Introdução
Circuitos Elétricos
Análise de Potência em CA
Alessandro L. Koerich
Engenharia de Computação
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
• Potência é a quantidade de maior importância em
equipamentos elétricos, eletrônicos e sistema de
comunicações.
– Envolvem a transferência de potência de um ponto a outro.
• A forma mais comum de potencia elétrica é a potência
CA em 50 ou 60Hz.
• A escolha de CA permite a transmissão de potência em
altas tensões desde a usina hidrelétrica (geração) até o
consumidor.
Potência Instantânea
Potência Instantânea
• A potência instantânea p(t) absorvida por um elementos
é o produto da tensão instantânea v(t) sobre o elemento
e a corrente instantânea i(t) através dele.
• Considerando um circuito arbitrário e a seguinte tensão e
corrente aplicada em seus terminais:
• A potência instantânea é medida em Watts (W).
onde Vm e Im são as amplitudes (ou valores de pico) e θv e θi são os
ângulos de fase da tensão e corrente respectivamente.
• A potência instantânea absorvida pelo circuito é:
Potência Instantânea
•
Potência Instantânea
Aplicando a identidade trigonométrica:
temos
•
•
•
ou seja:
– Uma parte constante ou independente do tempo. Depende somente da
diferença de fase entre tensão e corrente.
– Uma parte senoidal com frequencia 2ω, que é o dobro da frequencia
angular da tensão ou corrente.
•
T=2 π/ ω é o período da tensão ou da corrente.
p(t) é períodica.
p(t) é positiva para uma parte do ciclo e negativa para o resto do
ciclo.
Quando p(t) é positiva, potência é absorvida pelo circuito. Quando
p(t) é negativa, potência é absorvida pela fonte.
Potência Média
•
•
•
•
A potência instantânea muda com o tempo e portanto é difícil de
medir.
A potência média é uma medida mais conveniente. É a potência
medida por um wattimetro.
A potência média, em watts, é a média da potência instantânea em
um período.
A potência média é dada por:
=
substituindo p(t) temos:
1
=
2
Potência Média
•
Note que p(t) varia no tempo enquanto P não depende do tempo.
•
Podemos também calcular a potência média quando a tensão e a
corrente são expressas no domínio dos fasores (frequencia), ou
seja, = ⁄ e = ⁄ :
1
2
∗
=
1
2
⁄
−
=
1
2
[
−
+
−
onde a parte real desta expressão é a potência média P, então:
1
=
−
1
Re
2
∗
=
1
2
−
]
Potência Média
•
Consideramos dois casos especiais:
1.
Potência Média
•
Quando
= ,a tensão e a corrente estão em fase. Isso implica em um
circuito puramente resistivo, e:
=
1
2
=
1
2
=
Em resumo:
Uma carga resistiva (R) absorve potência todo o temp, enquanto uma
carga reativa (L ou C) absorve potência média zero.
1
2
onde
= x ∗ , mostrando que um circuito puramente resistivo absorve
potência todo o tempo.
2.
Quando
−
= ±90o temos um circuito puramente reativo, e:
=
1
2
90o = 0
mostrando que um circuito puramente reativo não absorve potência.
Máxima Transferência de Potência Média
Máxima Transferência de Potência Média
•
Para corrente contínua (CC) verificamos que a máxima potência
pode ser entregue a uma carga quando a resistência da carga é
igual a resistência equivalente do circuito (resistência de Thevenin),
ou seja:
•
Representando ZL e ZTh na forma retangular:
=
=
=
•
Considerando agora um circuito CA
conectado a uma carga com
impedância ZL.
•
Representamos o circuito pelo seu
equivalente Thevenin (VTh e ZTh).
+
1
2
=
=
+
/2
(
+
) +(
+
)
•
Nosso objetivo é ajustar os parâmetros da carga (RL e XL) de modo
que P seja máxima.
•
Para isso fazemos
•
e
/
/
igual a zero, o que leva a:
=−
igual a zero, o que leva a:
=
+(
+
)
Máxima Transferência de Potência Média
•
Combinando as duas equações anteriores chegamos a conclusão
que para a máxiam transferencia de potencia média, ZL deve ser
=−
e
=
:
escolhida de modo que
=
•
+
=
−
∗
•
A ideia de valor eficaz advém da necessidade de medir a efetividade
de uma fonte de tensão ou corrente em entregar potência para uma
carga resistiva.
•
Assim, o valor eficaz ou RMS de uma corrente periódica é a
corrente contínua que entrega a mesma potência média a um
resistor que uma corrente periódica.
Para a máxima transferência de potência média a impedancia de
carga ZL deve ser igual ao complexo conjugado da impedancia de
Thevenin ZTh o que resulta em:
=
•
=
Tensão Eficaz ou RMS
8
= 0, logo:
Para uma carga puramente resistiva, temos
=
+
=
Tensão Eficaz ou RMS
•
•
Encontrar Ief que transferirá a mesma potencia que a senoide i ao
resistor R.
