Notas de aula --- Parte II
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Escritas pelo Professor Wilson Canesin
Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade
Braz Cubas
Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva
1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade,
depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual
representar estas relações como funções de várias variáveis.
Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de
produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número
de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A
representação funcional dessa relação é
P = f( L, K)
O mesmo
variáveis.
conceito se estende para qualquer número de
1.2 – Funções de duas variáveis
Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chamase função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um
único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio
da função.
z
Assim,
f(x,y)
D é o domínio da função em R2 ,
f é a função
y
f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).
x
z
(x,y) D
Exemplos de valores de função de 2 variáveis:
Ex.1se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10
f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32
Ex.2f(x,y) = (3x+y3)1/2
Domínio das funções de duas variáveis
O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio
de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 , tal
que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em
valores finitos e reais para f(x,y).
Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = y − x
A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu
domínio é D ={ (x,y) ε R2 / y - x ≥ 0 }.
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x2
Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) =
, a função é finita
2x − y
quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais
que,
z
D
D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }.
x
y
D
z
x2
Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) =
, a função é finita
3x − y
quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que,
D ={ (x,y) ε R2 / 3x - y > 0 }.
1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis
Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no
plano x,y e y=f(x).
Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Uma
função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.
Z
Y
A superfície é obtida
para cada par x,y ,
fixando um valor de
x e variando y, em
seguida fixa um 2o
valor de x e varia y ,
depois fixa um 3o x e
varia y ,etc., até
variar x e y em todo
o domínio.
X
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X
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
...
Y
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
...
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Exemplos de funções de 2 variáveis:
Z
Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5
5
A superfície é um
plano infinito, paralelo
a x,y e passando por
z=5
Y
X
Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser
escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para
achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer :
Z
a) x =0 e y =0 → z = 6
b) x =0 e z = 0 → y = 2
c) y =0 e z = 0 → x = 3
(0,0,6)
Portanto, o gráfico de f no
plano é ⇒
X
(0,2,0)
(3,0,0)
Y
Ex. 4 - A função é
Ex.3 – A função é z = f(x,y) = x2 + y2
z = f(x,y) = 1 − x − y
2
Z
2
Z
A superfície é
um parabolóide
de revolução.
A superfície gerada
é uma semi-esfera
de centro na origem.
Y
Y
X
X
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1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor
(x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por
lim
f ( x, y )
= L
( x, y ) → ( x 0 , y 0 )
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0),
dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a
função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um
intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite
existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar
a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.
Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nas
restrições.
Ex. 1
f(x,y) = x2 + y2 – xy , é contínua para todo par x,y
Ex.2
f(x,y) = x3y2 –xy + y3 + 6,
Ex.3
x2 + y2
f(x,y) =
x y −1
contínua ∀ x , y
é contínua
∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x
y
D
X
Ex. 4
f(x,y) =
x+ y
x− y
é contínua se
y
∀x≠ y
y=x
D
X
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é contínua ∀x,y tal que x - y > 0
Ex.5
f(x,y) = ln(x-y)
ou y > x
y
y>x
x
Ex.6
f(x,y) = 1 − x 2 − y 2
é contínua se 1-x2-y2 ≥ 0 ,ou x2+y2 ≤ 1
y
D
x
O domínio é uma
circunferência de
centro na origem
e de raio r ≤ 1
Ex.7 f(x,y) = y − 1 / x a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/x
Que resulta no gráfico:
y
x
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1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a
mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é
que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa
enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) ,
sua derivada em relação a x é
∆f = f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y )
f ( x + ∆x, y ) − f ( x , y )
∆f
=
∆x
∆x
lim
∆x→0
∆f
∆x
=
incremento da função
taxa de variação da função
∂ f
= f x ( x, y )
∂ x
Derivada parcial em x
Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a
derivada parcial em relação a y é
l i m ∆f
∆y → 0 ∆x
=
∂ f
= f y ( x, y )
∂y
Derivada parcial em y
1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial
Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da
reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de
duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta
tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela
ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x
constante.
