-Elasticidade-preço da demanda
Elasticidades (sensibilidade)
-Elasticidade-renda da demanda
-Elasticidade-cruzada da demanda
- Elasticidade-preço da oferta
1 Estudo de DERIVADAS BÁSICAS:
Não raro, o assunto derivadas aparece na teoria
microeconômica, tanto na teoria, como nas questões. Faremos
um breve resumo desse assunto. É interessante notar, antes
deste resumo, de que, apesar de ter sido cobrado em provas, o
q e realmente tem sido abordado é de fácil assimilação pelos
que
candidatos, ainda que com formação distintas de ciências
exatas ou economia. A nossa experiência tem mostrado, ao
longo dos anos, que o que se pede de derivada é bem
básico;creio não ser necessário a busca de um livro de Cálculo
I, usado nas turmas de Engenharia, Física, Economia, por
exemplo; vamos ao resumo:
1)Y = a.Xn a derivada de Y em relação a X é:dY/dX = a.n.Xn- 1
Exemplos:
a) se Y = 2X2 => dY/dX = 2.2.X2 – 1 = 4X
b) se y = x2 , dy/dx = 2.x2 – 1 = 2x
c) se Y = 3X => dY/dX = 3.1.X1-1 = 3.X0 = 3.1 = 3
1
2)Y = 100( ou qualquer constante),a derivada de Y em relação
a X será 0
3)Y = 10X – 5X2 => dY/dX = 10 – 5.2.X = 10 – 10X
4)Q = 20 – 2P =>
> dQ/dP;
dQ/dP isto é
é, a deri
derivada
ada de Q em relação a
P será:
dQ/dP = 0 – 2= -2
5)Se q = 20 – p ; dq/dp = -1
OBS2: para achar o máximo ou mínimo de uma função,
devemos derivar e igualar a zero;isso vem do cálculo
diferencial, lecionados nos cursos de exatas;mas aqui, em
micro, basta DECORAR e dá no mesmo;
6) Se RT = 10Q – Q2 ; dRT/dQ = 10 – 2Q( eu derivei 10Q =>
10.Q1-1 = 10Q e derivei Q2 => 2Q
7) Se Q = 20/P2 =>dQ/dP =?; nesses casos, é bom tirar o
expoente
t do
d d
denominador,
i d ttrocando
d o sinal;
i l Q = 20P-22 =>dQ/dP
dQ/dP
= -2.20.Q-2-1= -40Q-3 = (-40)/Q3
OBS1: dY/dX , ou seja, a derivada de Y em relação a X, é
chamada também de Y’
Solução:
Devemos achar a derivada de (Receita Total) em função de
Q e, por fim, igualar a 0. Encontremos a RT; RT=PxQ.
Como devemos achar a derivada de RT em relação à Q, é
melhor isolar o Preço (P) na função de demanda dada.
D
Dessa
f
forma:
Exemplos
1)Dada a função de demanda Q=8 – P, determine qual a
quantidade demandada que repercutirá máxima receita total?
Q=8 – P : P=8 – Q
Agora, fazemos RT = P x Q
RT=(8 – Q).Q = 8Q – Q2
2
Vamos derivar RT em relação à Q:
dRT/dQ = 8 – 2Q; como o máximo da função RT ocorre
quando derivamos e igualamos a zero, temos:
dRT/dQ a 0 para achar RT máxima:
8 – 2Q = 0
Q=4
Para encontrar o preço (P) que nos dá RT máxima, basta
substituir Q=4 na função demanda: 4 = 8 – P ; P=4
2) A curva de demanda de um bem é representada
pela seguinte equação:
p = 200 – 5q, sendo p o preço e q a quantidade.
