01.
02.
Na impressão de 480 cópias de uma mesma prova, foram
usadas duas impressoras, A e B, sendo que B trabalhou
dez minutos a menos que A. Se os tempos em que cada
impressora trabalhou fossem trocados, A e B imprimiriam
180 e 320 cópias, respectivamente.
Considere f(x) = log2x, g(x) e h(x) funções reais tais que,
no sistema de coordenadas cartesianas,
•
o gráfico de g é obtido do gráfico de f através de
uma translação de uma unidade, na direção do eixo
Ox, para a esquerda, seguida de uma translação de
duas unidades, na direção do eixo Oy, para cima;
•
o gráfico de h é simétrico ao gráfico de g em relação
ao eixo Oy.
Com base nessa informação, determine o tempo gasto
por cada impressora e o número de cópias que cada uma
imprimiu.
Com base nessas informações, determine os valores de x
que satisfazem a inequação h-1 (x) >
33
1
.
2
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA-2009
UFBA
UFBA- -2ª2ªFASE
FASE2009
2009
MATEMÁTICA
UFBA - 2ª FASE 2009
03.
05.
Considere a função real f(x) = A + Bcos(mx + ), com
Considere um trapézio ABCD em que a altura e a base
menor CD medem b e seja P o ponto de intersecção dos
prolongamentos dos lados não paralelos AD e BC.
 
   0,  e com A e B constantes.
 2
Sabendo-se que o período de f é igual a , f(0) = 2,
 
 
f   = -1 e tga = 2, calcule f   .
4
2
Sendo h a medida da altura do triângulo DCP, relativa à
b 2
 , determine a razão entre as áreas do
h 3
triângulo ABP e do trapézio ABCD.
base CD, e
04.
Determine os valores de k para que o sistema de equações
2 x  2 y  2 z  2

3x  4 y  (k  1) z  4
 x  ky  3z  2

seja
•
possível e determinado.
•
possível e indeterminado.
•
impossível.
06.
No sistema de coordenadas cartesianas, as curvas E e C
satisfazem as seguintes propriedades:
•
Para qualquer ponto Q(x, y) de E, a soma das
distâncias de Q(x, y) a F1 (- 3 , 0) e de Q(x, y) a F2
( 3 , 0) é constante e igual a 4u.c.
•
C é uma parábola com vértice na interseção de E
com o semi-eixo positivo Oy e passa por F2.
Com base nessas informações, determine os pontos de
interseção de E e C.
34
MATEMÁTICA
UFBA - 2ª FASE 2009
GABARITO
01.
Se x minutos é o tempo que a impressora A trabalhou, então B trabalhou x - 10 minutos.
Se A tivesse trabalhado x - 10 minutos imprimiria 180 cópias, logo, A imprime
Se B tivesse trabalhado x minutos imprimiria 320 cópias, logo, B imprime
Assim,
180
cópias/minuto.
x  10
320
cópias/minuto.
x
180
320
x+
(x 10) = 480
x  10
x
Resolv endo essa equação, tem-se x + (x – 10) = 480 
(x – 40)2 = 0.
= 480  x 2 – 80x + 1600 = 0 
Consequentemente x = 40.
Logo, a impressora A trabalhou 40 minutos e imprimiu x = 40 = 240 cópias e a impressora B trabalhou 30 minutos
e imprimiu 480 - 240 = 240 cópias.
02.
Se o gráfico de g é obtido do gráfico de f através de uma translação de uma unidade, na direção do eixo Ox, para a
esquerda, seguida de uma translação de duas unidades, na direção do eixo Oy, para cima, então g(x) = 2 + f(x + 1)
= 2 + log2 (x + 1).
Se o gráfico de h é simétrico ao gráfico de g em relação ao eixo Oy, então h(x) = 2 + log2(1 - x)
Cálculo da inversa de h:
y = 2 + log2(1 - x)  y - 2 = log2(1 - x)  1 - x = 2y-2  x = 1 – 2y-2
Assim, h-1(x) = 1 - 2x - 2
h-1(x) >  1 – 2x – 2 >  2x – 2 < 2-1  x – 2 < -1 x < 1
A solução é, portanto, o intervalo ]-, 1[
03.
Se o período de f é igual a , então
2
=  e, portanto m = 2.
m
Usando-se a relação 1+ tg 2  = sec 2, obtém-se que sec 2 = 5 o que acarreta cos =
sen =
5
5
2 5
5

