Estatística Básica
Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Lição 5 – Medidas Descritivas
– Medidas de Dispersão
Após concluir o estudo
desta lição, esperamos
que você possa:
• identificar o objetivo das medidas de dispersão;
• identificar o conceito de variância;
• identificar o conceito de desvio-padrão;
• identificar o conceito de coeficiente de variação;
• executar operações de cálculo de variância;
• executar operações de cálculo de desvio-padrão;
• executar operações de cálculo de coeficiente de
variação.
Veja os temas que você irá estudar nesta lição:
• Tema 1 – Finalidade das medidas de dispersão.
• Tema 2 – Cálculo das medidas de dispersão:
variância, desvio-padrão e coeficiente de variação.
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Estatística Básica
Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
CONVERSA INICIAL
Provavelmente você já se familiarizou com as principais operações
estudadas até o momento, principalmente aquelas relacionadas à
captação de dados, apresentação tabular de dados, apresentação
gráfica de dados e estatística descritiva.
Todos esses conceitos, regras e instrumentos, associados com
outros conhecimentos e habilidades, serão muito úteis quando, no
seu dia-a-dia pessoal e profissional, você for incumbido de realizar
tarefas que envolvem a Estatística Básica, inclusive a elaboração
de certos relatórios.
Conforme você estudou na Lição 4, as medidas descritivas dividem-se
em medidas de tendência central e medidas de dispersão.
Nesta lição você estudará três medidas de dispersão: a variância, o
desvio-padrão e o coeficiente de variação.
TEMA 1 – FINALIDADE DAS MEDIDAS DE DISPERSÃO
Qual é a finalidade das medidas de dispersão?
As medidas de dispersão servem para indicar a ocorrência de
muita discrepância entre o valor mínimo e o valor máximo de um
conjunto de dados.
Essas medidas indicam se os dados estão concentrados ou dispersos e o quanto são adequados para representar um conjunto.
Entenda melhor esse conceito com as explicações
a seguir:
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Estatística Básica
Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Tomemos como referência a média de altura dos brasileiros. O Brasil
apresenta uma grande miscigenação de povos e, por isso, há uma
grande variação (dispersão) na altura dos habitantes.
Quando se diz que a altura média do brasileiro é de 1,65m, com certeza
há pessoas de 1,20m a 2,20m.
Em países onde não ocorre essa miscigenação tão marcante, para uma
população com altura média de 1,65m, provavelmente, os extremos
irão variar entre 1,55m e 1,75m.
Perceba que a média é a mesma, mas os extremos dos dados são
bastante diferentes.
Para entender melhor as medidas de dispersão, vamos retomar um
pouco as medidas de tendência central, mais precisamente a média
aritmética simples.
Acompanhe nos exemplos a seguir:
Exemplo nº 1
Caso alguém se referisse a uma média de 58,1, pode ser que você não
imaginasse que 9 e 100 fazem parte desse conjunto, não é mesmo?
Esses números estão muito longe da média, mas é bastante razoável
pensar que a média 63,3 inclui o valor 55 ou 70. Confira:
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Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
A = { 50, 55, 60, 65, 70, 75 }
Média aritmética = 62,5
B = { 9, 9, 40, 80, 81, 88, 100 }
Média aritmética = 58,1
Dois grupos de números podem possuir a mesma média, mas serem muito diferentes na amplitude de variação de seus dados. Por
exemplo:
Grupos (dados observados)
Números
A
5; 5; 5
B
4; 5; 6
C
0; 5; 10
Nesse caso, a média dos três grupos é igual a 5.
Exemplo nº 2
Observe outra situação-problema:
Três operadores de determinada Unidade Operacional dos Correios
triam objetos em 3 caixetas de correspondências, simultaneamente.
Ao final da operação, a média de objetos triados foi a mesma para os
três operadores.
Será que a quantidade triada, em cada caixeta,
foi a mesma?
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Estatística Básica
Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Verifique na tabela:
Quantitativo de Objetos Triados
Operador
Caixeta 1
Caixeta 2
Caixeta 3
Média
1
450
210
120
260
2
310
290
180
260
3
50
400
330
260
No exemplo dos grupos: A, B e C, a média aritmética dos objetos
triados é a mesma, mas há variação dos dados.
Dessa forma, uma maneira mais minuciosa e completa de apresentar os dados (além de aplicar uma medida de tendência central
como a média), é aplicar uma medida de dispersão.
Quando um conjunto de dados varia pouco em
relação à média, é porque essa média representa
bem o conjunto.
TEMA 2 – CÁLCULO DAS MEDIDAS DE DISPERSÃO:
VARIÂNCIA, DESVIO-PADRÃO E COEFICIENTE DE
VARIAÇÃO
Afinal, como proceder para efetuar o cálculo
das medidas de dispersão?
