Modelagem de
Sistemas
Computacionais
Análise de Dados Medidos
Aula 06 (Capítulo 12)
Profa. Priscila Solís Barreto
Agenda do
Capítulo 12
     Probabilidade Básica e Conceitos Estatísticos: CDF,
PDF, PMF, Média, Variança, CoV, Distribuição Normal
Resumo de Dados com um único número: Media,
Mediana, Moda, Média Aritmética, Geométrica ou
Harmônica
Média de uma proporção (ratio)
Resumo da variabilidade: intervalo, variança, percentiles,
quartis
Determinação da Distribuição dos Dados: plotagem
Quantile-Quantile
Part III: Teoria de Probabilidade e Estatística
1. Como relatar o desempenho de um único número? O uso da
média neste caso é correto ?
2. Como relatar a variabilidade das quantidades medidas ? Quais
as alternativas à variança e quando são estas apropriadas ?
3. Como interpretar a variabilidade? Pode-se confiar em dados
com ampla variabilidade ?
4. Quantas medidas devem ser feitas para se alcançar um nível
aceitável de confiança estatística?
5. Como resumir os resultados de diversas cargas de trabalho
em um único sistema computacional?
6. Como comparar dois ou mais sistemas computacionais
usando-se diversas cargas de trabalho? Comparar a média é
suficiênte?
7. Que modelo descreve melhor a realção entre duas variáveis?
Quanto bom é este modelo ?
Conceitos Básicos de
Probabilidade e Estatística
 Eventos
Independentes : Já estudamos na
aula 05
 Variável Aleatória: Uma variável é
chamada de aleatória se esta recebe um
valor dentro de um conjunto específico de
valores com uma probabilidade específica.
Se o conjunto de valores é qualquer intervalo de
números reais, X é denominada variável aleatória
contínua.
Variáveis Aleatórias
 Uma
variável aleatória é uma função
(mensurável) X: Ω → R que associa um
número real a cada resultado de um
experimento aleatório.
Exemplos:
1) Observar o sexo das crianças em famílias com três
filhos.
Ω={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)}
Defina X: nº. de crianças do sexo masculino (M).
Então X é uma v.a. discreta que assume valores no
conjunto {0, 1, 2, 3}.
2) Observar o tempo de reação a um certo
medicamento.
Defina X: tempo de reação ao medicamento.
X é uma v.a. contínua que assume qualquer valor real
positivo.
O termo aleatório indica que a cada possível valor da
v.a. atribuímos uma probabilidade de ocorrência.
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
Exemplo 1:
O Departamento de Marketing é formado por 35
funcionários, sendo 21 homens e 14 mulheres.
Uma comissão de 3 membros será constituída
sorteando, ao acaso, três membros do
departamento. Qual é a probabilidade da
comissão ser formada por pelo menos duas
mulheres?
Vamos definir a v.a.
X: nº de mulheres na comissão.
Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.
Qual é a probabilidade de cada ponto wi de Ω ?
Admitindo que o dado é perfeitamente homogêneo
e sendo os lançamentos independentes, então
P(wi) = 1/36 , ∀ wi ∈ Ω.
Defina X: soma dos pontos.
Função de probabilidade de X:
Então,
P (X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2)
= 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36
= 10/36 = 0,278
Podemos estar interessados em outras v.a.’s.
Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos
Z: diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento
U: pontos do 2º lançamento
Outros exemplos de variáveis
aleatórias
 Moeda
honesta lançada 3 vezes
Ω = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
x
P(X=x)
0
1
2
3
Exemplos de variáveis aleatórias
 Moeda
honesta lançada 3 vezes
Ω = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
Exemplos de variáveis aleatórias
 Moeda
honesta lançada 3 vezes
Ω = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
y
P(Y=y)
0
1
2
Exemplos de variáveis aleatórias
 Moeda
honesta lançada 3 vezes
Ω = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
y
0
1
2
P(Y=y)
1/4
2/4
1/4
Função de Distribuição
Acumulada
 A
função de distribuição acumulada de uma
variável aleatória X é a função FX: R→R
definida por
FX(x) = P(X ≤ x)
A função de distribuição ou função de distribuição
acumulada de uma variável aleatória discreta (ou
continua) X é definida, para qualquer valor real x, pela
seguinte expressão:
Observe que o domínio de F é todo o conjunto dos
números reais e o contradomínio é o intervalo [0,1]
Função de Distribuição
Acumulada
 Exemplo:
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1
7/8
1/2
1/8
1
2
3
Se x < 0: P(X≤x) = 0
Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8
Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2
Exemplo
No exemplo 1 usando a tabela da f.p. de X: nº de
mulheres na comissão.
a f.d.a. de X será dada por
F(x) =
0,
0,203,
0,653,
0,944,
1,
se x < 0
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x < 2
se 2 ≤ x < 3
se x ≥ 3
Da relação anterior se estamos interessados na
probabilidade de se ter até duas mulheres na
comissão a resposta é imediata:
F(2) = P(X ≤ 2) = 0,944
F(x)
1
0.944
0,653
0.203
0
1
2
3
x
Função de Distribuição
Acumulada
 Roleta
numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
0, se x < 0
x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
P(X ≤ x) =
1
10
Função de Distribuição
Acumulada
 Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta
numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
Função de Distribuição
Acumulada
 Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta
numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
0, se x < 0
½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
P(X ≤ x) =
1
10
Tipos de Variáveis Aleatórias
Discretas
FX(x) = Σxi ≤ x P(X = xi)
 (Absolutamente) Contínuas
FX(x) = ∫xi ≤ x fX(x) dx
(onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X)
 Mistas
FX(x) = Σxi ≤ x P(X = xi) + ∫xi ≤ x fX(x) dx
 Exemplo
1
10
P(X = 0) = ½
0, se x < 0
fX(x) = 1/20, se 0 ≤ x ≤ 10
0, se x > 10
Propriedades da F.D.A.
 FX
é não-decrescente
 lim x→–∞ FX(x)
= 0, lim x→+∞ FX(x) = 1
 lim x→a+ FX(x)
= F(a) (continuidade à direita)
Função de Distribuição
Acumulada
 A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição
de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a.
podemos obter a probabilidade de qualquer
evento envolvendo a v.a.)
P(X = 2) =
P(X = 3) =
P(X < 3) =
P(1 ≤ X ≤ 3) =
Modelos Probabilísticos
 Em
problemas práticos, normalmente não é
necessário deduzir as probabilidades de
ocorrência, pois existem alguns modelos
probabilísticos que se aplicam a várias
situações práticas, fornecendo a regra de
determinação das probabilidades.
Modelos Probabilísticos
O problema não é “como se deduzem os
valores?”, mas sim “como se usam as
distribuições para resolver problemas?”
FDA (CDF), FDP (PDF) e FMP
(PMF)
 Função
de Distribuição Acumulada:
 Função
de Densidade de Probabilidade:
1
f(x)
F(x)
0
x
x
Probabilidade
 Dois
eventos são mutuamente excludentes,
ou exclusivos, se a ocorrência de um impedir
a ocorrência do outro.
Exercício
Resultados possíveis
Coroa Coroa
Cara Coroa
Coroa Cara
Cara Cara
1o lanç.2o lanç.
Resultados
numéricos
0
1
1
2
Probabilidade
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
0,5 x 0,5 = 0,25
Soma = 1
Distribuição de Probabilidades
k
0
1
2
Total
P(X=k)
0,25
0,50
0,25
1
0,50
0,25
0
0,25
1
2
Exercício
 Um
grande lote de peças possui 60% dos
itens com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número de itens com defeito
dentre 2 sorteados aleatoriamente.
Exercício
Resultados possíveis
Bom Bom
Bom Def.
Def. Bom
Def. Def.