z
Assim,
tanα = fx(x0,y0) = ∂ f / ∂x
y0
x0
x
β
y
tanβ = fy(x0,y0) = ∂ f / ∂y
α
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TABELA DE DERIVADAS
(adaptada p/derivadas parciais)
Número
Função f = f(x,y)
Derivada
1
f=k
2
f= x
3
f = un
4
f = n um
Ds n u m =
m us
nu
5
f = ln u
Ds ln u =
us
u
6
f = lga u
Ds lga u =
us
u ln a
7
f = au
Ds au = au lna us
8
f = eu
D s e u = eu u s
9
f =uv
fs = v us + u vs
10
f=u/v
11
f = senu
fs = cosu .us
12
f = cosu
fs = -senu .us
13
f = tanu
fs = sec2u .us
14
f = secu
fs = secu.tanu.us
15
f = cscu
fs = -cscu.cotu.us
16
f = cotu
fs = -cotu.cscu.us
( k = constante)
ou
f=y
; u = f(x,y)
fs = ∂f/∂s , s = x,y
fs = 0 (derivada de 1 const.)
fs = 1
s = x ou y
Ds un = n un-1 us , us=∂u/∂(x,y)
n
um
2
, us=∂u/∂(x,y) fs =(v us – u vs ) / v
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1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais
A derivada parcial em relação a "x" , considera y como
constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y"
considera x como constante.
fx = ∂ f / ∂ x → y=constante
fy = ∂ f / ∂ y → x=constante
Ex.1- Derivar a função f(x,y) =3 x3y2
fx = ∂ (3x3y2) / ∂ x = 9x2y2
fy = ∂ (3x3y2) / ∂ y = 6x3y
Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2
fx = ∂ ( x2 + y2) / ∂ x = 2x
fy = ∂ (x2 + y2) / ∂ y = 2y
Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 )
f=u/v
, u =x
e
v = x 2 + y2
fs = [ v us – u vs ]/v2
fx =[(x2 + y2).1 – x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2
fy =[(x2 + y2).0 – x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2
Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da
superfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48).
Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante.
∂z
∂
∂
=
(4 x 2 y ) −
(x y3 ) = 8 x y − y 3
∂x ∂x
∂x
mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se
tanα =
∂ f
-1
(3,2) = 40 ⇒ α = tan (40) = 88,57°
∂x
Ex. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície
z = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).
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∂ f
= 3x2 + 2y
∂x
∂ f
-1
tanα =
(1,1) = 5 ⇒ α = tan (5) = 78,69°
∂x
Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx
∂
∂
∂
∂
f
∂ (u.v)
∂v
∂u
=
=
= 2x.senx + ( x2 + y3).cosx
.v + u.
x
∂x
∂x
∂x
f
∂ (u.v)
∂v
∂u
=
=
= 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx
.v + u.
y
∂y
∂y
∂y
1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis
A condição para que uma função seja diferenciável é que suas
derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua
diferencial total é :
∂ f
∂ f
dz=
dx +
dy
∂x
∂y
Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1
∂ f
= 9x2y2 – 2y3 +y
∂x
e
∂ f
= 6x3y – 6xy2 + x
∂y
assim, a diferencial da função é
df = (9x2y2 – 2y3 +y ) dx + (6x3y – 6xy2 + x) dy
A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais
forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n
variáveis é:
∂F
∂F
∂F
dF =
dx1 +
dx2 +......+
dx n =
∂x1
∂x 2
∂x n
Ex.2-Calcule a diferencial da função
n
∂F
∑ ∂x
i =1
dxi
i
F(x,y,z) =2x+3xy-2zy
Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y
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dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz
1.8 – Derivada de funções compostas
Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A
derivada desta função em relação a “t” é
d f ∂ f d x
=
dt
∂x dt
+
∂ f d y
∂y dt
Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 ,
onde x(t) = et e y(t) = t3 .
a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e2t +3t3 – 5
E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2
b) Calcula-se pelas derivadas parciais
∂ f
= 2x ;
∂x
∂ f
=3;
∂y
d x
t
=e ;
dt
d y
2
= 3t
dt
Assim
dF
= 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2
dt
Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t),
x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é
dada pela regra da cadeia
n
∂ f d xi
df
∂ f d xn
∂ f d x1 ∂ f d x 2
=∑
+ ... +
+
=
dt i =1 ∂ x d t
∂ xn d t
∂ x1 d t ∂ x 2 d t
Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2
fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 ,
dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t
d f
= 2. cos t + 3.e t − 4t
dt
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Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt
1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3
2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-1
3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3
1.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis
Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida
para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável
são chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na forma
implícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc.
