Física I
Aula 03: Movimento em um Plano
Tópico 03: Movimento de Projéteis
Todo mundo sabe que brasileiro é doido por futebol, mas dos que gostam de futebol, muitos não
gostam de Física. Mas você sabia que tem muita Física no futebol? Por exemplo, quando um jogador
chuta a bola ela descreve um dos movimentos que estamos estudando nesta aula. O movimento da bola
é um exemplo de movimento de projéteis que estudaremos neste tópico.
Quando um jogador de futebol chuta a bola fazendo um determinado ângulo com a horizontal,
a bola descreve no ar uma trajetória parabólica. Durante o movimento a velocidade da bola vai sofrendo
variações, diminuindo e aumentando até atingir o solo de volta. De preferência dentro do gol do
adversário, não é?
Por que a velocidade da bola tem esta variação? Você já sabe que a variação da velocidade
implica na existência de uma aceleração, no caso a aceleração da gravidade.
Quando a bola está subindo, a força peso, sendo para baixo, faz com que a velocidade
diminua (movimento retardado) e quando a bola está descendo, a força peso, atuando no mesmo sentido,
faz com que a velocidade aumente (movimento acelerado).
Observação
Um projétil é qualquer corpo lançado com uma certa velocidade inicial e que segue uma
trajetória que é determinada pela ação do peso e pela resistência do ar. Exemplos de
projéteis: uma bola de futebol chutada, uma bala atirada de uma arma de fogo, uma
pedra jogada.
A chave para compreender o movimento de projéteis é tratar os movimentos horizontal e
vertical separadamente.
O movimento de um projétil é uma combinação de um movimento vertical com aceleração
constante ( a aceleração da gravidade, g) e um movimento horizontal com velocidade constante.
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Física I
Você sabe que já se sabia isto ainda no século XVI? Galileu Galilei, isso mesmo aquele da
Torre de Pisa que se baseando em fatos experimentais, enunciou o Princípio da Independência dos
Movimentos.
Parada Obrigatória
Princípio da Independência dos Movimentos
Quando um móvel realiza um movimento composto cada um dos movimentos
componentes se realiza como se os demais não existissem.
Movimento de um projétil
Vamos começar nosso estudo com um modelo simples, considerando o projétil como uma
partícula, isto é, não nos preocupamos com suas dimensões físicas. Também não levaremos em conta os
efeitos da resistência do ar.
Fonte1
ângulo
Na Figura 1 vemos o projétil no momento do lançamento. O vetor velocidade v0 faz um
com o eixo x. A Figura 2 mostra a variação dos vetores velocidades ao longo da trajetória.
Observe a componente horizontal, vx. Percebeu que ela não varia? Percebeu também que no
alto da trajetória a componente vertical da velocidade desapareceu?
Vamos tratar os movimentos separadamente, segundo o Princípio da Independência dos
Movimentos de Galileu.
Movimento Vertical
Movimento Uniformemente Acelerado com aceleração constante igual a g
Podemos aplicar todas as equações do movimento acelerado que você já estudou na Aula 2
(aproveite e faça uma revisão).
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Fontes: -- Figura 1: http://alfaconnection.net/pag_avsf/mov0403.htm
Figura 2: http://educar.sc.usp.br/sam/parabola.gif
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Física I
Neste movimento a aceleração, como já foi dito, é a aceleração da gravidade, que é um vetor
que aponta sempre para baixo, o sentido negativo do eixo y.
Então:
lembrando que o vetor
é o vetor unitário ao longo do eixo y, no caso
apontando para baixo.
No movimento de subida do projétil a componente vertical da velocidade, voy aponta para
cima, para o sentido positivo do eixo y. A equação para a velocidade ficará assim:
Podemos assim determinar a componente vertical da velocidade em qualquer instante durante
a subida do projétil.
Veja que o movimento de subida é um movimento desacelerado, pois os vetores velocidade e
aceleração estão em sentidos contrários. Isso explica porque a velocidade vai diminuindo, ou seja, explica
o famoso ditado: “tudo que sobe, desce”.
Depois de um certo tempo, o corpo começa a cair, pois sua velocidade de subida anulou-se e
você sabe, a condição indispensável para haver movimento é a existência de velocidade. Qualquer corpo
anda até que pare, ou seja, até que sua velocidade se torne igual a zero.
