NOTAS DE AULA: DETERMINANTES
DEFINIÇÃO
Considere uma matriz quadrada de ordem n. Definimos Determinante da matriz A e
representamos por det A, o número real que obtemos realizando algumas operações com os
elementos desta matriz.
Notação det A ou A
 1 3
uma matriz de ordem dois. Representamos o

2 4 2 x 2
Exemplo : Seja A  
determinante desta matriz como

det A
1 3
ou
2 4
CÁLCULO DO DETERMINANTE
Matriz de 1ª ordem ou do tipo 1x1.
Se A  a11 
então det A = a11.
Exemplo1. Seja A = [8], temos det A = 8
Exemplo 2. Seja C = [-5], temos det C = -5
Matriz de 2ª ordem ou do tipo 2x2.
Se A é uma matriz de ordem 2, o determinante será obtido calculando-se a diferença entre o
produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal
secundária.
1 0 
temos:

 2  1 2 x 2
Exemplo 1 . Sendo A  
 3 2
, temos

 1 5  2 x 2
Exemplo 2 Sendo C  
1
Matriz de 3ª ordem ou do tipo 3x3.
Exemplos:
Calcule os seguintes determinantes:
 1 0  1
a ) A   2 4 6 
  3 5 3 
 1 1 1
b )B   2 3 2 
 4 7 5 
Lista de Exercícios
1- Calcule os seguintes determinantes
a)
3 1
1
2
b)
2
13 7
11 5
2- Calcule x ,tal que:
a)
2x 3x  2
1
x
0
b)
x2
2x
4x  5 3 x  1
 11
3- Calcule os seguintes determinantes
1 1 0
1
a )0 1 0
3
2
b) - 1 0 - 2
0 1 1
2
5
1
4- Determine x, tal que
1
x
a )2
2x
3
x
1 0
x1 1
1
x
1
b) 1
-1
x 0
1 -x
1
2
Regra de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada A , de ordem igual ou superior a 3 , é igual à soma
dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos seus respectivos
cofatores.
Para utilizarmos esta regra precisamos definir cofatores:
Vamos definir alguns conceitos:
Menor Complementar:
Menor complementar de um elemento a ij da matriz M é o determinante que se obtém de M
eliminando a linha e a coluna que contém o elemento a ij . Representa-se por: Dij .
Exemplo:
Determine o menor complementar D11 , D31 , D32
da matriz M abaixo:
1 0 6 
M   2 3 5 
 4 1  4 
Resolução:
Temos:
D11 
3
5
 12  5  17
1 4
2 3
D13 
 2 - 12  10
4 1
D32 
1 6
2 5
e
 5  12  7
Cofator ou complemento algébrico:
Complemento algébrico ou Cofator de um elemento a ij . É o número que se obtém
multiplicando-se o menor complementar pelo fator  1
i j
C ij   1i  j .Dij
 a 11

