DESIGUALDADE TRIANGULAR –
Professor Clístenes Cunha
9-Em um triângulo, dois lados medem,
respectivamente, 5 e 8. O menor valor inteiro
possível para a medida do terceiro lado é:
1-Um triângulo possui o lado b = 6 m e o lado c
= 2 m. Sabendo-se que o lado a é o maior lado
do triângulo e é medido por um número inteiro,
então o valor de a será:
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
5
6
7
a)
b)
c)
d)
e)
10-Se x  e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são
os lados de um triângulo, então o número de
possibilidades de x é:
2-Se um triângulo possui dois lados de valores
iguais a 5 e 8, os valores entre os quais o
terceiro poderá variar exclusivamente, são:
a)
b)
c)
d)
e)
5e8
0e7
4e9
3 e 13
13 e 16
a)
b)
c)
d)
e)
39 ,
5-(PUC RJ-94) O número de valores inteiros de
x, para os quais existe um triângulo acutângulo
de lados 10,24 e x, no qual 24 é a medida do
maior lado, é igual a: Gab.: 3
6-O semiperímetro de um triângulo é dado por
12,5m. Dois lados medem respectivamente
7,6m e 8,4m. Calcular a medida do terceiro
lado. Gab: 9m
7-Num triângulo isósceles o semi-perímetro é
dado por 19,6m. A base mede 5,2m. Determinar
a medida dos lados congruentes. Gab: 17m
8-Dois lados de um triângulo são iguais a 4 cm
e 6 cm. O terceiro lado é um número inteiro
expresso por x2 + 1, com x  Z. O seu perímetro
é:
13cm
14cm
15cm
16cm
20cm
a)
b)
c)
d)
e)
5
e 5,1: R: obtusângulo
2
4-(EFEI MG-00) Sabe-se que um triângulo pode
ser classificado de acordo com os seus ângulos
internos em Acutângulo, Obtusângulo ou
Retângulo. Nessas condições, como classificar
um triângulo cujos ângulos internos são
diretamente proporcionais a 1/3, 1/4 e 1/12?
Gab: O triângulo é Retângulo.
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
5
6
n.d.a
11-Se x 
e os números x, x – 1 e 10 são
lados de um triângulo, então o número de
possibilidades de x é:
3-Classifique quanto à sua natureza o triângulo
de lados
3
4
5
12
n.d.a
1
2
3
4
> 10
12-(UFG GO-96) Um aluno tinha como tarefa
esboçar vários triângulos e produziu as cinco
figuras abaixo, onde os comprimentos dos lados
estão indicados em uma mesma unidade de
comprimento.
9
9
13
5
12
3
6
4
12
6
8
6
6
10
8
Com base nos números acima, é correto afirmar
que a soma dos itens corretos é: Gab.:16
01.exatamente dois deles são triângulos
isósceles;
02.exatamente dois deles são triângulos
retângulos
04.exatamente dois deles possuem ângulo
obtuso;
08.exatamente dois dos triângulos acima são
semelhantes;
16.uma das figuras acima está errada, pois não
se pode construir um triângulo com tais
medidas.
1
13-Se x  e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são
os lados de um triângulo, então o número de
possibilidades de x é:
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
5
6
7
14-(UFG GO-99) Determine um triângulo
isósceles, cujo perímetro é 18 cm e a área é
12cm2, sabendo que a medida de seus lados são
números inteiros. Gab: o triângulo tem um lado
medindo 8 cm e os outros lados medindo 5 cm.
15-(PUC MG-03) Um estandarte feito de pano
tem a forma de um triângulo isósceles de altura
medindo 1,60 metros e de área medindo 1,92
metros quadrados.
Uma fita com 2,0
centímetros de largura foi costurada ao longo de
todo o contorno do estandarte. Pode-se estimar
que o comprimento aproximado dessa fita, em
metros, é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
2/3
1
4/3
3/2
2
5-(Cefet PR-01) Uma indústria de cosméticos
deseja embalar sabonetes esféricos de raio 3 cm.
A embalagem deverá ter formato cilíndrico de
forma a acondicionar 3 sabonetes, como mostra
a figura (vista superior da embalagem aberta). A
medida do raio e a altura da embalagem, em cm,
deverão ser de, aproximadamente: ( 3 = 1,73)
3,20
4,60
5,30
6,40
Cevianas
1-O segmento AG é parte da mediana AM da
figura abaixo, se GM mede 15 cm e G é o
baricentro, quanto mede AG?
a)
b)
c)
d)
e)
6,73
3,46
6,73
6,46
6,46
e
e
e
e
e
3.
