Comunicado 18
Técnico
ISSN 0102-099
Dezembro, 2005
Boa Vista, Roraima
Bioecologia do caimbé [Curatella americana L.
(Dilleniaceae)] (i) : Distribuições de probabilidade de
parâmetros dendrométricos
Moisés Mourão Jr. 1
Reinaldo Imbrozio Barbosa 2
Introdução
O uso de modelos biométricos em estudos
populacionais é uma aplicação recorrente
exemplo, pela avaliação de outras
distribuições de probabilidade com um
grau de plasticidade maior.
em diversas situações, sejam para a
Curatella americana L. (caimbé;
descrição dos seus parâmetros, avaliação
Dilleniaceae) é considerada como uma
indireta de efeitos sob o ambiente onde a
espécie fogo-clímax sendo uma das mais
população se encontra ou como prognose,
abundantes nas áreas de savana aberta
especialmente por meio de simulação.
de Roraima, no extremo norte da
Dentre os modelos biométricos, um dos
mais freqüentes e básicos, são as
distribuições de probabilidade, que com
base em propriedades de suficiência,
sintetizam as características das
realizações de variáveis aleatórias de uma
Amazônia brasileira. Juntamente com as
espécies Byrsonima crassifolia (L.) H.B.K.
e Byrsonima coccolobifolia Kunth. somam
mais de 90% da biomassa total (arbóreoarbustiva) acima do solo daquela
paisagem (Barbosa e Fearnside, 2004).
população em um conjunto definido de
Assim, considerando a importância
parâmetros, sendo que esta síntese é
ecológica da espécie na fitofisionomia das
válida em um determinado nível de
áreas de savana aberta do extremo norte
significância.
amazônico, e a da ausência de
Em populações naturais a pressuposição
de que as realizações das variáveis
aleatórias que as caracterizam seguem
distribuições de probabilidades clássicas,
como a normal, não é necessariamente
informações básicas sobre seu
comportamento nestes ambientes,
justifica-se a realização de estudos que
contemplem indicadores dendrométricos
para aplicações no manejo da espécie.
válida, o que pode ser refutado, por
1
Biólogo, M. Sc., pesquisador da Embrapa Roraima. BR 174, km 08. Distrito Industrial. Caixa Postal: 133. 69301-970. Boa
Vista - Roraima, [email protected]
2
Engenheiro florestal, Dr., pesquisador do Instituto Nacional de Pesquisas da Amazônia [INPA-RR]. Rua Coronel Pinto, 315.
Centro. 69301-970. Boa Vista - Roraima, [email protected]
2
Bioecologia do caimbé (Curatella americana) (i): Distribuições de probabilidade
O presente trabalho tem como objetivo
situadas próximas da cidade de Boa Vista
determinar as distribuições de
(Monte Cristo e Caranã). Todos os
probabilidade mais adequadas e fornecer
espécimes tiveram tomadas as seguintes
condições para simular a estrutura de
medidas dendrométricas: diâmetro da
populações de C. americana nos
base, altura total e diâmetro da copa.
ambientes de savana aberta do extremo
Foram aplicadas as distribuições de
norte amazônico.
probabilidade contínuas mais comumente
Material e Métodos
empregadas, em pesquisa florestal,
perfazendo um total de 18 distribuições de
Foram avaliados 50 indivíduos,
probabilidade (Tabela 1) (Johnson, Kotz e
distribuídos em duas áreas experimentais
Tabela 1
Balakrishnan, 1994, 1995).
Funções de distribuição de probabilidade [f.d.p.] aplicadas aos indicadores
dendrométricos de Curatella americana.
Distribuição
f.d.p.
1
f(x) =
Normal
f(x) =
Log normal
2πσ
1
x 2πσ
f(x)=
Exponencial
f(x) = βe −βx
f(x) = βe −β(x-γ)
Gama
Gama 3P
f(x) =
e
2
( x −µ )2
2 σ2
−
(ln(x)−µ )2
1
Log normal 3P
Exponencial modificada
Beta
e
2
−
(x-γ ) 2πσ
2
2 σ2
e
-
(ln(x-γ )-µ )2
2σ 2
x α −1 (1 − x)α − 1
Bet a(α1 , α2 )
1
2
−α
α −1
−
x
β
f(x) =
β x e
Γ(α)
f(x) =
β (x - γ ) e
Γ(α)
−α
α −1
γ
β
−
(x -γ )
β
Log gama
e x β−1  ln ( x − γ ) 