1o item
2o item
Resultados
numéricos
0
1
1
2
Probabilidade
0,4 x 0,4 = 0,16
0,4 x 0,6 = 0,24
0,6 x 0,4 = 0,24
0,6 x 0,6 = 0,36
Exercício
k
0
1
2
Total
P(X=k)
0,16
0,48
0,36
1
0,48
0,36
0,16
0
1
2
Exercício
 Um
grande lote de peças possui 60% dos
itens com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número de itens com defeito
dentre 3 sorteados aleatoriamente.
Exercício
Res. poss.
Res. num.
Probabilidade
BBB
BBD
BDB
DBB
BDD
DBD
DDB
DDD
0
1
1
1
2
2
2
3
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096
0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
Exercício
k
0
1
2
3
Total
P(X=k)
0,064
0,288
0,432
0,216
1
0,432
0,288
0,216
0,064
0
1
2
3
Valor Esperado
 O
valor esperado, ou esperança, ou média,
de uma distribuição de probabilidades
corresponde à média dos resultados da
variável aleatória quando o número de
observações for muito grande.
Valor Esperado
X
P(X)
x1
x2
...
xn
p1
p2
...
pn
Total
1
E(X) = µx = Σ
(xi.pi)
Variância
X
P(X)
x1
x2
...
xn
p1
p2
...
pn
Total
1
E(X) = µx = Σ
(xi.pi)
VAR(X) = σ2x =
Σ p .(x -µ )
i
i
x
2
Exercício - 1
 Um
grande lote de peças possui 60% dos
itens com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número esperado de itens com
defeito dentre 2 sorteados aleatoriamente e o
desvio padrão.
Exercício
k
0
1
2
3
Total
P(X=k)
0,064
0,288
0,432
0,216
1
µx =
σx =
1,8 itens
0,8485 item
Probabilidade
 A
probabilidade de que dois eventos não
independentes ocorram é igual à
multiplicação das probabilidades individuais.
U
P(A e B) = P(A
B) = P(A) x P(B / A)
Probabilidade Condicional
 P(B
/ A) - probabilidade do evento B ocorrer
dado que o evento A tenha ocorrido.
Exemplo
 Um
lote com 20 peças contém 4 defeituosas.
Se forem retiradas duas peças do lote, qual é a
probabilidade de serem retiradas:
  a) duas peças boas?
b) duas peças defeituosas?
Exemplo
B - Peça Boa
D - Peça Defeituosa
16
P(B) =
4
P(D) =
20
20
Exemplo
Se a primeira peça for:
Boa
P(B/B) = 15 / 19
P(D/B) = 4 / 19
Defeituosa
P(B/D) = 16 / 19
P(D/D) = 3 / 19
Exemplo
16
15
20
19
4
3
20
19
a) P(BB) =
a) P(DD) =
= 0,6316 ou 63,16%
= 0,0316 ou 3,16%
Probabilidade
 A
probabilidade de que pelo menos um entre
dois eventos não excludentes ocorra é igual
a:
U
P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A
B)
Exemplo
 A
Petrobrás perfura um poço quando acha
que há probabilidade de ao menos 40 % de
encontrar petróleo. Ela perfura 2 poços, aos
quais atribui as probabilidades de 40 % e 50
%. Qual é a probabilidade de que pelo
menos um poço produza petróleo?
Exemplo
P(A) = 0,4
P(B) = 0,5
P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2
P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7
Exemplo
Resultados possíveis
Produz Não
Produz Produz
Não
Não
poço A
Produz
Não
poço B
Probabilidade
0,4 x 0,5 = 0,2
0,4 x 0,5 = 0,2
0,6 x 0,5 = 0,3
0,6 x 0,6 = 0,3
0,7
Modelos Probabilísticos
 Em
problemas práticos, normalmente não é
necessário deduzir as probabilidades de
ocorrência, pois existem alguns modelos
probabilísticos que se aplicam a várias
situações práticas, fornecendo a regra de
determinação das probabilidades.
