Aula 16
Nesta aula, iniciaremos o capítulo 6 do livro
texto, onde vamos estudar a estabilidade e o
equilíbrio do plasma como um fluido.
6.1 Equilíbrio e Estabilidade
Do “ponto de vista” das partículas individuais,
num plasma confinado por campos magnéticos, o
problema da manutenção do “estado de equilíbrio” é
solucionado mediante o “arranjo” da geometria das
linhas de campo magnético que podem eliminar as
velocidades de deriva que produzem o “vazamento”
de partículas do plasma para as paredes de um
recipiente.
No entanto, como o plasma é na verdade um
fluido ionizado onde seu movimento gera campos E e
B internos que podem gerar “empacotamento”, isto
é, formação de aglomerados de cargas que por sua
vez, podem causar derivas do tipo campos cruzados E
e B.
Também pode ocorrer derivas do tipo gradiente
de B, devido aos campos internos “autogerados” pelo
plasma.
O grande interesse no estudo do equilíbrio e
estabilidade do plasma, é motivado pelo problema do
confinamento magnético de plasmas para fusão
termonuclear controlada.
As figuras abaixo, mostram diversos análogos
mecânicos para diversos tipos de equilíbrio.
Vários Tipos de Equilíbrio para Sistemas Mecânicos.
6.2 Equilíbrio Hidromagnético
Para uma coluna de plasma quente e confinado
magneticamente, a equação de movimento para os
elementos de fluido do plasma, é dada por
r
r
r r r
r
dV
= neE + neV × B − ∇p − nmvV 6.2.1
nm
dt
Vamos assumir as seguintes hipóteses, para tal
coluna de plasma quente:
a) dV/dt = 0 (plasma estável);
b) nmvV ≅ 0 (regime de baixas colisões);
c) E = 0 (ausência de campo elétrico externo).
Levando tais hipóteses na expressão 6.2.1, temos
r
=J
}r r r
neV × B − ∇p = 0
6.2.2
A expressão 6.2.2 nos diz que só haverá
equilíbrio na coluna de plasma, se e somente se, a
força devido ao gradiente de pressão for
“contrabalanciada” pela força de Lorentz.
A densidade de corrente J e o campo magnético
B, na expressão 6.2.3 estão relacionados, segundo a
equação de Ampère – Maxwell, isto é
r r
r
∇ × B = µ0 J
6.2.3
A partir da expressão 6.2.2, podemos encontrar a
densidade de corrente J perpendicular ao campo
magnético B, necessária para que ocorra o equilíbrio
da coluna de plasma, para isso, devemos realizar o
produto vetorial de 6.2.2 com B e em seguida, isolar
J⊥
r r
v r r
B × ( J × B ) − B × ∇p = 0
=0
6
7
8
r
r
r
r
r
r
2
∴ B J − B( J .B) − B × ( KTe + KTi )∇n = 0
r
r
r
∴ J ⊥ = B × ( KTe + KTi )∇n / B 2
6.2.4
Note que a expressão 6.2.4 é exatamente igual á
densidade
de
corrente
diamagnética
que
encontramos quando estudamos o movimento
individual de partículas em campos E e B, ou seja,
assumindo o plasma como constituído de partículas
individuais ou como um fluido, encontraremos os
mesmos resultados.
No contexto de fluido, J surge devido ao fato do
gradiente de pressão ser perpendicular a B, sendo J
também responsável pelo equilíbrio na coluna de
plasma.
A figura abaixo, mostra o “balanço” entre as
forças de Lorentz e devido ao gradiente de pressão.
Balanço entre as Forças numa Coluna de Plasma.
Também a partir da expressão 6.2.4, temos que o
J e o campo magnético estão cruzados entre si, assim
como com relação a gradiente de pressão, além de
aqueles estarem localizados em superfícies
cilíndricas de pressão constante.
A figura abaixo, mostra uma situação real numa
coluna de plasma com J gradiente de densidade,
onde as linhas de campo magnético e a densidade de
corrente são localizados em superfícies cilíndricas,
sendo os mesmos “ligeiramente” deslocados sobre tal
superfície, porém permanecerão perpendiculares ao
gradiente de pressão.
Vetores J e B numa Superfície de Pressão Constante.
6.3 O conceito de β
A partir das expressões 6.2.2 e 6.2.3, temos o
seguinte
r
r r r
−1
∇p = µ 0 (∇ × B) × B
=0
6
4
8r r 2
r
r 7r4
∇B
]µ 0−1
∴ ∇p = [ ( B ⋅ ∇ ) B −
2
r
B2
)=0
∴ ∇( p +
2µ 0
6.3.1
A partir da expressão 6.3.1, podemos concluir
que quanto maior for a densidade, maior também
será a pressão cinética, em conseqüência menor deve
ser a pressão magnética, ou ainda, menor deve ser o
campo magnético para que 6.3.1 permaneça
constante.
A figura abaixo, mostra regiões com diferentes
pressões cinética e magnética numa coluna de
plasma quente.
Regiões de Pressões Cinética e Magnética diferentes, numa
Coluna de Plasma Quente, com B fixo.
Na expressão 6.3.1, a razão entre a pressão
cinética e a pressão magnética, denotada por β,
indica a “dimensão” do efeito da densidade de
corrente diamagnética, responsável pelo equilíbrio
na coluna de plasma, isto é
β=
∑ nKT
j
j
B 2 2µ 0
6.3.2
Teoricamente, o máximo valor numérico para β
que pode ser atingido num plasma confinado
magneticamente e em equilíbrio, é 1.
Observação:
Os
números
típicos
experimentos de fusão, são os seguintes:
em
a) 10-6 < β < 10-3, para baixos valores de β;
b) 10-2 < β < 10-1, para altos valores de β;
c) O efeito diamagnético só é considerável para
valores de β > 10-2;
d) Num reator de fusão, para que este seja
economicamente viável, devemos ter valores
de β > 0, uma vez que a energia produzida no
confinamento e proporcional a n2 e o custo
para produção do campo magnético é
proporcional a Bγ, onde γ > 1.