Distribuições de Probabilidade
1 Aspectos Gerais
2 Variáveis Aleatórias
3 Distribuições de Probabilidade Binomiais
4 Média e Variância da Distribuição Binomial
5 Distribuição de Poisson
1
1
Aspectos Gerais
Este assunto abordará a construção de
distribuições de probabilidade
Através da combinação de métodos de
Estatística Descritiva com os de Probabilidade.
Distribuições de probabilidade descrevem o que
provavelmente acontecerá, em lugar do que
efetivamente aconteceu.
2
Combinando Métodos de Estatística Descritiva e
Probabilidades para Formar um Modelo Teórico
de Comportamento
Figura 4-1
3
2
Variáveis Aleatórias
4
Definições
™ Variável Aleatória
uma variável (representada geralmente por
x) que tem um valor numérico único
(determinado aleatoriamente) para cada
resultado de um experimento.
™ Distribuição de Probabilidade
um gráfico, tabela ou fórmula que dá a
probabilidade de cada valor da variável
aleatória.
5
Tabela 4-1
Distribuição de Probabilidade
do Número de Vendas por dia
x
P(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.122
0.270
0.285
0.190
0.090
0.032
0.009
0.002
0.000+
0.000+
0.000+
6
Definições
™Variável Aleatória Discreta
ou admite um número finito de valores ou tem
uma quantidade enumerável de valores, onde
‘enumerável’ refere-se ao fato que podem ser
infinitos valores, mas eles são resultados de um
processo de contagem.
™Variável Aleatória Contínua
toma um número infinito de valores, e esses
valores podem ser associados a mensurações
em uma escala contínua, de tal forma que não
haja lacunas ou interrupções.
7
Gráfico Distribuição de
Probabilidades
Probabilidade, P(x)
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Qte. vendas efetuadas
Figura 4-3
8
Condições para uma
Distribuição de Probabilidades
Σ P(x) = 1
onde x assume todos os valores possíveis
0 ≤ P(x) ≤ 1
para todo valor de x
9
Média, Variância e Desvio-Padrão de
uma Distribuição de Probabilidades
Fórmula 4-1
µ = Σ [x • P(x)]
Fórmula 4-2
2
2
σ = Σ [(x - µ) • P(x)]
Fórmula 4-3
2
2
2
σ = [Σ x • P(x)] - µ (shortcut)
Fórmula 4-4
σ = [Σ x 2 • P(x)] - µ 2
10
Definição
Valor Esperado
O valor médio dos resultados
E = Σ [x • P(x)]
Desempenha um importante papel em
Teoria da Decisão.
11
E = Σ [x • P(x)]
Evento
x
P(x)
x • P(x)
Ganha
$499
0.001
0.499
Perde
- $1
0.999
- 0.999
E = -$.50
12
3
Distribuição Binomial
13
Definições
™ Experimento Binomial
1. O experimento deve ter um número fixo de provas.
2. As provas devem ser independentes. (O resultado
de qualquer prova não afeta as probabilidades
das outras provas.)
3. Cada prova deve ter todos os resultados
classificados em duas categorias.
4. As probabilidades devem permanecer constantes
para cada prova.
5. A variável aleatória X é a contagem do número
de tentativas bem-sucedidas em um n tentativas
14
Notação para a Distribuição Binomial
n=
número fixo de tentativas
x = número específico de sucessos em n
tentativas
p = probabilidade de sucesso em uma de n
tentativas
P(x) =probabilidade de obter exatamente x
sucessos em n tentativas
Assegure-se que x e p refiram-se à mesma categoria de
evento que esteja sendo chamado de sucesso.
15
Método 1
Fórmula Probabilidade
Binomial
™ P(x) =
n!
•
(n - x )! x!
™ P(x) = nCx • px
px •
•
n-x
(1-p)
(1-p)n-x
para calculadoras com tecla nCr, onde r = x
16
Exemplo: Um vendedor recebe 20 endereços
para visitar a cada dia. Um morador de cada
endereço manifestou, por correspondência,
interesse de receber o vendedor e discutir o
produto. A experiência do vendedor é que é feita
uma venda em cada 10 domicílios. Qual é a
probabilidade de que sejam feitas 5 vendas em
determinado dia?c
Este é um experimento binomial, onde:
n = 20
x=5
p = 0.10
17
Para n = 20 e p = 0.10
Distribuição de Probabilidades Binomial
x
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
12,00
13,00
14,00
15,00
16,00
17,00
18,00
19,00
20,00
P(x)
0,1216
0,2702
0,2852
0,1901
0,0898
0,0319
0,0089
0,0020
0,0004
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
18
FÓRMULA DE
PROBABILIDADE BINOMIAL
P(x) =
n!
•
(n - x )! x!
Número de
provas com
exatamente x
sucessos em n
tentativas
px
•
qn-x
Probabilidade de
x sucessos em n
tentativas para
qualquer ordem
particular
19
Para Distribuição Binomial:
• Formula 4-6 µ
=n•p
• Formula 4-7 σ = n • p • (1 – p)
2
Formula 4-8 σ =
n • p • (1 - p)
20
Lembrete
• Em geral, máximo dos valores:
µ+2σ
• Em geral, mínimo dos valores:
µ-2σ
21
ELEMENTARY
STATISTICS
Section 4-5
The Poisson Distribution
MARIO F. TRIOLA
EIGHTH
EDITION
22
5
Distribuição de Poisson
23
Definição
Distribuição de Poisson
uma distribuição discreta de
probabilidade, aplicável a ocorrências
de um evento em um intervalo
especificado.
P(x) =
λ x • e -λ onde e ≈ 2.71828
x!
24
Exigências da Distribuição de
Poisson
™
a variável aleatória x é o número de ocorrências de
um evento em um intervalo.
™
as ocorrências devem ser aleatórias
™
as ocorrências devem ser independentes entre si
™
as ocorrências devem ser distribuídas
uniformemente sobre o intervalo em uso
Parâmetros da Distribuição de Poisson
™
™
A média é λ
A variância é λ
25
Poisson como uma
Aproximação da Binomial
™n ≥ 100
™ np ≤ 10
Fórmula 4-6
λ = n •p
26
Exemplo: A requisição de um item de estoque
ocorre, em média, quatro vezes por dia. Qual a
probabilidade de que sejam requisitados 6 itens em
um só dia?
Este é um modelo de Poisson, onde:
λ=4
P(X=6)= 0,104
27
Exemplo: Determinado tipo de fotocopiadora pára
em média uma vez a cada 2.000 cópias. Qual é a
probabilidade de que ocorram mais de duas
paradas quando se fazem 2.000 cópias?
Este é um modelo de Poisson, onde:
λ=1
P(X>2)=
28
Probability Density Function
Poisson with mu = 1,00000
x
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
P( X = x )
0,3679
0,3679
0,1839
0,0613
0,0153
0,0031
0,0005
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
29