
Aplicações
01. Um objeto de 6cm é colocado diante de
uma lente convergente, com distância focal de
20cm, a 60cm do centro óptico da lente.
Determine a natureza e a posição da imagem.
Um raio luminoso que incide paralelamente ao
eixo de uma lente divergente refrata-se de
modo que o seu prolongamento passa pelo 1.°
foco.
2.°– Um raio luminoso que incide em uma lente
convergente e cuja direção passa pelo 2.° foco,
refrata-se paralelamente ao eixo da lente.
Um raio luminoso que incide em uma lente
divergente, de modo que o seu prolongamento
passe pelo 2.° foco, refrata-se paralelamente ao
eixo da lente.
Solução:
a) Ho = 6cm; do = 60cm; f = 20cm
1
1
1
1
1
1
–– = ––– + ––– ∴ –––– = ––– + –––
f
do
di
20
60
di
1
1
1
3–1
––– = ––– – –––– = ––––– ∴di =30cm
di
20
60
60
b) Pela ampliação:
Hi
di
H
30
––––
= – ––––
∴ –––i = – ––– ∴ Hi =–3cm
Ho
do
6
60
Os resultados mostram que a imagem é real,
invertida e colocada a 30cm do centro óptico da
lente.
02. Um objeto de 4cm é colocado diante de
uma lente divergente, com distância focal de
20cm, a 40cm do centro óptico da lente.
Determine a natureza e a posição da imagem.
Exemplo 1 – O objeto AB da figura encontra-se
em frente a uma lente convergente, cujos focos
estão localizados em F1 e F2. A distância do
objeto à lente é maior do que o dobro de sua
distância focal. Localizar a imagem do objeto.
Solução:
a) Ho = 4cm; do = 40cm; f = –20cm
1
1
1
1
1
1
–– = ––– + ––– ∴ –––– = ––– + –––
f
do
di
–20
40
di
1
1
1
–2–1
40
––– = ––– – –––– = ––––– ∴di =– ––– cm
di
–20
40
40
3
b) Pela ampliação:
Hi
di
H
–40/3
––––
= – ––––
∴ –––i = – –––––– ∴ Hi =4/3cm
Ho
do
4
40
A imagem é direita e colocada a 4/3cm à
esquerda da lente (virtual).
Traçamos, a partir do ponto A, os dois raios
principais. Os raios refratados encontram-se em
A’, onde se forma a imagem A’B’ real, invertida e
menor que o objeto.
9
01. (PUC-SP) Que tipo de imagem uma
lente divergente conjuga de um objeto
real?
a) real e maior que o objeto;
b) virtual e invertida;
c) real e direita;
d) real e invertida;
e) virtual e direita.
02. (UCP) Numa lente divergente de
distância focal 30cm, tem-se um objeto
real situado a 30cm da lente. A imagem
será:
a) virtual a 15cm da lente;
b) real a 15cm da lente;
c) real ou virtual situada no infinito;
d) virtual a 40cm da lente;
e) n.d.a.
03. O índice de refração do diamante é 2,5.
A velocidade da luz no diamante é, em
km/s:
a) 25.000
c) 120.000
b) 250.000
d) 10.000
e) n.d.a.
04. (Fac. Med. U.M.G.) A luz ao passar de
um meio de menor índice de refração
para outro de maior índice de refração
tem:
a)
b)
c)
d)
o comprimento de onda aumentado;
a velocidade aumentada;
a velocidade diminuída;
a velocidade da luz não se altera, pois é
constante universal;
e) n.d.a.
05. (ABC) Pessoas míopes possuem o
globo ocular longo. Para corrigir esse
defeito da visão usam-se:
a) lentes convergentes;
b) lentes cilíndricas;
c) lentes divergentes;
d) prismas especiais;
e) n.d.a.
06. (FEI) A reflexão total somente ocorre ao
passar a luz:
a) de um meio
refringente;
b) de um meio
refringente;
c) de um meio
absorvente;
d) de um meio
absorvente;
e) n.d.a.
mais para outro menos
menos para outro mais
mais para outro menos
menos para outro mais
07. (AMAN) Um raio luminoso incide com
um ângulo de incidência de 30° e
refrata-se formando um ângulo de 60°
com a normal. O índice de refração do
meio que contém o raio refratado em
relação ao meio que contém o raio
incidente é:
a) 1
c)
b)
d)
e)
Desafio
gramatical
01. (FGV) Quase todos os verbos derivados conjugam-se por seus primitivos.