Exercício Anterior
 Lança-se
uma moeda e anota-se a face obtida.
Construir a distribuição de probabilidades para a
variável aleatória número de caras.
Distribuição de
Probabilidades
k
0
1
Total
P(X=k)
0,5
0,5
1
0,50
0
0,50
1
Distribuição de Bernoulli
 A
distribuição de Bernoulli apresenta apenas
dois resultados possíveis (sim ou não), com
probabilidade de sucesso igual a “p”.
Distribuição de
Bernoulli
E(X) = µx = p
k
0
1
Total
P(X=k)
(1-p)
p
1
VAR(X) = p.(1-p)
Distribuição Binomial
O modelo binomial pressupõe:
 São efetuados n experimentos iguais e
independentes.
 Cada um dos experimentos tem apenas 2
resultados possíveis e excludentes (sim e não).
 Consequentemente, a probabilidade de sim (p)
para cada experimento é constante.
 A variável aleatória de interesse é o número de
sim obtidos nos n experimentos.
Distribuição Binomial
 Para
identificar uma distribuição binomial,
bastam os parâmetros n e p.
Exercício Anterior
 Um
grande lote de peças possui 60% dos
itens com algum tipo de defeito. Construir a
distribuição de probabilidades para a variável
aleatória número de itens com defeito
dentre 3 sorteados aleatoriamente.
Exercício Anterior
Res. poss. Res. num.
BBB
0
BBD
1
BDB
1
DBB
1
BDD
2
DBD
2
DDB
2
DDD
3
Probabilidade
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096
0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096
0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
Exercício Anterior
k
0
1
2
3
Total
P(X=k)
0,064
0,288
0,432
0,216
1
0,432
0,288
0,216
0,064
0
1
2
3
Distribuição Binomial
 O
exemplo apresentado pode ser representado
por uma distribuição binomial.
n=3
p = 0,6 (item com defeito = sim)
(Deseja-se o número de itens com defeito)
Equação da Binomial
n
( )
P(X=k) =
k
n
( )
k
n!
=
k! (n-k)!
pk.(1- p)(n-k)
Distribuição Binomial
k
0
1
...
3
Total
P(X=k)
P(X=1)
P(X=2)
...
P(X=n)
1
E(X) = µx = np
VAR(X) = n.p.(1-p)
Exemplo
n=3
P(X=k) =
p = 0,6
P(X=0) =
3
( )
0,6k.(1- 0,6)(3-k)
k
3
( )
0,60.(1- 0,6)(3-0)
= 1.0,60.0,43 = 0,064
0
3
( )
0
1
3!
=
=1
0! (3-0)!
Exemplo
n=3
P(X=k) =
p = 0,6
P(X=1) =
3
( )
0,6k.(1- 0,6)(3-k)
k
3
( )
0,61.(1- 0,6)(3-1)
= 3.0,61.0,42 = 0,288
1
3
( )
1
3!
=
=3
1! (3-1)!
Exemplo
n=3
P(X=k) =
p = 0,6
P(X=2) =
3
( )
0,6k.(1- 0,6)(3-k)
k
3
( )
0,62.(1- 0,6)(3-2)
= 3.0,62.0,41 = 0,432
2
3
( )
2
3!
=
=3
2! (3-2)!
Exemplo
n=3
P(X=k) =
p = 0,6
P(X=3) =
3
( )
0,6k.(1- 0,6)(3-k)
k
3
( )
0,63.(1- 0,6)(3-3)
= 1.0,63.0,40 = 0,216
3
3
( )
3
3!
=
1
=1
3! (3-3)!
Exercício
k
0
1
2
3
Total
P(X=k)
0,064
0,288
0,432
0,216
1
0,432
0,288
0,216
0,064
0
1
2
3
Distribuição Acumulada
k
P(X=k)
Prob. Acumulada
0
1
2
3
0,064
0,288
0,432
0,216
0,064
0,352
0,784
1,000
Total
1
-
Exercício 2
 Considerando
a mesma situação do exemplo
anterior, construir a distribuição de
probabilidades para o caso de 5 itens.
n=5
p = 0,6
Exercício
k
0
1
2
3
4
5
Total
P(X=k)
0,01024
0,07680
0,23040
0,34560
0,25920
0,07776
1
Probab. Acumul.
