Cálculo C
MTM 5163
2014.2
Lista 3
1. Determine o rotacional e o divergente dos seguintes campos vetoriais:
x
y
1
i+ j− k
z
z
z
a) F (x, y, z) = xy i + yz j + zx k
c) F (x, y, z) =
b) F (x, y, z) = xyz i − x2 y k
d) F (x, y, z) = x i + y j + z k
2. Quais dos campos acima são conservativos ? Determine f (tal que F = ∇f )
para os casos afirmativos.
3. Mostre que todo campo vetorial da forma
F(x, y, z) = f (y, z) i + g(x, z) j + h(x, y) k
é incompressı́vel (∇ · F = 0).
4. Calcule o Laplaciano (∇2 u) da função:
u(x, y, z) =
zx2
.
x2 + y 2 + z 2
(* demais exercı́cios da Seção 16.5 de [1])
5. Identifique a superfı́cie dada pela equação vetorial:
a) r(u, v) = u cos v i + u sin v j + u2 k
b) r(u, v) = u3 i + u sin v j + u cos v k
6. Determine uma representação paramétrica para a superfı́cie:
a) O pedaço do parabolóide elı́ptico x2 + y 2 + 2z 2 = 4 que está em frente ao plano x = 0.
b) O pedaço do plano z = x + 3 que está dentro do cilindro x2 + y 2 = 1.
7. Determine o plano tangente à superfı́cie paramétrica dada no ponto especı́fico.
a) x = u + v, y = 3u2 , z = u − v;
(2, 3, 0)
b) r(u, v) = (u + v) i + u cos v j + v sin u k;
(1, 1, 0)
8. Determine a área da superfı́cie.
a) O pedaço da superfı́cie z = x+y 2 que está acima do triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e (0, 1).
b) O pedaço de parabolóide x = y 2 + z 2 que está dentro do cilindro y 2 + z 2 = 9
c) O pedaço da esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 que está dentro do cilindro x2 + y 2 = ax
(* exercı́cios adicionais, veja Seção 16.6 de [1])
9. Calcule as seguintes integrais de superfı́cie.
a)
RR
b)
RR
c)
RR
S
S
xy dS, S é o triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2).
yz dS, S é a parte do plano z = y + 3, que está dentro do cilindro x2 + y 2 = 1.
S (x
2y
+ y 2 z) dS, S é o hemisfério x2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0.
10. Calcule
RR
S
F · dS para o campo vetorial F e superfı́cie orientada S.
a) F(x, y, z) = xy i + yz j + zx k, S é parte do parabolóide z = 4 − x2 − y 2 que está
acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, com orientação para cima.
b) F(x, y, z) = xzey i − xzey j + z k, S é parte do plano x + y + z = 1, no primeiro octante,
com orientação para baixo.
c) F(x, y, z) = x i + y j + z k, S é a esfera x2 + y 2 + z 2 = 9 (orientação para fora).
d) F(x, y, z) = x i + 2y j + 3z k, S é o cubo de vértices (±1, ±1, ±1).
(* exercı́cios adicionais, Seção 16.7 de [1])
R
11. Use o teorema de Stokes para calcular C F · dr, onde
F(x, y, z) = x2 z i + xy 2 j + z 2 k,
e C é a curva da intersecção do plano x + y + z = 1 com o cilindro x2 + y 2 = 9 com
orientação no sentido anti-horário (visto de cima).
12. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y, z) = (x2 + z 2 ) i + (y 2 + x2 ) j + (z 2 + y 2 ) k,
quando uma partı́cula se move ao redor da borda da parte da esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que
está no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.
RR
13. Use o Teorema de Gauss (divergência) para calcular a integral de superfı́cie
S F · dS.
a) F(x, y, z) = x2 y i − x2 z j + z 2 y k, S é a superfı́cie da caixa retangular limitada pelos planos x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1.
b) F(x, y, z) = −xz i − yz j + z 2 k, onde S é o elipsóide
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
14. Use o teorema da divergência para calcular
Z Z
(2x + 2y + z 2 )dS,
S
onde S é a esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
(* exercı́cios adicionais, Seção 16.8 e 16.9 de [1])
Referências
[1] STEWART, J.. Cálculo, vol. 2, 4a. ed., Thomson Learning, 2002.
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