Função Logaritmo - ITA
1. (ITA 1999) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação log1/4 (x + 1) = log4 (x – 1). Então:
(A) S é um conjunto unitário e S ⊂ ] 2, + ∞ [;
(B) S é um conjunto unitário e S ⊂ ] 1, 2 [;
(C) S possui dois elementos distintos e S ⊂ ] –2, 2 [;
(D) S possui dois elementos distintos e S ⊂ ] 1, +∞ [;
(E) S é o conjunto vazio.
2. (ITA 2009) Seja S o conjunto solução da inequação
( x − 9 ) ⋅ log x + 4 ( x 3 − 26 x ) ≤ 0 .Determine
o conjunto SC.
3. (ITA 2007) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos
satisfazendo
log k (xy) = 49,
log k (x/z) = 44.
Então, log k (xyz) é igual a:
(A) 52.
(B) 61.
(C) 67.
(D) 80.
(E) 97.
4. (ITA 2007) Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que
A ∪ B ∪ C = {x ∈ IR : x2 + x ≥ 2},
A ∪ B = {x ∈ IR: 8–x – 3 . 4–x – 22–x > 0},
A ∩ C = {x ∈ IR: log(x + 4) ≤ 0},
B ∩ C = {x ∈ IR: 0 ≤ 2x + 7 < 2}.
5. (ITA 2007) Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema
log[(x + 2y) (w – 3z)-1] = 0,
2x+3z – 8 . 2y-3z+w = 0
3
2 x + y + 6z − 2 w − 2 = 0
6. (ITA 2006) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S =
∑
101
k =0
log8 (4 k 2) :
I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita
II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão 2/3
III. S = 3451
IV. S ≤ 3434 + log8 2
Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira (s) apenas:
(A) I e III
(B) II e III
(C) II e IV
(D) II
(E) III.
7. (ITA 2005) Considere a equação em x, ax+1 = b1/x onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2ln a > 0. A
soma das soluções da equação é
(A) 0.
(B) –1.
(C) 1.
(D) ln 2.
(E) 2.
Opção (B)
8. (ITA 2004) Seja x ∈ IR e a matriz ,
⎡2 x ( x 2 + 1) −1 ⎤
⎥.
A= ⎢
⎢⎣2 x log 2 5 ⎥⎦
Assinale a opção correta.
(A) ∀x ∈ IR, A possui inversa.
(B) Apenas para x > 0, A possui inversa.
(C) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa.
(D) Não existe valor de x para o qual A possui inversa.
(E) Para x = log2 5, A não possui inversa.
9. (ITA 2008) Um subconjunto D de IR tal que a função f : D Æ IR, definida por
f(x) = |ln(x2 – x + 1)| é injetora, é dado por
(A) IR
(B) (–∞, 1)
(C) [0,1/2]
(D) (0, 1)
(E) [1/2, ∞).
10. (ITA 2008) Seja f(x) = ln (x2 + x + 1), x ∈ IR. Determine as funções h, g : IR Æ IR tais que f(x) = g(x) + h(x), ∀x ∈ IR,
sendo h uma função par e g uma função ímpar.
11. (ITA 2007) Sejam x e y dois números reais tais que ex, ey e o quociente
ex − 2 5
4 − ey 5
são todos racionais. A soma x + y é
igual a:
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2 log5 3.
(D) log5 2.
(E) 3 loge 2.
12. (ITA 2006) Determine para quais valores de x ∈ (- π /2, π /2) vale a desigualdade
logcos x(4sen2x-1) - logcos x(4–sec2 x)>2.
13. (ITA 2004) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x: (2x)
14. (ITA 2002) Dada a função quadrática f(x) = x2 In
log 2
b
–(3x)
log 3
b
= 0.
1
3
2
+ x In6 – In , temos que:
3
4
2
(A) a equação f(x) = 0 não possui raízes reais.
(B) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais distintas e o gráfico de f possui concavidade para cima.
(C) a equação f(x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o gráfico de f possui concavidade para baixo.
In 2 In3
.
In3 − In 2
In 2 In3
(E) o valor máximo de f é 2
.
In3 − In 2
(D) o valor máximo de f é
15. (ITA 2002) Seja a função f dada por:
2
f(x) = (log35) . log5 8x–1 + log3 41+2x–x – log3 2x(3x+1).
Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa.
16. (ITA 2001) Sendo dado
(
)
1n 2 4 3 6 4 8 ...n 2n = an
1n
(
então,
e
)
2 3 3 4 4 ...2 n 2n = bn
1n 2n
1n 2 1n 3 1n 4 1n 5
−
+
–
+ ...+
3
4
5
2n
2
é igual a:
(A) an - 2bn
(B) 2an - bn
(C) an - bn
(D) bn - an
(E) an + bn.
17. (ITA 1999) Seja a ∈ R com a > 1. Se b = log2a, então o valor de
a 2 −1
a
+ (log8 a)2 – – log 1
é:
log4 a3 + log2 4a + log2
a +1
a −1
2
(A) 2b – 3
65
b+2
(B)
18
2b 2 − 3b + 1
2
2
2b + 63b + 36
(D)
18
2
b + 9b + 7
(E)
.
9
(C)
Gabarito
1.
2.
3.
B
S C = ]− ∞, − 4]∪ {− 3}∪ [ 0, 26 ]∪ ] 9, + ∞ [.
A
5⎡
⎤
4. S = ⎥ − 4,− ⎢ ∪ {− 2}∪ [1, + ∞[.
2⎣
⎦
⎧⎛
⎫
31 8 5 ⎞
5. S = ⎨⎜ t + , − , − , t ⎟, t ∈ IR − {5}⎬.
3
3
3
⎠
⎩⎝
⎭
6. B
7. B
8. A
9. C
h : IR → IR
1
x a h ( x ) = ln x 4 + x 2 + 1
4
10. g : IR → IR
(
x a g (x) =
11. E
12.
⎧
13. S = ⎨
⎩
14. D
⎡
15. S = ⎢
⎣
16. C
17. D
1
6
⎫
⎬.
⎭
1 ⎤
,1 .
5 ⎥⎦
1
ln
2
⎛ x 2 + x +1
⎜
⎜ x 2 − x +1
⎝
)
⎞
⎟
⎟
⎠