As medidas são calculadas pela aplicação de fórmulas que utilizam símbolos. Para melhor entendimento dessas fórmulas serão
apresentados alguns desses símbolos, ou seja, você vai conhecer
a notação utilizada nas fórmulas.
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Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Notação é o conjunto dos símbolos utilizados nas
fórmulas para expressar corretamente as medidas
e potências envolvidas nos dados.
Genericamente, um número pertence a um conjunto e é representado por uma letra e um índice: xi.
A notação “x” representa um dado qualquer de um conjunto onde o
índice “i” indica a ordem do número no conjunto. Se i = 1 é porque
se trata do primeiro elemento do conjunto; sendo i = 2 o segundo
elemento e assim por diante.
Acompanhe um exemplo:
O conjunto {7, 8, 10, 9} representa as notas obtidas por
um empregado dos Correios que participou do Curso de
Formação de Técnicos Operacionais – TOP. Observe a
representação:
x1 = 7
x2 = 8
x3 = 10
x4 = 9
O tamanho do conjunto é representado pela letra n. Nesse
exemplo, n = 4, ou seja, o conjunto possui 4 elementos. A
letra n indica ainda, o maior valor possível para i.
A letra grega Σ, chamada sigma é também um símbolo importante e representa o somatório ou a soma de um conjunto de números. A soma de
um conjunto de n elementos é representada pela seguinte fórmula:
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Estatística Básica
Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
De posse dessas informações, conheça as medidas de dispersão.
Variância
Vamos começar pela variância. Para a estatística, a variância de uma
variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando
quão longe, em geral, os seus valores se encontram do valor esperado.
O seu símbolo é s². Observe a fórmula:
onde,
•
•
•
•
s² é a variância;
xi é o i-ésimo dado observado;
é a medida de tendência central;
“n” é a quantidade de dados.
Para exemplificar, vamos utilizar a média aritmética
como medida de tendência central, a partir da situação de postagens de cartas simples abordada nas
lições anteriores:
Dia da semana
Quantidade de
cartas simples
Segunda-feira
1.027,0
1.947,9
848.056,8
Segunda-feira
1.259,0
1.947,9
474.583,2
Quinta-feira
1.852,0
1.947,9
9.196,8
Quarta-feira
1.935,0
1.947,9
166,4
Quinta-feira
2.004,0
1.947,9
3.147,2
Quarta-feira
2.004,0
1.947,9
3.147,2
Terça-feira
2.198,0
1.947,9
62.550,0
Terça-feira
2.312,0
1.947,9
132.568,8
Sexta-feira
2.327,0
1.947,9
143.716,8
Sexta-feira
2.561,0
1.947,9
375.891,6
Somatório
2.053.024,9
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Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Desvio-padrão
O desvio-padrão é representado pela raiz quadrada da variância, seu
símbolo é s e o seu cálculo é efetuado por meio da utilização da seguinte fórmula:
Veja um exemplo, a partir daquele apresentado para
a variância:
Você provavelmente percebeu que o desvio-padrão é uma medida
mais fácil de ser entendida, pois se encontra na mesma dimensão
dos dados e não ao quadrado.
Coeficiente de variação
Para quem não possui formação em estatística, talvez seja a medida mais simples de ser usada para verificar se os dados estão
variando muito ou pouco.
Trata-se da divisão do desvio-padrão pela medida de tendência
central utilizada e o seu valor varia entre zero e um. Sua fórmula
é a seguinte:
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Estatística Básica
Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Partindo ainda do exemplo apresentado anteriormente e considerando que foi utilizada a média aritmética
para calcular o desvio-padrão, então temos:
Veja 2 importantes dicas para facilitar a sua
compreensão:
•
Quanto menor o coeficiente de variação, menos dispersos
estão os dados, ou seja, estão mais próximos da medida de
tendência central utilizada.
•
Uma vez que o coeficiente de variação do exemplo apresentado foi de 0,25, isso indica que os dados estão bastante concentrados em relação à média. Sendo assim, pode-se concluir
que a postagem de cartas simples no período observado,
segue um padrão regular e ocorre pouca variação.
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Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Nesta lição você aprendeu que:
• As medidas de dispersão servem para indicar a ocorrência de muita
discrepância entre o valor mínimo e o valor máximo de um conjunto
de dados.
• Quando um conjunto de dados varia pouco em relação à média, é
porque essa média representa bem o conjunto.
• A variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe, em geral, os seus valores se
encontram do valor esperado.
• O desvio-padrão é representado pela raiz quadrada da variância.