Este é o tempo de subida do projétil.
Vamos calcular em que altura a velocidade vertical do projétil se anula:
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O ponto onde a velocidade se anula, é exatamente o ponto mais alto da trajetória, ou seja, a
altura máxima que vamos chamar de H (ymáx = H)
Movimento Horizontal
Movimento Retilíneo Uniforme
Na horizontal a velocidade não varia, pois não há aceleração nessa direção.
Usando as equações do MRU que você já aprendeu na Aula 2, temos:
de eixos,
Novamente vamos considerar o instante inicial t0 = 0 e a posição inicial, na origem do sistema
, Então:
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E agora vamos determinar qual é a trajetória de um projétil.
Para isso devemos determinar uma relação entre as coordenadas x e y.
Comecemos pela coordenada y:
Da coordenada x temos:
E agora vamos substituir a expressão para o tempo na equação de y:
A trajetória de um projétil é uma parábola.
Olhando de Perto
O alcance é a distância percorrida no movimento horizontal.
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Física I
Determinando o alcance
Vamos determinar o alcance para um ângulo qualquer, quando o lançamento e o ponto de
chegada do projétil ao solo estão no mesmo nível.
Fonte2
Vamos usar a equação que encontramos para a trajetória:
Vamos lembrar um pouco da trigonometria?
O alcance é, em geral, designado pela letra R, então:
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Fonte: -- http://www.suporteeducacional.com.br/aprovar/vv02/_arquivos/apostila/Aprovar_ano05_livro08_004.pdf
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Física I
Desafio
Você pode dizer agora em qual situação teremos o alcance máximo?
Observação
Tenha cuidado ao usar a expressão acima para o alcance. Lembre-seque ela só vale se o
ponto de disparo estiver no mesmo nível do ponto de chegada ao solo. Nem sempre isso
acontece.
Este applet java mostra o movimeto de um projétil.
fendt.de/ph11br/projectile_br.htm (p.s.: É preciso ter Java instalado na máquina)
http://www.walter-
Dica
Importante: O alcance é o mesmo para diferentes projéteis lançados com a mesma
velocidade inicial e com ângulos de lançamento complementares (aqueles cuja soma é
igual a 90º)
Aqui você poderá ver e testar várias situações em que os níveis do lançamento do projétil
podem variar.
http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/cinematica/parabolico/alcance/alcance.htm
Multimídia
Objetos de aprendizagem são ótimos recursos para ajudá-lo a aprender melhor. Nestes
sites:
http://www.fisica.ufpb.br/~romero/objetosaprendizagem/Rived2008/02bProjeteisVariacoe
s/index.html,
http://www.fisica.ufpb.br/~romero/objetosaprendizagem/Rived2008/02aProjeteisMovime
nto/site/index.htm você verá dois objetos de aprendizagem sobre movimento de projéteis
desenvolvido pela equipe do Núcleo de Construção de Objetos de Aprendizagem (NOA)
http://www.fisica.ufpb.br/~romero/objetosaprendizagem/Rived2008/index.html
Exemplos Resolvidos
Para você ir treinando na resolução dos exercícios, comece tentando resolver estes
exemplos a seguir. Tente antes de ver a solução do problema. Caso não entenda alguma
passagem de algum dos problemas, consulte o seu professor.
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Física I
Exemplo 1
Uma bolinha rola por toda a extensão de uma mesa horizontal de 5m de altura e a abandona
com uma velocidade horizontal de 12m/s. Calcule o tempo de queda e a distância do pé da mesa ao ponto
onde cairá a bolinha (g = 10m/s2).
Fonte3
Resposta: 12m
Solução
Este é um exemplo de um lançamento em que o ângulo de lançamento é igual a zero, ou seja,
é um lançamento horizontal.
Vejamos o que temos:
A aceleração é a aceleração da gravidade, que como dissemos aponta SEMPRE para baixo, o
sentido que se costuma chamar de negativo. Lembre-se de que isso é apenas uma convenção. A origem é
considerada na borda da mesa.