Assim, expor e obter, por exemplo,
conjugam-se pelos verbos pôr e ter
respectivamente. Assinale a alternativa
em que há ERRO na conjugação do
verbo derivado em destaque:
a) Devemos agir com rigor sempre que
prevermos a má intenção do palestrante.
b) Não aceitarei as críticas, provenham
elas de onde provierem.
c) O diplomata brasileiro interveio na palestra do economista americano.
d) Creio que os brasileiros já reouveram
o tempo perdido.
e) Se o palestrante mantivesse a necessária prudência, não ouviria os protestos que ouviu.
02. Escolha a alternativa em que as palavras são graficamente acentuadas em
função da mesma regra.
a)
b)
c)
d)
e)
balneário e autógrafo
você e atrás
saía e Amazônia
íamos e pôster
armário e nós
03. Escolha a alternativa em que se
ERRA na análise fonética:
a) Lembro: dígrafo e encontro consonantal.
b) Inteira: dígrafo e ditongo decrescente
oral.
c) Nenhum: dois dígrafos.
d) Ainda: hiato e dígrafo.
e) Gente: encontro consonantal.
04. Escolha a construção que respeita a
norma culta da língua escrita.
a) Geisislaine, faça uma surpresa: mande
um fardo de farinha para o teu amor.
b) Geisislaine, faz uma surpresa: manda
um fardo de farinha para o seu amor.
c) Geisislaine, faze uma surpresa: manda
um fardo de farinha para o teu amor.
d) Geisislaine, faze uma surpresa: manda
um fardo de farinha para o seu amor.
e) Geisislaine, faz uma surpresa: mande
um fardo de farinha para o teu amor.
05. Escolha a construção que respeita a
norma culta da língua escrita.
a) Não te esqueças do cordão de prata
que te dei.
b) Não esqueças do cordão de prata.
c) Não te esqueces do cordão de prata.
d) O cordão de prata: esquece dele.
e) O cordão de prata: esqueça-te dele.
Português
c) Oh, Geisislaine, manda uma carta por favor!
Aproveite e manda um fardo de farinha
Oh, Geisislaine, mande uma carta por favor!
Aproveita e mande um fardo de farinha
d) Me impressionava o seu cabelo bicolor
Impressionava-me o seu cabelo bicolor
e) Ao som de Fernando Mendes a gente
acasalava
Ao som de Fernando Mendes, nós nos
acasalávamos.
Professor João BATISTA Gomes
Texto
Geisislaine
Nicolas Júnior
Eu lembro aquela manhã de domingo
Você lá na laje tomando banho de
[mangueira
Nós se olhemo e logo se apaixonemo
E nós juremo quera amor pra vida inteira
Domingo à tarde eu calçava meu all star
Minha calça social e a camisa de tergal
Você de shortinho de lycra alaranjado
E uma blusa social com a foto do Magal
02. Observe o trecho seguinte:
E o cordão grosso de prata
Que lhe dei de aniversário
Ela esqueceu lá na gaveta do armário
Em relação a ele, a única afirmação INCORRETA é que:
a) a inclusão do pronome átono o depois
de ela não agride a norma culta da língua;
b) o pronome átono que aparece no trecho
tem função de objeto indireto.
c) a inclusão da contração dele depois de
esqueceu não agride a norma culta da
língua;
d) a partícula que tem função sintática e
função morfológica;
e) o trecho contém oração subordinada
adjetiva.
E na cabeça uma fita verde e branca
Que nós ganhemo de lembrança
Da Amazônia Celular
E na cintura uma carteira de derby
Um corote na pochete e saía a passear
Primeiramente o Balneário da Dengosa,
Em seguida a Ponta Negra, depois praça
[do DB
À noite íamos pro boteco
Tomar Cerpa e jogar bilhar
Virava a noite nos bregas, lá na Grande
[Circular
03. Observe o trecho seguinte:
Eu lembro aquela manhã de domingo
Você lá na laje tomando banho de
[mangueira
Nós se olhemo e logo se apaixonemo
E nós juremo quera amor pra vida inteira
Oh, Geisislaine, Geisislaine meu amor!