A receita total será maximizada quando a quantidade
for igual a:
a)10
b)20
c)30
d)40
2)50
Se Є > 1 => demanda elástica em relação ao seu preço
2 Elasticidade-preço da demanda ( Є )
Є = variação percentual da quantidade demandada
variação
i ã percentual
t ld
do preço
Se Є > 1 => demanda elástica em relação ao seu
preço
3
Se Є < 1 => demanda inelástica em relação ao seu
preço
Se Є = 1 => demanda unitária em relação ao preço
Quatro noções a saber:
Com base na elasticidade-preço da demanda,
considere um produto cuja quantidade demandada
reduziu-se em 30% quando o preço aumentou de R$
2,00 para R$ 2,40. Esse produto é um bem:
a)) Equilibrado
E ilib d
b) Elástico
c) Perfeitamente Elástico
d) Inelástico
e) Perfeitamente Inelástico
1ºCaso- Quando os dados são percentuais
Є = Δ%Q/Δ%P
Exemplo:
4
2º Caso – Quando os dados são tabelados e é
especificado o nível de preços
a) cálculo ao nível de preço de 10,00
Є = ( 80 -20)/ ( 40 – 10) x 10/80 = 0,25
Є = (ΔQ/ΔP) x P/Q
Exemplo: P0 = 10 => Q0 = 80
P1 = 40 => Q1 = 20
3º Caso - Quando os dados são tabelados e não é
especificado o nível de preços (elasticidade no arco)
Є = (ΔQ/ΔP) x ( P1 + P2 )/ (Q1 + Q2)
Exemplo:
P0 = 10 => Q0 = 80
P1 = 40 => Q1 = 20
Є = (60/30) x ( 10 + 40)/( 80 + 20) = 1
b) cálculo ao nível de preço de 40,00
Є = ( 80 – 20 ) / ( 40 – 10) x 40/20 = 4
4º Caso – Quando é dada a FUNÇÃO DE DEMANDA
(elasticidade no ponto)
Є = dQ/dP x P/Q
Exemplo:
Dada a função demanda de um bem X Qdx = 40 –2
Px, calcular a elasticidade-preço da demanda no
ponto P = 2,00
5
Resolução:
Com outras variáveis, além do preço (renda, preços
de outros bens),utilizam-se derivadas parciais:
Є=
Exemplo: Dada a equação de demanda Qx = 20 – 4Px
+ 0,4 R, calcular a elasticidade-preço da demanda ao
nível de preço p0 =5,00 e de renda R = 1.000
6
3 Fatores que influenciam a Elasticidade-preço da
demanda.
Quanto maior o grau de utilidade do produto para o
consumidor, menos elástica será sua demanda (bem
essencial).
Quanto menor o peso no orçamento do consumidor,
menor tende a ser a elasticidade-preço da demanda.
4 RELAÇÕES ENTRE ELASTICIDADE-PREÇO (Є )
E A RECEITA TOTAL DOS PRODUTORES (RT)
)
∆RT/∆P = ( 1 – Є).P
1)Se a demanda é elástica, ou seja, Є > 1:
Se o preço sobe, a Receita Total cai; se o preço cai, a
Receita Total sobe.
2)Se a demanda é inelástica, ou seja, Є < 1:
Resumindo:
Se o preço sobe, a Receita Total sobe; se o preço cai,
a Receita Total cai;
1º) Є > 1 => P sobe, RT cai e se P cai, RT sobe
3)Se a demanda é unitária, ou seja, Є = 1:
Se o preço subir ou cair, a receita total não varia e
será máxima
2º) Є < 1 => P sobe, RT sobe e se P cai, RT cai
3º) Є = 1 => P sobe ou desce, RT não varia e é
máxima a Receita Total
7
5 Relação entre Receita Total,Receita Marginal e
Elasticidade-preço da demanda
5.1 Receita Marginal (Rmg) – é o aumento na receita
total quando derivada do produção e da venda de
uma unidade adicional de um bem produzido.
Matematicamente, a definição da Receita Marginal
(Rmg) é:
Rmg = dRT/dQ
Dessa forma,
forma Rmg é a derivada de RT em relação a
quantidade.Um exemplo numérico de cálculo da Rmg
Exemplo 1: Supondo a demanda por um certo bem
definido pela equação:
Q = 20 – 2P
Um exemplo: Se uma indústria produz um certo
produto, por exemplo, cadernos, por $ 4,00 cada
unidade, e vende por mês 5.000 cadernos por mês. Sua
receita Total é dessa forma, igual a $20.000,00
(
(pxq=20.000).
20 000) Se
S aumentar
t a produção
d ã de
d caderno
d
para
5.001 por mês, e vender toda a produção, a Receita
Total será $20.004,00. Dessa forma, a Receita marginal
será igual a 4,00, que foi justamente o acréscimo na
Receita Total , quando uma unidade a mais do bem foi
produzida e vendida (20.004 – 20.000).