Fonte4
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Fonte: -- http://www.universitario.com.br/ead/moodle/file.php/13/Listas/_Exerc_cios_-_Lista_de_MQL_-_Universit_rio.pdf
Fonte: -- http://www.suporteeducacional.com.br/aprovar/vv02/_arquivos/apostila/Aprovar_ano05_livro08_004.pdf
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Física I
Considerando agora o movimento horizontal (uniforme), teremos:
O corpo cairá a 12m do pé da mesa.
Exemplo 2
Um objeto é lançado obliquamente com uma velocidade inicial de 100 m/s, que forma com a
horizontal um ângulo de 60º. Calcule a altura máxima atingida pelo objeto e a distância de lançamento ao
ponto em que ele toca o solo.
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Física I
Fonte5
Resposta: 375 m; 866 m
Solução
As componentes da velocidade são:
Vamos calcular o tempo de subida. Atenção, o objeto está subindo (sentido positivo do
eixo y), mas a aceleração, você já sabe, não é? Sempre para baixo ( a=-g). O movimento de subida
é retardado, por isso no ponto mais alto da trajetória, sua velocidade é zero, isto é, ele pára.
Este é o tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima. Qual é essa altura? Vamos
chamá-la de h:
E agora, vamos calcular o alcance (a distância percorrida no movimento horizontal, retilíneo
uniforme)
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Fonte: -- http://www.suporteeducacional.com.br/aprovar/vv02/_arquivos/apostila/Aprovar_ano05_livro08_004.pdf
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Física I
Exemplo 3
Uma bola é jogada do solo para o ar. A uma altura de 9,1 m o seu vetor velocidade é v = 7,6
+ 6,1 j em metros por segundo. i e j são os vetores unitários nas direções x e y respectivamente.
1. Qual a altura máxima atingida pela bola ?
2. Qual será a distância horizontal alcançada pela bola?
3. Qual a velocidade da bola (módulo e direção), no instante em que a bola bate no solo?
Respostas: (a) 11m; (b) 23 m; (c) 17 m/s, 63º
Solução
a) Chame de t o tempo necessário para a bola atingir a velocidade dada. Neste caso, teremos:
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Física I
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Agora vamos calcular o alcance:
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Física I
Exemplo 4
A figura abaixo mostra um navio pirata a 560 m de um forte que protege a entrada de uma
ilha. Um canhão de defesa localizado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade inicial v o= 82
m/s.
Fonte6
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Fonte: -- Halliday, Resnick e Walter,Fundamentos de Física (7a edição), Vol. 1
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Física I
a) Em que ângulo, com relação á horizontal, as balas devem ser disparadas para acertar o
navio?
b) A que distância do canhão deveria estar o navio pirata para estar fora do alcance das balas?
Respostas: (a)27º, 63º, (b) 690 m
Solução
a) Veja que neste problema o canhão e o navio estão no mesmo nível, então o deslocamento
horizontal da bala é o seu alcance.
Se você se lembrar da Trigonometria, verá que existem 2 ângulos ( um no 1º quadrante e
outro no 2º) que podem ter esse valor para o seno:
OBSERVAÇÃO: Note que esses 2 ângulos são complementares.
b) Para responder à esta questão precisamos saber qual é o alcance máximo.
R será máximo quando sen(2a) for máximo, ou seja quando sen(2a)=1
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Física I
Resposta: 690 m é a maior distância que o canhão pode atingir. Além dessa distância o
navio não será atingido.
Fonte7
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO INDIVIDUAL
Agora chegou a hora de você se exercitar.
Então mãos à obra!
Acesse a lista de exercícios-Aula 3 (acesse o ambiente SOLAR).
Mas lembre-se que os problemas propostos neste portfólio devem ser resolvidos por
você. Você deve se esforçar ao máximo para obter a solução dos problemas por seus
próprios meios. Isso não invalida o estudo em grupo, que é uma coisa muito diferente
de copiar a solução dos exercícios do colega. Aliás, essa não é uma atitude inteligente.
Na hora da prova você não poderá contar com essa “facilidade” não é?
Lembre-se: “A vida é o professor mais rigoroso que podemos ter: primeiro fazemos a
prova, a lição vem depois.” ( Autor desconhecido)
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Fonte: -- Halliday, Resnick e Walter,Fundamentos de Física (7a edição), Vol. 1
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Física I
Dica
Física dá Futebol: http://futebol.incubadora.fapesp.br/portal
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