11.7 Valores Extremos e Ponto de Sela
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Valores Extremos Locais
Definição: Seja f (x, y) definida em uma região R que contém o ponto (a, b).
Então:
1. f (a, b) é um valor máximo local de f se f (a, b) ≥ f (x, y) para todos
os ponto do domı́nio (x, y) em um disco aberto centrado em (a, b).
2. f (a, b) é um valor mı́nimo local de f se f (a, b) ≤ f (x, y) para todos
os ponto do domı́nio (x, y) em um disco aberto centrado em (a, b).
Teste da Derivada de Primeira Ordem para Valores
Extremos Locais
Teorema: Se f (x, y) tiver um valor de máximo ou mı́nimo local em um ponto
interior (a, b) do seu domı́nio e se as derivadas parciais de primeira ordem
existirem lá, então fx(a, b) = 0 e fy (a, b) = 0.
Ponto Crı́tico e Ponto de Sela
Ponto Crı́tico: Um ponto interior do domı́nio de uma função f (x, y) onde
fx = fy = 0 ou onde fx =6 ∃ ou fy =6 ∃ ou ambas não existam é um ponto
crı́tico de f .
Atenção:
• Os únicos pontos onde uma função f (x, y) pode assumir valores extremos
são os pontos crı́ticos ou pontos de fronteira.
• Nem todo ponto crı́tico é um extremo local.
• No R, uma função pode ter um ponto de inflexão, no R2 pode ter um
ponto de sela.
Ponto de Sela: Uma função diferenciável f (x, y) tem um ponto de sela em
um ponto crı́tico (a, b) se em todo disco aberto centrado em (a, b) existem
pontos do domı́nio (x, y) onde f (x, y) > f (a, b) e pontos do domı́nio (x, y)
onde f (x, y) < f (a, b). O ponto correspondente (a, b, f (a, b)) na superfı́cie
z = f (x, y) é chamado de ponto de sela da superfı́cie.
Exemplos
Exemplo (1): Determine os pontos crı́ticos de f (x, y) = x2 +y 2 −2x−6y+14.
Exemplo (2): Determine os valores extremos de f (x, y) = y 2 − x2.
Teste da Segunda Derivada
Teorema: Suponha que f (x, y) e suas derivadas parciais de primeira e segunda
ordem sejam contı́nuas em um disco centrado em (a, b) e que fx(a, b) =
fy (a, b) = 0. Então:
2
a. f tem um máximo local em (a, b) se fxx < 0 e fxxfyy − fxy
> 0 em
(a, b).
2
b. f tem um mı́nimo local em (a, b) se fxx > 0 e fxxfyy − fxy
> 0 em
(a, b).
2
c. f tem um ponto de sela em (a, b) se fxxfyy − fxy
< 0 em (a, b).
2
d. O teste é inconclusivo em (a, b) se fxxfyy − fxy
= 0 em (a, b). Nesse
caso, devemos encontrar uma outra maneira de determinar o comportamento de f em (a, b).
2
Atenção: A expressão fxxfyy − fxy
é chamada de discriminante ou hessiana
de f . Algumas vezes é mais fácil lembrar dela na forma de determinante:
f
f
xx
xy
2
fxxfyy − fxy
=
Lembre-se que: fxy = fyx
fxy fyy
Exemplos
Exemplo (3): Determine os valores de máximos e mı́nimos locais e os pontos
de sela de f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 1.
Exemplo (4): Determine e classifique os pontos crı́ticos da função f (x, y) =
10x2y − 5x2 − 4y 2 − x4 − 2y 4.
Exemplo (5): Determine a distância mais curta entre o ponto (1, 0, −2) e o
plano x + y + z = 4.
Exemplo (6): Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de
papelão. Determine o volume máximo de tal caixa.
Figura do Exemplo (4)
Máximos e Mı́nimos Absolutos em Regiões Fechadas e
Limitadas
1. Relacione os pontos interiores: de R onde f possa ter máximos e
mı́nimos locais e calcule f nesses pontos. Esses são os pontos no quais
fx = fy = 0 ou onde uma ou ambs as derivadas parciais deixam de existir
(pontos crı́ticos de f ).
2. Relacione os pontos da fronteira: de R onde f tem máximos e
mı́nimos locais e calcule f nesses pontos.
3. Procure na relação: pelos valores máximos e mı́nimos absolutos (ou globais) de f em R. Como máximos e mı́nimos globais são também máximos
e mı́nimos locais, os primeiros aparecem em algum lugar das relações construı́das nos passos 1 e 2. Analise as relações para encontrá-las.
Exemplo (7): Determine os valores máximos e mı́nimos absolutos da função
f (x, y) = x2 −2xy+2y no retângulo D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}
Resumo
Os valores extremos de f (x, y) podem ocorrer apenas em
i. pontos de fronteira: do domı́nio de f .
ii. pontos crı́ticos: fx = fy = 0 ou pontos onde fx ou fy não existam. de R
onde f tem máximos e mı́nimos locais e calcule f nesses pontos.
Se as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f forem contı́nuas em
um disco centrado em um ponto (a, b) e fx(a, b) = fy (a, b) = 0, podemos
classificá-lo com o teste da derivada segunda:
2
i. Máximo local: fxx < 0 e fxxfyy − fxy
> 0 em (a, b).
2
ii. Mı́nimo local: fxx > 0 e fxxfyy − fxy
> 0 em (a, b).
2
iii. Ponto de sela: fxxfyy − fxy
< 0 em (a, b).
2
iv. Teste inconclusivo: fxxfyy − fxy
= 0 em (a, b).
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas 324 à 327;
Exercı́cios: 1 à 46.