Por que você pegou aquele barco
Não deixou nenhum recado
E se mandou pro interior
Em relação a ele, assinale a afirmação INCORRETA.
Oh, Geisislaine, manda uma carta por favor!
Aproveite e manda um fardo de farinha
E a cassete da Calypson
Que você me apresentou
a) O primeiro verso admite a seguinte construção, sem agressão à norma culta da
língua: “Eu me lembro daquela manhã
de domingo”.
b) Pode-se isolar a expressão “lá na laje”
por vírgulas, sem prejuízo gramatical.
c) Na construção “tomando banho de mangueira” há metonímia.
d) A contração de “que era” para “quera”
pode ser chamada de composição por
aglutinação.
e) A transformação de “E nós juremo quera
amor pra vida inteira” para “E nós juramos que era amor para toda vida” corrige todas as falhas gramaticais.
Me impressionava o seu cabelo bicolor
Ao som de Fernando Mendes a gente
[acasalava
Sonhava em ter um Fusca, totalmente
[incrementado
Atrás escrito TURBO
E um terço no retrovisor
E o cordão grosso de prata
Que lhe dei de aniversário
Ela esqueceu lá na gaveta do armário
Ficou ainda o tururi do Carnaboi
O autógrafo do Nunes
E um pingüim de geladeira
A camisa do Rio Negro
E um pôster do Arlindo
E a foto que ela tirou
Com um ex-vereador
04. Observe o trecho seguinte:
À noite íamos pro boteco
Tomar Cerpa e jogar bilhar
Em relação a ele, assinale a afirmação INCORRETA.
a) Há orações subordinadas coordenadas
entre si.
b) Mudando-se a construção “À noite
íamos pro boteco” para “À noite, íamos
no boteco” fez-se total adaptação para a
norma culta da língua.
c) O vocábulo boteco é forma reduzida de
botequim.
d) Entre os dois versos, há idéia de finalidade.
e) Na construção “Toma cerpa” há metonímia.
Perscrutando o texto
01. Aparecem, no texto, algumas construções típicas da linguagem coloquial.
Assinale a alternativa em que a
mudança para a norma culta da língua
foi feita com ERRO gramatical.
a) Nós se olhemo e logo se apaixonemo
Nós nos olhamos e logo nos apaixonamos.
b) E nós juremo quera amor pra vida inteira
E nós juramos que era amor para a vida
inteira.
05. Assinale a alternativa em que, reescrevendo versos do texto, a norma culta
10
da língua foi totalmente respeitada.
a) Primeiramente, o balneário da Dengosa;
em seguida, o da Ponta Negra; depois,
a praça do DB.
b) Oh, Geisislaine, Geisislaine meu amor!
Porque você pegou aquele barco?
c) Você não deixou nenhum recado por
que?
d) Quero saber o porque de você se mandar
para o interior.
e) O seu cabelo bi-color impressionava-me.
Caiu no vestibular
12. (FGV) Das sentenças abaixo, aquela
em que se usou ERRADAMENTE um
dos homônimos entre parênteses é:
a) Após o censo de 2000, o IBGE publicou
Brasil em Números, que contém informações muito úteis aos pesquisadores.
(censo / senso)
b) O complexo de inferioridade não diz respeito apenas ao estrato mais pobre da
população brasileira. (estrato / extrato)
c) Foi necessária a interseção do embaixador para que o palestrante parasse de
falar asneiras sobre o Brasil. (interseção
/ intercessão)
d) O embaixador tachou o comentarista internacional de ignorante. (tachar / taxar)
e) Ninguém gosta de ver o nome de seu
país inserto no rol das nações
subdesenvolvidas. (inserto / incerto)
06. O vocábulo Carnaboi é resultado da
fusão de carnaval e boi (composição
por aglutinação). Escolha a alternativa
em que a formação da palavra dá-se
por processo idêntico.
a)
b)
c)
d)
e)
Alaranjado.