• O coeficiente de variação é obtido por meio da divisão do desvio-padrão pela medida de tendência central utilizada e o seu
valor varia entre zero e um.
• As medidas de tendência central (média aritmética, moda e mediana), descrevem apenas uma das características dos valores
numéricos de um conjunto de observações: o da tendência central.
Porém, nenhuma delas informa sobre o grau de variação ou dispersão dos valores observados.
• Em qualquer grupo de dados, os valores numéricos não são semelhantes e apresentam desvios variáveis em relação à tendência
geral da média. Por isso, as medidas de dispersão servem para
avaliar o quanto os dados são semelhantes e o quanto estão distantes do valor central. Servem também para avaliar qual o grau
de representação da média.
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Estatística Básica
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Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
EXERCÍCIO
Instruções:
1. Este exercício tem o objetivo de consolidar a sua aprendizagem.
2. Após a conclusão, verifique as “Respostas e Comentários das Atividades de
Autoavaliação da Aprendizagem”, disponíveis no final deste livro didático.
3. Se necessário, retorne aos conteúdos para reforçar a sua aprendizagem.
4. Este exercício não valerá nota.
Questão nº 1
Escreva a letra V para as afirmativas verdadeiras e a letra F para as falsas, em relação
ao objetivo das medidas de dispersão.
(
(
(
(
) As medidas de dispersão indicam a ocorrência de muita discrepância entre o valor
mínimo e o valor máximo de um conjunto de dados.
) As medidas de dispersão indicam os valores centrais ou típicos de um conjunto.
) As medidas de dispersão indicam a média aritmética de um conjunto de dados e
têm a finalidade de auxiliar a compreensão dos problemas e a representação de
ideias e conceitos.
) As medidas de dispersão indicam se os dados estão concentrados ou dispersos
e o quanto são adequados para representar um conjunto.
Selecione a alternativa que apresenta a CORRETA indicação, de cima para baixo:
A. (
B. (
C. (
D. (
) V, F, F, V
) V, F, V, F
) V, V, F, F
) V, V, V, F
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Estatística Básica
Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Questão nº 2
Associe os conceitos às respectivas medidas de dispersão:
(1) Variância
(2) Desvio-padrão
(3) Coeficiente de variação
(
(
(
) Divisão do desvio-padrão pela medida de tendência central utilizada, sendo que seu
valor varia entre zero e um.
) Raiz quadrada da variância.
) Indica quão longe, em geral, os seus valores se encontram do valor esperado.
Selecione a alternativa que apresenta a CORRETA associação, de cima para baixo:
A. (
B. (
C. (
D. (
) 3, 2, 1
) 1, 2, 3
) 2, 3, 1
) 2, 1, 3
Questão nº 3
O cliente Brasil Representações S/A tem um contrato de postagem de Sedex a faturar com
os Correios. De acordo com os dados abaixo e tendo como base a média aritmética, calcule
a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação.
a) O valor da variância é: ___________________________________________________
b) O valor do desvio-padrão é: _______________________________________________
c) O valor do coeficiente de variação é: ________________________________________
Estatística Básica
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Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Dias de
Postagem
Peso dos
objetos (Kg)
1
1,020
2
0,890
3
2,560
4
1,560
5
0,750
6
1,800
7
0,560
8
0,480
9
1,250
10
0,720
11
0,320
12
0,560
Variância
Desvio-padrão
Coeficiente de variação
peso-média
(peso-média)²
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Estatística Básica
Lição 5 – Medidas Descritivas – Medidas de Dispersão
Parabéns! Você concluiu o estudo da lição 5!
Faça, agora, uma autoavaliação da sua aprendizagem.
Relembre os objetivos de aprendizagem apresentados no início desta lição:
•
•
•
•
•
•
•
identificar o objetivo das medidas de dispersão;
identificar o conceito de variância;
identificar o conceito de desvio-padrão;
identificar o conceito de coeficiente de variação;
executar operações de cálculo de variância;
executar operações de cálculo de desvio-padrão;
executar operações de cálculo de coeficiente de
variação.
Verifique agora:
Se você
então
•
verifique se há pendências nas lições estudadas;
•
verifique sua agenda de estudo no cronograma de
atividades no Guia do Participante;
atingiu os objetivos de
aprendizagem desta lição,
•
acesse o ambiente UniCorreios Virtu@l no endereço
http://unicovirtual/moodle/, faça seu login e realize
as seguintes atividades:
a) Avaliação da Aprendizagem Final;
b) Avaliação de Reação (pesquisa de satisfação).
não atingiu os objetivos de
retorne aos conteúdos necessários para reforçar a sua
aprendizagem desta lição,
aprendizagem.