A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação a
x é
∂f dx ∂f dy
+
=0
∂x dx ∂y dx
ou,
dy
dx
∂f
∂f dy
+
=0
∂x ∂y dx
→
= −
∂
∂
∂
∂
f
x
f
y
= −
f
f
x
y
Ex.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente a
fórmula acima,
∂f
dy
4x
= − ∂x = −
f
∂
dx
15 y 2
∂y
Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y2 – 6xy = 0
∂f
dy
6y
= − ∂x =
∂f
dx
8 y − 6x
∂y
Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) e
diferenciando, e após algumas considerações teremos
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f
∂z
∂ f ∂x
=− x
=−
∂ f ∂z
fz
∂x
fy
∂z
∂ f ∂y
=−
=−
∂y
∂ f ∂z
fz
e
Ex.3 - Achar as derivadas ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , da função x2+y3- z=0.
Solução;
∂z
∂ f ∂ x − 2x
=−
= 2x
=
∂x
∂ f ∂z
−1
∂z
∂ f ∂ y − 3x 2
=−
= 3y2
=
∂y
∂ f ∂z
−1
Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar ∂ z ∂ x e
∂ z ∂ y , nas expressões abaixo
1) 2 x3- 4 y2 – 6 z = 0
2) x2 + xy2 + xyz3 –3 =0
1.10 – Derivadas parciais de segunda ordem
Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas
parciais são fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadas
mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem,
que são representadas por
f xx =
∂2 f
∂ x2
, f xy =
∂2 f
∂2 f
∂2 f
, f yx =
, f yy =
∂ x ∂y
∂ y ∂x
∂ y ∂x
Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas
cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx .
Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 – 6xy
fx =∂f /∂x = 8x – 6y
e
fy = ∂f /∂y = 6y – 6x
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f xx =
f xy
∂2 f
=8 ;
∂ x2
f yx =
;
∂2 f
=
= -6
∂ x ∂y
;
f yy
∂2 f
= -6
∂ y ∂x
∂2 f
=
= -6
∂ y ∂x
EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y
fy = ∂f /∂y = 5e2x+5y
fx =∂f /∂x = 2e2x+5y
f xx
f xy
∂2 f
=
= 4e2x+5y
2
∂x
;
f yx
∂2 f
=
= 10e2x+5y ;
∂ x ∂y
∂2 f
=
= 10e2x+5y
∂ y ∂x
f yy
∂2 f
=
= 25e2x+5y
∂ y ∂x
Note que fxy = fyx
EX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2)
fx =∂f /∂x =
f xx =
2x
x + y2
2
∂2 f
V . U x − U . Vx
=
2
∂x
V2
f xy =
2y
U
=
2
V
x +y
fy = ∂f /∂y =
;
=
2( y 2 − x 2 )
(x2 + y 2 )2
V . U y − U . Vy
∂2 f
− 4 xy
=
= 2 2 2
2
∂ x ∂y
(x + y )
V
2
;
f yx =
∂2 f
− 4 xy
= 2 2 2
∂ y ∂x
(x + y )
;
f yy =
∂2 f
2( x 2 − y 2 )
=
∂ y ∂x
(x2 + y 2 )2
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1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis
As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis
e são representadas da mesma forma.
Exemplos:
1)
f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x
fx = 2x+z2 ;
2)
fy = 3y2
;
fz = 2zx
f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 )
2
2x + 3y − z 2 + t 2
− 2z
fz =
2x + 3y − z 2 + t 2
fx =
;
3
2x + 3 y − z 2 + t 2
2t
; ft =
2x + 3y − z 2 + t 2
fy =
Exercícios propostos - Derivar as funções:
1)
f(x,y,z) = 3x+5y-6z
2)
f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz
x+ y
3)
f(x,y,z) =
x−z
4)
5)
6)
7)
f(x,y,z) = xyz
f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3
f(x,y,z,t) = 2x-3zt
f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)
1.12 – Derivadas de Ordem Superior
Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de
ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas.
fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc.