0,01024
0,08704
0,31744
0,66304
0,92224
1,00000
-
Tabela Binomial
 As
probabilidades para algumas binomiais
podem ser encontradas em tabelas nos livros
de estatística.
 Também podem ser utilizados softwares.
Exercício 3
 Em um grande lote, sabe-se que 10 % da
peças são defeituosas. Qual é a
probabilidade de, ao se retirarem 6 peças ao
acaso:
   a) Apenas uma ser defeituosa?
0,3543
0,8857
b) No máximo uma ser defeituosa?
0,1143
c) Pelo menos duas serem defeituosas?
Exercício 4
 Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de
qualidade, através de uma amostra com 12 peças,
antes de serem enviados aos consumidores,
podendo ser classificados em A (de ótima
qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 %
de um grande lote forem do tipo A, 20 % forem do
tipo B e o restante for do tipo C, qual é a
probabilidade de que a amostra apresente no
máximo 5 peças tipo B ou C? 0,8822
Exercício 5
 Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma
empresa apresentam problemas de qualidade. Dois
clientes encomendam um grande lote cada um, mas
as remessas têm que passar pela inspeção de
qualidade no recebimento. O cliente A seleciona ao
acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir
nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente
B toma uma amostra com 20 produtos e aceita o lote
se no máximo 1 peça apresentar problemas de
qualidade. Qual é a probabilidade dos dois lotes
serem aceitos pelos clientes?
Exercício
p = 0,01
Cliente A
n = 10
P(X=0) = 0,9044
 Cliente B
n = 20
P(X=0) + P(X=1) = 0,9831
P(A e B) = 0,9044 + 0,9831 = 0,8891 ou 88,91%
Distribuição Multinomial
O modelo multinomial é uma generalização do
binomial:
 São efetuados n experimentos iguais e
independentes.
 Cada um dos experimentos tem mais de 2
resultados possíveis e excludentes (k resultados).
 A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk)
(i=1, 2, ...) em todos os experimentos é constante.
 A variável aleatória de interesse é o número de
sim em cada categoria.
Distribuição
Multinomial
n!
P(X=x1, x2, ..., xk) =
p1x1 p2x2 ...pkxk
x1! x2!... xk!
n = x1 + x2 + ... + xk
VARIÁVEIS
CONTÍNUAS
Exemplo
 Um
jogo de azar é realizado da seguinte
forma: toma-se um círculo e divide-se-o em
duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do
círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado
e anota-se o número do setor onde a ponta
do ponteiro parou.
 Construir
a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido neste
experimento.
Exemplo
2
1
Distribuição de Probabilidades
k
1
2
Total
P(X=k)
0,5
0,5
1
0,50
1
0,50
2
Exemplo
 Considerar
a mesma situação, só que o círculo
é dividido em quatro partes iguais. Construir a
distribuição de probabilidades para o número
obtido neste experimento.
Exemplo
 Construir
2
3
a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido neste
experimento.
1
4
Distribuição de
Probabilidades
k
1
2
3
4
Total
P(X=k)
0,25
0,25
0,25
0,25
1
1
2
3
4
Exemplo
 Construir
2
1
3
8
4
7
5
6
a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido neste
experimento.
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
Histograma
1
2
3
4
5
6
7
8
Número obtido
Exemplo
3
2
1
16
4
15
5
14
6
13
7
12
8
9
10
11
 Construir
a
distribuição de
probabilidades
para o número
obtido neste
experimento.
Histograma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Número obtido
Dúvida...
 Qual
é o número máximo de setores que se
consegue em um círculo?
