Distribuições de Probabilidade
Júlio Osório
Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuições Normais
Diz-se que uma variável aleatória contínua X tem uma
distribuição normal de parâmetros µ (média) e σ (desviopadrão) se a respectiva função de densidade de probabilidade
for:
1  x−µ 
1
− .
f (x) = N(x; µ,σ ) =
. e 2  σ 
2π .σ
2
sendo X e µ∈]-∞, +∞[ e σ>0.
• Na expressão, e é a constante que representa a base dos
logaritmos naturais (e=2.71828…) e π a área de um círculo com raio
unitário (π=3.14159…).
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Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuições Normais
A distribuição normal é a distribuição teórica de probabilidades que
está na base da concepção da maioria dos métodos inferenciais
estudados nesta disciplina.
Muitas (mas não todas!) das características mensuráveis ocorrentes na
Natureza tem uma distribuição aproximadamente normal.
Foi descrita em primeiro lugar pelo matemático de origem francesa
Abraham De Moivre (1667-1754) como sendo a forma limite de uma
distribuiçâo binomial em que p≈q e n→∞.
Vários outros matemáticos deram contributos importantes para o seu
estudo, como Pierre-Simon Laplace (1749-1827) e Karl Friedrich
Gauss (1777-1855). Em homenagem a este último, a distribuição normal
é muitas vezes designada por distribuição de Gauss.
Karl Pearson (1920) baptizou-a de “normal” para evitar “uma questão
internacional de prioridades”.
A curva normal tem a forma de sino e é simétrica em torno da
respectiva média µ, à qual corresponde o “pico” do sino (máximo).
Apresenta dois pontos de inflexão, em x=µ-σ e x=µ+σ, sendo côncava
para baixo no intervalo entre estes dois valores e côncava para cima
para fora deles.
É assimptotótica relativamente ao eixo das abcissas, isto é f(x)
nunca chega atingir um valor igual a zero.
Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuições Normais
A função de distribuição acumulada de variável aleatória
normal X é definida por:
1  x −µ 
1
.e−2. σ  .dx
2π .σ
2
F( x ) = ∫−∞
x
• A função de distribuição acumulada de uma lei normal tem uma
forma sigmóide, e apresenta um ponto de inflexão e de simetria
em X=µ.
• F(xi) representa P(X≤≤xi) para ∀xi∈[-∞
∞,+∞
∞[, e corresponde
graficamente à área sob a curva normal desde -∞ até à recta
vertical levantada em X=xi.
2
Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuições Normais
f ( x ) = N( x ; µ ,σ ) =
1  x −µ 
1
− .
. e 2  σ 
2π .σ
2
Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuições Normais
 x−µ 
 σ  .dx
2
F(x) =
∫
x
−∞
1
2 π .σ
.e
−
1
.
2
50%
15,87%
2,28%
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Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuições Normais
Propriedades exactas da Distribuições Normais:
• Se X é N(µ, σ), então toda e qualquer variável Y que seja uma
função linear de X, isto é, tal que Y=aX+b, é também normalmente
distribuída, com parâmetros :
µ
Y
= a + bµ
σ =| b | .σ
Y
• Dadas duas variáveis independentes normalmente distribuídas, X1
e X2, de parâmetros respectivamente iguais a (µ1, σ1) e (µ2, σ2), a
variável resultante da sua soma, Y= X1 + X2 é também normalmente
distribuída, com parâmetros:
µ =µ +µ
Y
σ
Y
1
=
2
σ +σ
2
2
1
2
Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuição NORMAL PADRONIZADA (ou REDUZIDA)
A distribuição N(Z; 0, 1) denomina-se Distribuição Normal
Padronizada ou Distribuição Normal Reduzida, e a
tranformação X → Z : z=(x-µ)/σ recebe a designação
de processo de padronização.
A variável Z vem dada pelos desvios de X
relativamente à média, expressos em unidades de
desvio-padrão, isto é Z é X expressa em unidades de
desvio reduzido. Daí o nome de Lei Normal
Reduzida.
As funções de densidade e de distribuição
acumulada de probabilidade da Lei Normal
Padronizada são:
2
f (Z) = N(z;0,1) =
1
−z
.e 2
2π
2
z
F( Z ) = ∫
−∞
1
2π .
z
−
.e
2
.dz
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Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuição NORMAL PADRONIZADA (ou REDUZIDA)
O gráfico de f(Z) é uma curva em forma de sino,
simétrica em relação à recta vertical z=0. A média, a
mediana e a moda são iguais, com valor nulo.
Apenas existem tabelas para a Distribuição Normal
Reduzida.
Mediante a efectivação da transformação Z toda a
distribuição N(X; µ, σ) pode ser convertida em N(Z; 0, 1),
procedimento que torna possível a utilização das tabelas
Tabelas da Lei Normal Padronizada.
Distribuições Teóricas de Probabilidades
Distribuição NORMAL PADRONIZADA (ou REDUZIDA)
Exemplos:
Supondo que a população dos diâmetros das espigas de milho
resultantes de um certo cruzamento é normalmente distribuída, com µ=45
mm e σ=2.5 mm, determinar quantas espigas é de esperar, numa amostra
de 500, com diâmetro superior a 46.8 mm?