Ex.1 –
f(x,y,z) = x2 + 4xy2 – 3y2z3
fx = 2x + 4y2 ; fxx =2
;
fy = 8xy – 6yz3 ; fyx = 8y ;
fxy = 8y ;
fxz = 0
fyy= 8x – 6 z3 ; fyz =-18yz2
fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 z
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Ex.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função :
f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us
fx = y2z3 / xy2z3 =1/x ; fxx =
fxy = 0 ;
fxz = 0
fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ;
fyz =
∂ −1
-2
2
( x ) = -1.x = -1/x
∂x
fyx = 0 ;
fyy =
∂
-2
2
(2 y −1 ) = -2y = -2 / y
∂y
∂
(2 y −1 ) = 0
∂z
fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ;
fzy = 0 ; fzz = -3 /z2
EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas)
1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz
2) f(x,y,z) =
x+ y
y−z
Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y
fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3
fyx=2 ; fyy=0 ; fyz=4
fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0
; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2
fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ;
fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)3
3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2
;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z)
;fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z)
; fzz= 18(x+2y+3z) .
4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2
fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;
fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;
fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;
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fzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ;
fzz=(1/2)(yx)2(xyz)-1/2 .
5)
f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2)
fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2;
fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2;
fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2/(2x2+y2-zt2)2;
fzx=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2/(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4/(2x2+y2-zt2)2
6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ;
fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2);
fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2)
fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2)
fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2)
fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ;
fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2)
x
7) f(x,y,z) = e
fxx=2 e
x2 + y2 + z3
2
+ y2 + z3
+4x2 e
fyx=fxy ; fyy=2 e
; fx=2x e
x2 + y2 + z3
x2 + y2 + z3
; fxy=4xy e
+ 4y2 e
fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z e
x2 + y2 + z3
x2 + y2 + z3
x2 + y2 + z3
; fy=2y e
x2 + y2 + z3
x2 + y2 + z3
; fxz=6xz2 e
; fyz= 6yz2 e
+9z4 e
; fz=3z2 e
x2 + y2 + z3
x2 + y2 + z3
x2 + y2 + z3
x2 + y2 + z3
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1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis
Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a
da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar
seu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de uma
variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos
extremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tipo
são esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano
calculado no ponto (x0,y0 ), que é definido a seguir.
f xx
f xy
H(x0,y0 ) = f
yx
f yy
( x0 , y 0 )
Assim ,
Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) é um extremo, e
a)
H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) <0 então (x0,y0) é um máximo.
b)
H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 então (x0,y0) é um mínimo.
c)
H(x0,y0 )<0
d)
H(x0,y0 )= 0
então (x0,y0) é um ponto de sela.
o teste é inconclusivo.
Q
P
S
F(x,y)
T
Os pontos P e Q são pontos
de máximo, porque qualquer
deslocamento em sua vizinhança,
irá descer.
O ponto S é uma sela porque nos
sentidos SP e SQ sobe, mas no
sentido SL ou ST desce.
L
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Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cm
de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidade
máxima.
x senθ
y cosθ
x
x
θ
12-2x
A área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos dois
triângulos.
A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x)
(a)
f(x, θ) = x2 cosθsenθ + 12xsenθ -2x2senθ
Estudar os extremos (máximos e mínimos) da função.
fx = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0
2xcosθ = 4x – 12
ou
cosθ = 2-6/x
fθ = (∂ f / ∂θ ) = x2 cos2θ + 12xcosθ - 2x2 cosθ=0
sen2θ = 2senθcosθ
=2 cos2θ - 1
cos2θ =cos2θ - sen2θ
= 2cos2θ -1
= x ( 2cos2θ - 2cosθ-1)+12cosθ
substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2a equação e
resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2
cosθ = ½
→ θ = 60o
O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2as derivadas,
também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certeza
podemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acima
destes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima.