1
=
=
=
•
Igualando as correntes e isolando Ief, temos:
•
=
•
Tensão Eficaz ou RMS
1
=
Fazendo i(t)=Imcosωt temos:
=
1
2
)
Do mesmo modo, para v(t)=Vmcosωt :
=
1
Isso indica que o valor eficaz é a raiz quadrada da média do
quadrado de um sinal periódico. Logo:
=
=
1
(1 +
2
=
2
•
Então a potência média em termos dos valores RMS:
=
cos( − )
•
E a potência média absorvida por um resistor R:
=
=
=
2
Potência Aparente e Fator de Potência
•
A potência média em termos dos valores RMS é dada por:
=
cos(
−
Potência Aparente e Fator de Potência
•
A potência aparente é assim chamada pois parece aparente que a
potência deva ser o produto tensão corrente, em analogia com um
circuito resistivo CC.
)
•
A potência aparente (S) é o produto:
=
•
É medida em VA para distingui-la da potência média ou real que é
medida em Watts.
•
O fator de potência (FP) é o fator:
FP = cos(
•
O fator e potência é adimensional, pois é a razão entre a potência
média e aparente:
•
−
)
FP =
Assim, a potência aparente (em VA) é o produto dos valores RMS
da tensão e corrente.
•
Potência Aparente e Fator de Potência
•
O ângulo do fator de potência é igual ao ângulo da impedância de
carga se V é a tensão sobre a carga e I é a corrente através dela:
=
•
/
/
=
/
−
−
−
)
)é chamado de ângulo do fator de potência.
Potência Aparente e Fator de Potência
•
O fator de potência pode ser visto como o fator pela qual a potência
aparente deve ser multiplicada para se obter a potência real ou
média.
•
O valor do fator de potência varia entre zero (carga puramente
resistiva) e um (carga puramente reativa).
•
O fator de potência afeta a tarifação da energia elétrica.
Alternativamente:
=
•
=
O ângulo (
= cos(
2
=
/
=
=
=
A impedância é:
=
/
−
2
=
/
Potência Complexa
•
Potência Complexa
Contém toda a informação relativa a potência absorvida por uma
dada carga.
Para uma carga AC, dados os fasores = / e = / da
tensão v(t) e da corrente i(t), a potência complexa absorvida pela
carga AC é:
1 ∗
=
2
• Em termos dos valores RMS:
∗
=
onde:
•
Logo:
=
=
•
=
2
=
/
=
2
=
•
cos
=
•
/
. Substituindo na equação anterior, temos:
=
•
Como
=
+
=
∗
:
=
+
=
•
– P é a potência média ou real e depende da resistência da carga R.
– Q depende da reatância X e é chamada de potência reativa.
−
)
A potência complexa pode ser expressa em termos da impedância
da carga (Z). A impedância da carga pode ser escrita:
=
=
/
−
Note que:
=
cos
−
=
sen(
−
)
•
A potência real P é a potência média em watts entregue para a
carga. É a potência dissipada pela carga.
•
A potência reativa Q é uma medida da troca de energia entre a fonte
e a parte reativa da carga. A unidade é volt-ampere reativo (VAR).
•
A potencia reativa é transferida da fonte para a carga e vice versa,
representando uma troca sem perdas.
+
onde P e Q são as partes real e imaginária da potência complexa, isto
é:
=
= Re
= Im
=
sen(
Potência Complexa
∗
=
+
– A magnitude da potência complexa é a potência aparente
– A potência complexa é medida em volt-amperes (VA)
– O ângulo da potência complexa é o ângulo do fator de potência
Potência Complexa
Então
−
−
Observar que:
=
•
/
Potência Complexa
•
Note que:
Potência Complexa
•
– Q = 0 para cargas resistivas (FP=1)
– Q < 0 para cargas capacitivas (FP adiantado)
– Q > 0 para cargas indutivas (FP atrasado)
•
A potência complexa contém toda informação relevante de potência
para uma dada carga.
Portanto:
A potência complexa (em VA) é o produto do fasor de tensão RMS e o
complexo conjugado do fasor de corrente RMS. Sendo uma quantidade
complexa, sua parte real é a potência real P e sua parte imaginária é a
potência reativa Q.
Potência Complexa
•
É usual representar S, P e Q como um triângulo de potência.
Correção do Fator de Potência
•
É o processo de aumentar o fator de potência sem alterar a tensão
ou corrente entregue a carga original.
•
Como a maioria das cargas tem natureza indutiva, o fator de
potência da carga pode ser melhorado ou corrigido adicionando um
capacitor em paralelo com a carga
Correção do Fator de Potência
Correção do Fator de Potência
•
Assumindo que a carga tinha fator de potência cosθ1 e passa para
um fator de potência cosθ2.
•
Uma corrente maior resulta em uma perda maior de potência
).
( =
•
A adição do capacitor reduz θ1 para θ2 , aumentando portanto o fator
de potência.
•
Escolhendo um capacitor de valor adequado, a corrente pode ser
colocada em fase com a tensão, levando a um fator de potência
unitário (FP=1).
•
Considerando o triângulo de potências, para uma carga indutiva
com potência aparente S1, temos:
=
=
=
•
Para aumentar o fator de potência de cosθ1 para cosθ2 sem alterar a
), a nova potência reativa deve ser:
potência real ( =
=
•
Observando a magnitude dos vetores, note que para a mesma
tensão fornecida, o circuito original drena mais corrente (IL) que o
circuito corrigido (I).
Correção do Fator de Potência
•
A redução na potência reativa causada por um capacitor em
paralelo, será:
=
•
Mas
=
=
−
= (
=
)
. O valor da capacitância em paralelo será
determinada então por:
=
−
(
−
)