 Resp:
Infinitos
Variável Contínua
 Como
existem infinitos resultados possíveis,
o número obtido no experimento, temos uma
situação próxima à da variável contínua.
 Como ficaria o histograma?
Histograma?
1
8
Área = 1
Algumas perguntas ...
 Qual
é a probabilidade dessa variável
aleatória contínua assumir um determinado
valor (10, por exemplo)?
 Resposta:
A probabilidade de uma variável
aleatória contínua assumir exatamente um
determinado valor é zero.
Algumas Respostas
 As
probabilidades não podem mais ser
calculadas através de equações do tipo
P(X=k) = FÓRMULA.
 Para
identificar uma distribuição contínua,
existe a função densidade de
probabilidade, que é uma equação do tipo
y=f(x).
Função da Densidade
de Probabilidade
 A
função densidade de probabilidade está
relacionada com a probabilidade da variável
aleatória contínua assumir algum resultado
possível.
Função Densidade de Probabilidade
f(x)
variável aleatória
Variável Contínua
 O
estudo de uma variável aleatória contínua
é análogo ao das variáveis discretas.
 A
distribuição de probabilidades indica, para
uma variável aleatória, quais são os
resultados que podem ocorrer e qual é a
probabilidade de cada resultado acontecer.
Variável Contínua - Características
 A
área sob a função densidade é 1.
f(x)
área = 1 (ou 100%)
variável aleatória
Variável Contínua
Características
 A
probabilidade da variável aleatória assumir
um valor determinado é zero, pois existem
infinitos resultados possíveis.
 As probabilidades sempre se referem a
intervalos de valores.
Características
f(x)
X
k
P(X=k) = 0
Variável Contínua
 A
probabilidade da variável aleatória assumir
um valor em um intervalo é igual à área sob
a função densidade naquele intervalo.
Características
P(a<X<b)
f(x)
a
b
P(a < X < b) = área amarela
X
Exercício
 Sobre
o centro de um círculo, é fixado um
ponteiro, o qual é girado e anota-se o ângulo
formado pelo ponteiro com o eixo horizontal,
como na figura a seguir.
Exercício
 Definir
α
a função
densidade de
probabilidades
para o ângulo
(α) obtido neste
experimento.
Exercício
f(x)
1
360
Área = 1
0o
360o
X
Exercício
 Qual
é a probabilidade de se obter um
ângulo entre 30o e 60o?
Exercício
f(x)
60 - 30
1
área =
=
= 0,0833
360 - 0
12
P(30o < X < 60o)
0o 30o 60o
360o
X
Distribuição Uniforme
f(x)
1
β-α
1
f(x) =
α
β - α
β
X
Distribuição Uniforme
f(x)
α
a
P(a < X < b) =
b
β
b-a
β - α
X
1. Modelo Uniforme
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme com parâmetros α e β
se sua função de densidade de probabilidade é dada por:
Notação: X~U(α , β))
A função de distribuição acumulada é dado por:
α − β)
α+β
(
E(X) =
, Var(X) =
2
12
2
Exemplo: A dureza X de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma
variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) da escala Rockwel. Qual é a
probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60?
Solução: Seja X: dureza de uma peça de aço, X~U(50,70)
Portanto,
Também,
Variável Aleatória Contínua:
• Assume valores num intervalo de números reais.
• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis
valores de uma v.a. contínua.
• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.
Infinitos valores de X
P(X=x)
Variável aleatória contínua
(funcão densidade de
probabilidade,f.d.p.)
f(x)
Variável aleatória
discreta (f.p.)
1
2
3
4
5
6
x
Propriedades dos Modelos Contínuos
Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função densidade de
probabilidade f(x) (f.d.p) com as propriedades:
(i) A área sob a curva de densidade é 1, isto é,
(ii) f(x) ≥ 0, para todo x;
(iii) P(a
≤ X ≤ b) = área sob a curva da densidade f(x) e
acima do eixo x, entre os pontos a e b;
(iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo.
Assim,
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b)
= P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)=
Modelo Normal
Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao
acaso em uma população.