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0
20
XYZ =
15
10
0
5
0
0
5
10
5
25
15
10
50
15
75
20
100
20
X , Y, Z
Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 )
1
193 4
6
2
3.336
194 4
12
6.58
195 4
18
9.647
196 4
24
12.453
197 4
30
14.928
198 4
36
17.013
199 4
42
18.662
200 4
48
19.846
201 4
54
20.553
202 4
60
20.785
203 4
66
20.562
204 4
72
19.919
205 4
78
18.904
206 4
84
17.576
207 4
90
16
máximo
Ex.2 – Achar os extremos da função
f(x,y) = sen[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y) + 4,5].
Calculando as primeiras derivadas , tem-se:
fx = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0
fy = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0
Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula)
então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 =
0 , que resulta x = 10 e y =10 .
Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se as
segundas derivadas.
fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045
fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045
Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se:
fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função.
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Substituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai dar
zero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso é
confirmado pelo gráfico tridimensional da função.
Note que nos pontos x =10 e y
=10, a função tem um de seus
mínimos.
0.5
0
0
0.5
5
10
15
0
5
10
15
M
Gráfico 3D da função seno
Ex.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores do
exemplo 2, para uma exponencial.
e −0,0225( x + y
2
f(x,y) =
2
)+0 , 45( x + y )+ 4 , 5
= ef(x,y)
e0,0225( x + y
2
fx = [-0,045 x + 0,45] .
)−0 , 45( x+ y )+ 4 , 5
2
fy = [-0,045 y + 0,45] .
e0,0225( x + y
)−0 , 45 ( x+ y )+ 4 , 5
2
2
fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)
fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)
No ponto x=y=10, tem-se:
fxx + fyy < 0
que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode ser
verificado no gráfico da função.
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1
0.8
0.6
0.4
0
0.2
10
0
10
20
20
M
Gráfico 3D da função exponencial
Ex.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é
dada pela equação T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nos
pontos mais quentes e mais frios da região.
fx = (∂ f / ∂x) =32x +24 ; fy = (∂ f / ∂y) = 80y
Os pontos extremos são calculados para fx =0 e fy =0 , resultando
x= -3 / 4 = - 0,75
f xx
H(x0,y0 ) = f
yx
f xy
f yy
e
( x0 , y 0
y =0 .
32 0
=
0 80 ( −3 / 4, 0) > 0
)
H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 é um ponto de mínimo.
O ponto de mínimo é (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outro
ponto na vizinhança dele, a temperatura já será maior, conforme
mostra o gráfico da superfície.
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0
8 -1
1
2
1.2 49.6
9 -1
1.6 94.4
10 -1
2
11 -0.8 -2
152
151.04
12 -0.8 -1.6 93.44
13 -0.8 -1.2 48.64
100
XYZ =
0
0
20
15
5
10
10
5
15
0
20
mínimo
15 -0.8 -0.4 -2.56
16 -0.8 0
-8.96
17 -0.8 0.4 -2.56
18 -0.8 0.8 16.64
Escala em x = x-10
Escala em y =y-10
14 -0.8 -0.8 16.64
X , Y, Z
19 -0.8 1.2 48.64
20 -0.8 1.6 93.44
Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0)
21 -0.8 2
151.04
22 -0.6 -2
151.36
Ex.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x2 + y2 –2x .
Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema:
fx = 2x –2 = 0 , ou x=1
fy = 2y =0 , ou y=0
, o ponto é (x,y) =(1,0)
Por outro lado,
fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2
H(1,0) =
f xx
f xy
f yx
f yy
=
2 0
= 4 >0
0 2
fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto é um mínimo de f(x,y).
1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveis
Seja f uma função de n variáveis x1,x2,...xn , diz-se que um ponto
P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de máximo local de f(x1,x2,...xn), quando
f(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho
de P0(x10,x20,...xn0).
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Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de mínimo local
de f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn)
vizinho de P0(x10,x20,...xn0).
O ponto P0 é encontrado, pela solução das equações:
fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes à superfície no ponto)
O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de máximo ou
de mínimo, para o caso de n variáveis é dado por:
H(P0) =
f x1x1 ( P0 )
f x1 x2 ( P0 ) ....
f x1xn ( P0 )
f x2 x1 ( P0 )
....
f x2 x2 ( P0 ) ....