Bicolor
Acasalava
Autógrafo
Embora
07. Na seqüência seguinte, só NÃO há:
Domingo à tarde eu calçava meu all star
Minha calça social e a camisa de tergal
a)
b)
c)
d)
e)
Arapuca
metonímia;
elipse;
verbo transitivo direto;
adjunto adverbial;
complemento nominal.
13. A paroxítona pôster, usada nos
últimos versos do poema de Nicolas
Júnior, torna-se proparoxítona no
plural: pôsteres. Escolha a alternativa
em que o plural da paroxítona
contraria essa lógica.
08. Observe o verso:
“E na cabeça uma fita verde e branca”
a)
b)
c)
d)
e)
Escolha a alternativa em que o adjetivo para
dar cor a fita contraria a norma culta da língua.
a)
b)
c)
d)
e)
Havia
Havia
Havia
Havia
Havia
na
na
na
na
na
cabeça
cabeça
cabeça
cabeça
cabeça
fitas
fitas
fitas
fitas
fitas
esverdeadas.
verdes.
verde-claras.
verde-musgos.
verde-escuras.
Momento semântico
Semântica de palavras envolvendo as
letras E e I.
09. Observe o verso:
“Me impressionava o seu cabelo bicolor”
Escolha a alternativa em que o vocábulo
formado a partir do prefixo bi- apresente
grafia incorreta.
a)
b)
c)
d)
e)
Bi-campeão
Birreator
Bianual
Birrepetente
Bissexual
10. Aponte o erro quanto à indicação do
processo de formação da palavra.
a)
b)
c)
d)
e)
Alaranjado: derivação prefixal e sufixal.
Mangueira: derivação sufixal.
Foto: derivação regressiva.
Retrovisor: derivação prefixal.
Acasalar: derivação parassintética.
11. Observe o verso seguinte:
“Ficou ainda o tururi do Carnaboi”
Escolha a alternativa em que a oxítona terminada em i – a exemplo de tururi – não
mereça acento gráfico.
a)
b)
c)
d)
e)
Hambúrguer
Gêiser
Vômer
Caráter
Suéter
Urubui
Distrai-la
Atrai-la
Impedi-la
Conclui-lo
11
Algoso (ô)
Algozo
da natureza das algas.
forma do verbo algozar.
Alisar
Alizar
tornar liso; acariciar.
peça para arremate.
Alvarás
Alvaraz
plural de alvará: licença.
manchas brancas na pele.
Asado
Azado
Asar
Azar
que tem asas; alado.
oportuno, propício.
guarnecer com asas.
má sorte; revés.
Asinha
Azinha
diminutivo de asa.
fruto da azinheira.
Ás
Az
exímio; carta de jogo.
ala do exército; esquadrão.
Brisa
Briza
aragem; viração; vento ameno.
espécie de plantas.
Canonisa
Canoniza
cônega.
do verbo canonizar.
Colisão
Coalizão
choque entre corpos.
união, junção, aliança.
Coser
Cozer
costurar.
cozinhar.
Desasado
Desazado
que tem asas caídas ou partidas.
maljeitoso, descuidado.
Fiúsa
Fiúza
desusado; fora de moda.
confiança, esperança.