f(x) =
β Γ( α ) 
β

Gama invertida
x −(α +1) e x
f(x) = −α
β Γ(α)
−
Gumbel Mínimo
Gumbel Máximo
f(x) =
f(x) =
e
e
− (γ − x)
β
− (x − γ)
β
α −1
β
e −e
β
e −e
β
− (γ − x)
β
− (x − γ)
β
continua...
3
Bioecologia do caimbé (Curatella americana) (i): Distribuições de probabilidade
Distribuição
Onde:
f.d.p.
α β 


β  γ - x 
α +1
Frechet Mínimo
f(x) =
Frechet Máximo
αβ
f(x) =  
βx
Frechet Máximo 3P
α β 

f(x) = 
β  x - γ 
Weibull Máximo
α γ − x 

f(x) = 
β  β 
Weibull Mínimo
αx
f(x) =  
ββ 
Weibull Mínimo 3P
α  x -γ
f(x) = 
β β
e
α +1
e
β
− 
x
α +1
e
 β 

−
 x -γ 
e
e
x
−
β
α −1
e
α
α
α +1
α −1



 β 
−

 γ-x 
α
 γ -x 

−
 β 



α
α
 x -γ
−
 β



α
3P – três parâmetros; α – parâmetro forma; β – parâmetro escala; γ –
parâmetro de posição; Beta – função beta; Γ – função gama; µ – média; σ2 variância
Resultados
A seleção das distribuições que
apresentaram maior aderência entre os
Com relação ao diâmetro da base, as seis
valores observados e os estimados pela
distribuições que apresentaram aderência,
distribuição teórica teve como critério os
em ordem decrescente de significância:
testes de χ2 (p≥0,10) (Conover, 1983).
Log normal, Weibull mínimo (p<0,40),
As análises foram conduzidas com auxílio
Beta (p<0,30), Gumbel máximo, Log gama
e Normal (p<0,15) (Tabela 2).
da planilha eletrônica Excel, do pacote
SAS System® e do software gratuito
VTFIT (Cooke, 1993).
Tabela 2
Parâmetros e aderência das distribuições de probabilidade aplicadas as
medidas de diâmetro da base [DB] de Curatella americana.
Distribuições
Normal
Log normal
Log normal 3P
Exponencial
Exponencial modificada
Beta
Gama
Gama 3P
Log gama
Gama inversa
Gumbel mínimo
µ
σ2
10,46 22,13
2,25
0,21
2,58
0,11
β
Parâmetros
αi
α2
γ
-3,44
0,10
0,12
2,38
5,16
2,16
4,83
3,92
2,06
-0,04 123,45
35,56
4,22
13,05
6,04
2,45
2,40
7,26
Aderência
p
χ2(9)
13,60 0,14
9,60
0,38
19,60 0,02
57,60 0,00
59,20 0,00
2,45 27,37 11,20 0,26
20,00 0,02
16,40 0,06
13,60 0,14
continua...
18,40 0,03
41,20 0,00
min
max
4
Bioecologia do caimbé (Curatella americana) (i): Distribuições de probabilidade
Distribuições
Gumbel máximo
Frechet mínimo
Frechet máximo
Frechet máximo 3P
Weibull máximo
Weibull mínimo
Weibull mínimo 3P
Onde:
µ
σ
2
β
8,34
23,51
7,37
4,16
25,75
11,81
9,06
Parâmetros
αi
α2
3,67
3,24
1,98
1,38
6,16
2,33
1,77
γ
min
max
38,44
1,50