....
....
f x1xn ( P0 )
....
f xn x1 ( P0 )
f xn x1 ( P0 ) ....
f xn xn ( P0 )
Além disso é necessário calcular os n determinantes
∆0 =1
∆1 = f x x ( P0 )
1 1
∆2 =
f x1x1 ( P0 )
f x2 x1 ( P0 )
f x1x1 ( P0 )
∆3 = f x2 x1 ( P0 )
f x3 x1 ( P0 )
f x1x2 ( P0 )
f x2 x2 ( P0 )
f x1x2 ( P0 )
f x2 x2 ( P0 )
f x3 x2 ( P0 )
f x1x3 ( P0 )
f x2 xx3 ( P0 )
f x3 x3 ( P0 )
..................................................................
∆n =
f x1x1 ( P0 )
f x2 x1 ( P0 )
f x1x2 ( P0 ) ....
f x2 x2 ( P0 ) ....
f x1xn ( P0 )
f x1xn ( P0 )
....
f xn x1 ( P0 )
....
....
f xn x1 ( P0 ) ....
....
f xn xn ( P0 )
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Então, se:
a)
∆0, ∆1, ∆2,...,∆n forem todos positivos, P0 é um ponto de
mínimo de f .
b)
∆0, ∆1, ∆2,...,∆n são alternadamente positivos e negativos, P0 é
um ponto de máximo de f.
Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 e
verificar se são de máximos ou de mínimos.
fx = 2x = 0 →x =0
fy = 2y = 0 →y =0 → P0(0,0,0) ,que é o único ponto crítico
fz = 2z =0 → z =0
fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0
fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0
fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2
2 0 0
H(0,0,0) = 0 2 0 = 8
0 0 2
∆0=1 ;
∆1= 2 = 2 ;
2 0
∆2 =
=4;
0 2
∆3
2 0 0
= 0 2 0 =8
0 0 2
todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) é um ponto de mínimo de f.
Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 .
Os pontos críticos da função são:
fx = -2x = 0 →x =0
fy = -2y+4 = 0 →y =2 → P0(0,2,1) ,que é o único ponto crítico
fz = -2z=2 =0 → z =1
fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0
fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0
fUniversidade
fzy Cubas
= 0 –, Bacharelado
fzz = - em
2
zx = 0 , Braz
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−2
H(0,2,1) = 0
0
0
−2
0
0
0 =-8
−2
∆1= − 2 = -2 ;
∆0=1 ;
−2 0
∆2 =
=4;
0 −2
−2 0
= 0 −2
∆3
0
0
0
0 =-8
−2
Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P0(0,2,1) é um ponto
de máximo da função f.
Ex.3 – Estudar os extremos da função:
f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 – 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2
→ x1=4 e x2 =2
fx = x2 – 6x +8 = 0
2
fy = 2y – 20y + 42 = 0 → y1=7 e y2=3
fxx =2x-6 , fxy =0 ,
, fyy = 4y - 20 .
fyx = 0
→ existem pontos que podem ser críticos, ou seja
P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3)
O Hessiano calculado nestes pontos é
H(4,7) =
2 0
0 8
>0 e
H(x,y) =
∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 =
2x − 6
0
0
4 y − 20
2 0
0 8
=4;
O ponto é de mínimo.
H(4,3) =
H(2,7) =
H(2,3) =
2
0
0 −8
−2 0
0
8
<0 (sela)
< 0 (sela)
−2
−2 0
>0 e ∆0=1 ; ∆1= − 2 = -2 ; ∆2 =
0
0 −8
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0
−8
= 16
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O ponto é de máximo.
Exercícios propostos:
1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 – y3/3 +1
P4(4,6) é máximo e
Resp. P1(0,0) é mínimo e
P2(0,6) e P3(4,0) são selas.
2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+π/2)
Resp. P1(π/2,0) é máximo.
3- Achar os extremos da função f(x,y)= x3/3 + y4/4 - 25x + 27y + 1
Resp. P1(5,-3) é mínimo.