Vamos achar a Rmg:
Rmg = dRT/dQ
Como precisamos de RT para derivar, devemos achá-la:
RT =P.Q ; a demanda devera estar na forma inversa, já
que Rmg
q
g é a derivada de RT em relação
ç aq
quantidade
Q = 20 -2P => 2P = 20 – Q => P = 10 – Q/2;
substituindo em RT:
RT = ( 10 –Q/2)xQ = 10Q – Q2/2
e a Rmg é a derivada de RT:
Rmg = 10 –Q ;
8
Exercício 2- Considerando uma curva de demanda
linear expressa pela seguinte equação:
P = a – b.Q ;
onde P = preço do bem; Q = quantidade demandada
do bem; e “a” e “b” constantes positivas e diferentes
de zero.
Supondo RT = receita total; e Rmg = receita marginal,
é correto afirmar que:
a) RT = a.Q – b.Q2 e Rmg = a – 2.b.Q
b) RT = b.Q2 e Rmg = a – 2.b.Q
c) RT = a.Q – b.Q2 e Rmg = 2.b.Q
d) RT = a.Q – b.Q2 e Rmg = a
e) RT = a.Q – b.Q2 e Rmg = 2.b.Q = 0
5.2 - Relação entre Receita Marginal(Rmg) e
Elasticidade-preço da demanda (Ԗ)
Nesse ponto, vamos ver uma regra para derivarmos
um produto, como RT = PxQ. É a regra do produto.
Quando temos a derivada de um produto de duas
funções em relação a uma mesma variável,
multiplicamos o primeiro termo do produto pela
derivada do segundo e somamos isto com a
multiplicação do segundo termo do produto pela
derivada do primeiro.
9
No nosso caso, temos que derivar o produto P.Q em
relação à Q
Derivamos o 1º termo(P) e mantemos o 2ª e somamos
com a derivada do 2º termo(Q), mantendo o primeiro;
Rmg = dRT/dQ = d(P.Q)/dQ = Q.(dP/dQ) + P.(dQ/dQ)
Rmg == Q.(dP/dQ) + P; se dividirmos os termos da
direita da equação ao lado por P e multiplicarmos tudo
por P, não alteramos a equação;dessa forma, temos:
Rmg = (Q/P).[(dP/dQ) + P/P].P = [(Q/P).(dP/dQ) + 1)P;
Mas o termo (Q/P).(dP/dQ) é o inverso de Ԗ; dessa
forma, temos:
Rmg = ( 1/Ԗ + 1)P; como o valor de Ԗ é negativo,
podemos reescrever a equação:
Rmg = ( 1 – 1/Ԗ).P, onde Ԗ está em módulo
Essa fórmula será muito útil nos próximos assuntos,
em particular, em mercados.
6 TIPOS DE DEMANDA
6.1 Demanda Retilínea:
Q = a – bP;
Nesse caso, a elasticidade-preço da demanda (Є)
varia de zero (Є=0) até o infinito (Є =∞); e isso é
mostrado no gráfico abaixo:
10
Q = a – bP => bP = a – Q => P = a/b – (1/b).Q , que é a
demanda inversa;podemos traçar essa reta de demanda
inversa através dos pontos em que ele toca os eixos;
Se Q = 0, temos que o preço é igual a a/b,localizado no
g
eixo vertical ,,como mostra a figura
abaixo;; esse p
ponto é
conhecido como ponto de estrangulamento ou preço
proibitivo; por outro lado, quando P=0, a quantidade Q é
igual a a, marcado sobre o eixo horizontal;temos que a
elasticidade-preço Є:
Є = (∆Q/∆P).(P/Q) = -b.(P/Q)
Exemplos de demandas retilíneas:
Tracemos a equação de demanda e vamos assinalar
os trechos elásticos,inelásticos e os pontos onde a
elasticidade-preço é nula e infinita
1)Q = 10 -2P
6.2 Demanda Hiperbólica
Nesse caso, Є = α, em módulo
Graficamente:
2)Q= 120 – 4P
3)P = 20 – 5Q
11
Exemplos:
Q = 10/P2
Q = 200/P1/2
Q = 10/P
Um exercício numérico
a) Suponha que a curva de demanda seja dada pela
seguinte fórmula:
Q = 200P – 2.
Qual é a elasticidade-preço da demanda?
b) Suponha a curva de demanda dada pela fórmula Q
= 400 – 10P. Qual é a elasticidade-preço da demanda
em P =30? E em P = 10?