O histograma por densidade é o seguinte:
A análise do histograma indica que:
- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em
torno de 70kg;
- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85);
- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg
(1,2%) e acima de 92kg (1%).
Vamos definir a variável aleatória
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta
escolhida ao acaso da população.
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual
a distribuição de probabilidades de X ?
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.
A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições
contínuas de probabilidade pois:
• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima
a essa distribuição. Exemplos:
1. altura
2. pressão sangüínea
3. etc.
• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,
probabilidades para outras distribuições, como por exemplo,
para a distribuição Binomial.
Distribuição Normal : Função
Densidade
µ - média
σ - desvio padrão
Distribuição Normal
f(x)
µ
X
Características
 Variável
identificada
pela média e
pelo desvio
padrão.
σ
µ
X
Média e
Desvio Padrão
σ
=1
σ
=2
σ
=3
σ
µ
=4
X
Média e
Desvio Padrão
σ
1
=3
2
3
X
Características
 Simetria
em
relação à
média.
50%
µ
X
Características
 A área sob a curva entre a média e um ponto
qualquer é função da distância padronizada entre
a média e aquele ponto.
 Distância padronizada - distância expressa em
função do número de desvios padrões (distância
dividida pelo desvio padrão).
Exemplo
área = 68,3%
µ-σ
µ
µ+σ
Exemplo
área = 95,4%
µ-2σ
µ
µ+2σ
Exemplo
área = 99,7%
µ-3σ
µ
µ+3σ
Características
As áreas referem-se a probabilidades.
P(X<a)
µ
a
X
Normal Padronizada
 O
cálculo de áreas sob a curva normal é
consideravelmente complexo.
 Por isso, é conveniente trabalhar com
valores padronizados.
Normal Padronizada
 Para
padronizar uma variável normal, tomase a média como ponto de referência e o
desvio padrão como medida de afastamento.
Normal
Padronizada
Z - variável normal padronizada
X - variável normal
µ - média
σ - desvio padrão
X - µ
Z=
σ
Normal Padronizada
σ=1
Z
µ=0
Normal Padronizada
σ
X
(µ-2σ)
(µ-σ)
µ
(µ+σ)
(µ+2σ)
-2
-1
0
1
2
Z
Exemplo
 O
peso de uma peça é normalmente
distribuído com média de 500 gramas e
desvio padrão de 5 gramas.
 Encontrar
os valores padronizados relativos
aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g,
510g e 515g.
Exemplo
 X
= 510 g
X - µ
Z=
510 - 500
=
σ
10
=
5
=2
5
Exemplo
σ=5
σ
X
485 490 495 500
505 510 515
Z
-3
-2
-1
0
1
2
3
Exemplo
P(X<510) = P(Z<2)
σ=5
X
500
510
Z
0
2
Exercício
 Com
base na tabela da normal padronizada,
calcular:
a) P(Z < -1)
0,158655
Z
-1
0
Exercício
b) P(Z > 1)
0,158655
Z
0
+1
Exercício
c) P(Z < 1)
0,841345
0
1
Z
Exercício
c) P(-1 < Z < 1)
0,841345 - 0,158655 = 0,68269
-1
0
1
Z
Exercício
c) P(-2 < Z < 2)
0,977250 - 0,022750 = 0,9545
-2
0
2
Z
Exercício
c) P(-3 < Z < 3)
0,998650 - 0,001350 = 0,9973
-3
0
3
Z
Exercício 6
 Supondo
que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
a) menos de 49.000 Km? 0,158655
Exercício 6
 Supondo
que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
b) mais de 51.000 Km?
0,158655
Exercício 6
 Supondo
que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
c) entre 49.000 Km e 51.000 Km?
0,68269
Exercício 6
 Supondo
que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
d) entre 48.000 Km e 52.000 Km?
0,9545
Exercício 6
 Supondo
que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
e) entre 47.000 Km e 53.000 Km?
0,9973