4- Achar os extremos da função f(x,y)= -x3/3 -y3/3 -2x2-3y2+4x+8y+1
Resp. P1(2,4) e P2(2,2) são de máximo.
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43
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1.15 – Operadores especiais da física
1.15.1 - Gradiente
Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e
representa-se por grad f ou ∇f, a expressão:
grad f = ∇f =
∂f ˆ ∂f ˆ ∂f ˆ
i +
j +
k
∂x
∂y
∂z
O gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários.
1.15.2 - Divergência
r
Denomina-se divergência de um vetor V = V x iˆ + V y ˆj + V z kˆ
, e
representa-se por div V ou ∇. V , a expressão
∂ Vx ∂ V y ∂ Vz
+
+
div V = ∇. V =
∂x ∂y ∂z
Uma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento de
um fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pela
velocidade então div (ρ v) representa o escoamento por unidade de
volume num ponto do fluido.
1.15.3 - Rotacional
O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V é
definido por
rot V = ∇×V =
⎛ ∂ Vz ∂ V y
−
∂z
⎝ ∂y
= ⎜⎜
⎡ iˆ
⎢ ∂
⎢
⎢∂ x
⎢⎣ V x
ˆj
∂
∂y
Vy
kˆ ⎤
∂ ⎥
⎥
∂ z⎥
V z ⎥⎦
⎞ ˆ ⎛ ∂ Vx ∂ Vz
⎟⎟ i + ⎜⎜
−
∂x
⎠ ⎝ ∂z
⎞ ˆ ⎛ ∂ V y ∂ Vx
⎟⎟ j + ⎜⎜
−
∂y
⎠
⎝ ∂x
⎞ˆ
⎟⎟ k
⎠
O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação
(Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma
Ω = (1/2). rot (ρ v)
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1.16 – Integrais múltiplas
As integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou
podem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integrais
simples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas de
integração simples:
∫
n
u dx =
u n +1
n +1
+C ,
onde u =f(x) e
∫ csu du
∫ cotu du
n≠ 1
du
∫u =
= ln ⎢cscu - cotu⎢ + C
ln u + C
= ln ⎢senu ⎢ + C
∫ sec u du
= tanu + C
∫ csc u du
= - cotu + C
2
∫ eudu = eu + C
2
∫ audu = au / lna + C
∫ secu tanu du
= secu + C
∫ cosu du
= senu + C
∫ cscu cotu du
= -cscu + C
∫ senu du
= -cosu + C
∫ tanu du
∫ secu du
∫ sen
= -ln|cosu ⎢ + C
2
∫ cos
2
u du = [2u - sen2u] / 4 + C
u du = [2u + sen2u] / 4 + C
= ln ⎢secu + tanu ⎢ + C
A integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular a
área de uma figura plana.
y
f(x)
A área infinitesimal
dA = dx. dy
é obtida integrando de x1 até x2
dA
A=
dy
x2
∫ ∫
x1
dx
f ( x)
0
x2
dx.dy =
∫ [y ]
f ( x)
0
dx
x1
x2
A = ∫ f ( x )dx
x1
x1 x2
x
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y= -2x2 + 18 , de x=0 até x=3.
Ex.1 Achar a área sob a função
x2
A = ∫x
1
∫
f ( x)
0
x2
dx.dy = ∫ f ( x )dx =
x1
∫
3
0
( −2 x 2 + 18) dx =
[
− 2x3
+ 18 x
3
]30
A = - 18 + 54 = 46 (unid2)
Outros exemplos de integrais são:
x2
Ex. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida)
∫ ∫ xydxdy
x
Solução:
x2
∫∫
x
x2
2
xydxdy = x.⎡⎢ y ⎤⎥ dx =
∫ ⎣2⎦
x
⎡ x4 x2 ⎤
∫ x.⎢⎣ 2 − 2 ⎥⎦dx =
x6 x4
−
+c
12 8
x
Ex.3 Calcular a integral múltipla mista
∫ ∫ sen( x + y)dxdy
o
x
∫ ∫ sen( x + y)dxdy
o
= ∫ [− cos( x + y )]0x dx = - ∫ [cos( 2 x) − cos x]dx =
1
2
= − sen( 2 x) + sen x + c
As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais de
volume de sólidos, conforme mostra a figura
z
O volume do sólido pode ser calculado por uma integral
tripla, do tipo:
a b c
V = ∫ ∫ ∫ dxdydz
dz
dy
dx
y
0 0 0
x
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1.16.1- Volume de sólidos de revolução
Um sólido de revolução se forma girando uma figura plana em
torno de uma reta fixa.
Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se:
r = f(x)
y
y = f(x)
dV = πr2 dx
dV = π[f(x)]2 dx
b
V = π ∫ [ f ( x)]2 dx
a
a
b
x
Figura plana girando em x
Cálculo do elemento de volume
Ex1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido
gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo
[1,2].
(2,8)
y
(2,8)
(1,1)
r
y = x3
x
(1,1)
R
1
2
x
2
2
2
1
1
1
V = π ∫ [f ( x )]2 dx = π ∫ [ x 3 ]2 dx =π ∫ x 6 dx =π
x7 2
127
3
=
π (unid)
7 1
7
Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = a 2 − x 2 em [-a, a]
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y
y=
-a
a
a2 − x2 = r
x
Sólido (esfera) gerado pela rotação
do semi-círculo
Semi-círculo em rotação
a
a
2
⎡
−a
−a
1
⎢⎣
V = π ∫ [f ( x )]2 dx = π ∫ [ a 2 − x 2 ]2 dx =π ∫ [a 2 − x 2 ]dx =π⎢a 2 x −
⎧⎪⎡
= π ⎨ ⎢a 3 −
⎪⎩⎣⎢
⎧⎪ 3 a 3
a 3 ⎤ ⎡ 3 a 3 ⎤ ⎫⎪
a3
+ a3 −
⎥ − ⎢− a + ⎥ ⎬ = π ⎨ a −
3 ⎦⎥ ⎣⎢
3 ⎦⎥ ⎪
3
3
⎪⎩
⎭
1
4
= 2πa3 ⎧⎨1 − ⎫⎬ = πa3
⎩
3⎭
x3 ⎤ a
⎥
3 ⎥⎦ − a
⎫⎪
⎧⎪ 3 2a 3
⎬ = π ⎨ 2a −
3
⎪⎭
⎪⎩
⎫⎪
⎬
⎪⎭
que é o volume da esfera gerada.
3
Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno
do eixo de y, no intervalo [0,4].
y
y
4
y = x2
x=
0
x
y
x
Sólido gerado
de revolução
Seção plana parábola
girando em y
b
b
4
4
a
a
0
0
V = π ∫ r 2 dy = π ∫ [g( y)]2 dy = π ∫ [ y ]2 dy = π ∫ ydy =
pela parábola
πy 2 4
= 8π = 25,13 unid3.
2 0
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x2+2xy+z3
Resp. gradΦ = (2x+2y)i + 2xj + 3z2 k
2) Dada a função vetorial V = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k ,
sua divergência.
Resp.
calcule a
div V = 6x2 + 3xz2
3) Calcule o rotacional do vetor V = x2 i + 2xy j + 5yz2 k
Resp. rot V = 5z2 i + 2y k
x
∫ ∫ ( x + y)dxdy
4) Calcular a integral
Resp.
x3 / 2 = C
0
a b
5)
∫ ∫ xydxdy
Resp. a2b2 / 4
0 0
6) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana,
transformando integral dupla em integral simples. As expressões em
x2 f ( x )
integral dupla são:
xc = (1/A)
∫
∫ x dxdy
x2 f ( x )
e yc = (1/A)
x1 g ( x )
x2
Resp. xc =(1/A). ∫ [ f ( x) − g ( x)]x.dx
x1
∫ ∫ y dxdy
x1 g ( x )
x2
e
yc =(1/2A). ∫ [ f 2 ( x) − g 2 ( x)]dx
x1
7) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de
0,5 até 3
3
3
Resp . V = π ∫ [ f ( x)] dx = π ∫ [
2
0,5
0,5
1 2
3
] dx = 8,34 unid
x
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