Dificuldades
da língua
PLURAIS ESPECIAIS
1. Plural dos diminutivos:
Alemãozinho
Anãozinho
Anãozinho
Anelzinho
Animalzinho
Azulzinha
Balãozinho
Bastãozinho
Cãozinho
Colherzinha
Coquetelzinho
Coraçãozinho
Cordãozinho
Dorzinha
Florzinha
Leãozinho
Mulherzinha
Narizinho
Papelzinho
Pãozinho
Pastelzinho
Portalzinho
alemãezinhos
anãozinhos
anõezinhos
aneizinhos
animaizinhos
azuizinhas
balõezinhos
bastõezinhos
cãezinhos
colherezinhas
coqueteizinhos
coraçõezinhos
cordõezinhos
dorezinhas
florezinhas
leõezinhos
mulherezinhas
narizezinhos
papeizinhos
pãezinhos
pasteizinhos
portaizinhos
2. Plural em ÃES:
Alemão
Bastião
Cão
Capelão
Capitão
Catalão
Charlatão
Escrivão
Guardião
Tabelião
alemães
bastiães
cães
capelães
capitães
catalães
charlatães
escrivães
guardiães
tabeliães
3. Palavras com DOIS plurais:
Alazão
Anão
Castelão
Corrimão
Deão
Hortelão
Refrão
Rufião
Sacristão
Truão
Verão
Vilão
alazães e alazões
anãos e anões
castelãos e castelões
corrimãos e corrimões
deães e deões
hortelãos e hortelões
refrões e refrães
rufiães e rufiões
sacristãos e sacristães
truães e truões
verões e verãos
vilãos e vilões
4. Palavras com TRÊS plurais:
Alão
Aldeão
Ancião
Ermitão
Sultão
alões, alães e alãos
aldeãos, aldeões e aldeães
anciãos, anciões e anciães
ermitães, ermitões e ermitãos
sultões, sultãos e sultães
Encarte referente ao curso pré-vestibular
Aprovar da Universidade do Estado do
Amazonas. Não pode ser vendido.
Governador
ALVARENGA, Beatriz et al. Curso de
Física. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso de
Física. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3.
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e
Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir Albuquerque
Coordenadora Geral
Munira Zacarias
Coordenador de Professores
João Batista Gomes
Coordenador de Ensino
Carlos Jennings
Coordenadora de Comunicação
Liliane Maia
Coordenador de Logística e Distribuição
Raymundo Wanderley Lasmar
Produção
Aline Susana Canto Pantoja
Renato Moraes
Projeto Gráfico – Jobast
Alberto Ribeiro
Antônio Carlos
Aurelino Bentes
Heimar de Oliveira
Mateus Borja
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3)
01. B;
02. E;
03. A;
04. B;
05. D;
06. B;
07. A;
08. E;
09. D;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4)
01. C;
02. D;
03. B;
04. C;
05. E;
06. C;
07. D;
08. C;
DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5)
01. A; 02. D; 03. A; 04. A; 05. C;
06. B; 07. A; 08. E;
DESAFIO FÍSICO (p. 6)
01. A;
BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,
Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:
Moderna, 1996.
BONJORNO, José et al. Física 3: de olho
no vestibular. São Paulo: FTD, 1993.
CARRON, Wilson et al. As Faces da
Física. São Paulo: Moderna, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática:
contexto e aplicações. São Paulo: Ática,
2000.
DESAFIO FÍSICO (p. 7)
01. C; 02. C;
03. a)
GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.
São Paulo: FTD, 1995.
Grupo de Reelaboração do Ensino de
Física (GREF). Física 3: eletromagnetismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998.
b) Sim. A Fat em C pode equilibrar o
sistema;
04. 4N;
PARANÁ, Djalma Nunes. Física. Série
Novo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:
Ática, 2002.
EXERCÍCIOS (p. 9)
01. C; 02. A;
DESAFIO FÍSICO (p. 9)
01. B; 02. C; 03. C; 04. E;
RAMALHO Jr., Francisco et alii. Os
Fundamentos da Física. 8.a ed. São
Paulo: Moderna, 2003.
ARAPUCA (p. 10)
01. C; 02. A;
DESAFIO GRAMATICAL (p. 10)
01. C; 02. A;
TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.
APLICAÇÃO (p. 11)
01. C; 02. A; 03. C;
DESAFIO LITERÁRIO (p. 11)
01. D; 02. A; 03. A; 04. E;
Paulo Alexandre
Rafael Degelo
Tony Otani
Editoração Eletrônica
Horácio Martins
Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, é
base para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:
• TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h
• Amazon Sat (21h30 às 22h)
• RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite)
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• Rádio Seis Irmãos do São Raimundo
(8h às 9h e reprise de 16h às 16h30)
• Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30)
• Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30)
• Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara
(10h às 10h30)
• Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h)
• Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local
• Rádio Independência de Maués (6h às 6h30)
• Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30)
• Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30)
Postos de distribuição:
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•
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PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I
PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa
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