Então para a matriz A  a 21
a 31
a
a 13
C 31   13  1 . 12
a 22 a 23
a 12
a 22
a 32
a 13 
a 23 
a 33 
o cofator C 31 será :
3
Exemplo:
Determine o cofator C 11 , C 31 , C 32
da matriz M abaixo:
1 0 6 
M   2 3 5 
 4 1  4 
Resolução:
Temos:
C 11  ( 1 )1  1 .
3
5
 ( 1 ) 2 .( 12  5 )  17
1 4
2 3
C 13  ( 1 )1  3 .
 ( 1 )4 .(2 - 12)  ( 1 ).( 10)  10
4 1
C 32  ( 1 ) 3  2 .
1 6
e
 ( 1 )5 ( 5  12 )  ( 1 ).( 7 )  7
2 5
Determinante de M= -17 -10+7 = -20
Agora que definimos cofator podemos calcular um determinante utilizando a regra de Laplace:
Exemplo 1 Calcular o seguinte determinante:
2
1 0
3
4 2
1
3
1 5
2
1
0
3
2 6
Resolução:
Fixamos a primeira linha.
Assim, temos:
det A = a11.A11+ a12.A12+ a13.A13+ a14.A14
Calculando cada cofator separadamente:
A11  ( 1 )
1 1
2
1
3
. 5
2
1  17
3
2 6
A12  ( 1 )
1 2
4
1
3
.1
2
1  44
0 2 6
4
4 2
4 2 3
A14  (1)1 4 . 1  5
A13  ( 1 )1  3 . 1  5 1  111
0
3
0
6
3
1
2  15
2
Assim:
det A = a11.A11+ a12.A12+ a13.A13+ a14.A14
det A = 2.17+3.( - 44) -1.(-111) + 0.(-15)
detA=34-132+111+0
detA=13
Obs1: Para maior facilidade, aplica-se a Regra de Laplace à fila que apresenta maior
números de zeros.
Obs2: Esta regra pode ser utilizada para determinantes de ordem maior ou igual a 2.
Exemplo 2 Calcule os seguintes determinantes:
2 0
a)
0
0
1
9
0
0
15
5
1
0
60
4 3 2
b)
1 2
3
0
4 0
2
3
5
3 4
3 0
2
1
1
Propriedades dos determinantes
A definição de determinantes e o teorema de Laplace nos permite calcular qualquer
determinantes, mas com a aplicação de algumas propriedades este cálculo fica simplificado.
P1. FILA NULA - Se os elementos de uma fila qualquer de uma matriz A, forem todos
nulos, então detA=0 .
Exemplos:
1  5 0
a ) A   3 1 0  det A  0
 2 7 0 
1 - 1
0 0
b)B  
3 2

5 7
0
0
3
8
-7 
0 
- 1

2
det B  0
P2 - FILAS IGUAIS - Se uma matriz quadrada possui duas filas ( linhas ou colunas) paralelas
iguais , então det A = 0.
5
 2 0 2
A  2 1 2
2 3 2
Exemplos:
det A  0 , pois C1  C3
P3. FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS -Se uma matriz M de ordem n  2 tem duas filas
paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0
1 2 8 
a) A  2 4 3 
3 6  2
 0 2 1
b) B   3 5 2
 0 8 4
Exemplos:
det A  0 pois C 2  2.C1
det B  0 pois L 3  4 L1
P4. COMBINAÇÃO LINEAR - Se uma matriz quadrada possui uma linha ( ou coluna) que é
combinação linear de outras linhas ( ou colunas) , então o seu determinante é nulo.
Exemplos:
8
1 6


det A  0 pois C 3  2.C 1  C 2
a) Seja A  4 5 13


7  2 12 
 1 2 3

 det B  0 pois L  L  L
b) Seja B  4 5 6
3
1
2


7 7 9 
P5. MATRIZ TRANSPOSTA - Se A é uma matriz quadrada de ordem n e At é a sua transposta,
então detA = detAt
Exemplo:
1 2
A

5 3
detA  3 - 10  -7
1 5
At  

2 3
detA t  3  10  7
P6. MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE - Se multiplicarmos uma fila
qualquer de uma matriz A por um número k  0 , o determinante da nova matriz B, será o
det B  k .det A
produto de k pelo determinante de A . Assim:
1 2

3 5 
Exemplo Seja A  
1 2 
B

6 10 
detA  1
se multiplicarmos a linha 2 por 2, temos:
detA  2 . Logo det B =2. det A .
6
P7. N: O determinante de uma matriz quadrada A, muda de sinal quando trocamos entre si as
posições de duas filas paralelas.
1 5 

 3 2
Seja A  
Exemplo:
 3 2

1 5 
Seja B  
det A  2 - 15  -13
isto é L1  L2
temos : det B  15  2  13
Exercícios:
1- Calcule os seguintes determinantes, utilizando a regra de Laplace
1 0 1 3
a)
2 3
4
2
0
2
5
1
4
1
0
0
2 4 2 4
b)
0
1 1 0
1 0
2 3
3 0
1 0
c)
3
4
2
1
5
0
-1 -2
0
0
4
0
-1 0
3
3
2- Calcule os determinantes abaixo:
a)
1
2
1
0
1
1
2
1
1 1
2
1
1
3
 35
3
b)
1 1 3 1
c)
2 6 6 4
2 5 3 3
1 1 1 1
2 -2 2
-1
3
0
5
0
5
3
0
0
2
-1 3 -2
1 2 0 0
d)
2 1 3 0
1 0
3 1
3 4 2 2
3-
7