UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR I
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1. Calcule:
(a)
sen(π−x)−cos( π
2 −x)−tg(2π−x)
tg(π−x)−cos(2π−x)+sen( π
2 −x)
(b)
cos(90o +x)+cos(180o −x)+cos(3600 −x)+3.cos(90o −x)
sen(270o +x)−sen(90o +x)−cos(90o −x)+sen(180o −x)
em função de tgx.
2. Construa os seguintes gráficos:
(a)
f: R →
R
f: R →
R
f: R →
R
f: R →
R
f: R →
R
f: R →
R
dada por f (x) = −sen x3
(b)
dada por f (x) = 3.sen4x
(c)
dada por f (x) = 1 + 2.senx
(d)
dada por f (x) = sen(x − π4 )
(e)
dada por f (x) = |cosx|
(f)
dada por f (x) = 1 + 2.cos3x
(g)
f:
(R − {x ∈ R|x 6=
dada por f (x) = tg(2x + π6 )
1
π
6
+
kπ
2 ,k
∈ Z})
→
R
3. Determine o perı́odo das seguintes funções reais:
(a) f (x) = cotg(x − π3 )
(b) g(x) = sec2x
(c) h(x) = cossec(x + π4 )
Funções pares e ı́mpares
Def: Uma função
f: A →
B
é denominada função par se, e somente se: f (x) = f (−x),∀ x ∈ A, isto é dando valores simétricos
à variável, obtemos o mesmo valor para a função (A e B são subconjuntos dos números reais).
Exemplos de funções pares:
(a) f (x) = |x| é função par, pois | − x| = |x| ∀x ∈ R
(b) f (x) = xn onde n é par.
4. Mostre que a função cosseno é par.
Def: Uma função
f: A →
B
é denominada função ı́mpar se, e somente se: f (x) = −f (−x),∀x ∈ A, isto é dando valores simétricos
à variável, obtemos valores siméticos para a função (A e B são subconjuntos dos números reais).
Exemplos de funções ı́mpares:
(a) f (x) = ax, onde a 6= 0.
(b) f (x) = xn , onde n é ı́mpar.
5. Mostre que a função seno é ı́mpar.
6. Prove que, se f é ı́mpar e 0 pertence ao seu domı́nio então f (0) = 0.
7. Prove que, se f é par e ı́mpar, então f (x) = 0.
8. Resolva, em R, as seguintes equações:
(a) sen2 x =
1
4
(b) 2sen2 x − 3senx + 1 = 0
(c) 3.tgx = 2.cosx
(d) cossecx = 2
(e) sen5x = sen3x
(f) cos( π6 + x) = 0
2
(g) tgx = tg π5
9. Para que valores de x ∈ R existe log2 (2senx − 1)?
10. Resolva, em R: log2 (2senx − 1) = log4 (3sen2 x − 4senx + 2)
RESPOSTAS
1. (a) −1
(b) −tgx
2. (a) Im(f) = [-1,1] , p(f) = 6 Π
(b) Im(f) = [-3,3] , p(f) = Π/2
3
(c) Im(f) = [-1,3] , p(f) = 2 Π
(d) Im(f) = [-1,1] , p(f) = 2 Π
(e) Im(f) = [0,1] , p(f) = Π
4
(f) Im(f) = [-1,3] , p(f) =
(g) D(f ) = {x ∈ R| x 6=
π
6
2Π
3
+
kπ
2 ,
k ∈ Z} , p(f) =
3. D(f ) = {x ∈ R| x 6=
π
3
+ kπ, k ∈ Z}
D(g) = {x ∈ R| x 6=
π
4
+
D(h) = {x ∈ R| x 6=
−π
4
kπ
2 ,
Π
2
k ∈ Z}
+ kπ, k ∈ Z}
4. Observe que:
cos(x) = sen( π2 − x) = sen(π − ( π2 + x)) = sen( π2 + x) = sen( π2 − (−x)) = cos(−x).
5. Observe que:
sen(x) = cos( π2 − x) = cos(π + (− π2 − x)) = −cos(− π2 − x) = −cos( π2 − (−x)) = −sen(−x).
6. Observe que:
f (0) = f (−0) = −f (−0). Daı́ 2 · f (0) = 0 e portanto f (0) = 0.
5
7. Observe que:
f (x) = f (−x), pois f é par e ,
f (x) = −f (−x), pois f é ı́mpar
Portanto 2 · f (x) = 0, ou seja, f (x) = 0 ∀ x ∈ domı́nio de f.
8.
(a) S = {x ∈ R| x =
π
6
+ 2kπ ou x =
5π
6
(b) S = {x ∈ R| x =
π
2
+ 2kπ ou x =
π
6
(c) S = {x ∈ R| x =
π
6
+ 2kπ ou x =
5π
6
+ 2kπ, k ∈ N}
(d) S = {x ∈ R| x =
π
6
+ 2kπ ou x =
5π
6
+ 2kπ, k ∈ N}
(e) S = {x ∈ R| x = kπ ou x =
π
8
+
kπ
4 ,
(f) S = {x ∈ R| x =
π
3
+ 2kπ ou x =
(g) S = {x ∈ R| x =
π
5
+ kπ, k ∈ N}
9. S = {x ∈ R|
π
6
+ 2kπ ≤ x ≤
10. S = {x ∈ R| x =
π
2
5π
6
7π
6
+ 2kπ ou x =
+ 2kπ ou x =
5π
6
+ 2kπ ou x =
−π
6
+ 2kπ, k ∈ N}
+ 2kπ, k ∈ N}
k ∈ N}
−2π
3
+ 2kπ, k ∈ N}
+ 2kπ, k ∈ N}
+ kπ, k ∈ N}
BIBLIOGRAFIA
• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar - Trigonometria. 8a edição. Vol 3. Editora: Atual.
Esta lista foi elaborada pela P rof a Ms. Cláudia Ribeiro Santana (UESC-DCET) e confeccionada com a colaboração de Paulo Roberto Ribeiro de Jesus (6o semestre de Quı́micaUFBA).
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