34,76
2,19
Aderência
p
χ2(9)
13,60 0,14
69,60 0,00
22,00 0,01
50,00 0,00
15,20 0,09
9,60
0,38
203,60 0,00
3P – três parâmetros; αi– parâmetro forma; β – parâmetro escala; γ –
parâmetro de posição; min – mínimo; max – máximo; µ – média; σ2 - variância
Vista a aderência da distribuição e a
No caso da altura total, 09 distribuições
facilidade de implementação, optou-se
apresentaram aderência, sendo estas, em
pela distribuição lognormal para descrição
ordem decrescente: Log normal 3P
do parâmetro diâmetro da base, sendo a
(p<0,70), Normal, Gumbel máximo, Log
função distribuição representada na .
normal, Log gama (p<0,40), Gama, Gama
inversa, Weibull máximo (p<0,30), Beta
(p<0,20) (Tabela 3).
Tabela 3
Parâmetros e aderência das distribuições de probabilidade aplicadas as
medidas de altura total de Curatella americana.
Distribuições
Normal
Log normal
Log normal 3P
Exponencial
Exponencial modificada
Beta
Gama
Gama 3P
Log gama
Gama inversa
Gumbel mínimo
Gumbel máximo
Frechet mínimo
Frechet máximo
Frechet máximo 3P
Weibull máximo
Weibull mínimo
Weibull mínimo 3P
Onde:
µ
2,77
0,94
2,00
σ2
1,05
0,17
0,02
β
Parâmetros
αi
α2
γ
min
max
0,90
5,00
-4,67
0,36
0,53
0,44
1,14
-0,16
12,64
3,30
2,26
4,18
2,07
2,88
3,74
3,11
2,29
0,90
1,69
6,31
1,64
7,14
5,39
1,04
0,90
3,81
2,24
3,00
4,02
2,95
1,99
2,13
0,90
2,05
7,58
-0,75
6,15
0,70
Aderência
p
χ2(9)
9,20
0,42
10,00 0,35
7,20
0,62
57,20 0,00
60,80 0,00
12,40 0,19
10,80 0,29
15,20 0,09
10,40 0,32
11,60 0,24
19,60 0,02
9,60
0,38
22,00 0,01
20,40 0,02
18,00 0,04
11,60 0,24
15,60 0,08
260,00 0,00
3P – três parâmetros; αi – parâmetro forma; β – parâmetro escala; γ –
parâmetro de posição; min – mínimo; max – máximo; µ – média; σ2 - variância
Considerando a aderência da distribuição
descrição do parâmetro altura total, sendo
e a maior facilidade de implementação,
a função distribuição representada na .
optou-se pela distribuição normal para
5
Bioecologia do caimbé (Curatella americana) (i): Distribuições de probabilidade
No caso do diâmetro da copa, apenas três
sendo estas: Gumbel máximo, Log normal
distribuições apresentaram aderência,
e Gama inversa (p<0,20) (Tabela 4).
Tabela 4
Parâmetros e aderência das distribuições de probabilidade aplicadas as
medidas de diâmetro da copa de Curatella americana.
Aderência
Distribuições