B 5
2
A 

5
 A  B cos   2


Usando-se as condições f(0) = 2 e f( ) = -1 obtém-se  A  B sen  1 que é equivalente a 
.
2B 5
4

 A  5  1
Resolvendo-se o sistema encontra-se A = 1 e B =
35
5
e
MATEMÁTICA
UFBA - 2ª FASE 2009
Dessa forma, tem-se f(x) = 1+
 
Assim, f   = 1 +
2
5 cos(2x + ).
5 cos(2) = 1 + (cos2 - sen2) = 1 + = 1 -
3 5
.
5
04.
Escalonando a matriz ampliada do sistema:
2 2 - 2 2 


3 4 k - 1 4

dividindo a 1ª linha por 2
A= 

    
1
k
3
2


1 1 - 1 1 


3 4 k - 1 4
1 k 3 2 


1 1

     ‘  0 1
0 0

subtraindo a 2ª linha da 1ª multiplicada por 3
     

-1
k2
subtraindo - se a 3ª linha da 2ª multiplicasda por k -1
4 - (k - 1)(k  2)
subtraindo a 3ª linha da 1ª
1 1



 = 0 1

1 - (k - 1) 
0 0
1
1
1

0
0

1
1
-1 1 

k  2 1
k -1 4
1 
-1
k2
1
1
- k2 - k  6




2 - k
A matriz final B = é a matriz ampliada de um sistema equivalente ao sistema original.
Analisando-se a última linha da matriz B tem-se
•
se k2 + k - 6  0, ou seja, k  2 e k  -3, o sistema é possível e determinado.
•
Se k2 + k - 6 = 0, ou seja, k = 2 ou k = -3, tem-se duas possibilidades
i) Para k = 2 o sistema é possível e indeterminado, uma vez que a última linha de B será toda igual a 0.
ii) Para k = -3 o sistema será impossível, uma vez que a última linha de B corresponde à equação 0 = 5.
05.
Na figura, considere c a medida do lado AB
Sendo A1 a área do triângulo ABP, tem-se que A1 =
c(h  b )
2
Sendo A2 a área do trapézio ABCD, tem-se que A2 =
A 1 c (h  b )
Logo, A  (c  b )b .
2
36
(c  b)b
2
Usando a semelhança entre os triângulos DCP e ABP obtém-se
Da razão
h
b
b(h  b)

e, portanto, c 
.
hb c
h
b 2
bh 5
bh 5
 obtém-se
 (1) e
 (2).
h 3
b
2
h
3
Portanto, c =
b(h  b) 5
 b (3).
h
3
5
b
3
5
A1
A1
c (h  b )
c hb
55
25
Substituindo-se (1), (2) e (3) na expressão
obtém-se
=
=
= 5
=
=
.
2
A2
A2
(c  b)b
cb b
82
16
bb
3
06.
A curva E, satisfaz à propriedade de uma elipse com centro na origem; eixo maior sobre o eixo Ox; focos nos pontos
F1(  3 , 0) e F2( 3 , 0) e distância entre os vértices igual a 4.
Uma equação dessa elipse
x2 y2

 1 sendo a = 2 (distância dos vértices à origem) e c =
a2 b2
3 (distância dos
focos à origem).
Sabendo-se que a, b e c satisfazem a relação a2 = b2 + c2, obtém-se b = 1 e a equação
x2 y2

 1.
4
1
Uma parábola C com vértice na interseção de E com o eixo OY positivo, que é o ponto (0, 1), e que passa por F2 ( 3 ,
0) tem para equação y - 1 = ax2 (I)
Substituindo-se F2 em (I) obtém-se a = 
1
3
Logo, uma equação de C é
y= 
x2
 1  x 2  3  3y
3
Para encontrar as intersecções de E e C, substitui-se x2 = 3 - 3y na equação de E e obtém-se 3 – 3y + 4y2 = 4 
4y2 – 3y – 1 = 0  y = 1 ou y = 
1
4
Para y = 1, tem-se x = 0 o que corresponde ao ponto (0, 1) que é o vértice da parábola.
Para y = 
37
1
, obtém-se x = ±
4
1
15
15
15
que corresponde aos pontos (
,) e ( 
,  ).
4
2
2
2
MATEMÁTICA
UFBA - 2ª FASE 2009