6.
6.
6.
3.
6-(UnB DF-92/Julho) Julgue os itens abaixo.
ECEEEC
2-A bissetriz de um ângulo mede 2y, então o
triplo do ângulo mede:
3-As bissetrizes de dois ângulos adjacentes
formaram um ângulo de 46º. Se um dos ângulos
mede 32º, calcule a medida do outro ângulo.
4-(UFMG) No paralelogramo ABCD, da figura,
BD = 3m, M é o ponto médio do segmento BC
e X, o ponto de interseção dos segmentos BD e
AM . A medida do segmento BX , em metros,
é:
00.Em um triângulo qualquer as circunferências
circunscrita e inscrita são necessariamente
concêntricas.
01.O centro da circunferência inscrita em um
triângulo é o ponto de intersecção das bissetriz
dos ângulos internos.
02.Se r é o raio da circunferência inscrita em um
triângulo de lado a, b e c, então a área do
triângulo é
2
(a  b  c)r.
3
03.Se r é o raio da circunferência inscrita e o
triângulo é equilátero, então seu lado mede
3r .
04.Os vértices do triângulo são eqüidistantes do
centro da circunferência inscrita.
05.Se o triângulo inscrito na circunferência de
raio 2 cm tem 1 ângulo reto, então um de seus
lados mede 4 cm.
2
7-(PUC RJ-99) Seja ABC um triângulo
eqüilátero de lado 1 cm em que O é o ponto de
encontro das alturas. Quanto mede o segmento
1
AO? Gab:
cm
3
8-(Fuvest SP-04) Um triângulo ABC tem lados
de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2.
Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a
bissetriz relativa ao ângulo AĈB e CN é a
altura relativa ao lado AB . Determinar o
comprimento de MN . Gab: MN 
11
30
9-(Fuvest SP-05)A soma das distâncias de um
ponto interior de um triângulo eqüilátero aos
seus lados é 9. Assim, a medida do lado do
triângulo é:
a)
5 3
b)
6 3
c)
7 3
d)
8 3
e)
9 3
a)
b)
c)
d)
e)
80º
100º
90º
110º
n.d.a
13-(UEG GO-04) Calcule a altura do triângulo
de vértices A(1,1), B(1,5) e C (1  2 3,3) .
Gab: H  2 3
14-(UFMT MT-06) Deseja-se instalar uma
fábrica num lugar que seja eqüidistante dos
municípios A, B e C. Admita que A, B e C são
pontos não colineares de uma região plana e que
o triângulo ABC é escaleno. Nessas condições,
o ponto onde a fábrica deverá ser instalada é o:
a) centro da circunferência que passa por
A, B e C.
b) baricentro do triângulo ABC.
c) ponto médio do segmento BC.
d) ponto médio do segmento AB.
e) ponto médio do segmento AC.
10-(Unificado RJ-96) Na figura abaixo, os
pontos A, B e C representam as posições de três
casas construídas numa área plana de um
condomínio. Um posto policial estará localizado
num ponto P situado à mesma distância das três
casas. Em Geometria, o ponto P é conhecido
com o nome de:
A
12-Num triângulo ABC, o ângulo  = 20º,
sendo O o incentro, então BÔC é:
15-(Unifesp SP-03) Numa circunferência de
raio R > 0 consideram-se, como na figura, os
triângulos eqüiláteros T1 , inscrito, e T2 ,
circunscrito. A razão entre a altura de T2 e a
altura de T1 é:
T2
B
T1
0
R
C
a)
b)
c)
d)
e)
baricentro
ortocentro
circuncentro
incentro
ex-incentro
11-(ITA SP-07) Seja C1 uma circunferência de
raio R1 inscrita num triângulo equilátero de
altura h. Seja C2 uma segunda circunferência, de
raio R2, que tangencia dois lados do triângulo
internamente e C1 externamente. Calcule (R1 
R2)/h. Gab:
2
9
a)
b)
c)
d)
e)
4.
3.
5/2.
2/3.
2.
16-(UEM PR-05) Considere ABC um triângulo
inscrito em uma semicircunferência de diâmetro
BC cuja medida do ângulo C é 20º. Determine a
medida, em graus, do ângulo formado pela
altura e pela mediana relativas à hipotenusa.