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7 - Demanda e Oferta de Curto Prazo versus Longo Prazo
Exercícios
1) A elasticidade-preço da demanda de um bem é 1,8
e a quantidade demandada ao preço atual de
mercado é de 5.000
5 000 unidades.
unidades Caso o preço do bem
sofra uma redução de 5%, a quantidade demandada
passará a ser:
a)4.550 unidades
c)5.000 unidades
b)5.550 unidades
d)5.450 unidades
2) Se um bem tem demanda elástica com relação a
variações em seu preço,
a)sua curva de demanda será uma reta paralela ao eixo
dos preços
d)um aumento no seu preço será sempre mais que
proporcional à variação na quantidade demandada.
b)um aumento no seu preço, tudo o mais constante,
provoca aumento no dispêndio do consumidor com o
bem.
e)um
)
aumento
t no seu preço,tudo
t d o mais
i mantido
tid
constante, provoca redução no dispêndio do consumidor
com o bem.
c)sua curva de demanda será uma reta paralela ao eixo
das quantidades, necessariamente
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3)Uma curva de procura se exprime por p=10-0,2x
onde p representa o preço e x a quantidade. O
mercado se encontra em equilíbrio ao preço p=2. O
preço varia para p=2,04 e, tudo mais mantido
constante, quantidade se equilibra em xx=39,8.
39,8. A
elasticidade-preço da demanda ao preço usual de
mercado é:
a) 0,02
b) 0,05
c) 0,48
d) 0,25
e) 0
4) A elasticidade-preço da demanda do bem X é 0,5.
Esta informação permite concluir que:
c)uma elevação do preço de X determina uma
redução de sua demanda em proporção menor que a
redução do preço
5)Considere a seguinte curva de demanda invertida:
PX = (30-x)/4
a)uma elevação do preço de X determina uma
elevação de sua demanda em proporção maior que a
elevação do preço
b)uma redução do preço de X determina uma
elevação de sua demanda em proporção maior que a
redução do preço
A elasticidade da demanda quando x = 15 é:
d)uma redução do preço de X determina uma redução
de sua demanda em proporção menor que a redução
do preço
a)–1
b)zero
d)infinita negativa
c)1
e)infinita
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6)Indique a afirmação correta.
a)Um aumento na renda dos consumidores resultará em
demanda mais alta de X, qualquer que seja o bem.
b)Uma queda no preço de X, tudo o mais permanecendo
constante, deixará inalterado o gasto dos consumidores
com o bem, se a elasticidade-preço da demanda for igual
a 1.
7) Quanto a função demanda é correto afirmar:
a) um aumento no preço do bem deixará inalterada a
quantidade demandada do bem, amenos que
também seja aumentada a renda nominal do
consumidor
b) um aumento no preço do bem,tudo o mais
constante, implicará aumento no dispêndio do
consumidor com o bem, se a demanda for elástica
com relação a variações no preço desse bem
c)o gasto total do consumidor atinge um máximo na faixa
da curva de demanda pelo bem em que a elasticidadepreço iguala a zero.
d)A elasticidade-preço da demanda pelo bem X
independe da variedade de bens substitutos existentes
no mercado.
e)Um aumento no preço do bem Y, substituto, deslocará a
curva de demanda de X para a esquerda
c) se essa função for representada por uma linha reta
negativamente inclinada , o coeficiente de elasticidadepreço será constante ao longo de toda essa reta
ç
p
p
d)) se essa função
for representada
por uma linha reta
paralela ao eixo dos preços, a elasticidade-preço da
demanda será infinita
e) se a demanda for absolutamente inelástica com relação
a modificações no preço do bem, a função demanda será
representada por uma reta paralela ao eixo dos preços
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8) A demanda de um bem norma x é expressa pela
equação x = a – bp, onde x é a quantidade demandada
do bem x, p é o preço do bem e a e b são
parâmetros.Aumentando a renda dos consumidores:
a)a e b aumentam de valor
b)a e b diminuem de valor
c)a mantém-se constante e b aumenta de valor
d)a aumenta de valor e b mantém-se constante
e)a e b mantém-se constante
9) Uma curva de demanda retilínea possui elasticidadepreço igual a 1
a) em todos os pontos
b) para quantidades muitos elevadas próximas ao eixo
das quantidades
c) para preços muitos elevados próximos ao eixo dos
preços
d) no ponto em que a receita marginal é igual à media
e) no ponto médio do segmento da curva de demanda
10) Seja p(Q) = a – bQ uma função de demanda
agregada inversa por um produto, onde Q é quantidade,
P o preço unitário e a, b > 0.
Sobre a elasticidade da demanda, considere:
I. A elasticidade é dada pela fórmula
II. A demanda é chamada é chamada elástica se
III. A elasticidade da demanda é unitária se
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