Utilizando Tabelas da Lei Normal em que se apresentam valores de P(z
≥ zi), ter-se-ia:
46,8 − 45
P(X > 46,8) = P(Z >
) = P(Z > 0,72) = 0,2358
2,5
Portanto, é de esperar encontrar 500 x 0.2358≈118 espigas nestas
condições.
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Distribuições Teóricas de Probabilidades
Tabela da Lei NORMAL REDUZIDA
P(Z>0,72)=0,2358
Distribuições de Amostragem
Distribuições t de STUDENT
_
t=
x−µ
s
n
A distribuição da variável t foi estabelecida por
William Sealy Gosset (1876-1937), um químico
inglês que trabalhava para a fábrica de cervejas
Guiness em Dublin e assinava os seus trabalhos
científicos com o pseudónimo Student.
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Distribuições de Amostragem
Distribuições t de STUDENT
Normal- Padrão
t com gl=15
t com gl=10
t com gl=5
t=0
A variável t é contínua e toma valores em ]-∞,+∞[.
Existe uma distribuição diferente para cada valor de graus de liberdade (gl).
As curvas do t de Student assemelham-se bastante às da lei normal reduzida,
sendo também em forma de sino, e simétricas em relação à recta t=0.
Á medida que gl cresce, a curva t vai-se aproximando cada vez mais da
Distribuição Normal-Padrão, por tal forma que para n≥30 já se podem considerar
iguais.
Tabelas do t de Student
P[lt(14)l ≥ 2,145]=0,05
Se entrarmos com GL=14 e probabilidade=0,05 na linha indicadora superior,
encontramos na tabela o 2,145.
Isto significa que a probabilidade de que, em valor absoluto, o estatístico t de
Student calculado numa amostra de 15 bservações exceda o 2,145 é igual a 0,05.
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Tabelas do t de Student
α/2=0,025
1-α
0,95
α/2=0,025
t(14)
-2,145
+2,145
P [-t0,025(14) < t < +t0,025(14)] = 0,95
A soma das áreas sob a curva da distribuição t de Student para 14 graus de
liberdade, situadas para a esquerda da recta vertical que passa pelo valor –2,145
(extremidade esquerda da distribuição) e para a direita da recta vertical que passa
pelo valor +2,145 (extremidade direita da distribuição) é igual a 0,05.
Tabelas do t de Student
P[t(14) ≥ 1,761]=0,05
Se entrarmos com GL=14 e probabilidade=0,05 na linha indicadora inferior,
encontramos na tabela o 1,761.
Isto significa que a probabilidade de que o estatístico t de Student calculado
numa amostra de 15 bservações exceda o 1,761 é igual a 0,05.
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Tabelas do t de Student
1-α
0,95
α=0,05
t(14)
+1,761
P [ t ≤ t0,05(14)] = 0,95
A área sob a curva da distribuição t de Student para 14 graus de liberdade,
situada para a direita da recta vertical que passa pelo valor +1,761 (extremidade
direita da distribuição) é igual a 0,05.
Distribuições de Amostragem
Distribuições F de SNEDECOR
χ / GL s /σ
F = GL
=
χ GL / GL s /σ
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
Uma distribuição F de Snedecor pode ser definida como
o quociente de duas variáveis χ2 independentes, sendo
cada uma delas dividida pelo respectivo número de graus
de liberdade.
A designação de F foi proposta por George Snedecor
(1881-1974) em homenagem a Ronald Fisher (18901962), que foi quem primeiro a estudou. Snedecor
reformulou-a e deu-lhe a forma com que é hoje utilizada.
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Distribuições de Amostragem
GL1=1, GL2=2
GL1=2, GL2=1
GL1=5, GL2=2
GL1=100, GL2=1
GL1=100, GL2=100
A variável F é contínua e toma valores em [0,+∞[.
Existe uma distribuição diferente para cada par (GL1, GL2) dos números de graus de liberdade do
numerador e do denominador, respectivamente.
O número de graus de liberdade associado à variável χ2 do numerador deve ser sempre indicado em
primeiro lugar, seguindo-se o número de graus de liberdade associado à variável χ2 do denominador.
Por conseguinte, as distribuições F individualizam-se não só pelos valores dos graus de liberdade
associados a cada uma das variáveis χ2 envolvidas, como também pela ordem que lhes é fixada: a
distribuição F(GL1, GL2) é distinta da distribuição F(GL2, GL1) .
Tabelas do F de Snedecor
P[F(5,10) ≥ 3,33]=0,05
Se entrarmos com GL1=5 na linha indicadora, GL2=10 na primeira coluna indicadora e
probabilidade=0,05 na segunda coluna indicadora, encontramos na tabela que
P[F(5,10)≥3,33]=0,05.
Isto significa que a probabilidade de que o estatístico F calculado a partir das variâncias de
amostras de tamanhos n1=6 e n2=11 observações respectivamente, exceda o valor 3,33 é igual a
0,05.
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Tabelas do F de Snedecor
α =0,05
0,95
0
3,33
F (5,10)
P [F(5,10) ≤ 3,33] = 0,95
A área sob a curva da distribuição F de Snedecor para 5 graus de liberdade no
numerador e 10 graus de liberdade no denominador, situada para a direita da
recta vertical que passa pelo valor +3,33 (extremidade direita da distribuição) é
igual a 0,05.
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