min max
2(9)
p
Normal
2,40 2,42
27,60 0,00
Log normal
0,71 0,31
14,40 0,11
Log normal 3P
0,13 1,83
0,60
36,80 0,00
Exponencial
0,42
40,80 0,00
Exponencial modificada
0,56
0,60
43,20 0,00
Beta
1,11
2,85
0,61 7,30 24,40 0,00
Gama
0,80
3,00
20,40 0,02
Gama 3P
1,53
1,17
0,60
18,40 0,03
Log gama
0,04 190,67
-7,07
18,00 0,04
Gama inversa
5,92
3,36
14,40 0,11
Gumbel mínimo
3,29
2,03
66,40 0,00
Gumbel máximo
1,78
0,95
12,80 0,17
Frechet mínimo
7,07
2,99
10,80
103,20 0,00
Frechet máximo
1,55
1,92
18,00 0,04
Frechet máximo 3P
0,62
0,95
0,60
35,20 0,00
Weibull máximo
6,46
5,23
8,49
32,80 0,00
Weibull mínimo
2,72
1,70
3,00
0,00
Weibull mínimo 3P
1,89
1,17
0,60
243,60 0,00
Onde:
3P – três parâmetros; αi – parâmetro forma; β – parâmetro escala; γ –
parâmetro de posição; min – mínimo; max – máximo; µ – média; σ2 - variância
2
Vista a aderência da distribuição e a
facilidade de implementação, optou-se
pela distribuição lognormal para descrição
do diâmetro da copa, sendo a função
distribuição representada na Fig. 3.
Parâmetros
i
2
Conclusão
Mesmo com um baixo número de
indivíduos amostrais, este estudo sugere
que as distribuições de probabilidade de
C. americana nos ambientes de savana
aberta do extremo norte da Amazônia
brasileira seguem os seguintes padrões:
lognormal para diâmetro de copa e
diâmetro de base e, normal para altura
total.
Bioecologia do caimbé (Curatella americana) (i): Distribuições de probabilidade
0,18
1,0
0,16
0,8
0,14
0,12
p(i)
0,08
0,4
p(i)cum.
0,6
0,10
0,06
0,04
0,2
0,02
0,00
0
6
12
18
0
30
24
Diâmetro da base (cm)
Fig. 1 Ajuste da distribuição de probabilidade lognormal
aos valores de diâmetro da base de Curatella americana.
1,0
0,20
Função densidade
Observada
Estimada
0,8
Probabilidade cumulativa
Observada
Estimada
0,6
p(i)
0,12
0,08
0,4
0,04
0,2
0,00
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
p(i)cum.
0,16
0
5,5
Altura total (m)
Fig. 2 Ajuste da distribuição de probabilidade normal aos
valores de altura total de Curatella americana.
0,30
1,0
0,25
0,8
0,20
0,6
Função densidade
Observada
Estimada
0,15
0,4
0,10
Probabilidade cumulativa
Observada
Estimada
0,2
0,05
0,00
0
1
2
3
4
5
6
p(i)cum.
p(i)
6
7
8
0
Diâmetro da copa (m)
Fig. 3 Ajuste da distribuição de probabilidade lognormal
aos valores de diâmetro da copa de Curatella americana.
7
Bioecologia do caimbé (Curatella americana) (i): Distribuições de probabilidade
Referências bibliográficas
BARBOSA, R. I.; FEARNSIDE, P.M. 2004.
Wood density of trees in open savannas of
Blacksburg: Department of Agricultural
Engineering, Virginia Polytecnic Institute.
21p.
the Brazilian Amazon. Forest Ecology and
JOHNSON, N. L.; KOTZ, S.;
Management, 199: 115-123.
BALAKRISHNAN, N. 1994. Continuous
CONOVER, W. J. 1983. Practical
nonparametric statistics. 2nd edition. John
Wiley and Sons. New York. 385p.
COOKE, R. A. 1993. VTFIT: A routine for
fitting homogenous probability density
functions: User documentation.
Univariate Distributions. 2nd edition. Vol. I.
John Wiley, New York. 278p.
JOHNSON, N. L.; KOTZ, S.;
BALAKRISHNAN, N. 1995. Continuous
Univariate Distributions. 2nd edition Vol. II.
John Wiley, New York. 325p.
8
Bioecologia do caimbé (Curatella americana) (i): Distribuições de probabilidade
Comunicado
Técnico, 18
MINISTÉRIO DA AGRICULTURA,
PECUÁRIA E ABASTECIMENTO
Exemplares desta edição podem ser
adquiridos na:
Embrapa Roraima
R O D O VI A B R -174, K M 8 - D I ST R IT O
I N DU ST R IA L
T E L EF A X : (95) 3626 71 25
C X . P O ST A L 133 - CEP. 69.301-970
B O A V I S T A - R O R A I M A - B R AS I L
[email protected]
1ª edição
1ª impressão (2004): 100
Comitê de
Publicações
Presidente: Roberto Dantas de Medeiros
Secretário-Executivo: Amaury Burlamaqui Bendahan
Membros: Alberto Luiz Marsaro Júnior
Bernardo de Almeida Halfeld Vieira
Ramayana Menezes Braga
Aloísio Alcântara Vilarinho
Helio Tonini
Expediente
Editoração Eletrônica: Vera Lúcia Alvarenga Rosendo