Gab: 50
3
17-(UFLA MG-06) Um triângulo eqüilátero de
lado 3 cm é girado em torno de um eixo
perpendicular ao triângulo e que passa pelo seu
baricentro. Se o giro foi de 60º, o valor do
perímetro da figura obtida pela superposição do
triângulo original e do triângulo obtido pelo giro
é de:
a) 12
b) 15
a) c) 9 2
b) d) 9 3
18-(UFPI PI-06) A medida do raio do círculo
inscrito num triângulo retângulo, cujos catetos
medem 6cm e 8cm, é:
a)
b)
c)
d)
e)
20-(UEM PR-06) Em um plano  , a mediatriz
de um segmento de reta AB é a reta r que passa
pelo ponto médio do segmento de reta AB e é
perpendicular a esse segmento. Assinale a
alternativa incorreta.
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a
distância de P ao ponto A é igual à
distância de P ao ponto
B.
b) A interseção das mediatrizes de dois
lados de um triângulo qualquer em
 é o circuncentro do triângulo.
c) Qualquer ponto do plano  que não
pertença à reta r não eqüidista dos
extremos do segmento AB.
d) As mediatrizes dos lados de um
triângulo podem se interceptar em
três pontos distintos.
e) A reta r é a única mediatriz do
segmento de reta AB em  .
21-(UFMG MG-05) Observe esta figura:
12 cm
10 cm
7 cm
2 cm
3 cm
19-(FGV-07) Na figura, AN e BM são medianas
do triângulo ABC, e ABM é um triângulo
eqüilátero cuja medida do lado é 1.
Nessa figura, os segmentos AB e BC são
perpendiculares, respectivamente, às retas r e s.
AP  PB , BQ  QC e a
ˆ é . Considerando-se
medida do ângulo POQ
Além disso,
essas informações, é CORRETO afirmar que a
A medida do segmento GN é igual a:
2 2
a)
3
6
b)
3
5
c)
3
7
d)
6
medida do ângulo
quadrilátero AOCB é:
interno
ˆ
AOC
do
a) 2
b)
5

2
c) 3
d)
3

2
4
22-(Fatec SP) Na figura abaixo, r é a bissetriz
do ângulo ABC. Se
a)
b)
c)
d)




  40   30
o
o
, então:
2-(UFMG) Na figura , AC=CB=BD e A=25º. O
ângulo x mede:
a)
b)
c)
d)
e)
= 0o
= 5o
= 35o
= 15o
23-(Fuvest SP) Na figura abaixo, AB = AC, O é
o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo
ABC, e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo Â.
Então a medida do ângulo  é:
50º
60º
70º
75º
80º
3-(PUC – SP) Na figura, BC=CA=AD=DE. Se
os pontos B, C, D e E são colineares, o ângulo
CAD mede, em graus:
B
0
A
a)
b)
c)
d)
e)
18o
24o
30o
36o
45o
C
TRIÂNGULOS
a)
b)
c)
d)
e)
10
20
30
40
60
4-(Fuvest) No retângulo abaixo, o valor, em
graus, de a+b é:
1-(UFES) O triângulo ABC da figura é isósceles
com
base
CB.
Sabendo-se
que
BC=CD=DE=EF=FA, o valor de A é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
50
90
120
130
220
10º
15º
20º
25º
30º
5
5-Sabendo que ABCD é um quadrado e que
CDE é um triângulo eqüilátero, calcule a
medida x do ângulo AÊD.
a)
b)
c)
d)
e)
40º
30º
60º
75º
90º
9-Na figura, CD=CA. Além disso, o triângulo
ABC é eqüilátero. Descubra a medida dos
ângulos a, c e d. R: 30,30,120
10-(FUVEST-SP) Na figura AB = BD = CD,
então:
a)
b)
c)
d)
y = 3x
y = 2x
x + y = 180°
x=y
6-Determine a medida dos ângulos assinalados:
R:235º
11-(UFU MG-05) Na figura abaixo o ângulo x,
em graus, pertence ao intervalo:
7-(FUVEST) Na figura seguinte encontre o
valor de a:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
18º
12º
20º
22º
24º
8-Num trapézio de altura 3 cm, as bases medem
6 cm e 8 cm. Prolongando-se os lados oblíquos
obtêm-se dois triângulos. Calcule a medida da
altura do maior deles. Gab.: 9
(0º, 15º)
(15º, 20º)
(20º, 25º)
(25º, 30º)
12-(Unimontes MG-06) Em um triângulo, a
soma dos ângulos internos é 180º. Quais as
medidas dos ângulos de um triângulo cujos
ângulos são inversamente proporcionais a
1
,
2
1 1
e ?
3 5
a)
b)
c)
d)
18º, 54º e 108º
36º, 54º e 90º
90º, 36º e 64º
36º, 54º e 100º
6